《运用平方差公式因式分解》教学设计
运用平方差公式因式分解
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知识点总结
因式分解知识点列举
　　(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
　　(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．
　　(3)确定公因式的：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．
　　(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
　　(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．
　　(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出&-&号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出&-&号时，多项式的各项都要变号．
　　(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．
　　(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
　　(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)
　　(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
　　①系数能平方，(指的系数是完全平方数)
　　②字母指数要成双，(指的指数是偶数)
　　③两项符号相反．(指的两项一正号一负号)
　　(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．
　　(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2&2ab+b2=(a&b)2
　　(13)完全平方公式的特点：
　　①它是一个三项式．
　　②其中有两项是某两数的平方和．
　　③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．
　　④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．
　　(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
　　(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式．
　　(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
　　(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提．
　　(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式．
　　(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键．
　(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果将常数项q分解成两个因数a，b，而a+b等于一次项系数P，那么它就可以分解因式．
　　即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab
　　=(x+a)(x+b)
　　这里的关键：掌握a，b与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主要是：ab=q，a+b=p
　　(21)十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法．
　　(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解．
　　(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2＋a2c1=b．
　　这四个因数的找出，要经过反复尝试，为了减少尝试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积．
　　即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2
　　＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
　　(24)二次三项式ax2＋bx＋c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方．
　　(25)因式分解的一般步骤：
　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解．
　　(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．
　　①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．
　　②如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．
　　③如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
　　(27)因式分解要注意的几个问题：
　　①每个因式分解到不能再分为止．
　　②相同因式写成乘方的形式．
　　③因式分解的结果不要中括号．
　　④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出&-&号，使括号内的第一项系数为正数．
　　⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．
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把下列各式分解因式：（1）25x2-16&&&&&&&&&&&（2）a3b-ab（3）-3x2+6xy-3y2（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2（5）（x+2）（x-6）+16．
挚爱戴拿FR39W
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（1）原式=（5x+4）（5x-4）；（2）原式=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）；（3）原式=-3（x2+y2-2xy）=-3（x-y）2；（4）原式=（m+n-2m）2=（n-m）2；（5）原式=x2-4x+4=（x-2）2．
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（1）直接利用平方差公式进行分解即可；（2）首先提取公因式ab，再利用平方差进行分解；（3）首先提取公因式-3，再利用完全平方进行分解；（4）直接利用完全平方进行分解；（5）首先利用整式的乘法进行计算，然后再利用完全平方进行分解．
本题考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
考点点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
扫描下载二维码3．3　公式法第2课时　利用完全平方公式进行因式
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
1．分解因式：
(1)x2－4y2；　　　(2)3x2－3y2；
(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；
2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？
二、合作探究
探究点一：用完全平方公式因式分解　　　　　　　　　　　　　　　
【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式
下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是a，b两数的积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是3a和2b两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 运用完全平方公式分解因式
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点二：用完全平方公式因式分解的应用
【类型一】 运用因式分解进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
【类型二】 完全平方公式的非负性的运用
试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．
解析：先提取后，分组凑成完全平方公式，从而判断它的非负性．
解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．
方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于把原多项式化为三个完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非负性来作出判断．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第13题
【类型三】 整体代入求值
已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.
方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．
本节课学生的探究活动比较多教师既要全局把握又要顺其自然千万不可拔苗助长为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养又是对公式的识记过程而且还可以提高他们应用公式的能力
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(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用相关文档pptpptpptpptpptpptpptpptpptpptdocdocdocdocdocpptpptdocdocdocdocdocdocdocdocpptpptpptpptppt关于我们常见问题关注我们官方公共微信君，已阅读到文档的结尾了呢~~
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