物理还能这么解题，你造吗？据说110分的学霸都知道
方法一：图像法解题
一、方法简介
图像法是根据题意把抽像复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形像、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易、化繁为简的目的．
高中物理学习中涉及大量的图像问题，运用图像解题是一种重要的解题方法．在运用图像解题的过程中，如果能分析有关图像所表达的物理意义，抓住图像的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点，常常就可以方便、简明、快捷地解题．
二、典型应用
1．把握图像斜率的物理意义
在v-t图像中斜率表示物体运动的加速度，在s-t图像中斜率表示物体运动的速度，在U-I图像中斜率表示电学元件的电阻，不同的物理图像斜率的物理意义不同．
2．抓住截距的隐含条件
图像中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方，常常是题目中的隐含条件．
例1、在测电池的电动势和内电阻的实验中，根据得出的一组数据作出U-I图像，如图所示，由图像得出电池的电动势E=______ V，内电阻r=_______ Ω.
【解析】电源的U-I图像是经常碰到的，由图线与纵轴的截距容易得出电动势E=1.5 V，图线与横轴的截距0．6 A是路端电压为0．80伏特时的电流，(学生在这里常犯的错误是把图线与横轴的截距0．6 A当作短路电流，而得出r=E/I短=2.5Ω 的错误结论．)故电源的内阻为:r=△U/△I=1.2Ω
3．挖掘交点的潜在含意
一般物理图像的交点都有潜在的物理含意，解题中往往又是一个重要的条件，需要我们多加关注．如：两个物体的位移图像的交点表示两个物体“相遇”．
例2、A、B两汽车站相距60 km，从A站每隔10 min向B站开出一辆汽车，行驶速度为60 km／h．
(1)如果在A站第一辆汽车开出时，B站也有一辆汽车以同样大小的速度开往A站，问B站汽车在行驶途中能遇到几辆从A站开出的汽车?
(2)如果B站汽车与A站另一辆汽车同时开出，要使B站汽车在途中遇到从A站开出的车数最多，那么B站汽车至少应在A站第一辆车开出多长时间后出发(即应与A站第几辆车同时开出)?最多在途中能遇到几辆车?
(3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出，那么B站汽车在行驶途中又最多能遇到几辆车?
【解析】依题意在同一坐标系中作出分别从A、B站由不同时刻开出的汽车做匀速运动的s一t图像，如图所示．
从图中可一目了然地看出：
(1)当B站汽车与A站第一辆汽车同时相向开出时，B站汽车的s一t图线CD与A站汽车的s-t图线有6个交点(不包括在t轴上的交点)，这表明B站汽车在途中(不包括在站上)能遇到6辆从A站开出的汽车．
(2)要使B站汽车在途中遇到的车最多，它至少应在A站第一辆车开出50 min后出发，即应与A站第6辆车同时开出此时对应B站汽车的s—t图线MN与A站汽车的s一t图线共有11个交点(不包括t轴上的交点)，所以B站汽车在途中(不包括在站上)最多能遇到1l辆从A站开出的车．
(3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出，则B站汽车的s-t图线(如图中的直线PQ)与A站汽车的s-t图线最多可有12个交点，所以B站汽车在途中最多能遇到12辆车．
4．明确面积的物理意义
利用图像的面积所代表的物理意义解题，往往带有一定的综合性，常和斜率的物理意义结合起来，其中v一t图像中图线下的面积代表质点运动的位移是最基本也是运用得最多的．
例4、在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J．则在整个过程中，恒力甲做功等于多少?恒力乙做功等于多少?
【解析】这是一道较好的力学综合题，涉及运动、力、功能关系的问题．粗看物理情景并不复杂，但题意直接给的条件不多，只能深挖题中隐含的条件．下图表达出了整个物理过程，可以从牛顿运动定律、运动学、图像等多个角度解出，应用图像方法，简单、直观．
作出速度一时间图像(如图a所示)，位移为速度图线与时间轴所夹的面积，依题意，总位移为零，即△0AE的面积与△EBC面积相等，由几何知识可知△ADC的面积与△ADB面积相等，故△0AB的面积与△DCB面积相等(如图b所示)．
即： （v1×2t0）= v2t0
解得：v2=2v1
由题意知, mv22=32J,故 mv12=8J,
根据动能定理有W1= mv12=8J, W2= m(v22-v12)=24J
5．寻找图中的临界条件
物理问题常涉及到许多临界状态，其临界条件常反映在图中，寻找图中的临界条件，可以使物理情景变得清晰．
例5、从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B，要使A、B能在空中相遇，则△t应满足什么条件?
【解析】在同一坐标系中作两物体做竖直上抛运动的s-t图像，如图．要A、B在空中相遇，必须使两者相对于抛出点的位移相等，即要求A、B图线必须相交，据此可从图中很快看出：物体B最早抛出时的临界情形是物体B落地时恰好与A相遇；物体B最迟抛出时的临界情形是物体B抛出时恰好与A相遇．故要使A、B能在空中相遇，△t应满足的条件为：2v0/g&△t&4v0/g
通过以上讨论可以看到，图像的内涵丰富，综合性比较强，而表达却非常简明，是物理学习中数、形、意的完美统一，体现着对物理问题的深刻理解．运用图像解题不仅仅是一种解题方法，也是一个感悟物理的简洁美的过程．
6.把握图像的物理意义
例6、如图所示，一宽40 cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20 cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v=20 cm／s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t=0，在下列图线中，正确反映感应电流随时问变化规律的是( )
【解析】 可将切割磁感应线的导体等效为电源按闭合电路来考虑，也可以直接用法拉第电磁感应定律按闭合电路来考虑．
当导线框部分进入磁场时，有恒定的感应电流，当整体全部进入磁场时，无感应电流，当导线框部分离开磁场时，又能产生相反方向的感应电流．所以应选C．
方法二：等效法
一．方法介绍
等效法是科学研究中常用的思维方法之一，它是从事物的等同效果这一基本点出发的，它可以把复杂的物理现象、物理过程转化为较为简单的物理现象、物理过程来进行研究和处理，其目的是通过转换思维活动的作用对象来降低思维活动的难度，它也是物理学研究的一种重要方法．
用等效法研究问题时，并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果．因此一定要明确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效．在中学物理中，我们通常可以把所遇到的等效分为：物理量等效、物理过程等效、物理模型等效等．
二．典例分析
1．物理量等效
在高中物理中，小到等效劲度系数、合力与分力、合速度与分速度、总电阻与分电阻等；大到等效势能、等效场、矢量的合成与分解等，都涉及到物理量的等效．如果能将物理量等效观点应用到具体问题中去，可以使我们对物理问题的分析和解答变得更为简捷．
例l．如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且 把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s2）求：
（1）它到达C点时的速度是多大？
（2）它到达C点时对轨道压力是多大？
（3）小球所能获得的最大动能是多少？
2．物理过程等效
对于有些复杂的物理过程，我们可以用一种或几种简单的物理过程来替代，这样能够简化、转换、分解复杂问题，能够更加明确研究对象的物理本质，以利于问题的顺利解决．
高中物理中我们经常遇到此类问题，如运动学中的逆向思维、电荷在电场和磁场中的匀速圆周运动、平均值和有效值等．
例2．如图所示，在竖直平面内，放置一个半径R很大的圆形光滑轨道，0为其最低点．在0点附近P处放一质量为m的滑块，求由静止开始滑至0点时所需的最短时间．
例3．矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有阻值为R的电阻，其余部分电阻均不计．导线框的位置如图所示，线框内的磁场方向及分布情况如图，大小为．一电阻为R的光滑导体棒AB与短边平行且与长边始终接触良好．起初导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的外力F的作用下做速度为v的匀速运动.试求：
（1）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中外力F随时间t变化的规律；
（2）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中整个回路产生的热量．
3．物理模型等效
物理模型等效在物理学习中应用十分广泛，特别是力学中的很多模型可以直接应用到电磁学中去，如卫星模型、人船模型、子弹射木块模型、碰撞模型、弹簧振子模型等．实际上，我们在学习新知识时，经常将新的问题与熟知的物理模型进行等效处理．
例4．如图所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱．当Rx为Rx1=10 Ω时，通过它的电流Ix1=l A；当Rx为Rx2=18 Ω时，通过它的电流Ix2=0.6A．则当Ix3=0.l A时，求电阻Rx3．
【解析】电源电动势E、内电阻r、电阻Rl、R2、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法．
将图所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如右图所示，
电源的电动势为E’，内电阻为r’．根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系。
例5．如图所示，倾角为θ=300，宽度L=1 m的足够长的U形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B=1 T、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，用平行于导轨且功率恒为6 w的牵引力牵引一根质量m=0.2 kg，电阻R=1 Ω放在导轨上的金属棒ab由静止沿导轨向上移动，当金属棒ab移动2.8 m时获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8 J(不计导轨电阻及一切摩擦，g取10 m／s2)
(1)金属棒达到的稳定速度是多大?
(2)金属棒从静止达到稳定速度所需时间是多少?
【解析】此题只要将汽车以恒定功率运动的模型，用于电磁感应现象中，将思维转换过来，问题就不难求解．
(1)金属棒在功率恒定的牵引力作用下沿导轨向上运动，金属棒切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流，ab棒受安培力方向沿导轨向下，由P=Fv可知，随着棒速度增加，牵引力将减小，安培力增大，棒的加速度减小，稳定时有：牵引力等于安培力和棒重力沿导轨向下的分力之和，在导轨平面内，有
方法三：极端法专题
一、方法简介
通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断．但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．像这样将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法．极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确．
用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理．具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律．其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断．通常可采用极端值、极端过程、特殊值、函数求极值等方法．
二、典例分析
1．极端值法
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．
【例1】如图所示，电源内阻不能忽略，R1＝10Ω，R2＝8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A；当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是（ ）
A．0.27A B．0.24A C．0.21A D．0.18A
【解析】开关S分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得
虽然电源内阻R的数值未知，但其取值范围尽然是 ，
所以，当R＝0时，I2＝0.25A；当R→∞时，I2→0.2A．故电流表示数的变化范围是0.2A＜I2＜0.25A．
本题的正确选项是BC．
2．极端过程法
有些问题，对一般的过程分析求解难度很大，甚至中学阶段暂时无法求出，可以把研究过程推向极端情况来加以考察分析，往往能很快得出结论。
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求学霸解答例三,还有那个解析中,v=h/2t怎么来的.（最好能帮忙讲解类似的题的解答方法和公式的推理）,谢谢!
风纪社5631
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Vb=Hac/2T 假设T1为ab 之间时间 ,T2为bc之间时间 ,T为小球从a到b,或从b到c的时间Hac为ac两点竖直距离由例题上已解答可以T=0.1,t1=t2=T假设Va为球在a点时竖直方向速度 ,Vb为球在b点时竖直方向速度 g重力加速度因为Va = Vb-g*t1Hac=Va(t1+t2)+1/2*g*(t1+t2)2t1=t2=T 上面三个公式化简可得Vb=Hac/2T给分吧
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运筹学习题及答案
第 1 页 共 25 页《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如
何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它 们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个 最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大 M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 对应的变量都 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 j 可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数 σ k 对应的变量 x k 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后， 该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利 120% ，每年又可以重新将 所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利 150% ，又可 以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过 20 万元；项目Ⅲ 需要在第二年年初投资， 经过两年可收回本利 160% ， 但用于该项目的最大投资额不得超 过 15 万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利 140% ，但用于该项目的最 大投资额不得超过 10 万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30 万元。 问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要 700 克蛋白质、30 克矿物质、 100 克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表 2―1 所示： 表 2―1答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.htmlσ &0第 2 页 共 25 页饲料 1 2 3 4蛋白质（克） 矿物质（克） 3 2 1 6 1 0．5 0．2 2维生素（毫克） 0．5 1．0 0．2 2价格（元/公斤） 0．2 0．7 0．4 0．35 12 0．5 0．8 0．8 要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。 设有某种原料的三个产地为 A 1 , A2 , A3 ，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。 假设用 4 吨原料可制成 1 吨成品，产地 A 1 年产原料 30 万吨，同时需要成品 7 万吨；产 地 A 2 年产原料 26 万吨，同时需要成品 13 万吨；产地 A 3 年产原料 24 万吨，不需要成 品。又知 A 1 与 A 2 间距离为 150 公里， A 1 与 A 3 间距离为 100 公里， A 2 与 A 3 间 距离为 200 公里。原料运费为 3 千元 / 万吨公里，成品运费为 2.5 千元 / 万吨公里；在A1 开设工厂加工费为 5.5 千元 / 万吨，在 A 2 开设工厂加工费为 4 千元 / 万吨，在 A 3 开设工厂加工费为 3 千元 / 万吨；又因条件限制，在 A 2 设厂规模不能超过年产成品 5万吨， A 1 与 A 3 可以不限制（见表 2――2） ，问应在何地设厂，生产多少成品，才使生 产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？表2 ― 2 距 离 产地 产 地A10 150 100A2150 0 200A3100 200 0产原料数 （万吨） 30 26 24加工费 （千元/万吨） 5．5 4 3A1A2 A3需成品数 7 13 0 （万吨） 4 某旅馆每日至少需要下列数量的服务员． （见表 2―3）每班服务员从开始上班到下班连续 工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。 表 2 ― 3 班 次 时 间 （日 夜 服 务） 最少服务员人数 1 2 3 4 5 上午 6 点 ― 上午 10 点 上午 10 点 ― 下午 2 点 下午 2 点 ― 下午 6 点 下午 6 点 ― 夜间 10 点 夜间 10 点 ― 夜间 2 点 80 90 80 70 406 30 夜间 2 点 ― 上午 6 点 5． 某农场有 100 公顷土地及 15000 元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 3 页 共 25 页3500 人日； 春夏季 4000 人日。 如劳动力本身用不了时可外出打工， 春秋季收入为 25 元 / 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶 牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资 800 元，每只鸡投资 3 元。 养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季为 50 人日，年净收入 900 元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.6 人 日，春夏季为 0.3 人日，年净收入 2 元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养 1500 只鸡， 牛栏允许最多养 200 头。三种作物每年需要的人工及收入情况如表 2 ― 4 所示 表 2 ― 4 大豆 玉米 麦子 20 35 10 秋冬季需人日数 50 75 40 春夏季需人日数 00 年净收入（元/公顷） 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 6．市场对Ⅰ、Ⅱ两种产品的需求量为：产品Ⅰ在 1 ― 4 月份每月需 1 万件，5―9 月份 每月需 3 万件， ― 12 月份每月需 10 万 0 件； 10 产品Ⅱ在 3 ― 9 月份每月需 1.5 万件， 其它每月需 5 万件。某厂生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在 1 ― 5 月份内生产时每件 5 元，6 ― 12 月份内生产时每件 4.50 元；产品Ⅱ在在 1 ― 5 月份内生产时每件 8 元， 6 ― 12 月份内生产时每件 7 元；该厂每月生产两种产品能力总和不超过 12 万件。产品 Ⅰ容积每件 0.2 立方米，产品Ⅱ容积每件 0.4 立方米。该厂仓库容积为 1 万 5 千立方米， 要求： （1）说明上述问题无可行解； （2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。若占用本 厂仓库每月每立方米需 1 元，而租用外厂仓库时上述费用增加为 1.5 元，试问在满足市 场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求 解） 7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表 2 ―5 所示，该三种产品 第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为 150 件。已知该厂每季度生产工 时为 15000 小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需 3，4，3 小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第 二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿 20 元， 产品Ⅲ赔偿 15 元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为 5 元。问 应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。 表 2 ― 5 产 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 品 季 1 00 2 00 度 3 00 4 008．某玩具厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种玩具，这三种玩具需在Ａ、Ｂ、Ｃ三种机器上加工，每 60 个为一箱。每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表 2 ―6 所示，本月可供使用 的机器的时间为：Ａ为 15 天，Ｂ为 20 天，Ｃ为２４天。每箱玩具的价格为Ⅰ：1500 元；Ⅱ： 1700 元；Ⅲ ：2400 元。问怎样安排生产，使总的产值最大。 表 2 ― 6 加工天数 玩具Ⅰ 玩具Ⅱ 玩具Ⅲ 机 Ａ ２ ３ ５ Ｂ ６ ２ ２ 器 Ｃ １ ２ ―答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 4 页 共 25 页９．某线带厂生产Ａ、Ｂ两种纱线和Ｃ、Ｄ两种纱带，纱带由纱线加工而成。这四种产品的 产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用） ，加工工时等由表２―７给 出，工厂有供纺纱的总工时 7200h，织带的总工时 1200h （1） 列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。 （2） 如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为 20 万元，线性 规划模型有何变化？ 表 2 ― 7 产品 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 项目 单位产值（元） 单位可变成本（元） 单位纺纱工时（h） 168 42 3 140 28 2
406 140 40 0 2 单位织带工时（h） 0．5 10．某制衣厂生产 4 种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这 4 种服装，他们的生 产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表 2―8 所示，试确定各种服装的生产 数量，使总的加工费用最小。 表 2―8 制 衣 机 需要生产 衣服规格 数量（件） A B C Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每天加工费 （元） 300 280 200 150 80 600 450 350 410 100 800 700 680 450 150
11．某制衣厂生产两种服装，现有 100 名熟练工人。已知一名熟练工人每小时生产 10 件服 装Ⅰ或 6 件服装Ⅱ。据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。见表 2 ― 9，为此，该厂决定到第 8 周末需培训出 100 名新工人，两班生产。已知一名工人一周 工作 40 小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余 5 名的新工人（培训期间熟练工人和 培训人员不参加生产）熟练工人每周工资 400 元，新工人在培训期间工资每周 80 元，培训 合格后参加生产每周工资 260 元，生产效率同熟练工人。在培训期间，为按期交货，工厂安 排部分工人加班生产每周工作 50 小时，工资每周 600 元。又若所定的服装不能按期交货， 每推迟交货一周的赔偿费为：服装Ⅰ每件 10 元，服装Ⅱ每件 20 元。工厂应如何安排生产， 使各项费用总和最少。 表 2 ― 9 （单位：千件/周） 周次 1 2 3 4 5 6 7 8 服装 Ⅰ Ⅱ 20 12 20 14 24 17 25 22 33 22 34 25 40 25 42 2512．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种 主要工序。每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表 2― 10 给出。问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？ 表 2―10答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 5 页 共 25 页生产工序 成型 打磨 上漆 利润（百元）所需时间 （小时） 一 3 4 ２ ２.7 二 4 3 ３ ３ 三 6 5 ３ ４.5 四 2 6 ４ 2.5 五 3 4 ３ 3每道工序 可用时间 0013． 某混合饲料场饲养为某种动物配置。 已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、 乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲 85 克，乙 5 克，丙 18 克。现有五种饲料都含有这 三种营养成分， 每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表 2―11 所示， 求即满足动 物成长需要又使成本最低的饲料配方。 表 2―11 营养甲（克） 营养乙（克） 营养丙（克） 成本（元） 0．50 2．00 3．00 1．50 0．10 0．06 0．04 0．15 0．08 0．70 0．35 0．25 2 6 5 4饲料 1 2 3 45 3 0．80 0．20 0．02 14．某食品厂在第一车间用 1 单位原料 N 可加工 3 单位产品 A 及 2 单位产品 B，产品 A 可 以按单位售价 8 元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加 6 元，加工后单 位售价增加 9 元。产品 B 可以按单位售价 7 元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产 费用要增加 4 元，加工后单位费用可增加 6 元。原料 N 的单位购入价为 2 元，上述生产费用 不包括工资在内。3 个车间每月最多有 20 万工时，每工时工资 0.5 元，每加工 1 单位 N 需 1.5 个工时，如 A 继续加工,每单位需 3 工时，如 B 继续加工，每单位需 2 个工时。原料 N 每月最多能得到 10 万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。 15．某公司有 30 万元可用于投资，投资方案有下列几种： 方案Ⅰ：年初投资 1 元，第二年年底可收回 1．2 元。5 年内都可以投资，但投资额不能 超过１５万元。 方案Ⅱ：年初投资 1 元，第三年年底可收回 1．3 元。5 年内都可以投资。 方案Ⅲ：年初投资 1 元，第四年年底可收回 1．4 元。5 年内都可以投资。 方案Ⅳ：只在第二年年初有一次投资机会，每投资 1 元，四年后可收回 1.7 元。但最多 投资额不能超过 10 万元。 方案Ⅴ：只在第四年年初有一次投资机会，每投资 1 元，年底可收回 1.4 元。但最多投 资额不能超过 20 万元。 方案Ⅵ：存入银行，每年年初存入 1 元，年底可收回 1.02 元. 投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投 资方案. 16.某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过 A、B 两种机器加工，产品Ⅱ需 依次经过 A、C 两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过 B、C 两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过 A、 B 机器加工。 。有关数据如表 2―12 所示，请为该厂制定一个最优生产计划。 表 2―12 机器生产率（件/小时） 原料成本 产品价 产 品 （元） 格（元） Ａ Ｂ Ｃ Ⅰ 10 20 16 65答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 6 页 共 25 页Ⅱ Ⅲ Ⅳ 机器成本（元／小时）20 10 20 200 10 150 12010 15 225 70 2． max Z25 12 1880 50 70150 每 周 可 用 小时 数 四、用图解法解下列线性规划 1． max Z= x1 + 2 x2= 2 x1 + 2 x2? 3x1 + 5 x2 ≤ 15 ? ? 6 x1 + 2 x2 ≤ 12 ?x , x ≥ 0 ? 1 2 3． min Z = 2 x1 + 3 x 2 ? x1 + 3 x2 ≥ 3 ? ? x1 + x2 ≥ 2 ? x ,x ≥ 0 ? 1 2 5． max Z = 3x1 + 9 x2? x1 + 3 x2 ≤ 32 ?? x + x ≤ 4 ? 1 2 ? x2 ≤ 6 ? ?2 x ? 5 x ≤ 0 2 ? 1 ? x1 , x2 ≥ 0 ?（1） max Z? x1 ? x2 ≥ ?1 ? ?? 0.5 x1 + x2 ≤ 2 ? x ,x ≥ 0 ? 1 2 4． min Z = 2 x1 ? 10 x 2 ? x1 ? x2 ≥ 2 ? ?3 x1 ? x2 ≥ ?5 ?x , x ≥ 0 ? 1 2 6． max Z = x1 + x 2?2 x1 + x2 ≤ 20 ? x + x ≥ 10 ? 1 2 ? x1 ≥ 5 ? ? x1 , x2 ≥ 0 ?（2） max Z五、用单纯形法解下列线性规划问题。 （可用大 M 法或两阶段法） 。= 2 x1 ? x2 + x3= 2 x1 + x2 + x3?3 x1 + x2 + x3 ≤ 60 ? x ? x + 2 x ≤ 10 ? 1 2 3 ? ? x1 + x2 ? x3 ≤ 20 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? (3) max Z = 3 x1 + x 2 + 3 x3 ? 2 x1 + x2 + x3 ≤ 2 ? x + 2 x + 3x ≤ 5 ? 1 2 3 ? ?2 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 6 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? (5) max Z = x1 + 2 x 2 + 3 x3 ? x 4? 4 x1 + 2 x2 + 2 x3 ≥ 4 ? 2x + 4x ≤ 20 ? 1 2 ? ?4 x1 + 8 x2 + 2 x3 ≤ 16 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? (4) max Z = 2 x1 + 4 x 2 + x3 + x 4 ? x1 + 3x2 + x4 ≤ 4 ? 2x + x ≤3 ? 1 2 ? ? x 2 + 4 x3 + x 4 ≤ 3 ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ? （6） max Z = 30 x1 + 40 x 2 ? 100 x 3答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 7 页 共 25 页? x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15 ? 2 x + x + 5 x = 20 ? 1 2 3 ? ? x1 + x2 + x3 + x4 = 10 ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ? (7) max Z = 6 x1 + x 2 ? x3 + x 4 = 15 ? x1 + 2 x2 + x3 ? 2x = 18 ? 1 + 5 x3 ? ?2 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 10 ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ? min Z = 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 (9)? 4 x1 + 3x 2 ? x3 = 30 ? ? x1 + 3 x2 ? x3 = 12 ?x , x , x ≥ 0 ? 1 2 3 (8) max Z = 4 x1 + 3 x 2?3 x1 + 6 x2 + 3x3 ? 4 x4 = 12 ?6 x + 3 x3 = 12 ? 1 ? + 4 x4 = 0 ? 3x1 ? 6 x2 ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ? max Z = 5 x1 ? 2 x2 + x3 (10)? x1 + 2 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≥ 8 ? ?? 2 x1 + 5 x2 + 3 x3 ? 5 x4 ≤ 3 ?x , x , x , x ≥ 0 ? 1 2 3 4 max Z = 2 x1 + 3x2 ? x3 + x4 (11)? x1 ? x2 + 2 x3 + x4 ≥ 9 ? 2 x 2 + x3 ? x 4 ≤ 5 ? ? ?? 2 x1 + x2 ? 3 x3 + x4 ≤ ?1 ? x + x3 ≥3 1 ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ?x1 + 4 x2 + x3 ≤ 6 ? ? ? 2 x1 + x2 + 3x3 ≥ 2 ? x , x ≥ , x 符号不限 3 ? 1 2 max Z = 5 x1 + 3x2 + 6 x3 (12)x1 + 2 x2 + x3 ≤ 18 ? ? 2 x + x + 3x ≤ 16 ? 1 2 3 ? x1 + x2 + x3 = 10 ? ? x1 , x2 ≥ 0 , x3 符号不限 ? 六、表 2―13 中给出求极大化问题的单纯形表，问表中 a1 , a 2 , c1 , c 2 , d 为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有： （1）表中解为唯一最优解； （2）表中解为无穷多最优解之一； （3）表中解为退化的可行解； （4）下一步迭代将以 x1 代替基变量 x5 ； （5）该线性规划问题具有无界解； （6）该线性规划问题无可行解。 表 2―13xB x3 x4 x5b d23x14 ―1x2 a1―5 ―3x31 0 0x40 1 0x50 0 1a2cj ? zjc1c2000答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 8 页 共 25 页七、某医院的护士分四个班次，每班工作 12 h 。报到的时间分别是早上 6 点 ，中午 12 点, 下午 6 点，夜间 12 点。每班需要的人数分别为 19 人，21 人，18 人，16 人。问： （1）每天最少需要派多少护士值班？ （2）如果早上 6 点上班和中午 12 点上班的人每月有 120 元加班费， 下午 6 点和夜间 12 点 上班的人每月分别有 100 元和 150 元加班费，如何安排上班人数，使医院支付的加班 费最少？ 八、某石油公司有两个冶炼厂。甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为 200，300 和 200 桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为 100，200 和 100 桶。公司需要 这三种油的数量分别为 1 和 14000 桶。甲厂每天的运行费是 5000 元，乙厂是 4000 元。问： （1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？ （2）如甲厂的运行费是 2000 元，乙厂是 5000 元。公司应如何安排两个厂的生产。 列出线性规划模型并求解。第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题 思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） x n+k 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 x n + k 的检验数 σ n+k 求最小值） ，其经济意义是什么？& 0 ，其经济意 & 0 （标准形为j i 的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将 i j 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。a ,c ,b6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 yi 划中，第 i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 yi 划中，第 i 种资源一定还有剩余。?& 0 ，说明在最优生产计 = 0 ，说明在最优生产计?a 8．对于 i j, c j , bi来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 9 页 共 25 页之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为 u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 k 个单位，相应的目标函数值增加ku 。 & 0 ，且 xi 所在行的10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 xi 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1） max Z= 3x1 + 2 x2 + x3（2） max z= 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4? x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 ?4 x + 2 x ? x ≤ 7 ? 1 2 3 ? ?3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 9 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? ； （3） min z = x1 ? 2 x 2 ? 3 x3 ? 3 x1 ? x2 + 2 x3 ≤ 5 ? 2x ? 4x ? x ≥ 7 ? 1 2 3 ? ?? x1 + 2 x2 + 4 x3 = 10 ? x1 , x2 ≥ 0 , x3无约束 ? ； （5） max z = 7 x1 ? 4 x 2 + 3 x3 ? 4 x1 + 2 x2 ? 6 x2 ≤ 24 ? 3 x ? 6 x ? 4 x ≥ 15 ? 1 2 3 ? 5 x2 + 3 x3 = 30 ? ? x1 ≥ 0 , x3 ≤ 0 , x 2 无约束 ? ；? x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 12 ? 2 x ? x + 3 x = ?1 ? 1 2 3 ? ? x3 + x 4 ≥ 3 ? x1 ? x1 , x2 ≥ 0 , x3 , x4 无约束 ? ； （4） min z = x1 + x 2 + 2 x3 ? 2 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 7 ? 2 x ? 3x ? x = 5 ? 1 2 3 ? ? ? 3 x1 + 5 x2 ? 4 x3 ≥ 3 ? x1 , x2 ≥ 0 , x3无约束 ? ； （6） min z = 5 x1 ? 4 x 2 + 3 x3 + 7 x3 ≥ 8 ? 2 x1 ? 8 x + 5 x ? 4 x ≤ 15 ? 1 2 3 ? 4 x2 + 6 x3 = 30 ? ? x2 , x3 ≥ 0 , x1无约束 ? 。（2） max z四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 （1） min Z= 3x1 + 2 x2 + x3= 2 x1 + 2 x2 + 4 x3五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时 （１） max z? x1 + x2 + x3 ≤ 6 ?2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≥ 2 ?x ? 3x + x + 7 x ≤ 3 ? x3 ≥ 4 ? 1 ? 1 2 3 ? ? x 2 ? x3 ≥ 3 ? ? x1 + 4 x 2 +6 x3 ≤ 5 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? x1 , x2 , x3 ≥ 0 ? ? ； ； （３） min z = 12 x1 + 8 x 2 + 16 x3 + 12 x 4 （４） min z = 5 x1 + 2 x 2 + 4 x3 ≥2 ? 2 x1 + x2 + 4 x3 ? 3 x1 + x2 + 2 x4 ≥ 7 ? ? ?2 x1 + 2 x2 + 4 x 4 ≥ 3 ?6 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≥ 12 ?x ,x ,x ,x ≥ 0 ? x ,x ,x ≥ 0 ? 1 2 3 4 ? 1 2 3 ； ； c j bi与的变化范围。= x1 + x2 + 3 x1（２） max z= 9 x1 + 8 x2 + 50 x 3 + 19 x4答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 10 页 共 25 页?2 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 2 ? ? 3x1 + 2 x2 + x3 ≤ 3 ?x ,x ,x ≥ 0 ? 1 2 3 ； （３） max z = x1 + 4 x 2 + 3 x3?3x1 + 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18 ? 4 x3 + x 4 ≤ 6 ? ?x ,x ,x ,x ≥ 0 ? 1 2 3 4 ； （４） max z = 6 x1 + 2 x 2 + 10 x3 + 8 x 4?5 x1 + 6 x2 ? 4 x3 ? 4 x4 ≤ 20 ? 3 x ? 3 x + 2 x + 8 x ≤ 25 ?2 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 4 ? 1 2 3 4 ? ? ? x1 + 2 x2 + 2 x2 ≤ 6 ? 4 x1 ? 2 x2 + x3 + 3 x4 ≤ 10 ?x ,x ,x ≥ 0 ? x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ? ? 1 2 3 ； ． 六、已知下表（表 3―1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 x 4 , x5 为松弛变量，问题的约束为 ≤ 形式 表 3―1x1 x3 x15/2 5/2 0 1 0x21/2 －1/2 －４x31 0 0x41/2 －1/6 －４x5０ 1/3 －２cj ? zj（１）写出原线性规划问题； （２）写出原问题的对偶问题； （３）直接由表３―１写出对偶问题的最优解。 七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利 润及有关数据如表 1―4 所示，分别回答下列问题： 表 ３―２ 甲 A B 单件利润 6 3 4 乙 3 4 1 丙 5 5 5 原料拥有量 45 30（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划； （2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５ 单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购 买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？ （5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划． 八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。已知生产单位产品 所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３―４。 表 ３――４ 甲 乙 丙 设备能力（台时）答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 11 页 共 25 页Ａ Ｂ Ｃ１ １０ ２１ ４ ２１ ５ ６１００ ６００ ３００单位产品利润（元） １０ ６ ４ （１）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划； （２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到 50/6 ，求最优生产计划。 （４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？ （５）设备 A 的能力如为 100+10θ ，确定保持原最优基不变的 θ 的变化范围。 （６）如有一种新产品丁，加工一件需设备 A、B、C 的台时各为 1、4、3 小时，预期每件 的利润为 8 元，是否值得安排生产？ （７）如合同规定该厂至少生产 10 件产品丙，试确定最优计划的变化。《运筹学》第四章习题 运筹学》一、思考题 1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最 多等于 m + n ? 1 ？ 2． 用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？ 3． 最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到 运输问题的最优方案？ 4． 沃格尔法（Vogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的 初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？ 5． 试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什 么？ 6． 用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭 回路是否是唯一的？ 7． 试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。 8． 试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题） 。 9． 如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输 问题。 10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。 二、判断下列说法是否正确 1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型， 所以运输问题也可以用单纯形方法求解。 2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况： 有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。 3．在运输问题中，只要给出一组（ m + n ? 1 ）个非零的{xi j }，且满足， i =1 ，就可以作为一个基本可行解。 4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一 闭回路，且此闭回路是唯一的。 6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k ，最优调 运方案将不会发生变化。答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html∑ xi j = a i ∑ x i j = b j j =1nm第 12 页 共 25 页7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数 k ，最优调 运方案将不会发生变化。 8．用位势法计算检验数时，先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先 给出的位势值必须是正的。 9．用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的 检验数是唯一的。 10．当所有产地的产量和销地的销量都是整数时，运输问题的最优解也是整数。 三、求解下列产销平衡的运输问题，下表中列出的为产地到销地之间的运价。 （1）用左上角法、最小元素法、沃格尔法求初始基本可行解； （2）由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案需要 的迭代次数。 销 地 产 量 B1 B2 B3 B4 产 地 1 2 3 销 量 3 1 7 3 11 9 4 6 3 2 10 5 12 8 5 6 7 4 9 20四、用表上作业法求下列产销平衡的运输问题的最优解： （表上数字为产地到销地的运价， M 为任意大的正数，表示不可能有运输通道） （1） 销 地 产 地 1 2 3 销 （2） 销 地 产 地 1 2 3 销 （3） 销地 产地 1 2 3 4 甲 2 3 2 5 乙 5 4 1 4 丙 4 1 9 3 丁 5 7 8 6 戊 3 5 7 8 产量 30 20 20 30 量 甲 7 3 4 10 乙 9 5 3 15 丙 5 8 10 20 丁 2 6 4 10 产 量 17 15 23 45 量 甲 10 8 9 15 乙 5 2 3 20 丙 6 7 4 30 丁 7 6 8 35 产 量 25 25 50 100答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 13 页 共 25 页销量 （4） 产地 销地 1 2 3 4 产 （5） 量 甲 7 4 5 8 101015252030100乙 2 6 7 8 15丙 1 7 M 6 12丁 6 M 3 2 10戊 7 6 7 6 18销 量 20 20 10 15 65产地 销地 1 2 3 产 (6) 产地 销地 1 2 3 量甲 10 6 5 5乙 12 10 9 6丙 11 9 12 5丁 12 11 12 7戊 7 10 11 8销 量 10 11 10 31甲 8 6 10乙 6 M 3丙 3 8 19丁 7 4 6戊 5 7 8销 量 30 40 3025 25 20 10 20 31 产 量 五、用表上作业法求下列产销不平衡的运输问题的最优解： （表上数字为产地到销地的里程， M 为任意大的正数，表示不可能有运输通道） 。 （1） 产地 销地 1 2 3 4 5 产 （2） 量 甲 10 13 0 9 24 100 乙 16 M 3 11 28 120 丙 23 18 19 23 36 100 丁 17 14 16 8 30 60 戊 22 16 M 19 34 80 销 量 100 120 140 80 60 31产地 销地 1 2甲 10 7乙 4 M丙 10 4丁 7 4戊 5 7销 量 80 40答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 14 页 共 25 页3 产 （3） 销地 1 2 3 产 （4） 销地 1 2 3 量 产地 量 产地8 505 4012 306 608 2060甲 M 3 9 90乙 21 6 11 70丙 14 11 M 80丁 11 3 18 50戊 28 12 19 70己 13 M 24 60销 量 100 120 160甲 7 4 6乙 3 2 8丙 9 5 12丁 4 6 2戊 11 10 5销 量 30 24 3612 18 21 14 15 产 量 六、某农民承包了 5 块土地共 206 亩，打算小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计 划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同的农作物的亩产数量（公斤）见下表，试 问怎样安排种植计划可使总产量达到最高？ 土地块别 作物种类 1 2 3 土地亩数 甲 500 850 1000 36 乙 600 800 950 48 丙 650 700 850 44 丁
32 戊 800 950 700 46 计划播 种面积 86 70 50《运筹学》第五章习题 1．思考题 （1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。 （2）动态规划的阶段如何划分？ （3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。 （4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值 函 数、边界函数等概念。 （5）试述建立动态规划模型的基本方法。 （6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动 态 规划基本方程的关键步骤。 2．判断下列说法是否正确 （1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。 （2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。 （3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。 （4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 15 页 共 25 页互独立性。 （5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。 （6）动态规划计算中的“维数障碍” ，主要是由于问题中阶段数的急剧增加 而引起的。 3．计算下图所示的从 A 到 E 的最短路问题 4．计算下图所示的从 A 到 E 的最短路问题 5．计算从 A 到 B、C、D 的最短路线。已知各线段的长度如下图所示。 6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各 城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？ 7．用动态规划求解下列各题 （1） ； ． ； （2） ． ； 8．某人外出旅游，需将 3 种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过 10 千克。物品重量及其价值等数据见下表。试问每种物品装多少件，使整个 背包的价值最大？ 物品编号 1 2 3 单位重量（千克） 3 4 5 单位价值 4 5 6 物品件数 9．某人外出旅游，需将五件物品装入背包，但包裹重量有限制，总质量不超过 13 千克。物品重量及其价值的关系如表所示。试问如何装这些物品，使整个背包 价值最大？ 物 品 重量（千克） 价值（元） A 7 9 B 5 4 C 4 3 D 3 2 E 1 0.5 10．有一辆最大装载量为 17 吨的货车，现有 4 种货物要装运，每种货物的单位重 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？ 货 物 编 号 1 2 3 4 单位重量（吨） 5 4 3 6 单位价值（千元） 7 5 3．5 8 11．某工厂根据市场需求预测今后 4 个月的交货任务如下表所示，表中数字为月 底交货量，该厂的生产能力为每月 600 件，该厂仓库的存货能力为 300 件，又 每生产 100 件产品的费用为 1000 元。在进行生产的月份，工厂要固定支出 3000 元开工费。仓库保管费用为每 100 件 500 元。假定开始时和计划期末库存量都答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 16 页 共 25 页是零。试问应在各个月各生产多少件货物，才能既满足交货任务又使总费用最 少？ 月 份 1 2 3 4 需求（百件） 2 3 2 4 12．某集团公司有 4 个单位的资金，要向下属三个子公司投资。由于条件不同， 使用资金的效益也不同。具体数据见下表。为使此集团获得最大收益，试问 每个子公司各投资多少单位资金？（表内数字为投资所获收益） 资金 子公司 0 1 2 3 4 1 0 1 4 5 6 2 0 2 3 5 7 3 0 3 4 6 6 13．某公司有 500 台完好的机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负 荷下进行生产时，每台机器每年可收入 50 万元，机器损坏率为 70% ，在低 负荷下进行生产时，每台机器每年可收入 30 万元，机器损坏率为 30% ，估 计五年后有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。要求制定一个五年计划， 在每年开始时，决定如何分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量， 使在五年内总产值最高。并计算每年初完好机器台数。 14．某工厂购近 100 台设备，准备生产 A、B 两种产品。如果生产产品 A，每台 设备每年可收入 10 万元，但机器损坏率为 65 %，如果生产产品 B ，每台设 备每年可收入 7 万元，机器损坏率为 40% ，三年后的设备完好情况不计，试 问应如何安排每年的生产，使三年的总收入最大？又如果要求三年后有 20 台 机器是完好的，则应如何安排每年的生产，使三年的总收入最大？ 15．某工厂有 5 个单位的能源要供给 3 个车间，供给方案及各车间获得能源后所 产生的效益在下表给出，问应如何分配这些能源，使工厂的总收益最大？ 能 源 车间 0 1 2 3 4 1 0 5 6 ― ― 2 0 ― 8 9 12 3 0 3 ― ― ― 注：表中的“――”表示没有此方案。《运筹学》第六章排队论习题 运筹学》1. 思考题答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 17 页 共 25 页（1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3） Kendall 符号 X / Y / Z / A / B / C 中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第 1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对 M / M / 1 或 M / M / C 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由 1 名工人 看管 5 台机器，或由 3 名工人联合看管 15 台机器时，机器因故障等待工人维修的平 均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为 Poisson 流，平均每小时 3 人，修理时间服从负 指数分布，平均需 19 分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有 4 个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过 15 分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为 Poisson 流，平均到达时间 间隔为 20 分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需 12 分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过 1 小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有 1 名服务员，平均每小时有 4 名顾客到达，到达过程为 Poisson 流， ，服 务时间服从负指数分布，平均需 6 分钟，由于场地限制，系统内最多不超过 3 名顾客，求： （1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数；答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 18 页 共 25 页（3）排队等待服务的顾客数； （4）顾客在系统中的平均花费时间； （5）顾客平均排队时间。 6．某街区医院门诊部只有一个医生值班，此门诊部备有 6 张椅子供患者等候应诊。当椅子 坐满时， 后来的患者就自动离去， 不在进来。 已知每小时有 4 名患者按 Poisson 分布到达， 每名患者的诊断时间服从负指数分布，平均 12 分钟，求： （1）患者无须等待的概率； （2）门诊部内患者平均数； （3）需要等待的患者平均数； （4）有效到达率； （5）患者在门诊部逗留时间的平均值； （6）患者等待就诊的平均时间； （7）有多少患者因坐满而自动离去？ 7.某加油站有四台加油机，来加油的汽车按 Poisson 分布到达，平均每小时到达 20 辆。四 台加油机的加油时间服从负指数分布，每台加油机平均每小时可给 10 辆汽车加油。求： （1）前来加油的汽车平均等待的时间； （2）汽车来加油时,4 台油泵都在工作,这时汽车平均等待的时间. （人） 个窗口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟卖给 ? = 0.4 （人） ，3 ，设可以归 纳为Ｍ/Ｍ/3 模型，试求： （1）整个售票处空闲的概率； （2）平均对长； （3）平均逗留时间； （4）平均等待时间； （5）顾客到达后的等待概率。 9．一个美容院有 3 张服务台，顾客平均到达率为每小时 5 人，美容时间平均 30 分钟，求： （1）美容院中没有顾客的概率； （2）只有一个服务台被占用的概率。 10．某系统有 3 名服务员,每小时平均到达 240 名顾客,且到达服从 Poisson 分布，服务时间 服从负指数分布，平均需 0.5 分钟，求: (1)整个系统内空闲的概率； (2) 顾客等待服务的概率； （3）系统内等待服务的平均顾客数； （4）平均等待服务时间； （5）系统平均利用率； （6）若每小时顾客到达的顾客增至 480 名，服务员增至 6 名，分别计算上面的 （1）――（5）的值。 11．某服务系统有两个服务员，顾客到达服从 Poisson 分布，平均每小时到达两个。服务时 间服从负指数分布，平均服务时间为 30 分钟，又知系统内最多只能有 3 名顾客等待服务， 当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。求： （1）系统空闲时间； （2）顾客损失率； （3）服务系统内等待服务的平均顾客数； （4）在服务系统内的平均顾客数； （5）顾客在系统内的平均逗留时间； （6）顾客在系统内的平均等待时间； （7）被占用的服务员的平均数。 12．某车站售票口，已知顾客到达率为每小时 200 人，售票员的服务率为每小时 40 人，求：答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html8．某售票处有 3 个售票口，顾客的到达服从 Poisson 分布，平均每分钟到达 λ= 0.9第 19 页 共 25 页（1）工时利用率平均不能低于 60％； （2）若要顾客等待平均时间不超过 2 分钟，设几个窗口合适？ 13．某律师事物所咨询中心，前来咨询的顾客服从 Poisson 分布，平均天到达 50 个。 各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量，服从负指数分布，每天平均接待 10 人。 每位律师工作 1 天需支付 100 元，而每回答一名顾客的问题的咨询费为 20 元，试为该咨 询中心确定每天工作的律师人数，以保证纯收入最多。 14．某厂的原料仓库，平均每天有 20 车原料入库，原料车到达服从 Poisson 分布，卸货率 服从负指数分布，平均每人每天卸货 5 车，每个装卸工每天总费用 50 元，由于人手不 够而影响当天装卸货物，导致每车的平均损失为每天 200 元，试问，工厂应安排几名装 卸工，最节省开支？ 15．某公司医务室为职工检查身体，职工的到达服从 Poisson 分布，每小时平均到达 50 人， 若职工不能按时体检，造成的损失为每小时每人平均 60 元。体检所花时间服从负指数 分布，平均每小时服务率为 ? ，每人的体检费用为 30 元，试确定使公司总支出最少的 参数 ? 。《运筹学》第七章决策分析习题 运筹学》1． 思考题 （1）简述决策的分类及决策的程序； （2）试述构成一个决策问题的几个因素； （3）简述确定型决策、风险型决策和不确定型决策之间的区别。不确定型决策 能否转化成风险型决策？ （4）什么是决策矩阵？收益矩阵，损失矩阵，风险矩阵，后悔值矩阵在含义方 面有什么区别； （5）试述不确定型决策在决策中常用的四种准则，即等可能性准则、最大最小 准则、折衷准则及后悔值准则。指出它们之间的区别与联系； （6）试述效用的概念及其在决策中的意义和作用； （7）如何确定效用曲线；效用曲线分为几类，它们分别表达了决策者对待决策 风险的什么态度； （8）什么是转折概率？如何确定转折概率？ （9）什么是乐观系数，它反映了决策人的什么心理状态？ 2． 判断下列说法是否正确 （1）不管决策问题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的； （2）具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感； （3） 3． 考虑下面的利润矩阵(表中数字矩阵为利润) 状态 方案 S1 S2 S3 E1 12 3 1 E2 8 16 15 E3 2 10 14 E4 －2 ９ 10 E5 18 2 －3S4 17 22 10 0 1２ 分别用以下四种决策准则求最优策略： （1）等可能性准则（2）最大最小 准则（3）折衷准则（取 λ=0．5） （4）后悔值准则。 4． 某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为 500， 或 2000 公斤。假定每公斤种子的订购价为 6 元，销售价为 9 元，剩余种子的处理价为每公答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 20 页 共 25 页斤 3 元。要求： （1）建立损益矩阵； （2）分别用悲观法、乐观法（最大最大）及等可能 法决定该商店应订购的种子数； （3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种 子数。 5． 根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的 某一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不掉， 则可在当天结束时每个 0.5 元处理掉。新鲜面包每个售价 1.2 元，进价 0.9 元，假设进货 量限制在需求量中的某一个，要求 （1）建立面包进货问题的损益矩阵； （2）分别用处理不确定型决策问题的各种方法确定进货量。 6．有一个食品店经销各种食品，其中有一种食品进货价为每个 3 元，出售价是每个 4 元， 如果这种食品当天卖不掉，每个就要损失 0．8 元，根据已往销售情况，这种食品每天销售 ，3000 个的概率分别为０．３，０．５和０．２，用期望值准则给出商店每天进 货的最优策略。 7．一季节性商品必须在销售之前就把产品生产出来。当需求量是 D 时，生产者生产 x 件商 品的利润（元）为：?2x 0 ≤ x ≤ D f ( x) = ? ?3D ? x x & D 利润设 D 有 5 个可能的值：1000 件。2000 件，3000 件，4000 件和 5000 件，并且它们的概率都 是 0.2 。生产者也希望商品的生产量是上述 5 个值中的某一个。问： （1） 若生产者追求最大的期望利润，他应选择多大的生产量？ （2） 若生产者选择遭受损失的概率最小，他应生产多少产品？ （3） 生产者欲使利润大于或等于 3000 元的概率最大，他应选取多大的生产量？ 8．某决策者的效用函数可由下式表示：U ( x) = 1 ? e ? x, 0 ≤ x ≤ 10000 元，概 率如果决策者面临下列两份合同： （表中数字为获利 x 的值） P1＝０.6 .4 0合 同 A（元） B（元） 问决策者应签哪份合同？ 9．计算下列人员的效用值： （1） 某甲失去 500 元时效用值为 1，得到 1000 元时的效用值为 10；有肯定得到 5 元与 发生下列情况对他无差别：以概率 0.3 失去 500 元和概率 0.7 得到 1000 元，问某 甲 5 元的效用值为多大？ （2） 某乙 －10 的效用值为 0.1；200 元的效用值为 0.5，他自己解释肯定得到 200 元与 以下情况无差别：0.7 的概率失去 10 元和 0.3 的概率得到 2000 元，问某乙 2000 元的效用值为多大？ （3） 某丙 1000 元的效用值为 0；500 元的效用值为 －150，并且对以下事件上效用值 无差别：肯定得到 500 元或 0.8 概率得到 1000 元和 0.2 概率失去 1000 元，则某丙 失去 1000 元的效用值为多大？ （4） 某丁得到 400 元的效用值为 120，失去 100 元的效用值为 60，有肯定得到 400 元 与发生下列情况对他无差别：以概率 0.4 失去 100 元和以概率 0.6 得到 800 元，则 某丁得到 800 元的效用值为多大？ 10．甲先生失去 1000 元时效用值是 50，得到 3000 元时效用值是 120，并且对以下事件上效 用值无差别：肯定得到 100 元或 0.4 概率失去 1000 元和 0.6 概率得到 3000 元。答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 21 页 共 25 页乙先生在失去 1000 元与得到 100 元的效用值和甲先生相同，但他在以下事件上态度无 差别：肯定得到 100 元或 0.8 概率失去 1000 元和 0.2 概率得到 3000 元。问： （1） 甲先生 1000 元的效用值为多大？ （2） 乙先生 3000 元的效用值为多大？ （3） 比较甲先生和乙先生对待风险的态度。 11．有一投资者，想投资建设一个新厂。建厂有两个方案，一个是建大厂，另一个是建小厂。 根据市场对该厂预计生产的产品的需求调查， 需求高的概率是 0． 需求一般的概率为 0． ５， 3， 需求低的概率是 0．2，而每年的收入情况如下表： （单位：万元） 方案 S1 状态 概率 (建大厂) E1（高） P(E1)=0.5 100 E2 (一般) 60 E3 (低)P(E2)=0.3P(E3)=0.2 －2025 45 55 S2 (建小厂) （１） 按利润期望值准则，应取哪一种方案？ （２） 投资者认为按利润期望值准则进行决策风险太大，改用效用值准则进行决策．在对 决策者进行了一系列询问后，得到以下结果： ① 损失 20 万元的效用值为 0；获得 100 万元的效用值为 100； 且对以下事件效用值无差别： ② 肯定得 25 万元或 0.5 的概率得到 100 万元和 0.5 的概率失去 20 万元； ③ 肯定得到 60 万元或 0.75 的概率得到 100 万元和 0.25 的概率失去 20 万元； ④ 肯定得到 45 万元或 0.6 的概率得到 100 万元和 0.4 的概率失去 20 万元； ⑤ 肯定得到 55 万元或 0.7 的概率得到 100 万元和 0.3 的概率失去 20 万元； 要求建立效用值表，且由效用值期望值法确定最优策略。 12．某甲 3000 元的效用值为 100，600 元的效用值为 45，-500 元的效用值为 0。试找出概率 P ， 使以下情况对他来说无差别： 肯定得到 600 元或以概率 P 得到 3000 元和以概率 （1-P） 失去 500 元。 13． 某人有 2 万元钱， 可以拿出其中 1 万元去投资， 有可能全部丧失掉或第二年获得 4 万元。 （1） 用期望值法计算当全部丧失掉的概率最大为多少时该人投资仍然有利； （2） 如该人的效用函数为 U ( M ) = M + 50000 ，重新计算全部丧失掉的概率最大 为多少时该人投资仍然有利。 14．某公司有 10 万元多余资金。如用于开发某个项目估计成功率为 95% ，成功时一年可获 利 15% ，但一旦失败，有全部丧失资金的危险。如把资金存放到银行中，则可稳得年 利 4% 。为获得更多的信息，该公司求助于咨询公司，咨询费为 800 元，但咨询意见只 是提供参考。拒过去咨询公司类似 200 例咨询意见实施结果如下表所示，试用决策树法 分析： （1）该公司是否值得求助与咨询公司； （2）该公司多余资金该如何使用？ 实施结果 投资成功 咨询意见 可以投资 不宜投资 合 计 150 次 22 次 172 6次 22 次 28 156 次 44 次 200 次 投资失败 合 计答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 22 页 共 25 页《运筹学》第八章图与网络分析习题 运筹学》1.思考题 (１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边； ②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。⑨子图，部分图，真子图． (２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义． (３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义． (４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系． (６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法． (８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法． (９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。 2.判断下列说法是否正确 (1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何 形状无关。 (2) 一个图 G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 (3) 如果一个图 G 从 V1 到各点的最短路是唯一的，则连接 V1 到各点的最短路，再去掉重 复边，得到的图即为最小支撑树。 (4 )图 G 的最小支撑树中从 V1 到 Vn 的通路一定是图 G 从 V1 到 Vn 的最短路。 (5) {fij=0}总是最大流问题的一个可行流。 (6 )无孤立点的图一定是连通图。 (7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。 (8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。 (9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图 G 中的一个点 V1 总可以看成是 G 的一个子图。 3.证明：在人数超过 2 的人群中，总有两个人在这群人中恰有相同的朋友数。v 4. 已 知 九 个 人 1, v2 ,L , v9 ， v1 和 两 个 人 握 过 手 ， v2 ,v3 各 和 四 个 人 握 过 手 ， v4 , v5 , v6 , v7 各和五个人握过手， v8 , v9 各和六个人握过手。证明这九个人中，一定可V2 C1 C4 V1 C3 V4 C6 V5 C2 C5 V3 C8 C7 C9 C11 C10 V7 C13 C12 C14 V9 V6 V8以找出三个人互相握过手。5．用破圈法和避圈法求下图的部分树答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 23 页 共 25 页V1 V6V4 V5V2V3 (1) （３） V1 V2 V3V5 (2)V4８ ６ ３ ７ ３ ４ ７ （１） ７ ５ ３ ２ ４ ２ ５ ２ １ ４ ２ ３４ ２ ５ ４ ６ （２） ２ １ ９ ４ ３6．写出下面各图中的顶点数、边数及顶点的次数，哪些是简单图。 7．完全图Ｋn 有多少条边？ 8．求下列各图的最小树５ ３ １ ２ ４ ５ ６３ ８ ２ １ （３）７ 答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html ３第 24 页 共 25 页v 9.用标号法求下图中从 1 到各顶点的最短距离V2 2 V1 3 6 5 V3 7 V4 3 7 5 2 3 1 V6 4 V7 4 3 1 3 V10 V5 2 1 V8 6 V9 7 4 8 V1110．在下图中用标号法求V3 3 V2 2 V4 3 V5 3 3 4 V6 1 V7 2 1 2 V8 8 3 V94 V1（１）从 1 到各顶点的最短距离； （２）若从 1 到 9 ，走哪一条路最短。 11．已知 8 个村镇，相互间距离如下表所示,已知 1 号村镇离水源最近，为 5 公里，问从水 源经 1 号村镇铺设输水管道将各村镇连接起来，应如何铺设使输水管道最短（为便于管理和 维修，水管要求在各村镇处分开） 。 各村镇间距离 （单位：公里） 到 2 3 4 5 6 7 8 从 1 2 3 4 5 6 7 1.5 2.5 1.0 1.0 2.0 2.5 2.0 1.0 2.0 2.5 2.5 3.0 2.5 1.5 3.0 3.5 2.5 2.0 1.5 1.8 0.8 1.5 1.8 1.0 1.0 1.5 1.0 0.5vvv答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html第 25 页 共 25 页4 10 V1 8 15 6 8 12.用标号法求下面网络的最大流. 13. 用标号法求下面网络的最大流. 2 4 V1 4 5 3 4 5 3 12 10 98 12 10 18 14 15 13 6 Vt8 3 3 2 5 Vt(6,6) V1 (5,1) (10,5) (1)(7,4) (2,3) (8,2) Vt V1(5,6)(3,2)(3,4) (4,1)(9,2)(4,19) (2,3) (2)(1,1) Vt14.求下列网络的最小费用最大流.括号内的两个数字,前一个是单位流量的费用,后一个是 该弧的流量.答案参见我的新浪博客：.cn/s/blog_3fbmuda.html
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