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3.1-一维晶格的振动
第三章 晶格振动与晶体 热力学性质3.1 一维晶格的振动徐智谋华中科技大学光电子科学与工程学院1为了避免数学上的复杂和烦琐，先来研究一 维的晶格振动。 一维的晶格振动既容易求解又能 较全面地反映晶格振动的基本特征，由此所获得 的一维晶格振动的规律既有助于理解又可合理推 断出三维晶格振动的规律。<
br />尽管晶体中原子的平衡位置具有周期性，但由于原子数 目极大，原子与原子间存在相互作用，任一原子的位移 至少与相邻原子、次近邻原子的位移有关，所以严格求 解晶格振动是一个极其困难的事。为探讨晶格振动的基 本特点，人们只能采取一些近似的方法。一维振动是最 简单的一种振动。2一维单原子链(一维简单格子)的振动1、振动方程及其解(1) 模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子aun-2un-1unun+1un+23第n-2个原子第n-1个原子第n个原子第n+1个原子 第n+2个原子aun-2un-1unun+1un+2用un和uk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用unk= un-uk表 示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。 (2) 振动方程和解 平衡时，第k个原子与第n个原子相距n ? k a?r04u( r ) 为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u( r0 ) ，r : 为两个原子间的距离.t时刻为：U (r )? U (r0 ? ?r )由于原子在平衡位置附近作微小振动，U (r ) ? U (r0 ? ?r )U (r )变化不大。2 3 ? ? ? d U 1 d U 1 d U? ? ? 2 3 ? ? ? ? U (r0 ) ? ? ( ? r ) ? ( ? r ) ? ??? ? ?r? ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? dr ? r 6 ? dr ? r ? dr ? r00 0u nk在平衡位置附近展成泰勒级数2 ? d U 1 d U ? ? U ( r ) ? U (r0 ) ? ? ? u nk ? ? ? dr 2 d r 2 ? ? r0 ?? 2 1 ? d 3U ? ? u nk ? 6 ? ? dr 3 ? r0 ?? 3 ? ? u nk ? ? ? ? ? r0第 n个与第 k个原子间的相互作用力:f nk? d 2U dU ?? ? ?? ? dr 2 dr ?? 1 ? d 3U ? ? u nk ? 2 ? ? dr 3 ? r0 ?? 2 ? ? u nk ? ? ? ? ? r05f nk? d 2U dU ?? ? ?? ? dr 2 dr ?? 1 ? d 3U ? ? u nk ? 2 ? ? dr 3 ? r0 ?? 2 ? ? u nk ? ? ? ? ? r0振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（?r）二次方以上的高次项，只保留到(?r) 项---简谐近似。得:?d U ? f nk ? ?? ? dr 2 ? ? unk ? ? ? nk unk ? ? r02?d U ? ? nk ? ? ? dr 2 ? ? ? ? r02弹簧振子：f ? ?kx弹性系数f n ? ? ? ? nk ?un ? uk ?k弹性恢复力系数(称：忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)原子的振动方程:d 2un ??n ? ? ? ? nk ?un ? uk ? m 2 ? mu dt kn?k a? r06只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：??n ? ?? ?un ? un?1 ? ? ? ?un ? un?1 ? mu第n个原子的运动方程d 2u n ??n ? ? ?un ?1 ? un ?1 ? 2un ?. 得: m 2 ? mu dt玻恩---卡门周期性边界条件：(3.4)设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其 振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，玻恩---卡门周期性边界条件:un ? un ? N固体物理学中极重要的条件，因许多重要理论结果的前提条件是晶格的周期性边界条件。7有了玻恩――卡门条件，(3.4)式便成了一个通式，它适合于N个原子中任 一个原子。设(3.4)式的通解是一简谐振动：给出通解：un ? Ae? i ??t ? qna ?? Aei ( qna??t )(3.5)un?1 ? Aei[ ( n ?1) qa??t ]原子都以同一频率?，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格 中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波， 这种波称为格波。q为格波的波矢。波矢是波的矢量，它的数量表示 波数： q ? 2?/ ? ，它的方向表8示波传播的方向。晶格中原子振动存在固定位相关系的平面波称为 格波。格波：在晶格中存在着角频率为?的平面波。 简谐平面波：2? ?? q? ? 2? q ? n? ? 格波的波矢： ?? ? 格波的传播方向： n ? 波速：v ? V p ? ?q格波? ? ? v ? ??? f ??? ? 2? ? T ? ?? ? 2?f , 2? ? ? ? q ?9给出通解：un ? Ae? i ??t ? qna ?? Aei ( qna??t )(3.5)un?1 ? Ae2i[ ( n ?1) qa??t ]将通解代入振动方程得振动频率:2? ? ? [1 ? cos( qa)] mqa ??2 sin m 2(3.6)色散关系?(晶格振动谱)(3.7)证明？10??n ? ?? ?2un ? un?1 ? un?1 ? mu给出通解:(3.4)un ? Ae2? i ??t ? naq ?? i ??t ? naq ? ? un ? ?i?Ae??n ? (?i? ) Ae u? mA ? 2e ? i ??t ? naq ?? i ??t ? naq ?? ?? 2 Ae ? i ??t ? naq ?? ? ? 2 Ae ? i ? wt ? naq ? ? Ae ? i ??t ? ?n ?1?aq ? ? Ae ? i ??t ? ?n ?1?aq ???m? 2 ? ? ( 2 ? e ? iaq ? e iaq )m ? 2 ? ? [ 2 ? (cos aq ? i sinaq) ? (cos aq ? i sinaq)] aq ? ? ( 2 ? 2 cos aq) ? 4 ? sin 22? ?2?msinaq 211qa ??2 sin m 2?色散关系 (晶格振动谱)(3.7)? 从上式可见，qa增加个2?的整数倍，即波矢q增加个倒格 矢2?/a的整数倍，频率?没有任何变化。这说明格波的频 率?在波矢空间内是以倒格矢为周期的周期函数。 ? 把上式的q换成-q，频率?也没有任何变化。这说明，格波 的频率?在波矢空间内具有反演对称性。 ? 设格波传播的速度为?，由波速与频率和波矢的关系式： ? = ? /q，可得格波的传播速度：? ? ?a v? sin . ? m ?(3.9)可见，格波传播速度是波长?的函数。波长不同的格波传播速度 不同，这与可见光通过三角棱镜的情况类似。不同波长的光，在 棱镜中传播的速度不同，折射角就不同，从而导致色散。所以通 12 常称?与q的关系为色散关系，也称振动频谱或振动谱。相 速 度 与 群 速 对于简谐波而言，波速(相速度)是指相位的 传播速度，也同于能量和波形的传播速度，而 大多数的媒质是具有色散的，及波在这种媒质中 的速度与其频率有关，各个简谐波分量具有不同 的相速，所以对于非简谐波，例如限长波列来说， “波速”的意义就含糊不清了，此时我们应以群 速来描述局限在有限范围的波列----波包的传播 速度。13相速度vp是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。 群速度vg是平均频率为?，平均波矢为q的波包的传播速度，它是合成波能量的传播速度。v ? vp ? ? ? f ?v ? vp 在q→0的长波极限下：在布里渊区边界处： q?q,d? vg ? dq即声速?v g ? vs???a, ? ? 2a, vg ? 0.142、色散关系 (第一布里渊区的色散关系)当 q???a, ? ? ? max ? 2?m;当 q ? 0, ? ? ? min ? 0由色散关系式可画图如下:? ?2?msinaq 2?m?? 2π / a ? π / a0π/a2π / a?是波矢q的周期性函数,且?(-q)= ?(q)。15??m? ?2?msinaq 2? 2π a?π aoπa2π a当 q?a ? qa ? 2?l且： un (q?) 故取：(l为 整 数 ),? (q?) ? ? (q)? Ae2π ? ? ?i ? ?t ? na ( q ? s) ? a ? ???m? un (q)π π ? ?q? a a简约布里渊区?π aoπa163、玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值(1) 玻恩---卡门周期性边界条件x n ? x n? N(2) 波矢q的取值N为晶体中原胞的个数对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):x n ? x n? NAe ? i ??t ? naq ? ? Ae? i[?t ?( n? N )aq]eiNaq?1Naq ? 2π ? l整数q?2π l Na由： ?π π ?q? a a得：?N N ?l ? 2 2(3.11)17l ? ?(N N N N ? 1),?( ? 2),?( ? 3),? ? ?,?1, 0,1, 2,? ? ?, 2 2 2 2(共N个值)波矢2π q? l 也只能取N个不同的值。 Na允许的波矢数目等于N，晶格振动波矢 只能取分立的值，振动谱是分离谱。 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目N184、长波极限(1) q ?2π?? 0，即对于长波极限??m弹性波qa qa sin( )? 2 2?? q? 2π a?π aoπa2π aaq ? aq ? ?2 sin ?2 ?a m 2 m 2?mq且：un-1=un=un+1，即某 一原子周围若干原子以相 同的振幅和位相作振动。? ? v?q比 较播速度：v?a?m波速是常数由连续介质波的传vp ?弹性模量 介质密度vp ? a?m19在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。定性讨论： q? 2? / ?定性讨论 ? ?? a 和 ? ? 2a 的两种 极限情况：q=0波长无穷大，整个晶 格象刚体一样作整体运动，因而恢 ? ?0 。 复力为0，q ? ? / a时, ? ? 2a 相反， ，邻近原子 反向运动(位相相反)，所以，恢复 力和频率取极大值。? ? 2a20(2)q???a，对应格波的截止频率弹性波??m布里渊区边界，波的群速：? qd? ?a 2 2 qa vg ? ?( ) ? cos( ) dq m 21? 2π a?π aoπa2π a得： v g?0?max ? 2(?m)群速为“0”，那么该波不能传播，称为“驻 波”。也就是说q的取值在布里渊区边界的话， 1 / 2 那么该格波形成“驻波”，即两原子的相对振 动。以后讲电子的“德布罗意波”在晶体中传 播，若波矢取值在布里渊区边界时，也形成 “驻波”。且：-un-1=un=-un+1，即相邻原子以相同的振幅作相对运 动。在下边复式格子讨论中可以看到，相对振动往往对 应较高的频率。21定性讨论： q? 2? / ?定性讨论 ? ?? a 和 ? ? 2a 的两种 极限情况：q=0波长无穷大，整个晶 格象刚体一样作整体运动，因而恢 ? ?0 。 复力为0，q ? ? / a时, ? ? 2a 相反， ，邻近原子 反向运动(位相相反)，所以，恢复 力和频率取极大值。? ? 2a222324例1. 求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原 子质量为m，恢复力常数为? (只考虑近邻原子间的相互作用)。解: 设最近邻原子间的恢复力系数为?，则: 色散关系: ? ? 2?msinaq 2l为整数由玻恩---卡门周期性边界条件:u1 ? u1? N2π q? l 5aeiNaq?1Naq ? 2π ? l5 5 ? ?l ? 2 225π π ? ?q? a a5 5 ? ?l ? 2 2l ? ?2, ? 1, 0, 1, 24π 2π 2π 4π q?? ,? ,0 , , 5a 5a 5a 5aaq ? ?2 sin m 2?? 2π ? π ?1 ? 2 sin , ?2 ? 2 sin , ?3 ? 0, ?4 ? ?2 , ?5 ? ?1 m 5 m 526一维双原子链(复式格子)的振动1、运动方程和解(1) 模型: 一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m&M。相邻原子间距均为a， 弹性恢复力系数(力常数)为?1。2n-22n-1? (? ) ?1(?2)2n2n+12n+2Mbma质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、? ? ?质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、? ? ?27u2n-2 (2) 振动方程和解u2n-1u2nu2n+1u2n+2??n ? ? ? ? n k ?un ? uk ? muk若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：??2n ? ?1 ?u2n?1 ? u2n ? ? ? 2 ?u 2n ?u2n?1 ? Mu ??2n?1 ? ? 2 ?u2n? 2 ? u2n?1 ? ? ?1 ?u 2n?1?u2n ? mu(3.12)(3.13)28设位移u2n和u2n+1为:u2 n ? Aei[ q (2n ) a ??t ] 2? Aei ?nqa??t ? ? Bei ( nqa??t )(3.14) (3.15)u2 n ?1 ? B?ei[ q (2n ) a ? qb??t ] 2其他原子位移可按下列原则得出: (1) 同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。 (2) 相隔一个晶格常数a的同种原子，相位差为aq。u2 n ? 2 ? Ae u2 n ?1 ? Bei[( n ?1) qa??t ]i[( n ?1) qa??t ]29(3) 色散关系 将其他原子位移和式(3.14)和(3.15)代入振动方程(3.12)和(3.13) ，得到:? M? 2 A ? ?1 ?B ? A? ? ? 2 A ? Be ?iqa ? m? 2 B ? ? ?1 ?B ? A? ? ? 2 Aeiqa整理 ，得到:1 2 ? iqa 2 1 2??? ? B?振幅A、B不会为零， 左式可以看成以A、 B为未知数的线性 齐次方程。?? ? ? ? M? ?A ? ?? ? ? e ?B ? 0 ? ?? ? ? e ?A ? ?? ? ? ? m? ?B ? 0iqa 2 1 2 1 2即有:( ?1 ? ? 2 ? M? 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 e )iqa? ( ?1 ? ? 2 e ? iqa ) ( ?1 ? ? 2 ? m ? )2?0(3.18)30由上式解得:? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16mM?1? 2 2 2 qa ? ? sin ( ) ?. (3.19) ?(m ? M ) ? (m ? M ) ? 2 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?2上式表明，与一维简单格子不同，由两种不同原子构成的一维复式格子存 在两种独立的格波，一种格波的频率高于另一种格波的频率。? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16mM?1? 2 2 2 qa ?A ? sin ( ) ? (3.20) ?(m ? M ) ? (m ? M ) ? 2 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?2? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16mM?1? 2 2 2 qa ?o ? sin ( ) ? (3.21) ?(m ? M ) ? (m ? M ) ? 2 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?2?0(+)-----光学支格波，?A(-)-----声学支格波31不难看出，复式晶格的振动频率在波矢空间内仍具 有周期性和反演对称性，即：??O带隙?1 ? ? 2 ?2π ? (q ? ) ? ? ?q ? a? ( ?q) ? ? ( q )mMq ? 0时 : ?o max ? (m ? M )( ?1 ? ? 2 ) ? ?1 ? ? 2??A? A maxo? q a?o min? A min ? 0折合质量?π aπ q ? 时: a?o min? A maxπ π ?q? a a 保持解的单值性 ?32(4) 波矢q的取值 由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：u2 n ? u2 ( n ? N ) ,u2( n ? N ) ? Aei[ nqa? Nqa??t ] ? u2 n ? Aei[ nqa??t ]e?iNaq?1qNa ? 2?l , l为 整 数? N N ?l ? 2 22π q? l Na(3.24)(共有N个值) 由N个原胞组成的一维双原子链，晶格振动的波矢的数目等于晶体的原胞数目N。π π ?q? a a波矢相同，频率不同，或者频率相同，波矢不同的振动属于不同的振动模式。对于一维双原子复式格子，一个波矢对应两个不同的频率，即：频率的数目为2N，格波(振 动模式)数目为2N。一维双原子链，每个原胞有两个原子，2N为原子总数，实质上是33原子的自由度数，即：晶格振动的模式数目等于原子自由度数之和。2、声学波和光学波(1) 定义声学波： 当波矢q 0时,?A ??1? 2 qa, (m ? M )( ?1 ? ? 2 )? A ? v Aq,vA ?2? a m?M可见，波速是一个常数。频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点。 在长波近似的情况下，我们还要证明：长声学支格波就是弹性波。基于上述 原因，我们称?A一支的格波为声学波。( ?1 ? ? 2 ) ? 16 mM?1? 2 ? 2 ? A m ax ? , ? A min ? 0 ?(m ? M ) ? (m ? M ) ? 2 ? 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) ?1/ 234? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16 mM?1? 2 2 2 qa ? ? sin ( ) ? (3.20) ?(m ? M ) ? ( m ? M ) ? 2 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?2 A? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16 mM?1? 2 2 qa ? sin ( ) ? ?(m ? M ) ? (m ? M ) 1 ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) 2 ? ? ( ?1 ? ? 2 ) ? 4mM?1? 2 2 ? ( qa) ? ?(m ? M ) ? (m ? M ) 1 ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 ) ? 2mM?1? 2 2 ? ? (qa) ]? ?(m ? M ) ? (m ? M )[1 ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) ??1 ? 2 ? (qa) 2 (m ? M )( ?1 ? ? 2 )?1 ? 2 ?A ? qa (m ? M )( ?1 ? ? 2 )35光学波：当波矢q( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) mM?12 ? 22 ? qa 0时, ?o ? 3 3 mM 4(m ? M ) ( ?1 ? ? 2 )( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) 1 mM?12 ? 22 vo ? ? a 3 3 mM q 4(m ? M ) ( ?1 ? ? 2 )?o ? vo q,?o max可见，波速不是一个常数。该支格波不具有弹性波的特征。(m ? M )( ?1 ? ? 2 ) ? ? mM?1 ? ? 2 ??：折合质量1/ 2( ?1 ? ? 2 ) ? 16mM?1? 2 ? 2 ?o m in ? ?(m ? M ) ? (m ? M ) ? ? 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?? ? A m ax.可见， ?o的最低频率比 ?A的最高频率还高。我们称 ?o一支的格波为光学波。 这是因为光学格波频率处于光波频率范围，大约在远红外波段。离子晶体能 吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中一个重要效应。 36? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16 mM?1? 2 2 2 qa ? ? sin ( ) ? (3.21) ?( m ? M ) ? (m ? M ) ? 2 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ?2 o? ( ?1 ? ? 2 ) ? 16 mM?1? 2 2 qa ? sin ( ) ? ?(m ? M ) ? ( m ? M ) 1 ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) 2 ? ? ( ?1 ? ? 2 ) ? 4mM?1? 2 2 ? ( qa) ? ?(m ? M ) ? ( m ? M ) 1 ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) ? ? ? ( ?1 ? ? 2 ) ? 2mM?1? 2 2 ? ( m ? M ) ? ( m ? M )[ 1 ? ( qa ) ]? ? 2 2 2mM ? ( m ? M ) ( ?1 ? ? 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) ?1 ? 2 ? ( qa) 2 mM ( m ? M )( ?1 ? ? 2 )?o ?( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) ?1? 2 ( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) mM?1? 2 2 ? (qa) 2 ? ? 1? ( qa ) mM (m ? M )( ?1 ? ? 2 ) mM (m ? M ) 2 ( ?1 ? ? 2 ) 237( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) mM?12 ? 22 ? ? qa mM 4(m ? M )3 ( ?1 ? ? 2 )3(2) 相邻原子的振幅之比?? ? ? ? M? ?A ? ?? ? ? e ?B ? 0 ? ?? ? ? e ?A ? ?? ? ? ? m? ?B ? 02 ? iqa 1 2 1 2 iqa 2 1 2 1 2(3.16) (3.17)对于声学支格波:B ?1 ? ? 2 eiqa 由(3.17)式可得： ? 2 A ?1 ? ? 2 ? m? A当q? 0 时，? A ? 0u2 n ? u2 n?1B ?1 A这说明，对于长声学支格波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原 子以相同的振幅和位相作整体运动。 因此，可以说，长声学波描述的是原胞的刚性运动，或者说，长声学 波代表了原胞质心的运动。38?? ? ? ? M? ?A ? ?? ? ? e ?B ? 0 ? ?? ? ? e ?A ? ?? ? ? ? m? ?B ? 02 ? iqa 1 2 1 2 iqa 2 1 2 1 2(3.16) (3.17)对于光学支格波:2 B ?1 ? ? 2 ? M?o 由(3.16)式可得： ? A ?1 ? ? 2 e ?iqa当q ?0时， 2( ?1 ? ? 2 )( m ? M ) ?o ? mMB M ? ? , 或AM ? Bm ? 0 A m这说明，对于长光学支格波，原胞中不同原子作相对振动，相邻原子 振动方向是相反的，且质量大的振幅小，质量小的振幅大，保持质心 不动。也就是说，长光学波是保持原胞质心不动的一种振动模式。39光学波声学波光学支格波，相邻原子振动方 向是相反的。声学支格波，相邻原子振动方向是 相同的。40长波极限条件下，q→0时，原子的位移情况：q?0 q?0光学波 声学波可以证明，q=?/a时，在声学支格波上，质量为m的轻原子保持不动；在 光学支格波上，质量为M的重原子保持不动。q? q? π a π a声学波光学波41例1:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m&M 。靠得较近的两个原 子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为?1， 分子间两原子间的恢复力系数为?2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系。2n-2 M b m 2n-1 2n 2n+2?12n+1 ?2a解：略。42例1:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m&M 。靠得较近的两个原 子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为?1， 分子间两原子间的恢复力系数为?2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系。2n-2 M b m 2n-1 2n 2n+2?12n+1 ?2a43x2 n? Ae2n ? ? ? i ? ? t ? aq ? 2 ? ?? Ae ? i ?? t ? naq ?x 2 n ?1 ? B?e2n ? ? ? i ?? t ? ( a ? b )q ? 2 ? ?? Be? i ?? t ? naq ?x2 n?1 ? Be?? 2? i ?? t ? ( n ?1) aq ?x2 n? 2 ? Ae ? i ?? t ?( n?1)aq ?x 2 n?1 ? ?? 2 Be ? i ?? t ?( n?1)aq ?..x 2 n ? ?? Ae?? 2? i ?? t ? naq ?? i ?? t ? naq ?x 2 n?1 ? ?? Bex 2 n? 2 ? ?? 2 Ae ? i ?? t ?( n?1)aq ?..将试探解代入方程得:? M? 2 A ? ? ? 1 ( A ? B ) ? ? 2 ( A ? Be ? iaq ) ? m? 2 B ? ? ? 2 ( B ? Ae iaq ) ? ? 1 ( B ? A)44??2 ? iaq ? ? ? M ? A ? ? ? ? e B?0 1 2 1 2???? ? 1 ? ? 2e iaq A ? ? 2 ? ? 1 ? m? 2 B ? 0?? ?????2 ? ? ? M ? 1 2? ? 1 ? ? 2e iaqmM?2?? ??? ? 1 ? ? 2e ? iaq1 ? ?2?? ?0 ? m? ?22 ? ?1 ? ? 2 ? 16mM ? 1 ? 2 ? 2 2 2 aq ? ? ? sin ?( m ? M ) ? ( m ? M ) ? ? 2 2mM ? 2 (?1 ? ? 2 ) ? ? ?2 ?o2 2 aq ? ?? ? ? ? 1 ? ? 2 m ? M ? ? 4 ? 1 ? 2 sin ?0? 16mM ? 1 ? 2 2 aq ? ? sin ?( m ? M ) ? ( m ? M ) ? ? 2 2mM ? 2 ( ? ? ? ) ? 1 2 ? ?2?1 ? ? 2 ? ?452 ?A? 16mM ? 1 ? 2 2 aq ? ? sin ?( m ? M ) ? ( m ? M ) ? ? 2 2mM ? 2 ( ? ? ? ) ? 1 2 ? ?2?1 ? ? 2 ? ?? (+)-----光学支格波，0? (-)-----声学支格波A2 ?A max16mM ? 1 ? 2 ? ( m ? M ) ? ( m ? M ) ? ? 2 2mM ? ( ? ? ? ) 1 2 ?2?1 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ??2 omin16mM ? 1 ? 2 ? ? ?( m ? M ) ? ( m ? M ) ? 2 ? 2mM ? ( ?1 ? ? 2 ) ?2?1 ? ? 2 ?? omin ? ? Amax?π π ?q? a a据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。46x 2 n ? x 2( n ? N ) ,x 2n ? Ae ? i ?? t ? naq ?Ae ? i ??t ? naq ? ? Ae ? i ??t ?( n? N )aq ?e iNaq ? 1π π ? ?q? a aq可取N个值。Naq ? 2πs? N N ?s? 2 247> 问题详情
计算一维环形原子链（原子质量m、弹性系数K、原子数N)的摩尔热容：（1) 用德拜模型;（2) 用精确的态密度；（3) 对固
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提问人：匿名网友
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计算一维环形原子链(原子质量m、弹性系数K、原子数N)的摩尔热容：(1) 用德拜模型;(2) 用精确的态密度；(3) 对固定的原子质量m、弹性系数K，(1)和(2)中哪个计算出来的比热容比较大？用低温展开证明你的观点。
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1在一个液体中，密度为ρ、表面张力系数为σ，色散关系为ν2=2πσ/(ρλ3)。&&(1) 构建一个类“德拜模型”，计算在总的表面能；(2) 计算有表面张力波贡献的比热容的低温展开式(例如在液氦中)。2在金刚石晶体中(原子量12)，杨氏模量为7×1011N/m，密度为3.5g/cm3。计算金刚石的摩尔热容Cmole(T)，并讨论它的特性。3在一个聚乙烯链(-CH=CH-)n，中，晶格常数为a分子团-CH-的质量为M，单键和双键的弹性系数分别为K1和K2。(1) 证明聚乙烯链的色散关系为&&&&(2) 计算色散关系的长波和短波展开；(3) 画出光学支和声学支的函数曲线。4计算BCC或FCC晶体的动力矩阵。
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