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五年级数学 奥数精品讲义1-34讲
目 第一讲 消去问题（ 一） 第二讲 消去问题（ 二） 第三讲 一般应用题 第四讲 盈亏问题（ 一） 第五讲 盈亏问题（ 二） 第六讲 流水问题 第七讲 等差数列 第八讲 找规律 能力测试（ 一） 第九讲 加法原理 第十讲 乘法法原理 第十一讲 周期问题（一） 第十二讲 周期问题（二） 第十三讲 巧算（一） 第十四讲 巧算（二） 第十五讲 数阵问题（一） 第十六讲 数阵问题（二）
能力测试 （二） 第十七讲 平面图形的计算（一） 第十八讲 平面图形的计算（二） 第十九讲 列方程解应用题（一） 第二十讲 列方程解应用题（二） 第二十一讲 行程问题（一） 第二十二讲 行程问题（二） 第二十三讲 行程问题（三） 第二十四讲 行程问题（四） 能力测试（三） 第二十五讲 平均数问题（一） 第二十六讲 平均数问题（二） 第二十七讲 长方体和正方体（一） 第二十八讲 长方体和正方体（二） 第二十九讲 数的整除特征 第三十讲 奇偶性问题 第三十一讲 最大公约数和最小公倍数 第三十二讲 分解质因数（一） 第三十三讲 分解质因数（二） 第三十四讲 牛顿问题 能力测试（四）录1第一讲消去问题（ 消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未 知数的数量。我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想 办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解 答出来。这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法” 。 例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。(1)买 1 个皮球和 1 个足球共用去 40 元，买同样的 5 个皮球和 5 个足球一共用去多 少元？(2)3 袋子、大米和 3 袋面粉共重 225、千克，1 袋大米和 1 袋面粉共重多少千克？（3）6 行桃树和 6 行梨树一共 120 棵，照这样子计算 8 行桃树和 8 行梨树一共有多 少棵？（4）学校买了 4 个水瓶和 25 个茶杯，一共用去 172 元，每个水瓶 18 元，每个茶杯 多少元？例1 学校第一次买了 3 个水瓶和 20 个茶杯，共用去 134 元；第二次又买了同样的 3 个水瓶和 16 个差杯，共用去 118 元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？例2 买 3 个篮球和 5 个足球共、用去 480 元，买同样的 6 个篮球和 3 个足球共用去 519 元。篮球和足球的单价各是多少元？ 练习与思考2１、 1 袋黄豆和 1 袋绿豆共重 50 千克，同样的 7 袋黄豆和 7 袋绿豆共重（ 千克。）２、买 5 条毛巾和 5 条枕巾共用去 90 元，买 1 条毛巾和 1 条枕巾要（ ）元。 ３、买 4 本字典和 4 本笔记本共、用去了 68 元，买同样的 9 本字典和 9 本笔记本一 共要（ ）元。４、9 筐苹果和 9 筐梨共重 495 千克，找这样计算，2 筐苹果和 2 筐梨共重（ 千克。）５、妈妈买了５米画布和３米白布，一共用去１０２元。花布每米１５元，白布每 米多少元？６、果园里有１４行桃树和２０行梨树，桃树和梨树一共有４４０棵。每行梨树１ ５棵，每行桃树多少棵？８、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉，一共重 400 千克；第二次又运来 9 袋大 米和 4 袋面粉，一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？9、3 豹味精和 7 包糖共重 3800 克，同样的 3 包味精和 14 包糖共重 7300 克。每包味 精和每包糖各重多少克？ 10、 10、育新小学买了 8 个足球和 12 个篮球，一共用去了 984 元；青山小学买了同样的 16 个足球和 10 个篮球，一共用去 1240 元。每个足球和每个篮球各多少元？11、 11、买 15 张桌子和 25 把椅子共用去 3050 元；买同样的 5 张桌子和 20 张椅子，需3要 1600 元。买一张桌子和一把椅子需要多少元？12、 12、3 头牛和 6 只羊一天共吃草 93 千克，6 头牛和 5 只羊一天共吃草 130 千克。每 头牛每天比每只羊多吃多少千克？第二讲例1、消去问题（二）7 袋大米和 3 袋面粉共重 425 千克同样的 3 袋大米和 7 袋面粉共重 325 千克。求每袋大米和每袋面粉的重量。 3..三头牛和 8 只羊每天共吃青草 93 千克，5 头牛和 15 只羊每天吃青草 165 千克。 一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？练习与思考 1. 3 个皮球和 5 个足球共 245 元，同样的 6 个皮和 10 个足球共（ ）元。2.5 盒铅笔和 9 盒钢笔共 190 支， 同样的 2 盒铅笔和 6 盒钢笔共 100 支。 盒铅笔 3和 3 盒钢笔共（ ）支，1 盒铅笔和 1 支钢笔共（ ）支。3.育才小学体育组第一次买了 4 个篮球和 3 个排球，共用去了 141 元；第二次买了 5 个篮球和 4 个排球，共用去 180 元。每个篮球和每个排球各多少元？4.3 筐苹果和 5 筐梨共重 138 千克， 筐同样的苹果和 3 筐同样的共重 134 千克。 5 ，4每筐苹果和每筐梨各重多少千克？5.某食堂第一次运进大米 5 袋，面粉 7 袋，共重 1350 千克；第二次运进大米 3袋，面粉 5 袋，共重 850 千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？6.3 件上衣和 7 条裤子共 430 元，同样的 7 件上衣和 3 条裤子共 470 元。每件上衣和每条棵子各多少元？7.2 千克水果糖和 5 千克饼干共 64 元，同样的 3 千克水果糖和 4 千克饼干共 68元。每千克水果糖和每千克饼干各多少元？8.5 包科技书和 7 包故事书共 620 本， 包科技书和 3 包故事书共 420 本。 6 每包科技书比每包故事书少多少本？9.3 个水瓶和 8 个茶杯共 92 元，5 个水瓶和 6 个茶杯共 102 元。每个水瓶和每个茶杯各多少元？10. 甲有 5 盒糖，乙有 4 盒糕共值 44 元。如果甲、乙两人对换一盒，则每人所有物 品的价值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元？第三讲一般应用题在小学里，通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。 “典型 应用题”5有基本的数量关系、解题模式，较复杂的问题可以通过“转化” ，向基本的问题靠拢。我 们已经学过的“和差问题” 、和“倍差问题”等等，都是“典型应用题”“一般应用题|” 。 没有各顶的数量关系，也没有可以以来的 解题模式。解题时要具体问题具体分析，在认 真审题，理解题意的基础上，理清一知条件与所求问题之间的数量关系，从而确定解题 的方法。对于比较复杂的问题，可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析。 例题与方法 例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重 4 千克，鱼头的重量等于 鱼尾的重量加身一般的重量，而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条 鱼重多少千克？例 2、一所小学的五年级有四个班，其中五（1）班和五（2）班共有 81 人，五（2）班 和五（3）班共有 83 人五（3）班和五（4）班共有 86 人，五（1）班比五（4）班多 2 人。 这所学校五年级四个班各有多少人？例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼，甲钓了 5 条，乙钓了 3 条，吃鱼时，来了一位 客人和甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了 8 角钱作为餐费。问：甲、乙两为渔夫 各应得这 8 角钱中的几角？例 4、一个工地用两台挖土机挖土，小挖土机工作 6 小时，大挖土机工作 8 小时， 一共挖土 312 方。已知小挖土机 5 小时的挖土量等于大挖土机 2 小时的完土量，两种挖 土机每小时各挖土多少方？ 例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时，甲和丙都比乙多拿西瓜 7。 5 千克。结果甲和丙各给乙 1.5 元钱。每千克西瓜多少元|？ 例 6、小红有 一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个。而按6钱数算，5 分币比 2 分币多 4 角。已知这些硬币中有 36 个 1 分币。问：小红的储蓄筒里 共存了多少钱？ 练习与思考 （第 1～4 题 13 分，其余每题 12 分，共 100 分。 ） 1. 有一段木头，不知它的长度。用一根绳子俩量它，绳子多 15 米；如果将绳子对折以后再来量，又不够 04 米。问：这段绳子长多少米？2.甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布，原约定各拿花布同样多。结果甲拿了 6 米，乙拿了 14 米。这样，乙就要给甲 12 元钱。每米花布的单价是多少元？3.甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克。分苹果时，甲和丙都比乙多拿 7。8 千克苹果，这样甲和丙各应给乙 6 元钱。每千克苹果多少钱？4.学校买了 2 张桌子和 5 把椅子， 共付了 330 元 。 每张桌子的价钱是每把椅子的3 倍。每张桌子多少元？5.某校六年级有甲、乙、丙丁四个班，不算甲班，期于三个班的总人数是 131 人，不算丁班，期于三个班的总人数是 134 人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班 的总人数少 1 人，甲、乙丙、丁四个班共有多少人？76.李大伯买了 15 千克特制面粉和 35 千克大米， 共用去 31.2 元。 已知 1 千克特特制面粉的价格是 1 千克大米的 2 倍。李大伯买特制面粉和大米各用去多少元？7.14 千克大豆的价钱与 8 千克花生的价钱相等，已知 1 千克花生比 1 千克大豆贵12 元，大豆和花生的单价各是多少元？8.某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天加工 56 个零件。这样，不仅提前 3 天完成原计划加工凌驾的任务，而求多加工了 120 个零件。这个车间实际加工了多 少个零件？9.用 8 千克丝可以织 6 分米宽的绸 4 米，现在有 10 千克的丝，要织 75 分米宽的绸，可以织几米？|盈亏问题（ 第四讲 盈亏问题（一）盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按 某种标准分，则分配后会有剩余（盈） ；按另一种标准分，又会不足（亏） ，求物品的数 量和分配对象的数量。例如： 小朋友分苹果，如果每人分 2 个，就多余 16 个；如果每人分 5 个， 就缺少 14 个。小朋友有多少个？苹果有多少个？ 比较两次分的结果， 第一次余 16 个， 第二次少 14 个， 两次相差 1+14=30 （个） 。 这是因为第二次比第一次每人多分了 5-2=3（个）苹果。相差 30 个，就说明有 30 ÷3=10（个）小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。例题与方法8例 1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分 3 粒，就会余下糖果 17 粒；如果每人分 5 粒，就会缺少糖果 13 粒。问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果 共有多少粒？例 2、学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果么人搬 5 块，就有两 人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？例 3 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分 18 棵，就会有余下 24 棵；如果每班分 20 棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？练习与思考 1. 小朋友分糖果若每人分 4 粒则多 9 粒；若每人呢分 5 粒则少 6 粒。问：有多少小朋友？有多少粒糖果？ 2. 小朋友分糖果，每人分 10 粒正好分完；若每人呢分 16 粒，则有 3 个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？ 3. 在桥上测量桥高。把绳长对折后垂到水面，还余 4 米；把绳长 3 折后垂到水面，还余 1 米。桥高多少米？绳长多少米？ 4. 某校安排新生宿舍，如果每间住 12 人，就会有 34 人没有宿舍住；如果每间住14 人就会有空出 4 间宿舍。这个学校有多少间？要安排多少个新生？ 5. 在依次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有 2 人擦 4 块，其余的人各擦 5 块，就会多下 12 块玻璃没有人擦；如果么人擦 6 块，刚好擦完。擦玻璃的 同学有多少人？玻璃共有多少块？ 6. 7. 有一个数，减去 3 所的差的 4 倍，等于它的 2 倍加上 36。这个数是多少？ 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买 10 个“冠军”牌足球，还差 42 元；后来他向朋友借了 1000 元，买了 31 个“冠军”牌足球，结果 多了 13 元。体育老师原来身边带了多少元？98.某小学生乘汽车去春游，如果每辆车坐 65 人，就会有 15 人不能乘车；如果每辆车多坐 5 人恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车？有多少个学生？盈亏问题（ 第五讲 盈亏问题（二）上一讲，我们讲了盈亏问题的一般情形，也就是在量词分配中恰好洋盈（多余） ， 一次亏（不足） 。事实上，在许多问题里，也会出现两次都是盈（多余） ，或者两次都是 亏（不足）的情况。 例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人 9 支缺 15 支；每人 7 支就缺 7 支。问： 三好学生有多少人，铅笔有多少支？ 例 2、某小学的部分同学外出参观，如果每辆车坐 55 人就会余下 30 个座位；如果每 辆车坐 50 人，就还可以坐 10 人。有多少辆车？去参观的学生多少人？ 例 3、学校规定上午 8 时到校。王强上学去，如果每分钟走 60 米，可以提早 10 分钟 到校；如果每分钟作呕 50 米可以提早 8 分钟到校。问：王强什么时候离开家？他家离学 校多远？ 练习与思考 （第 1～4 题 13 分，其余每题 12 分，共 100 分。 ） 1. 同学们打羽毛球，每两人一组。每组分 6 个羽毛球，少 10 个球；每组分 4 个羽毛球，少 2 个球。问：共、有多少个同学打球？有多少个羽毛球？ 2. 学校将一批钢笔奖给三好学生，每人 8 支缺 11 支；每人 7 支缺 7 支。问：三好学生有多少人？钢笔有多少支？ 3. 某小学的部分学生去春游，如果每辆车坐 50 人，就会余下 30 个座位；如果每辆车坐 40 个人，还可以坐 10 人。问有多少辆车？去春游的学生多少人？ 4. 一筐苹果分给一个小组，每人 5 个剩 16 个；每人 7 个缺 12 个。这个小组有多少人？共有多少苹果？ 5. 一些学生分练习本。其中两人每人分 6 本，其余每人分 4 本，就会多 4 本；如果有一人分 10 本，其余每人分 6 本，就会少 18 本。学生有多少人？练习本多少本？106.一个学生从家到学校，先用每分 50 米的 速度走了 2 分，如果这样走下去，他会迟到 8 分；后来他改用每分 60 米的速度前进，结果早到学校 5 分。这个学生家到学校 的路程是多少米？ 7. 筑路对计划每天筑路 720 米，实际每天比原计划多筑 802 米，这样，在规定完成任务时间的前 3 天，就只剩下 1160 米未筑。这条路多长？ 8. 老师给幼儿园小朋友分苹果。每 2 人 3 个苹果，多 2 个苹果，每 3 人 5 个苹果，少 4 个苹果。问：有多少小朋友？多少苹果？第六讲 流水问题想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡，与从长江三峡顺水而下回南京，哪个 花的时间少？哪个花的时间多？为什么？ 原因很简单。在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的，因为长江的水是 一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的，船的速度会受到江水的影响。而在平静 的湖水中行船时，船的速度不会受到水流的影响。考虑船在水流速度的情况下行驶的问 题，就是我们这一讲要讲的流水问题。 船在顺水航行时（比方说，从长江三峡顺流而下到南京） ，船一方面按照自己本身的 速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶，同时整个水面又按照水的流动速度在前进， 水推动着船向前，所以，船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和。 也就是 顺水速度=船速+水速 比方说，船在静水中行驶 10 千米，水流速度是每小时 5 千米，那么，船顺水航行 的速度就是每小时 10+5=15（千米） 。 同学们可以想一想，上面的问题中，如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答 案又该怎么样呢？船逆水行驶，情况恰好相反。本来船每小时行驶 10 千米，但由于水每 小时又把它往回推了 5 千米，结果船每小时只向上游行驶了 10―5=5（千米） 。 也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差。即11逆水速度=船速―水速 例1、 一艘每小时行驶 30 千米的客轮， 在一河水中顺水航行 165 千米， 水速每小时 3 千米。问：这艘客轮需要航行多少小时？ 例2、 一艘船顺水行 320 千米需要 8 小时， 水流速度是每小时 15 千米， 这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程，需要多少小时？ 例3、 甲船逆水航行 360 千米需要 18 小时，返回原地需要 10 小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要 15 小时，返回原地需要多少小时？练习与思考1.一只小船以每小时 30 千米的速度在 176 千米长的河中逆水而行， 用了 211 小时。这只小船返回原处需要用多少小时？ 2. 船在静水中的速度是每小时 25 千米， 河水流速位每小时 5 千米， 一只船往返甲、乙两港共花了 9 小时，两港相距多少千米？ 3. 两地距 280 千米，一艘轮船在期间航行，顺流用去 14 小时，逆流用去 20 小时。求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度。 4. 一架飞机所带的燃料，最多可以用 6 小时，飞机去是顺风，每小时可以飞 1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞 1200 千米。这架飞机最多飞出多少千米，就需要往回 飞？ 5. 乙船顺水航行 2 小时，行了 120 千米，返回原地用了 4 小时。甲船顺水航行同一段水路，用了 3 小时。甲船返回原地比去时多用多少小时？第七讲 等差数列12（1）1，2，3，4，5，6，7，8，… （2）2，4，6，8，10，12，14，16，… （3）1，4，9，16，25，36，49，… 上面三组数都是数列。 数列中称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项……以此类推， 最后一个数叫做这个数列的末项。项的个数叫做项数。 一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫 等差数列。后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。 如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。首项是 4，末项是 28，共差是 3。 这一讲我们学习有关等差数列的知识。 例题与方法 例1、 例2、 在等差数列 1，5，9，13，17，…，401 中 401 是第几项？ 100 个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多 3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是 300，小明报的 数是几？ 例3、 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有 5 根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28 层。最下面一层有多少根？ 例4、 例5、 例6、 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？ 求 100 以内所有被 5 除余 10 的自然数的和。 小王和小胡两个人赛跑，限定时间为 10 秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑 1 米，以后每秒都比以前一秒多跑 0.1 米，小胡自始至终每秒跑 1.5 米，谁能 取胜？ 练习与思考 （每题 10 分，共 100 分。 ） 1. 2. 数列 4，7，10，……295，298 中 298 是第几项？ 蜗牛每小时都比前一小时多爬 0.1 米， 10 小时蜗牛爬了 1.9 米， 第 第一小时蜗13牛爬多少米？ 3. 4. 5. 6. 7. 在树立俄，10，13，16，…中，907 是第几个数？第 907 个数是多少？ 求自然数中所有三位数的和。 求所有除以 4 余 1 的两位数的和。 0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99 的和是多少？ 梯子最高一级宽 32 厘米，最底一级宽 110 厘米，中间还有 6 级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米？ 8. 9. 有 12 个数组成等差数列，第六项与第七项的和是 12，求这 12 个数的和。 一个物体从高空落下，已知第一秒下落距离是 4.9 米，以后每秒落下的距离是都比前一秒多 9.8 米 50 秒后物体落地。求物体最初距地面的高度。 10. 求下面数字方阵中所有数的和。 1，2，3，…，98，99，100 2，3，4，…99，100，101 3，4，5，…，100，101，102 …… 100,101,102, …197,198,199第八讲 找规律你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 8，15，22， ） （ ，36，…； 17，1，15，1，13，1， ）（ ） （ ， ，9，1，…； 45，1，43，3，41，5， （ ） （ ） ， ，37，9，…；1，2，4，8，16， ） （ ，64，…； 10，20，21，42，43， ）（ （ ， 1，2，3，5，8，13，21， （ ） ，174，175，…；） ，55。例1. 1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，6，7，…从第一个数算起，前 100 个14数的和是多少？ . 练习与思考 （第 1 题 30 分，其余每题 10 分，共 100 分。 ） （ 1） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 2. 找规律，在括号内填上合适的数。 1,3,9,27,( ),243; ),37;2,7,12,17,22,( ),( 1,3,2,4,3,( ),4;0,3,8,15,24,( ) ,.48; 6,3,8,5,10,7,12,9,( 2,3,5,( ),11;),( ),17,23;81,64,（ ） ，36， ） （ ，16，9，4，1； 21，26，19，24， ）（ ） （ ， ，15，20； 1，8，9，17，26， ） （ ，69； 4，11，18，25， ） （ ，39，46；一串数按下面规律排列：1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，… 从第一个数算起，前 100 个数的和是多少？ 3. 有一串黑白相间的珠子（如下图） ，第 100 个黑珠前面一共有多少个白珠？4. 5. 6.在平面中任意作 100 条直线，这些直线最多能形成多少个交点？ 在平面中任意作 20 条直线，这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？序号1234515算式 序号 算式1+1 6 3+112+3 7 1+133+5 8 2+151+7 9 3+172+9 … …根据上面的规律，第 40 个序号的算式是什么？算式‘1+103“的序号上多少？ 7. 小正方形的边长是 1 厘米，依次作出下面这些图形。已知第一幅图的周长是 10 厘米。 （1）36 个正方形组成的图形的周长是多少厘米？ （2）周长是 70 厘米的图形，由多少个正方形组成？ 已知第一幅图的周长是 10 厘米。 （ 1） （ 2） 8 36 个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？ 周长是 70 厘米的图形，由多少个正方形组成？在方格纸上画折线 （如本讲例 4 图） 小方格的边长是 1， ， 图中的 1， 3， … 2， 4，分别表示折线扩大第 1，2，3，4，…段。求折线中第 100 段的长度。长度是 30 的是第 几段？ 能力测试（一） 能力测试 一、 填空题（每空 3 分，工 39 分） 。 1. 在下面的括号里按照规律填上适当的数字。 1，2，3，4，8，16， ） （ ，64，128。 5，10，15，20，25， ） （ ，35，40。 4，7，10，13，16， （ ） ，22，25。（1） （2） （3） （4） （5） （6）1，1，2，3，5，8，13，21， ） （ ，256， ） （ ，64，32，16，8，4。 2，5，11，20，32， （ ） ，65，86。16（7） （8） 1.1，3，2，4，3，5， （） ，6，5。1，4，9，16，25， ） （ ，49，64。 ）页；照这样计算，59 个人 9 天共读书 1620 页，平均 1 个人 1 天共读书（个同学 5 天读书（ ）页。 2. 3. 如果平均 1 个同学 1 天植树（ ）棵，那么，3 个同学 4 天共植树 120 棵。 买 3 只足球和 9 只篮球共用了 570 元，买 9 只足球和 27 只篮球要用（ ）元。。 二、 计算题（每小题 5 分，共 10 分） 1. 2. 2+4+6+8+10+ … +22+24+26 1+2+3+4+5+6+ … +98。 三、 应用题（第 1～4 题 10 其余每题 10 分，第 5 题 11 分，共 51 分） 1. 李老师将一叠练习本分给第一组的同学，如果每人分 7 本，还多 7 本。如果每人分 9， 那么有一个同学译本也分不到。 第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？ 2. 一只小船在河中逆流航行 176 千米，用了 11 小时。一知水流速度是每小时 4千米，这只小船返回原处要用多少小时？ 3. 4 只篮球和 8 只足球共买 560 元，6 只篮球和 3 只足球共买 390 元。问：一只篮球和一只足球各买多少元？ 4. 有 10 元钞票与 5 元钞票共 128 张，其中 10 元比 5 元多 260 元。两种面额的钞票各 是多少张？ 5. 下面是一种特殊数列的求和方法。要求数列 2，4，8，16，32，64，… ， 的和，方法如下： S = 2+4+8+16+32+64+ … + 2S = 4+8+16+32+64+ … +96 用下面的式子减去上面的式子，就得到 S =4096 C 2 = 4094 即数列 2，4，8，16，32，64，… ， 的和是 4094。 仔细阅读上面的求和方法，然后利用这种方法求下面数列的和。171，3，9，27，81，243，…，1441。第九讲 加法原理在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题， 我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理， 不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识 打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京 到上海有 4 班火车、6 班汽车，3 班轮船、2 班飞机。那么一天中乘做这些交通工具 从南京到上海共有多少种不同的走法？ 我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京 到上海，乘火车有 4 种走法，乘汽车有 6 种走法，乘轮船有 3 种走法，乘坐飞机有 2 种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有 4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。 我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的 方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即 N = m1 + m2 + … + mn (N 代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, … mn 表示每一类完成 工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。例1 书架上有 10 本故事书，3 本历史书，12 本科普读物。志远任意从书架上 取一本书，有多少种不同的取法？例 2 一列火车从上上海到南京，中途要经过 6 个站，这列火车要准备多少中不 同的车票？18例 3 在 4 x 4 的方格图中（如下图） ，共有多少个正方形？例 4 妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考1.从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有 2 班，火车有4 班，甲城到乙城共有（ ）种不同的走法。2.一列火车从上海开往杭州，中途要经过 4 个站，沿途应为这列火车准备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。4. 5.图中共有_____个角。 书架上共有７种不同的的故事书， 中层６本不同的科技书， 下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。 6. 平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上） ，经过每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。 7. 图中共有_____个三角形。198. 9.图中共有____个正方形． 从 2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数． （包括Ａ站和Ｆ站） 铁路局要为在 10. 某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站 Ａ站到 F 站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有 _____种。第十讲 乘法原理上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理” 。什 么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题： 从甲地到乙地有 3 条不同的道路，从乙地到丙地有 4 条不同的道路。从甲地 经过乙地到丙地，共有多少种走法？ 我们这样思考： 从甲地到乙地的 3 条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地， 再从乙地大丙地的 4 条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地， 那么， 从甲地到乙 地的 3 条道地第一条到达乙地后， 可以走从乙地到丙地的任意一条路， 这样就有了 4 种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到 丙地的 4 条路中任选一条到丙地，如图所示：20从图中可以看出，从甲地到丙地共有 3 X 4 =12（种）走法。 如果完成一件事 完成第二步有 m2 种不同的方法， … 情需要几个步， 完成第一步有 m1 种不同的方法， 那么，完成这件工作共有 N = m1 x m2 x m3 x … x mn 种不同的方法。这就是乘法 原理。 例1 书架上有 4 本故事书，7 本科普书，志远从书架上任取一本故事书和一本 科普书，共有多少种不同的取法？ 例2 从 2、3、5、7、11 这五个数字中每次取出 2 个数字，分别作为一个分数 的分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？ 例3 用 9、8、7、6 这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位 数的和是多少？ 例4 如图，A、B 、C、D 四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种 染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？ A B C D例5 如图，小明家到学校有 3 条东西向的马路和 5 条南北向 的马路。他每天21步行从家到学校（只能向东或向南走） ，最多有多少种不同的走法？小明家学校 练习与思考 1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有 3 条路可走，从甲地经乙地到丙地 共有 种走法。2.书架的上、中、下层各有 3 本、5 本、 本故事书。若要从每层书架上任取 、4 一个本书，共有 种不同的取法。 个没有重复数字的三位数。3.有 1，2，3，三数字，一共可以组成4.两个班级进行乒乓球比赛， 每班选 3 人， 每人都要和对方的每个选手赛一场， 一共要赛 场。 个5.从 5，7，11，13 这四个数中每次取 2 个数组成分数，一共可以组成 分数，其中真分数有 6.图中一共有 个。 个不同的长方形。7.一个口袋里装有 5 个小球，另.一个口袋里装有 4 个小球。这些小球的颜色 互不相同。 （1） 从两个口袋里任意取一个小球，有 （2）从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法。 种不同的取法。8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每22次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可 以表示 种不同的信号。 个没有重复数字的三位数。9.用 0 到 9 这十个数字可以组成第十一讲 周期问题（一） 十一讲 周期问题（世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。可这貌似“杂乱无章”的世界 却受到各式各样的规律支配着。 在这些规律中， 有一种最常见的规律就是从形形色 色的周期现象中提炼出来的规律。 如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈 现原俩的状态。我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。例如，在自然 数列中，各位数字变化的周期是 10；星期日出现的周期是 7（天） ；用动物记年的 走器是 12（年）等等。 在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。解答这类问题， 要抓住一下几点： 1. 2. 找出规律，发现周期现象。 把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题解决。例1 有 249 朵花，按 5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后 一朵是什么颜色的花？这 249 朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？ 例2 1997 年元旦是星期三，那么，同年 12 月 1 日是星期几？ 例3 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿 灯各一盏。那么，第 80 盏灯应是什么颜色的？ 例4 71998表示 1998 个 7 连乘，它的结果末位上的数字是几？例5 下面是一个 11 位数，每 3 个相邻数字之和都是 17，你知道“？”表示的 数字是几吗？23思考与练习 1. 把 1\7 化成小数，请回答： （1）小数点后面第 80 个数字是几？ （2）小数点后面前 80 个数字的和是多少？ 2. 把 1\81 化成小数后，小数点后面 100 位数字之和是多少？ 3. 今天是星期一，从明天开始第 1800 天是星期几？ 4. 有同样大小的红珠、白珠、黑株共有 160 个？按 4 个红株，3 个白株，2 个 黑株的顺序排列着。黑株共有几个？第 101 个株子是什么颜色？ 5. 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动 物按顺序轮流代表各年号。如果 1940 年是龙年，那么，1996 年是什么年？ 6. 科学家进行一项试验，每隔 6 小时做一次记录。第 10 次记录时，挂钟的时 针恰好指向 7，问：做第几一次记录时，时针指向几？ 7. 12415 表示 15 个 124 连乘，所得积的末位数字是几？ 8. 下面是一个 11 位数，每三个相邻数字之和都是 15，你知道问好表示的数字 是几吗？这个 11 位数水多少？ 8 ？15第十二讲 周期问题（二） 十二讲 周期问题（他们呢依次围成月毫个源泉做游戏。 现在 例1 有 13 名小朋友编成 1 到 13 号， 从 1 号开始，每数到第 3 个人发一粒糖（每人只拿一次糖） 。那么，最后一个拿到 糖的小朋友是几号？ 例2 紧接着 1998 后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘 积的各个位数。例如，9 X 8 =72 。在 8 后面写 1，8，X 2 = 16，在 2 后面写6，……得到一串数：199826……这串数字从 1 开始往右数，第 1998 个数字是几？24例3 把自然数按下表规律排列后，可分成 A、B、C、D、E 五类，例如，3 在 C 类，10 在 B 类。那么 985 在哪一行，哪一类？ A 1 B 2 8 9 0 … 1 1 … C 3 7 1 2 … 3 … … … … 1 D 4 6 1 5 E《现在有一个小球， 第一天从 1 号顺时针前 例4 把 1 至 8 个数码摆成一个圆圈 进 203 个位置， 第二天再顺时针前进 335 个位置， 第三天又顺时针前进 203 个位置， 第四天再舒适镇前进 335 个位置， 第五天又顺时针前进 203 个位置……试问： 至少 经过几天后，小球又回到 1 号位置？，第二 例5 下表中，将每列上下两个汉字组成一组，例如，第一组为（学做） 组为（习接） 。那么第 649 组是什么？ 学 做 习 接 好 班 学 人 习 做 好 接 学 班 习 人 好 做 … …例6 在一根长 100 厘米的木棍上， 自左至右每隔６厘米染一个红点， 同时自右 至左每隔５厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度是 1 厘米的短木棍有多少根？25练习与思考 （第 1～4 题每题 17 分，其余每题 16 分，共 100 分。 ） 1. 有 a、b、c、d 四条直线（如图） ，从直线 a 上开始，按箭头方向从 1 开始依次在 a、b、c、d 上写自然数 1，2，3，4，5，6，…（1） （2） 2106 在哪条线上？ 直线 a 上第 56 个数是多少？.在一列数 2，9，8，2，…从第三个数起，每个数都是它前面两个数成积的个位数。比如，第三个数 8，是前两个数的积 2 X 9 =18 的个位数字。这一列 数的第 180 个数是几？3.将奇数 1，3，5，7，…依次排成五列（如图） ，把最左边的一列叫做第一列， 从左到右依次将每列写上数。1997 出现在哪一列？ 1 3 1 5 1 7 9 3 1 1 2 3 2 3 2 2265 1 17 1 921 …9754.把 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上 1 到 16 号。现在有一个人从第一号椅 子顺时针前进 213 把椅子，再逆时针前进 285 把椅子，又顺时针前进 213 把椅子， 再逆时针前进 285 把椅子，又顺时针前进 12 把椅子，这时他到了第几号椅子？5.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组，例如，第一组是（我 A） ，第二 组是（们 B） ，… 我 A （3） （4） （数 D）代表 1979 年，…那么，2000 年将对应 （2） 如果（爱 C）代表 1978 年， 哪一组？ 们 B 爱 C 数 D 学 A 我 B 们 C 爱 D 数 A 学 B 我 C … …第 82 组是什么？6在一根长 80 厘米的木棍上，自左至右每隔 5 厘米染上一个红点，同时自右至左每隔 4 厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是 1 厘米的短木棍有多少根？第十三讲 十三讲巧算（ 巧算（一）德国大教育家高斯（）读小学的时候，有一天，老师出了这样一道 题： 1+2+3+…+99+100 的和是多少？ 老师刚把这道题说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案 5050，这令班上的同27学吃惊不已。 原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。 后来人们称这种计算方 法为“高斯原理” 。 同学们一定想提高自己的计算能力，使自己计算时算得又快又巧。这一讲，我 们学习整数的巧算，也就是根据数的 点，数的排列规律，巧妙地运用运算定律或 性质，使计算简便。 例题与方法 例 1．计算（1+3+3+…+1999）-（2+4+6+…+1998）例 2．计算 9+3例 3．计算 ×321*321*455例 4．计算 345522例 5．9=3×3，16=4×4，这里“9”和“16”都叫做“完全平方数” 。在前 300 个自然数中， “完全平方数”的和是多少？练习与思考 1．计算 1+2+3+…+199+2002．计算 100+99-98+97-96+…3-2+1283．计算 81+4．计算 80-1975+…+20-15+10-55．计算 999+99+9+6．计算 37．计算 +8．计算 -9．计算 910．计算 333333211．已知数列 1，4，7，10，… （1）这列数的第 21 项是多少？（2）118 是这列数中的第几个数？2912．在前 200 个自然数中，去掉所有的“完全平方数” ，剩下的自然数的和是 多少？ 13．计算 14．计算 20 -19 +18 -17 +…+2 -122222215．计算 98-97第十四讲 十四讲巧算（ 巧算（二）上一讲我们学习了整数的巧算，这一讲我们学习小数的巧算。 例 1．计算 578.47-4.62-78.47-3.38例 2．计算 0.-0.例 3．计算 3.6×31.4+43.9×6.4例 4．7.37×12.5×0.15×16例 5．计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.9930例 6．计算（）÷（）练习与思考 用简便方法计算下面各题。 1． 15.4-2.17-3.83+4.62.25.6-(0.23+5.6)-51.73.146.95-48.3-6.95-51.74.12.5×0.64×2.55.36.3×4.5+6.37×456.1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.57.0.876+0.765+0.654+0.543+0.432318.36×2.54+1.8×49.29.5.76×1.1+57.7×0.8910.() ÷()11.16.15÷1.8+1.85÷1.812.(4.8+3.6+2.4+1.2) ÷1.813.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.114.0.+0.1111×215.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)32第十五讲 十五讲数阵问题（一） 数阵问题（把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中，这样的图形 叫做数阵图。 传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河里浮出其不意一 只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书” ，书上有一幅奇特的图案（见下左图） 。4 3 89 5 12 7 6这幅图用现在的数字表示，即为 1 到 9 这九个数字，填在九个格子里，每一纵 列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是 15（见上右图） 。多么巧妙、 奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图” ，国外称它为“魔 方”或“幻方” 。我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。 数阵问题的题型主要有三种： （1）辐射型； （2）封闭型； （3）综合型。 这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。 例题与方法33例 1．将 1～9 九个数字填在右图正方形的九个方格 中，使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。5例 2．用 7、9、11、13、15、17、19、21、23 构制一个三阶幻方。例 3． 下面是一个九宫图， 第一行第三列上的数是 6， 第二行第一列上的数是 7， 请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为 30。 6 7例 4．把 3、4、5、6、7 这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖 列三个数的和都是 14。例 5．将 1～7 分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。34例 6．把 1～9 九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是 13。练习与思考 1．按四个填数步骤把 4～12 这 9 个数填在右图 3×3 的格内，制成三阶幻方。2．用“杨辉法” ，将 9～17 这 9 个数制成三阶幻方。3．用 11，13，15…，25，27 这 9 个数制一个三阶幻方。4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28 制一个三阶幻方。5．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的数的和都为 27。3512 1314 14 1424 24 2419 19 19第5题第6题6．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。 7．将 5，6，7，8，9 五个数分别填入图中，使横行、竖行三个数的和都是 21。8．将 3～9 这 7 个数填入图中的○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。 9．将 1～13 这 13 个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内的数的和 相等。10．将 1～6 这六个数分别填入图中的○内，使每条直线上三个○内所填数的 和相等。 11．将 1～8 这八个数填入方格内，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、36中间四格、对角线和四角四格内四个数相加的和都是 18。12．将九个不同的自然数填入九宫图中，使得每行、每列、每条对角线上三个 数的积都相等。第十六讲 十六讲数阵问题（ 数阵问题（二）上一讲我们学习了三阶幻方数阵图的辐射数阵图，这一讲我们学习封闭型数阵 图和复合型数阵图。 例 1． 1～6 这六个数分别填入图中的○内， 将 使每条边上 三个○内的数字之和相等。例 2．将 5～14 这十个自然数填入右图中的○内， 使每个大圆上六个数的和是 55。例 3．将 1～10 这十个自然数分别填入图中的十个○内，使 各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内 数的和也相等。37例 4．把 0～9 这十个整数分别填入右图圆圈中，使每个正方形顶点上四个数字 之和相等。练习与思考 1．将 5～10 这六个自然数分别填入图中的○内，使图中每条边上三个数 的和都是 21。2．将 1―10 这十个自然数填入图中的○内，使五边形每条边上的三个数之和 相等，并使和尽可能地小。 3．将 1―9 这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，使每 4 个小三角形组 成的三角形内的 4 个数的和等于 20。4．将 1―9 这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，要求靠近三角形每条 边上五个数的和相等，并尽可能地大。这五个数之和最大是多少？385．将 1―8 这八个自然数分别填入图中的○内，使每个大圆上五个○内所填数的和等于 21。6．将 3―10 这八个自然数填在图中立方体八个顶点上的○中，使立方体每个面四个顶点上○中数的和相等。7．将 1―9 这九个自然数填入图中的○内，使对角结上五个○内数的和相等， 每个正方形四个顶点上数的和也相等。8．如图，三个正方形组成八个三角形。现在把每个正方形的四个顶点上都分 别填上 2，3，4，5 这四个数。这连续的八个自然数各是多少|9．如图，三个圆相互交割成七部分，请在空白部分中分别五上 2，3，5，7，39使每个圆圈内四个数之和都等于 15。10．上右图是五圆连环图，相互交割成九个部分。将 1―9 这九个自然数分别 填入九个部分内，使每个圆圈里数的和都相等。 11．下左图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段。请你把 1―9 这 九个自然数分别填在九个黑点的旁边， 使每个正三角形顶点上三个数的和相等， 每条线段上四个数的和也相等。12．将 1―16 这 16 个自然数填入图中的 16 个圆圈内，使每条线段上四个圆圈40内数的和相等，两个八边形顶点上的数的和也相等。能力测试（ 能力测试（二） 一、计算（每小题 4 分，共 32 分） 。 1．9+99+999++．94+1992+…+4+2 3．1.999+2.998+3.997+4.996+…+999.001 4.2.19+6.48+0.51-1.38-5.48-0.62 5.0.6×1.6+0.6×26.4+0.6×2 6.7.5×45+17×2.5 7.+19.98++1.998+0.×32-68×95 二、解答下面和问题 1．下面是一个没有写完成的算式，请你在等式左边的数字之间插入一些括号 和运算符号，使等式成立。 （在两个相连数之间，如果没有插入括号或运算符号， 就应看成是两位数。比如 1 和 2 之间不加括号或运算符号，就看成是 12。 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9=722．0，1，2，3 四个数字，共能组成多少个各位数字不同的四位数？413．把元钱换成角票，共有几种换法？（人民币中的角票有五角、二角、一角 三种。 ）4．在下面和空格中填上 1，2，3，4，5，6，7，8，9，使得每行、每列、两条 对角线上的三个数之和都相等。5．1998 个 1998 相乘，结果的末位数字是多少？ 6．下面写了一串数： 0，1，6，7，12，13，18，19，… 按照这个规律写下去，第 1998 个数被除余多少？ 7．下面图中，从左向右、从上到下读“我们爱数学” ，共有多少种读法？ 我 们 爱 们 爱 数 爱 数 学8.在自然数中，从 1998 开始往后数，第 1998 个不能被 7 整除的数是多少？第十七讲 十七讲平面图形的计算（ 平面图形的计算（一）在这两讲，我们主要讨论这样的问题：根据已知平面图形的特点以及图中各部 分之间的关系，应用公式或其他数量关系，计算出该图形（或其中某个部分）的面42积或图形中有关线段的长度。 到目前为止，我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这 五咱简单图形，它们的概念、性质（特征）与它们的周长、面积的意义的计算公式， 课本上都作了介绍。这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。 例题与方法 例 1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面 积。 （单位：厘米）例 2．计算右图的面积。 （单位：厘米）例 3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6 厘米，CD=5 厘米，AF=4 厘米，并且有两个直角。求四边形 ABCD 的面积。例 4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。 （单 位：分米）例 5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10，中间有两条道43路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多 大？（单位：米）练习与思考 1．求图中阴影部分的面积。2．求图中阴影部分的面积。 3．下左图的长方形中，三角形 ADE 与四边形 DEBF 和三角形 CDF 的面积分别相 等，求三角形 DEF 的面积。444．四中平等四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘米，已知阴影部分的面积比三 角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求 CF 的长。5．图中三角形的高为 4，面积为 16；长方形的宽为 6，长方形的面积是三角形 面积的多少倍？6．如图，长方形的长是 8，宽是 6，A 和 B 是宽的中点，求长方形内阴影部分 的面积。7．如图，BC 长为 5，求画斜线的两个三角形的面积之和。8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴45影部分的面积。9．右图是一块长方形草地，长方形长为 16，宽为 12，中间有一条宽为 2 的道 路，求草地（阴影部分）的面积。第十八讲 十八讲平面图形的计算（二） 平面图形的计算（例 1．一个正方形，如果它的边长增加 5 厘米，那么，所成的正方形比原来 正方形的面积多 95 平方厘米。原来的正方形的面积是多少平方厘米？例 2． 右图中由 9 个小长方形组成的一个大长方形。按图中的编号，1 号、2 号、3 号、4 号、5 号长方形的面积依次为 1 平方厘米、2 平方厘米、3 平方厘米、 4 平方厘米、5 平方厘米。求 6 号长方形的面积。 1 2 4 35646例 3．右图中三角形 ABC 为等边三角形，D 为 AB 边上的中点。已知三角形 BDE 的面积为 5 平方厘米。求等边三角形 ABC 的面积。例 4． 右图中长方形的长为 12 厘米， 宽为 6 厘米。 把它的长 3 等分， 2 等分， 宽 然后在长方形内任取一点，把这一点与分点及顶点连结（如图） 。求图中阴影部分 的面积。例 5．把一块边长为 9.5 分米的正方形钢板切割成两条直角边分别为 4.5 分米 的直角三角形小钢板，最多可以切割成多少块？练习与思考 1．有四个完全一样的直角三角形，它们的两条直角边分别是 7 厘米、5 厘 米。把它们拼成下左图图的正方形，求大、小两个正方形的面积。第2题 2．上右图中，大、小两个正方形对应边的距离均为 1 厘米。已知两个正方形 之间部分的面积是 20 平方厘米，求小正方形的面积。473．求下左图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）4．上右图中，长方形的周长是多少厘米？（单位：厘米）5．下左图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？（单位： 厘米）6．求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 7．如图，在腰长为 10 厘米，面积为 34 平方厘米的等腰三角形的底边上任意 取一点，设这个点到两腰的垂线段分别长 a 厘米和 b 厘米，那么，a+b 的长度是多 少厘米？8．一个正方形，面积为 18.75 平方厘米。在正方形内有两条平行于对角的线48段把正方形分成 3 等份（如图） 。图中线段 AB、CD 各长多少厘米？9．如图，在梯形 ABCD 中，BO 的长度等于 DO 长度的 2 倍，阴影部分的面积是 4 平方分米。求梯形 ABCD 的面积。10．在等腰三角形 ABC 中，AB 的长度是 AC 2 倍， 如果这个等腰三角形中的周长是 200 厘米， 么，BC 长多少厘米？的 那11．一个梯形，它的下底是上底的 2 倍。如果上底延长 7 厘米，就形成一个面 积是 42 平方厘米的平行四边形。这个梯形的面积是多少平方厘米？ 12．一个直角梯形的周长是 48 厘米，两底之和是两腰之和的 4 倍，一条腰的 长度是另一条腰的 1.5 倍。还应这个梯形的面积。 13．一个长方形，如果长增加 2 厘米，宽增加 5 厘米，那么，面积增加 60 平 方厘米，这时恰好成为一个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米？第十九讲 十九讲列方程解应用题（ 列方程解应用题（一）列方程解应用题是小学数学的一项重要内容，是一种不同于算术解法的新的解 题方法。 传统的算术方法，要求用应用题里给出的已知条件，通过四则运算，逐步求出 未知量。而列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系，列出含有未知 数的等式，也就是方程，然后解出未知数的值。它的优点在于可以使未知数直接参 加运算。 列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立49方程。 而找出等量关系， 又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。 掌握了这两点， 就能正确地列出方程。 列方程解应用题的一般步骤是： 1．弄清题材意，找出未知数，并用 x 表示； 2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程； 3．解方程； 4．检验，写出答案。 例题与方法 例 1．一个数的 5 倍加上 10 等于它的 7 倍减去 6，求这个数。 例 2．两块地一共 100 公顷，第一块地的 4 们比第二块地的 3 倍多 120 公顷。 这两块地各有多少公顷？ 例 3．琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班，一班人数是三班人 数的 1.12 倍，二班比三班少 3 人，三个班共有 153 人。三个班各有多少人？ 例 4．被除数与除数的和是 98，如果被除数与除数都减去 9，那么，被除数是 除数的 4 倍。求原来的被除数和除数。 练习与思考 1．列方程解应用题，有时要求的未知数有两个或两个以上，我们必须视 具体情况，设对解题有利的未知数为 x，根据数量关系用含有 x 的式子来表示另一 个未知数。 2．篮球、足球、排球各 1 个，平均每个 36 元。篮球比排球贵 10 元，足球比 排球贵 8 元。每个排球多少元？ 3.一次数学竞赛有 10 道题，评分规定对一道题得 10 分，错一题倒扣 2 分。小 明回答了全部 10 道题，结果只得了 76 分，他答对了几道题？ . 5．拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层，一共有 245 本书。上层每天 借出 15 本，下层每天借出 10 本，3 天后，上、下两层剩下图书的本数一样多。上、50下两层原来各有图书多少本？ 6．甲、乙、丙三个数的和是 166，已知甲数除以乙数，乙数除以丙数都是商 3 余 2，甲、乙、丙三个数各是多少？ 7．玲玲今年 11 岁，爷爷今年 74 岁。再过几年，爷爷的年龄是玲玲年龄的 4 倍？ 8.甲、乙两个养鸡专业户，一共养鸡 3000 只。乙养鸡专业户卖掉 800 只鸡后， 甲养鸡专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的 3 倍。 甲、 乙两个养鸡专业户 原来各养鸡多少只？第二十讲 二十讲列方程解应用题（ 列方程解应用题（二）这一讲我们继续学习列方程解应用题。列方程解应用题，关键是掌握分析问题 的方法，对应用题中数量关系分析得越深刻，所列的方程就越优化，解答起来就越 方便。 例题与方法 例 1．六（1）班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。如果每人出 6 元， 则多 48 元；如果每人出 4.5 元，则少 27 元。求六（1）班学生人数。 例 2．五老村小学体育器材室里的足球个数是排球的 2 倍。体育活动课上，每 班借 7 个足球，5 个排球，排球借完时，还有足球 72 个。体育器材室里原有足球、 排球各多少个？ 例 3．甲、乙、丙、丁四人共做零件 325 个。如果甲多做 10 个，乙少做 5 个， 丙做的个数乘以 2，丁做的个数除以 3，那么，四个人做的零件数恰好相等。问： 丁做了多少个？ .练习与思考 1．妈妈买回一箱库尔勒香梨，按计划天数，如果每天吃 4 个，则多出 2451个香梨；如果每天吃 6 个，则又少 4 个香梨。问：计划吃多少天？妈妈买回香梨多 少个？ 2．一架飞机所带的燃料最多可以用 9 小时，飞机去时顺风，每小时可飞 1500 千米；返回时逆风，每小时可以飞 1200 千米。这架飞机最多飞出多少千米，就需 要往回飞？ 3．某商店库存的花布比白布的 2 倍多 20 米每天卖出 30 米白布和 40 米花布， 几天以后，白布全部卖完，而花布还剩下 140 米。原来库存这两种布共多少米？ 4．一条大鲨鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一 半。这条大鲨鱼全长是多少米？ 5．甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，途中丙与乙相遇 2 分后又遇到甲。如果每分甲行 50 米，乙行 60 米，丙行 70 米，问：乙比甲早多少 分到西镇？ 6．供销社张叔叔买回一批酒精，放在甲、乙两个桶里，两个桶都未装满。如 果把甲酒精倒入乙桶，乙桶装满后，甲桶还剩下 10 升；如果把乙桶酒精全部倒入 甲桶，甲桶还能再盛 20 升。已知甲桶容量是乙桶的 2.5 倍，张叔叔一共买回多少 升酒精？ 7．一个两位数十位止的数字比个位上的数字扩大 4 倍，个位上的数字减去 2， 那么，所得的两位数比原来大 58。求原来的两位数。 8．如右图，正方形 ABCD 的边长是 8 厘米，三角形 ADF 的面积比三角形 CEF 的 面积小 6 平方厘米。求 CE 的长。第二十一讲 二十一讲行程问题（ 行程问题（一）讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。 行程问题的主要数量关系是：52路程=速度×时间 如果用字母 s 表示路程，t 表示时间，v 表示速度，那么，上面的数量关系可 用字母公式样表示为：s=vt。 行程问题内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几物体的 运动两大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。 这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。 例题与方法 例 1．小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分。如果他往返 都坐车，全部行程需 30 分。如果他往返都步行，需多少分？ 例 2．甲、乙两城相距 280 千米，一辆汽车原定用 8 小时从甲城开到乙城。汽 车行驶了一半路程，在中途停留 30 分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么， 在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少？ 例 3．一列火车于下午 1 时 30 分从甲站开出，每小时行 60 千米。1 小时后， 另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午 6 时两车相员。甲、乙两站相距多 少千米？ 例 4．苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问，他在电车上碰到了一 位外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做，题目是： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100 千米。甲每小时行 6 千米， 乙每小时行 4 千米。甲带着一只狗，狗每小时行 10 千米。这只狗同甲一道出发， 碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这 只狗一共走了多少千米？ 苏步青略加思索，就把正确答案告诉了这位外国数学家。小朋友们，你能解答 这道题吗？ 例 5．甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙 车每小时行 48 千米， 两辆汽车在距中点 32 千米处相遇。 西两地相距多少千米？ 东、 练习与思考531．小王、小李从相距 50 千米的两地相向而行，小王下午 2 时出发步行， 每小时行 4.5 千米。小李下午 3 时半骑自行车出发， 、经过 2.5 小时两人相遇。小 李骑自行车每小时行多少千米？ 2．A、B 两地相距 60 千米。两辆汽车同时从 A 地出发前往 B 地。甲车比乙车早 30 分到达 B 地。当甲车到达 B 地时，乙车离 B 地还有 10 千米。甲国君从 A 地到 B 地共行了几小时？ 3．一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距 255 千米的两地相向而行，公共汽 车每小时行 33 千米，面包车每小时行 35 千米。行了几小时后两车相距 51 千米？ 再行几小时两车又相距 51 千米？ 4．甲、乙两人同时从 A、B 两地相对而行，甲骑车每小时行 16 千米，乙骑摩 托车每小时行 65 千米。甲离出发点 62.4 千米处与乙相遇。A、B 两地相距多少千 米？ 5．小张的小王同时分别从甲、乙两村出发，相向而行。步行 1 小时 15 分后， 小张走了两村间路程的一半还多 0.75 千米，此时恰好与小王相遇。小王的速度是 每小时 3.7 千米，小张每小时行多少千米？ 6．A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车每小时 行 10 千米，乙步行每小时行 5 千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到达 B 地时， 甲比乙落后 2 千米。甲修车用了多少时间？ 7．A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开出驶往 B 地，2 小时后，乙列车 从 B 地开出驶往 A 地， 经过 4 小时与甲列车相遇。 已知甲列车比乙列车每小时多行 10 千米。甲列车每小时行多少千米？ 8．小李由乡里到县城办事，每小时行 4 千米，到预定到达的时间时，离县城 还有 1.5 千米。如果小要每小时走 5.5 千米，到预定到达的时间时，又会多走 4。 5 千米。乡里距县城多少千米？ 9．A、B 两城相距 75 千米，小红从 A 向 B 走，每小时走 6.5 千米，小明从 B 地 走向 A，每小时走 6 千米。小军骑自行车在小红和小明间联络，小军从 A 走向 B，54每小时走 15 千米。三人同时动身，小军在途中遇见的小明即折顺往 A 走，遇见了 小红， 又折回向 B 走， 再遇见了小明又折回往 A 走……一直到三人在途中相遇为止。 小巧玲珑军共走了多少千米？ 10．东、西两镇相距 240 千米，一辆客车上午 8 时从东镇开往西镇，一辆货车 上午 9 时从西镇开往东镇，到中午 12 时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两 车都从上午 8 时由两地相向开出， 速度不变， 到上午 10 时， 两车还相距多少千米？第二十二讲 二十二讲本讲主要讲“相遇问题” 。行程问题（ 行程问题（二）相遇问题一般是指两个物体从两地出发，相向而行，共同行一段路程，直至相 遇，这类应用题的基本数量关系是： 总路程=速度和×相遇时间 这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程。 例题与方法 例 1．甲、乙两辆汽车同时从东村、西村之间公路的中点向相反方向行驶，6 小时后，甲车到达东村，乙车离西村还有 42 千米。已知甲车的速度是乙车的 2 倍。 东、西两村之间的公路长多少千米？ 例 2．一支 1800 米长的队伍以每分 90 米的速度行进，队伍前端的联系员用 9 分的时间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分跑多少米？ 例 3．甲、乙两车相距 516 千米，两车同时从两地出发丰向而行，乙车行驶 6 小时后停下修理车子，这时两车相距 72 千米。甲车保持原速继续前进，经过 2 小 时与乙车相遇。求乙车的速度。 例 4．甲、乙两列车同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地 75 千米处相 遇。相遇后两列车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离 B 地 55 千米处。求 A、B 两会间的路程。55练习与思考 1．甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行。2 小时后两人相距 96 千米，5 小时后两人相距 36 千米。东、西两地相距多少千米？ 2．甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行 13 千米，乙车 每小时行 12 千米 。如果甲先行 2 小时，那么，乙行几小时后两人相距 99 千米？ 3．甲、乙两地相距 59 千米，汽车行完全程要 0.7 小时，步行要 14 小时。一 个人从甲地出发，步行 1.5 小时后改乘汽车，他到达乙地共要几小时 ？ 4．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向而行。甲车每小时行 82 千米，乙车 每小时行 72 千米，两车在离中点 30 千米处相遇。A|B 两地相距多少千米？ 5．甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 40 千米，经过 3 小 时已驶过中点 25 千米，这时乙车与甲车还相距 7 千米。求乙车的速度。 6．甲、乙两车同时同地同向行进，甲车每小时行 30 千米，乙车每小时行的路 程是甲车的 1.5 倍。 当乙车行到 90 千米 的地方时立即按原路返回， 又行了几小时 和甲车相遇？ 7．两辆汽车从同一地点向相反方向开出，第一辆汽车每小时行 48 千米，第二 辆汽车每小进行 52 千米。如果第一辆车先行 1.2 小时，那么，两辆汽车同时行驶 几小时后，它们之间的距离为 557.6 千米？ 8． 一架运输机和一架客机同时从某地起飞相背飞行， 小时后两机相距
千米。已知客机比运输机每小时多飞行 100 千米，运输机每小时飞行多少千米？ 9．A、B 两地相距 6 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发在两面三刀地 间往返行走（到达另一地后就马上返回） ，在出发 40 分后两人么一次相遇。乙到达 A 地后马上返回，在离 A 地 2 千米的地方两面三刀人第二次相遇。求甲、乙两人的 速度。 10．客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行 54 千米，货车每 小时行 48 千米。两车相遇后又以原速继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车 到达甲地后也立即返回，两车在距中点 108 千米处再以、次相遇。甲、乙两地相距56多少千米？第二十三讲 行程问题（三） 二十三讲 行程问题（本讲的内容是“追及问题” 。 追及问题一般是知两个物体同时运动， 经过一定时间， 后者追上前者的问题。 追及问题的基本数量关系是： 速度差 ×追及时间=追及路程 小轿车每小时行 84 千米， 两车由同一个车库出 例1 中巴车每小时行 60 千米， 发。已知道中巴车先开出，30 分钟后小轿车顺着中巴车的路线出发，小轿车经过 多少时间能追上中巴车？ 例2 甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行 40 千米，乙车 每小时行 35 千米。途中甲车因故障修车用了 3 小时，结果甲车比乙车迟 1 小时到 达目的地。两地间的路程是多少千米？ 例3 兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分走 90 米，妹妹每分走 60 米。哥哥到 校门口时， 发现忘带课本， 立即沿原路回家去取， 行到离学校 180 米处与妹妹向隅， 他们呢家离学校有多远？ 小丽个小霞三人都要从甲地到乙地， 早上 6 时小华和小丽两人一起 例4 小华、 从甲地出发一，小华每小时走 5 千米，小丽每小时走 4 千米。小霞上午 8 时才从甲 地出发。傍晚 6 时，小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间追上小丽的？练习与思考 1．哥哥放学回家，以每小时 6 千米的速度步行，18 分后，弟弟也从同一 所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追上哥哥。经过几分弟弟 可以追上哥哥？ 2．两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时 30 千米的速度由仓库开往王村， 第二辆晚开 12 分，以每小时 40 千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。 仓库到王村的路程有多少千米？573．好马每天走 240 里，劣马每分走 150 里，劣马先走 12 天，好马几天可以追 上劣马？（我国古代算题） 4．小玲每分行 100 米，小平每分行 80 米，两人同时同地背向行了 5 分后，小 玲调转方向去追赶小平。小玲追上小平时一共行了多少米？ 5．一架飞机从甲地飞往乙地，原计划每分飞行 9 千米，现在按每分 12 千米的 速度飞行，结果比原计划提前半小时到百叶窗。甲、乙两地相距多少千米？ 6．一辆摩托车追前面的汽车，汽车每小时行 28 千米，摩托车每小时行 40 千 米，摩托车开出 4 小时后追上汽车。汽车比摩托车早出发几小时？（得数保留一位 小数） 7．一支队伍长 450 米，以每秒 1。5 米的速度行进。一个战士因画需从排尾赶 到排头，并立即返回排尾。如果他的速度是每秒 3 米，那么，这位战士往返共需多 少时间？ 8． 李华以每小时 4 千米的速度从学校出发步持到 20.4 千米以外的冬令营报到， 半小时后，营地的老师闻讯前往迎接，老师每小时比李华多走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到，结果三人同时在途中相遇。张明骑车每小 时行多少千米？ 9．甲、乙两人各骑一辆自行车由同一地点出发，到相隔 45 千米的某地办事。 乙比甲早出发 20 分，而甲比乙早到 45 分，甲到达时乙在甲的后面 10 千米处。甲 每小时行多少千米？（得数保留整数） 10．玲玲从家到县城上学，她以每分 50 米的速度走了 2 分后，发现按个人速 度走下去要迟到 8 分，于是她加快了速度，每分多走 10 米，结果到学校时，离上 课还有 5 分。玲玲家到学校的路程是多少米？第二十四讲 二十四讲行程问题（ 行程问题（四）要讲主要讲两种比较特殊的行程问题， “火车过桥”和“环形跑道”“火车过 。 桥”是两个物体，一动一静，火车在前进、在运动，桥是静的、不动的。为了弄清58运动过程中的数量关系， 我们可以利用身边一些适宜演示这类问题的实物， 如直尺、 铅、笔、橡皮等，把它们当作“火车”和“桥” ，按照题意比试比试，使题目具体、 形象化，从而找到解题的思路。 “环形跑道” ，也是称为封闭回路，它可以是圆形的、长方形的、三角形的， 也可以是由长方形和两个半圆组成的运动场形状。 解题时， 我们可以运动 “转化法” 把线路“拉直”或“截断” ，从布把物体在“环形路道”上的运动转化为我们熟悉 的物体在直线上的运动。例题与方法 例 1．一列火车长 150 米，每秒行 20 米。全车通过一座 450 米长的大桥。需要 多少时间？ 例 2．某人沿着铁路旁的便道步行，一列客车从身后开来，在此人身旁通过的 时间是 7 秒。已知客车长 105 米，每小时行 72 千米。步行人每秒行多少千米？ 例 3．小张和小王各自以一定的速度在周长为 500 米的环形跑道上跑步。小王 每分跑 180 米。 （1） 张的速度。 （2） 小张和小王同时从同一地点出发，沿同一方向跑步，经过多少分两人 小张和小王同时从一个地点出发，反向跑步，75 秒后两人相遇，求小第一次在途中相遇？ 例 4．在一个 600 米长的环形跑道上，兄妹两人同时从同一起点都按顺时针方 向跑步，每隔 12 分相遇一次，若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥 改为按逆时针方向跑，则每隔 4 分相遇一次。两人跑一圈各要几分？ 练习与思考 1．小张以每秒 3 米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长 147 米的火车， 它的行驶速度是每秒 18 米。火车经过小张身边要多少秒？ 2．甲、乙两人在周长 720 米的湖边同时、同地背向而行，甲每分行 55 米，乙59每分行 65 米，经过多少分两人在湖边相遇？ 3．一条环形跑道长 600 米，甲练习骑自行车，平均每分行 550 米，乙练习长 跑，平均每分跑 250 米。两人同时从同一地点同向出发，经过多少分两人相遇？ 4．在 300 米长的环形跑道上，甲、乙两人同时同向并排起跑，甲平均每秒跑 5 米，乙平均每秒跑 4。4 米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前多少米？ 5．一个学生离学校 30 千米，他每天早晨骑自行车上学，以每小时 15 千米的 速度行进，恰好准时到校。一天早晨，因为逆风，开始的 10 千米，他只能以每小 时 10 千米的速度骑行，剩下 20 千米，他应以怎样的速度骑行，才能准时到校？ 6．甲、乙两人环湖跑步，环湖一周长是 400 米，乙每分跑 80 米，甲的速度是 乙的 1.25 倍。现在两人同时向前跑，且起跑时甲在乙的前面 100 米。多少分后两 人相遇？ 7．慢车车长 125 米，车速每秒 17 米；快车车长 140 米，车速每秒 22 米。慢 车在前面行驶， 快车从后面追上来， 快车追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少 时间？ 8．一个人站在铁道旁，听见远处传来的火车汽笛声后，再过 57 秒火车经过他 前央。已知火车拉笛时离他 1360 米（轨道是直的） ，声音每秒可传 340 米远。求火 车的速度。 （得数保留整数。 ） 9．小红为测量急驶过的火车的长度和速度准备了两只秒表，一只记下火车从 她面前通过用了 15 秒，另一只记下从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆 （车头先经过第一根电线杆，再经过第二根电线杆）用了 20 秒，并量出两根电线 杆之间的距离是 100 米。请你帮助小红算出火车的长度和速度。 10．火车每分行 1050 米，从车头与一个路标并列到车尾离开这个路标 3 分钟 后，一辆摩托车以每分 1200 米的速度从这个路标出发，摩托车出发 25 分后，与火 车的车头正好并列。求这列火车的长。60能力测试（ （满分 100 分，90 分钟完成） 能力测试（三） 一、填空题（每题 3 分，共 39 分） 。 1．有一块长 20 米，宽 1 米 5 分米的塑料薄膜，用它做规格相同的塑料袋， 每个塑料袋长 4 分米，宽 3 分米。这块塑料薄膜最多可以做（ ）个塑料袋。2．王大爷要用 48 米长的竹篱笆围成长方形或正方形的养鸡场地，如果围成 长方形，那么，长方形的长是宽的 2 倍，其中一条长边利用旧墙，其余三条边用竹 篱笆围成。如里围成正方形，那么，也有一条边利用旧墙。这两种围法（ 形占地面积大。 3．把一块长 12 米，宽 3 米的长方形钢板，截成边长为 2 米的正方形钢板， 能截（ ）块。 4．有一块正方形实验田，边长 80 米。现在把这块田向四面都扩大 20 米， 形成一块更大的正方形实验田。扩大后的面积比原来增加了（ ）平方米。 ）5．一个梯形的面积是 7.44 平方厘米，高是 1.2 厘米，上底长 4.2 厘米。 这个梯形的下底长（ ）厘米。 ）度。6．一个任意五边形的内角和是（7．一块长方形地的长和宽都减少 1 米，面积就比原来减少 20 平方米。这 块地原来的周长是（ ）米。8．甲、乙两列火车同时从两个城市相对开出，甲车每小时 54 千米，乙车61每小时行的路程是甲车的一半，经过 5 小时两车相遇。两个城市相距（ 米。）千9．甲、乙两人同时从 A、B 两地相对走来，甲每小时走 6 千米，乙每小时 走 5 千米。 两人在距离 A、 两地中点 4 千米的地方相遇。 B 两地之间相距 B A、 （ 千米。 10．一艘海军潜艇用相同的速度向目的地航行，第一天航行了 270 千米， 第二天航行了 360 千米。 第一天比第二天少航行 2 小时。 两天共航行 （ ） 小时。 ）11．一列快车，车长 200 米，每分行 500 米。这列快车通过一个长 800 米 的隧道，需要（ ）分。12．甲、乙两人相距 13 千米，两人同时同向行走。乙在前，每小时行 4 千 米。甲在后，每小时行 6 千米。经过（ ）小时甲超过乙 3 千米。13．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行。甲每分行 70 米，乙每分 行 60 米，丙每分行 50 米。途中甲和乙相会 6 分后，和丙相会。甲、丙从出发到相 会共用了（ ）分。二、周长和面积的计算（每题 5 分，共 20 分） 。 1．图中阴影部分是街心花园中一个正方形的花坛，花坛的四周有 1 米宽的 水泥路。如果水泥路的总面积是 12 平方米，中间花坛的面积是多少平方米？2．图中三角形 ABC 的面积是 52 平方厘米，三角形 ABD 与三角形 ADC 的面 积相等。求阴影部分的面积。 （单位：厘米） 3．用篱笆围成一个梯形的养鸡场地（如图） ，场地的一边利用房屋的墙壁， 篱笆的总长度是 95 米。这个养鸡场地占地多少平方米？624． 。如图，求四边形 ABCD 的面积。 （单位：厘米） 三、应用题（第 1 题 6 分，其余每题 7 分，共 41 分） 。 1．李明家到车站的距离是 6 千米，一天，他从家步行到车站去乘车。如果李 明以每小时 4 千米的速度步行，那么，当他到车站时，车已开走了 5 分。如果李明 要在开车前 10 分到达车站，那么，他每小时就步行多少千米？ 2．少先队员外出野营，队伍长 60 米。途中通过一座公路桥，从排头的队员上 桥，到排尾的队员离桥，共用去 15 分。如果队伍上桥时保持每秒 1.5 秒的速度行 进，那么，这座桥全长多少米？ 3．南京到北京的铁路长 1157 千米，一列快车在某日 22 时 30 分从南京开往北 京，每小时行驶 68 千米，同日，一列慢车在 19 时从北京开往南京。已知两车在第 二天早晨 7 时 30 分相遇。求慢车的速度。 4．有两列火车，一列长 102 米，每秒行 20 米。另一列长 120 米，每秒行 17 米。两呈相向而行，从车头相遇到车尾相离，需要几秒？ 5．甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行 12 千米。甲 车行驶 4 个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站 31.5 千 米的地方和乙车相遇。甲车每小时行驶多少千米？ 6．一列火车在与公路平行的铁路上行驶，公路上有一个行人，每小时行 4.5 千米，另有一辆自行车，每小时行 18 千米。火车从后面开来，超越行人所花的时 间是 12 秒，超越自行车所花的时间是 16.5 秒，求火车的长度和速度。63第二十五讲 二十五讲平均数问题（ 平均数问题（一）平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。例如，为了比较五（1）班和五 （2）班在期中考试中，哪个班考得更好一些，我们可以计算出每个班的平均分数， 平均分数高的班通常就被认为考得好些。 又如， 通过计算两辆汽车行驶的平均速度， 来比较这两辆汽车的快慢。求平均分数、平均速度、平均身高等，都是求平均数。 求平均数，要知道两个条件：被平均分的事物的总数量和平均分的总分数。用 总数量除以相应的总份数，就可以求出平均数。即： 平均数=总数量÷总份数 由这个基本数量关系式，可以得出： 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 例题与方法 1．五（1）班第一小组 7 个同学测量身高，有两个同学的身高都是 153 厘 米，有一个同学的身高是 152 厘米，有两个同学的身高是 149 厘米，还有两个同学 和身高是 147 厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米？ 例 2．小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是 93 分，后三 次的平均分数是 88 分。小红这五次测试的平均分数是多少？ 例 3．小明前五次数学测试的平均成绩是 88 分。为了使平均成绩达到 92.5 分，64小明要连续考多少次满分？（每次测验的满分是 100 分） 例 4． 小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛， 那四名同学的成绩分别为 78 分、 91 分、82 分、79 分，小芳的成绩比五人的平均成绩高 6 分。小芳的成绩排在五人 中的第几位？ 例 5．下面一串数是一个等差数列： 3，7，11，…，643。 这串数的平均数是多少？ 练习与思考 1．小玲四次英语测验的平均成绩是 92.5 分，第五次测验得 100 分。小玲 五次英语测验的平均成绩是多少？ 2．小军期终考试，语文、外语、自然三门的平均成绩是 78 分，数学成绩公布 以后，四门的平均成绩提高了 5 分。小军数学考了多少分？ 3．甲、乙、丙三个数的平均数是 6，甲、乙两个数的平均数是 4，乙、丙两个 数的平均数 5.3。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？ 4．五个数的平均数是 60， 。若把其中的一个数改为 80，平均数变为 70。灾个 数原来是多少？ 5．小强前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这一次测验要得 100 分，才难把 平均成绩提高到 86 分。这一次是第几次测验？ 6．小华读一本书，第一天读 83 页，第二天读 74 页，第三天读 71 页，第四天 读 64 页，第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多功能 3.2 页。小华第五 天读多少页？ 7．以 2 为首的连续 52 处自然数的平均数是多少？ 8．有四个自然数，从第二个数起，每个数都比前一个数大 3。已知这四个数的 平均数是 24.5，其中最大一个数是多少？ 9．甲、乙、丙三人一共买了 8 个面包平均分着吃，甲付 5 个面包的钱，乙付 了 3 个面包的钱。丙没带钱。经计算，丙应该付 4 元钱，甲就收加多少钱？6510．小钢在计算 11 个整数的平均数时，得数（按四舍五入法保留两位小数） 为 15.35。老师说，最后一位数字错了。正确的结果是多少？第二十六讲 二十六讲例题与方法平均数问题（ 平均数问题（二）例 1．甲、乙两地相距 60 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 20 千米。 到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行 30 千米。这辆汽车往返甲、乙 两地的平均速度是多少？ 例 2．五（2）班女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是 41 千克， 女同学的平均体重是 35 千克。全班同学的平均体重是多少千克？ 例 3．A，B，C，D 四个自然数，两两相配可配成不同的六对。分别求出每对数 的和，这六个和从小到大排列是 24，26，30，34，38，40。A，B，C，D 四个数的 平均数是多少？ 练习与思考 1．在一次登山活动中，小李上山时，每分走 50 米，18 分到达山顶。然后 他按原路下山，每分走 75 米。小李上山、下山的平均速度是多少？ 2．一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地，到达乙地后，又以每 小时 60 千米的速度从乙地开回甲地。这辆汽车往返的平均速度是多少？ 3．有一人从甲地到乙地，前一半时间骑自行车，后一半时间步行。步行的速 度为每小时 4.8 千米，骑自行车的速度为每小时 14.5 千米。这个人从甲地到乙地 的平均速度是多少？ 4．某班有 50 名同学，在一次数学考试中，按成绩从高到低排了名次。结果前 30 名的平均分数比生 20 名的平均分数多 12 分。一位同学把前 30 名的平均成绩加 上后 20 名的平均成绩，再除以 2，错误地认为这廉洁是全班的平均成绩。他这样 算， 所得的全班的平均成绩比正确的平均成绩多了， 还是少了？请算出相差的分数。 5．一辆汽车一天平均每小时行 42 千米，已知这辆汽车上午行了 4 小时，平均66每小时行 50 千米，下午平均每小时行 37 千米。这辆汽车下午行了几小时？ 6．有三个数，每次选取其中 2 个数，算出它们的平均数。再加上另外的一个 数。用这样的方法计算了 3 次，得到 3 个数：35，27，25。原来三个数中最大的一 个数是多少？ 7．如果十个互不相同的两位奇数之和等于 898，那么，这些数中最小的一个是 多少？ 8．A，B，C，D，E 五个人在一次满分为 100 分的考试中，得分都是大于 91 的 整数。如果 A，B，C 的平均分为 95 分，B，C，D 的平均分为 94 分，A 是第一名，E 是第三名得 96 分，那么，D 的得分是多少？ 9．五年级有学生 72 名，课间加餐共交□52.7□元（□为辨认不清的数字） 。 平均每人交了多少元？ 10．某学生政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是 89 分。政治、 数学两科的平均成绩是 91.5 分，语文、英语两科的平均成绩是 84 分，政治、英语 两科的平均成绩是 86 分， 且英语比语文多 10 分。 该生这五科的成绩各是多少分？第二十七讲 长方体和正方体（一） 二十七讲 长方体和正方体（我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方 体和正方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方 体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性，解答这些问题，不仅需要我们 具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、 作图能力和空间想象能力， 还要能掌握 一此致解题的思路的技巧。 通过本讲的学习， 同学们将从解题的过程中得到一些启 示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。 例题与方法 例 1．一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体 的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？67例 2．在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体水箱中，有 10 分米深的小。如果 在水中沉入一个棱长为 30 厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？ 例 3．一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。每一次把小球 沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大 球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的 3 倍， 第三次是第一次的 2.5 倍。问：大球的体积是小球的多少倍？ 例 4．一个长方体容器的底面是一个边长 60 厘米的正方形，容器里直立着一个 高 1 米，底面边长 15 厘米的长方体铁块。这时容器里的水深 0.5 米。如果把铁块 取出，容器里水深多少厘米？ 练习与思考 1．一个长方体棱长的总和是 48 厘米，已知长是宽的 1.5 倍，宽是高的 2 倍，求这个长方体的体积。 2．用 2100 个棱长是 1 厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体 的高是 10 厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？ 3．在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水。现在在 水中沉入一个棱长 30 厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？ 4．把一个长 9 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的长方体铁块和一块棱长 5 厘米的 正方体铁块熔铸成一个底面积是 20 平方厘米的长方体。求这个长方体的高。 5.有大、中、小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别为 6 分米、 3 分米、2 分米。现在把堆碎石分别沉入水中、小水池内，这两个水池的水面分别 升高了 6 厘米和 4 厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池内，那么，大水池的水面 将升高多少厘米？（得数保留整数） 6．有一块长方形的铁皮。长 30 厘米，宽 20 厘米，在这块铁皮的四角各剪下 一个边长为 2 厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。 （1） （2） 求这个盒子的容积。 做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？687．有一块长方形的铁皮，长 32 厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 4 厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是 768 厘米，求原来长方形铁皮的面积。 8．把一根长 6.4 米粗铁丝截成几段，焊成一个长方体的框架，再用铁皮包上 各个面。 要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为 1 分米的正方体 （铁丝 架所占的空间不计） ，做这个长方体铁皮箱需多少面积的铁皮？（焊接处不计。 ） 9．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并且长、宽、 高都有是质数，这个长方体的体积是多少？ 10．一个长方体容器，底面是一个边长 60 厘米的正方形，容器里直立着一个 高 1 米，底面边长 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深 0.5 米。现在把铁块 轻轻地向上提起 24 厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？第二十八讲 二十八讲长方体和正方体（二） 长方体和正方体（这一讲，我们解答长方体和正方体的拼、切，以及有关立体图形的计数问题。 这此题目构思巧妙，趣味性强，对形成空间观念非常有利。 例题与方法 例 1．下图是一个各面上依次标有 1，2，3，4，5，6 这六个数字的正方体 的三种不同摆法。问：这三种摆法左面上的数字和是多少？例 2．有一个正方体，棱长是 6 厘米。如果把这个正方体切成棱长是 2 厘米的 小正方体（如右图） ，那么，这些小正方体表面积的和是多少？69例 3．一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都相等距离地切两刀。 （1） （2） （3） （4） 三个面涂有红色的小正方体有几个？ 两个面涂有红色的小正方体有几个？ 一个面涂有红色的小正方体有几个？ 六个面都没有涂红色的小正方体有几个？例 4．有一个棱长是 3 厘米的正方体，先从它的每个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的小正方体， 再在它每个面的中央粘上一个棱长是 1 厘米的小正方体。 所得物 体的表面积是多少平方厘米？例 5．18 个边长为 2 厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积。例 6．一只小虫从右图长方体上的 A 点出发，沿长方体的表 面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达 P 点。请 你为它设计一条最短的爬行路线。? P A 练习与思考 1．右图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的 6 个面70按相同次序涂有黑、白、红、黄、蓝、绿六种颜色。问：黑色的对面涂的是什么颜 色？红色的对面涂的是什么颜色？ 黑 白 红 黑 黄 黑 黑 黑 蓝 黑 黄 白 2．一个正方体木块，表面积是 96 平方厘米，把它锯成体积相等的 8 个正方体 小木块，每个小木块的表面积是多少？3．把 8 个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是 150 平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？4．一个正方体木块棱长 1 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条， 每条又锯成 5 小块， 共得到大大小小的长方体 60 块。 60 块长方体的表面积的和 这 是多少？5．右图中 A 的面积是 25 平方米，B 的面积是 15 平方米，h 是 4 米。现在把 A 处的土堆到 B 处，使 A、B 两处同样高，这时 B 处比原来升高了多少米？A B h716．把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后在大正方体的表面 涂上红色。已知一面涂红色的小正方体有 96 个，那么，两面涂红色的小正方体}