2009年9月第28卷第5期
保山师专学报
JournalofBaoshanTeachers′College
Sept.,2009Vol．28No．5
拉普拉斯变换的应用
（南京化工职业技术学院，南京210096）
要：利用拉普拉斯变换的定义及其性质来求解概率密度、微分方程与积分方程，求解实变量的广义积分以及利用
单位阶跃函数将分段函数化简为一个式子。
关键词：拉普拉斯变换；概率密度；微分方程；积分方程；广义积分；单位阶跃函数中图分类号：O17
文献标识码：A
文章编号：（-03
ApplicationofLaplacesequation
Huiyunhuang
(SoutheastUniversity,NanjingcollengofchemicaltechnologyNanjing210096)
Abstract:Inthispaper,thedefinitionofLaplacesEquationanditspropertieswereappliedtosolvethe
probabilitydensity,differentialequations,integralequationsandimproperintegralofrealvariables.Itwasalsousedtosimplifyunitstepfunction.
Keywords:LaplacesEquation,probabilitydensity,differentialequation,integralequation,improperintegral,unitstepfunction
拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论，它在应用数学中占有很重要的地位。拉普拉斯变换的定义如果在变实数t≥0上有定义的函数f(t)使积分
(z)=f1(t)*f2(t)=
乙f(t)f(t-τ)dτ
例题1设X与Y是两个相互独立的随机变量，且均在区间[0,1]上服从均匀分布求Z=X+Y的密度函数。
解：因X与Y独立，由卷积公式知fZ(z)=(z-y)fY(y)dy
当z&0时，被积函数z-y与y至少有一个为负，所以fZ(z)=0为0，
当0≤z&1时，欲使被积函数非零，必须有0≤0≤y≤1，从而0≤y≤z，所以fZ(z)=z-y≤1，
乙ef(t)dx=lim乙ef(t)
则称F(s)=dt对于已给的一些s存在，函数f(s)的拉普拉斯变换
乙f(t)edt为
1.利用拉普拉斯变换的卷积性质求解概率
卷积定义：设f1(t),f2(t)在(-∞,+∞)上有定义，若广义积分
则称此积分为f(t)，乙f(t)f(t-τ)dτ收敛，
当1≤z&2时，欲使被积函数非零，必须有0≤0≤y≤1，从而z-1≤y≤1，所以fZ(z)=z-y≤1，dy=2-z
当z≥2时，0≤z-y≤1，0≤y≤1不可能同时满
记为f1(t)*f2(t)。f2(t)在(-∞,+∞)上的卷积，
引理：设随机变量X与Y相互独立，其概率密度为fX(x)，fY(y)则随机变量Z=X+Y的概率密度为fZ
收稿日期：
作者简介：黄会芸（1979-），女，江西高安人，南京化工职业技术学院基础部，硕士，研究方向为数学教学。
黄会芸：拉普拉斯变换的应用
足，故fZ(z)=0，综合起来，有
1≤z≤2；fZ(z)=2-z，
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
经典的方法求解是很困难的，而用拉普拉斯变换不会带来任何困难；在实际计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像函数，这就使得求解方程变得更加方便。
0≤z≤1；z，
2.利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程
应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程，其求解方法大致以下三个步骤：
1）对原微分方程两端取拉普拉斯变换，同时结合其初始条件，将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程。
2）求解象函数满足的代数方程，得到象函数。3）对求得的象函数做拉氏逆变换，得原方程之解。
求方程x苁+3x″+3x′+x=1的满足初始
3.利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分
对于一些实变量的广义积分数学分析教材中提供的方法很难解出结果，我们可以通过引进参变量t,使其成为t的函数,再利用取拉普拉斯变换的方法,并使参变量t取某些特殊值,确定出积分的值。
例题4计算积分解:设f(t)=交换积分次序,得
F(s)=L[f(t)]=
sindx取拉普拉斯变换并x+∞
条件x(0)=x′(0)=x″(0)的解。
解：对方程两边施行拉普拉斯变换得1由此得()=1），把上（s3+3s2+3s+1X(s)=，Xs式右端分解成部分分式1=1-1-1-1，对上式右端各项分别求出（查表）其原函
s数，则它们的和就是X(s)的原函数x(t)=1-e-te-1
xsintxdxe-stdtx-st
x乙sintxedtdx
xxdx=π(1+s)
s再取拉普拉斯逆变换f(t)=L-1[F(s)]=πL-1[1]=π
这就是所要求的解应用拉普拉t2e-t=1-1(t2+2t+2)e-t，
斯变换求积分方程。
例题3解积分方程y(t)=sint-2
xsinxdx=f(1)=π
乙y(τ)cos(t-τ)dτ
4.利用拉普拉斯变换单位阶跃函数将分段
函数化成一个式子
单位阶跃函数在电子技术中有广泛应用，其作用一般有如下两点：其一，对于任意一个函数f(t)，+∞)，用u(t)去乘，其积f(t)u(t)可使积分区t∈(-∞，
间由(-∞，+∞)变成(0，+∞)这一点满足了拉普拉斯变换所需要的条件。所以借助于单位阶跃函数，能够准确地表述状态，从而正确地解决实际问题。其二，利用单位阶跃函数可以将某些分段函数合写成一个式子，使得问题简化，这就能更方便的利用拉氏变来解决问题。因此在使用拉普拉斯变换时，必须要注意到单位阶跃函数的作用。
利用单位阶跃函数将分段函数写成
解：解此方程要用到拉普拉斯变换的卷积性质。令Y(s)=L[y(t)]则Y(s)=L[sint]-2L[y(t)]L[cost]=1-2sY(s)
+s+s故Y(s)=1于是y(t)=L-1[Y(s)]=te-t
用拉普拉斯变换法解微分或者积分方程有以下几个优点：求解过程规范，便于在工程技术中使用；当初始条件全部为0时（这在工程中常遇到），用拉普拉斯变换求解就会特别简单，而用经典的方法求解不会因此而简单；当方程中的非齐次项（在工程中称为输入函数）具有跳跃点而不可微时，用
保山师专学报第28卷
一个式子，并求其拉普拉斯变换
!#######"#######$20≤t＜22≤t＜44≤t＜6t≥6+2L[u(t-4)]-2L[u(t-6)]=2+2e-2p+2e-4p-2e-6p=2ppppp(1+e-2p+e-4p-e-6p)。f(t)=464参考文献：解:从该函数可以看到，当t≥2时，f(t)的值在2的基础上又增加了2，即增加了2u(t-2)，当t≥4时，即增加了2uf(t)的值在4的基础上又增加了2，
(t-4)，当t≥6时，f(t)的值在6的基础上又增加了-2，即增加了-2u(t-6)，所以，这个分段函数可表示为f(t)=2ut+2u(t-2)+2u(t-4)-2u(t-6)由拉普拉斯变换的线性性质及滞后性质有L[f(t)]=2L[u(t)]+2L[u(t-2)][1]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1999.[2]韩志刚.级数与拉普拉斯变换[M].北京：化学工业出版社，2003.华东理工大学出版社，[3]薛以锋.复变函数与积分变换[M].上海：2001.（第2版）[M].北京：高等教育出版社，[4]盛骤.概率论与数理统计2000.[5]张元林.积分变换(第四版)[M].北京:高等教育出版社，
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Laplace变换起源于傅立叶变换，只不过是对傅立叶变换进行了拓展，从时间t&0开始进行积分运算，比较适合实际物理模型。
对一个系统进行分析和研究，首先要知道该系统的数学模型，也就是要建立反映该系统特性的数学表达式，即偏微分方程，利用Laplace变换可以将偏微分方程化成常微分方程，将常微分方程化为代数方程，根据这个代数方程求出像函数，然后再取逆变换求出原微分方程的解。
类似于傅利叶变换完成时域和频域转换一样，拉普拉斯变换将一个信号从时域上，转换为复频域。从数学上讲应用拉普拉斯变换将指数关系运算转换乘法关系运算，因此可用来解常变量齐次微分方程，拉普拉斯变换可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
应用拉氏变换：
（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。
（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。
&(3)利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
现在给你举个例子：
我们学控制的时候，比如一个二阶电路RLC
系统微分方程是：
LC*Uc'' + RC*Uc' + Uc = U
设想你借这个微分方程多费劲，
那么你用laplace变换，微分方程变为
LC*s^2*Uc + RCs*Uc + Uc = U
然后Uc = U/ (LCs^2 + RCs + 1)
然后可以查表直接得出结果（就跟查积分表一样方便），这不比你解微分方程，强多了么！
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
拉普拉斯变换
定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数
其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal
left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取0-而不是0或0+
，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
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求下列各象函数F（s)的拉普拉斯逆变换f（t)。
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求下列各象函数F(s)的拉普拉斯逆变换f(t)。请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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F1(s), L[ f2 (t )] = F2 (s), K1 , K2为常数， 为常数， L[K1 f1(t ) + K2 f2 (t )] = K1F1(s) + K2F2 (s)例题： 例题：求f (t) = cos(ωt)ε（t）的象函数1 jω t ?jω t f (t ) = cos(ωt ) = e + e 2 1 ?α t Le = s +α 1? 1 1 ? L[cos(ω t )] = ? + ? = s ? 2 ? s ? jω s + jω? s2 +ω2 ? ω L[sin(ω t )] = 2 s +ω2()已知 则 同理[ ]X第.例题? π? 已知f (t)＝ 2 cos?t + ?ε (t ), 求F(s)。 ? 4?3 页π π f (t ) = 2 cos t cos ? 2 sin t sin = cos t ? sin t 4 4s 1 s ?1 F(s) = ? = 2 2 1 + s 1 + s 1 + s2X第 4 页二．原函数微分（收敛域不变）?d f (t ) ? 若L[ f (t )] = F(s), 则L? ? = sF(s) ? f (0? ) ? dt ? ∞ ∞ ?st ?st ? ∞ ? sf (t ) e?st ? d t 证明： 证明： ∫0 f ′(t ) e d t = f (t ) e 0 ? ?∫0 ? ? 0- ? 00= ? f (0) + sF(s) -推广： L[ f ′′(t)] ? s[sF(s) ? f (0? )] ? f ′(0? ) 推广：= s 2 F(s) ? sf (0? ) ? f ′(0? ) LL L[ f (n) (t)] ? s n F(s) ? ∑s n?1?m f (m) (0? )m=0 n?1X例d ?2t f1 (t ) = [e ε (t )], dt第 5 页求f1(t) 的单边拉氏变换。解 (1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于d ?2 t f1 (t ) = [e ε (t )] = δ (t ) ? 2e ?2 tε (t ) dt故根据线性得2 s F1 ( s ) = L[ f1 (t )] = 1 ? = s+2 s+2? 2t ? 2t若应用时域微分性质求解，则有F1 ( s) = sL[e ε (t )] ? e ε (t ) t =0?s = s+2X第 6 页三．延时（时域平移）（收敛域不变）若L[ f (t)] = F(s)，则 L[ f (t ? t0 )ε (t ? t0 )] = F(s) e?st0? ∞t00证明： 证明： [ f (t ? t )ε (t ? t )] = ∞ f (t ? t )ε (t ? t ) e?stdt L 0 0 0 0 ∫= ∫ f (t ? t0 ) e?std t令τ = t ? t0， 则有t = τ + t0 , d t = dτ , 代入上式∞?L[ f (t ? t0 )ε (t ? t0 )] = ∫0 f (τ ) e e dτ?st0 ?sτ= F( s) e? st0X第 7 页时移特性、例题【例】已知f (t) = tε (t ?1)，求F(s)。 F(s) = L[tε (t ?1)] = L[(t ?1)ε (t ?1) + ε (t ?1)]? 1 1 ? ?s = ? 2 + ?e ? s s?∞求在t=0- 时接入的周期性单位冲激序 求在 列的象函数∞∑δ (t ? nT )n=0δ (t ? nT ) ?1+ e?Ts +L+ e?nTs +L ∑n=01 ∑δ (t ? nT) ? 1? e?Ts n=0∞X第 8 页例: 求矩形脉冲f (t) = gτ (t ? )的象函数 2τ? L[ f (t )] = L（ε（t） ε（t ? τ）） 1? e = S? SτX第 9 页四．原函数的积分若L[ f (t )] = F(s)，则F(s) f (?1) (0? ) L?∫ f (τ ) dτ ? = + ? ?∞ ? ? ? s stn 1 1 ( ?n) ( ?m) f (t) = n F(S) + ∑ n?m+1 f (0? ) s m=1 sX第例 求图 (a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。10 页解 f(t)的二阶导数为f ( 2 ) = 2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2) + 2δ (t ? 3)X第f ( 2 ) = 2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2) + 2δ (t ? 3)由于δ(t) ←→ 1, 由时移和线性性质得11 页F2 ( s ) = L[ f由时域积分性质( 2)(t )] = 2 ? 2e ? 2e?s?2 s+ 2e?3 sF2 ( s ) 2(1 ? e ? e e F ( s ) = L[ f (t )] = 2 = s s2?s?2 s ?3 s)X第五．尺度变换若L[ f (t )] = F(s), 则s 收敛域为： ] & σ0 , 即： s] & aσ0 Re[ Re[ a12 页1 ? s? L[ f (at )] = F? ? a ? a?(a & 0)证明： 证明：令τ = at，则 ?s? ?s? ?? ?τ ?? ?τ 1 ? s? ∞ ?τ ? 1 ∞ ?a? ?a? dτ = F? ? L[ f (at )] = ∫ f (τ ) e d? ? = ∫ f (τ ) e 0? a ?a? ? a ? a 0? 时移和标度变换都有时: 时移和标度变换都有时: b ?s 1 ?s? a (a & 0,b & 0) 若L[ f (at ? b)ε (at ? b)] = F? ? e a ?a?XL[ f (at )] = ∫ f (at ) e?std t∞ 0?第 13 页1 已知f (t ) ? F(S ) = 2 , 求f (2t ? 5)的像函数。 S1 1 f (2t ? 5) ? e 2 ( S )2 25 ?S 22 = 2e S5 ? S 2X第六．s域平移若L[ f (t )] = F(s)，则收敛域为： s] & σ 0 + a Re[14 页L f (t ) e?α t = F(s +α )[]证明： 证明：L f (t ) e[?α t]= ∫∞0?f (t ) e?α te?std t =F( s +α )同理： 同理： f (t)eat ? F(s ? a)X第求e?α t cosω0t的拉氏变换 例5-3-5s 已知: L[cos(ω0t )ε (t)] = 2 2 s +ω0 s +α ?α t 所以 e cos(ω0t )ε (t) ? 2 2 (s +α ) +ω0 ω0 ?α t 同理: e sin(ω0t )ε (t) ? 2 2 (s +α ) +ω015 页X第七．初值定理f (0+ ) = lim sF(s)s→∞16 页d f (t ) 可以进行拉氏变换， 若f (t )及 可以进行拉氏变换，且f (t ) ← →F(s), 则 ? dt lim f (t ) = f (0+ ) = lim sF(s)t →0+ s→∞, 应化为真分式： 若F(s)不是真分式应化为真分式： F1(s) = F(s) ? kf (0+ ) = lim s[F(s) ? k] = lim[sF(s) ? ks] = lim f (t )s→∞ s→∞ t →0+同理 f ′(0+ ) = lims[sF(s) ? f (0+ )] s→∞X第 17 页初值定理证明原函数微分定理可知 由原函数微分定理可知 ? d f (t ) ? ∞ d f (t ) ?st sF(s) ? f (0? ) = L? ?= e dt d t ? ∫0? d t ? 0+ d f (t ) ∞ d f (t ) ?st e dt + ∫ e?std t =∫ 0? 0+ dt dt ∞ d f (t ) e?std t = f (0+ ) ? f (0? ) + ∫ 0+ dt ∞ d f (t ) sF( s) = f (0+ ) + ∫ e?std t 所以 0+ dt ? ∞ d f (t ) ?st ? ∞ d f (t ) lim?∫ e dt? = ∫ lime?st d t = 0 s→∞ 0+ dt ? ? 0+ d t s→∞[]X第1 例4-3-1 已知: F(s) = , 求f (0+ ) = ? s18 页f (0+ ) = lim f (t ) = lim sF(s) = 1t →0+ s→∞即单位阶跃信号的初始值为1。 即单位阶跃信号的初始值为 。 2s , 求f (0+ ) = ? 所以 f (0+ ) = ?2 例4-3-2 F(s) = s +1 2s 2s 2 f (t )中有 δ (t )项 2 因为 F(s) = =? +2 s +1 s +1 ?? ? 2 ? 所以 f (0+ ) = lim [sF(s) ? Ks] = lim ?s? 2 ? ? ? 2s? s→∞ s→∞ ? ? s +1? ? ? 2s ?2 = lim = lim = ?2 s→∞ s + 1 s→∞ 1 1+ sX第八．终值定理终值存在的条件: 终值存在的条件f (∞) = lim sF(s)s→019 页df (t) 设f (t) ， 的拉氏变换存在，若 f (t) ? F(s) ， lim f (t ) = lim sF(s) 则 t →∞ s→0 dtsF(s)在右半平面和 jω轴(原点除外 )上无极点。证明： 证明： 根据初值定理证明时得到的公式 e-st=0 ∞ d f (t ) (s→0） sF(s) = f (0+ ) + ∫ e?std t (s→0 0+ dt ∞ d f (t ) lim sF(s) = f (0+ ) + lim ∫ e?std t s→0 s→0 0+ dt = f (0+ ) + lim f (t ) ? f (0+ ) = lim f (t )t →∞t →∞终值定理是取s→0的极限， 因而 的极限，因而s=0的点应在 （s）的收敛 的点应在sF（ ） 终值定理是取 的极限 的点应在 域内，否则不能应用终值定理。 域内，否则不能应用终值定理。X第九．卷积定理（收敛域为F1(s)与F2(s)的公共部分)20 页为有始信号， 若L[ f1 (t )] = F1 (s)，L[ f2 (t )] = F2 (s)，f1 (t ), f2 (t )为有始信号， L[ f1(t ) ? f2 (t )] = F1(s)F2 (s) 则 1 L[ f1 (t ) ? f2 (t )] = F1 (s) ? F2 (s) 2π j ∞ ∞ 证明： 证明： L[ f (t)1 * f2 (t)] = ∫0 ∫0 f1 (τ )ε (τ ) f2 (t ?τ )ε (t ?τ )dτ e?st dt 交换积分次序? ?L[ f1(t ) ? f2 (t )] = ∫0 f1(τ ) ∫0 f2 (t ?τ )ε (t ?τ )e?stdt dτ∞ ∞[积分区间： ∫ 令x = t ?τ , t = x +τ , 积分区间： 同 ∫L[ f1 (t ) ? f2 (t )] = ∫ f1 (τ ) e∞ 0∞∞]?sτ? ∞ f ( x) e?sxd x? dτ = F (s)F (s) 1 2 ?∫0 2 ? ? ?X－τ0第十．对s微分（收敛域不变）若L[ f (t )] = F(s)，则 dn F(s) L t n f (t ) = (?1)n dn s21 页[]n取正整数d F(s) 常用形式： L 常用形式： [tf (t )] = ? dsX第 22 页例 求f(t)=tnε(t)的单边拉氏变换。1 解 由于 ε (t ) ? , Re［s］＞0，得 s d ?1? 1 L[tε (t )] = ? ? ? = 2 Re［s］＞0 ds ? s ? sd ?1? 2 L[t ε (t )] = ? ? 2 ? = 3 ds ? s ? s2nRe［s］＞σ0重复应用以上方法可以得到n! L[t ε (t )] = n +1 sRe［s］＞σ0X第十一．对s积分（收敛域不变）? f (t ) ? ∞ 若L[ f (t )] = F(s)，则L? ? = ∫s F(s)d s ? t ?23 页证明： 证明：F(s) = ∫ f (t ) ? e?std t?∞∞ ∞∞? ∞ f (t ) ? e?std t ? d s 两边对s积分 积分： 两边对 积分： F(s) d s = ∫s ∫s ?∫?∞ ? ? ? ∞ ? ∞ e?s t d s ? d t 交换积分次序: = ∫?∞ f (t )?∫s 交换积分次序 ? ? ? ∞ ? 1 ?s t ∞ ? = ∫ f (t )?? e s ? d t ?∞ ? t ? ∞ f (t ) =∫ ? e?s t d t ?∞ tX第 24 页例 4.2-11sin t f (t ) = ε (t ), 求f(t)的单边拉氏变换。 t1 , 解 由于 sin t ? ε (t ) ? 2 s +1根据复频域积分性质，得∞ 1 ? sin t ? ε (t ) ? F ( s) = L? dλ =∫ 2 ? s λ +1 t ? ?= arctan λ∞ s1 = arctan sX第十二、小结25 页1.线性 k1 f1(t) + k2 f2 (t) ? k1F (s) + k2F2 (s) Re[s] & max(σ1,σ2 ) 1 ? f ′(t) ? sF(s) ? f (0? ) 2.时域微分 ? 收敛域不变 2 ? f ′′(t) ? s F(s) ? sf (0? ) ? f ′(0? ) 1 ( ?1) 3.时域积分 f (t) ? F(s) ? sf (?1) (0? ) 收敛域为： s Re[s] & σ0与Re[s] & 0重叠的部分 4.时域平移 f (t ? t0 )ε (t ? t0 ) ? e?st F(s) 收敛域不变 1 s 5.尺度变换 f (at) ? F( ) 收敛域为： s] & aσ0 Re[ a a 1 ? bs s f (at ? b)ε (at ? b) ? e a F( ) (a & 0, b ≥ 0), Re[s] & σ0 + a a a0X第 26 页续6.复频移特性 f (t)es t ? F(s ? sa ) 其中sa = σa + jωa , 则收敛域为： s] & σ0 +σ a Re[ ? f (0+ ) = limsF(s) ? s→∞ 7.初值定理 ? ? f ′(0+) = lims[sF(s) ? f (0+ )] s→∞ ? 8.终值定理 f (∞) = limsF(s)a? f1(t) ? f2 (t) ? F (s)F2 (s) 1 ? 1 9.卷积定理 ? 收敛域为F (s)与F2 (s)的公共部分 1 f1(t) f2 (t) ? F (s) ? F2 (s) 1 ? 2πj ? dF(s) 10.对s域微分 tf (t) ? ? 收敛域不变 ds ∞ f (t) 11.对s域积分 ? ∫s F(s)ds 收敛域不变 ts→0X}