正文/柯西积分定理
　　　复积分定义&　设函数?(z)=u+iv在可求长曲线Г上是连续的，其中u和v分别是?(z)的实部和。在Г上依次取分点。Г上从zk-1到 zk的小段记为Гk,在Гk上任取一点,作和数 。如果当（sk是Гk的弧长）趋于零时,s趋于一极限值，则称这个极限值为?(z)沿曲线Г的积分，记为 ，即 。因为 ，所以 当λ→0时，上式右边的两个和数分别趋于 与 ，于是有 。　　柯西积分定理&　设?(z)在有限（即“无洞”且不含无穷远点的区域）D析,Г是D内任一条可求长、简单（即本身不相交）、闭(即两端点重合)曲线，则 。　　柯西定理有一理，即莫雷拉定理，这一定理与柯西积分定理相结合，可叙述为：设?(z)在有限单D内连续，则?(z)在D内解析的是：对D内任一条可求长（或任一三角形）Г， 。　　柯西积分公式&　由柯西积分定理可导出柯西积分公式,这一公式把解析函数用曲线积分表示出来。特别,它用解析函数在一闭曲线上的值，表示出它在曲线内侧的值。柯西积分公式可表述如下：设?(z)在有限单连通区域D内解析，Г是D内任一条可求长简单闭曲线,则对Г所围区域内任一点z，　 式中积分是在Г上沿反时针方向取的。 　　柯西积分公式启发人们研究柯西型积分。 设函数φ(ξ)在某一可求长简单闭曲线Г上可积(ξ∈Г),则由柯西型积分 确定的函数, 当zГ时是解析的。对于Г上几乎所有的点z0,当z从Г的内侧及外侧沿不与Г相切的曲线分别趋近于z0时，有极限 ，式中 　　当Г不是闭曲线时，也有类似结果。柯西型积分可应用于研究解析函数的边界性质、边值问题及奇异积分方程。 　　引进同伦及同调概念，可以把柯西积分定理叙述成一般形式。设Г0:z=Г0(s)及Г1:z=Г1(s)(0≤s≤1)是区域D内两条可求长闭曲线，设存在着在D内取值的连续函数z=G(s,t)(0≤s≤1，0≤t≤1)，使得 G(s,0)= Г0(s),G(s,1)=Г1(s) (0≤s≤1)； G(0,t)=G(1,t) (0≤t≤1)，则称Г0与Г1在D内同伦。 　　对于z媂Г0，定义z关于Г0的指标为 。如果D的余集中任何点关于Г0及Г1的指标相同，则称Г0及Г1在D内同调。可以证明，如果Г0及Г1在D内同伦,则它们也在D内同调。柯西积分定理的一般形式是:设?(z)在区域D内解析，Г0和Г1是D内两条同伦或同调的可求长闭曲线，则 。&
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柯西积分定理与留数定理有什么联系是不是有什么内在联系,有点疑惑,两种方法解题时特别像
含笑饮毒酒517
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应该是柯西积分公式吧?柯西积分定理是不含奇点的情况哦,它积分是0柯西积分公式：∫f(z)/(z-z0)dz=2πif(z0)实际上是留数定理处理单极点的情况(被积函数只有z0一个一级极点),同样n阶导数的柯西积分公式是留数定理处理一个n+1级极点的情况.可以说留数定理蕴含了柯西积分定理,柯西积分公式和高阶导数的柯西积分公式,凡是能用这3个公式计算的积分,也能用留数定理,但是不是所有能用留数定理计算的积分都能用它们计算.
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请教柯西积分公式和柯西积分定理在复变函数中有哪些应用
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复变函数论的奠基人\x0d19世纪,复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支,柯西为此作了奠基性的工作.\x0d复函数与复幂级数\x0d《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数,这表明柯西早就把建立复变函数论作为分...
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作业P141习题(一)P;8;P144习题(二)P1442;根据复合闭路定理,**DepartmentofMathematics第三章复变函数的积分第二节柯西积分定理一柯西定理1定理3.3设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条周线,则注:要证明该定理比较困难.2定理3.4设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条闭曲线(不必是简单的),则证明:因为C总可以看成区域D内有限多条周线连接而成,由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3,即可得证.推论3.5设是单连通区域D内的解析函数，则在D内的积分与路径无关,即对D内任意两点与,积分证明:由定理3.4及复积分的基本性质(3)有因而解由柯西积分定理3.3,有例1例2解故积分与路径无关,则因此,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下图)二.不定积分1定理3.6证明利用导数的定义来证.此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.由于积分与路线无关,[证毕]故2定理3.73.原函数与不定积分的定义:(2)原函数之间的关系:(1)定义3.2定理3.84牛顿-莱布尼兹公式证根据柯西积分定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.例3解故因为在D内,例4解所以例5解故三Cauchy积分定理推广1Cauchy积分定理等价定理证明:于是由定理3.3有定理3.9例6计算下列积分解由定理3.9有,四Cauchy积分定理推广到复周线的情形1定义3.32定理3.10或即证明:例7解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为?不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线?内即可.例8解依题意知,
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