２００７年３月阴山学刊；Ｍａｒ．２００７；Ｖ０１．２１；ＮＯ．１；第２１卷第１期；ⅥＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣ；ＪＯＵＲＮＡＬ；关于微分方程解的几点注释；（包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头０１４０３；摘要：本文通过几个典型例子，指出了在微分方程的求；关键词：微分方程；求解过程；解题技巧；中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａ文章编号：；微分方程是数学专业
２００７年３月阴山学刊
Ｍａｒ．２００７
Ｖ０１．２１
第２１卷第１期
ⅥＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣ
ＪＯＵＲＮＡＬ
关于微分方程解的几点注释
（包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头０１４０３０）
摘要：本文通过几个典型例子，指出了在微分方程的求解过程中容易发生的一些错误，并给出了正确的求解方法。
关键词：微分方程；求解过程；解题技巧
中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａ文章编号：１００４―１８６９（２００７）０１－－００１６―０２
微分方程是数学专业的一门专业基础课，学生在学习微分方程的过程中，除了要掌握基本概念和相关定律外，熟练掌握解题的方法和技巧也是不可缺少的一个环节。笔者从多年的教学过程中发现，在求解微分方程的过程中，
有一些容易忽视的细节，往往为初学者所忽略，结果是不
旷饯，如果在求解这个微分方程时不加绝对值符号，分离
变量后，两边积分，得：产：产
解出ｌｎｙ＝ｌｎｘ＋Ｃ．。
即Ｙ＝ｅｌｎＨｑ＝ｅ。１Ｘ＝Ｃ２Ｘ（其中Ｃ！＝ｅ。１）这里ｃ２＞０，实际上当Ｃ２＜０时，Ｙ＝Ｃ２Ｘ也是此方程的解。因此，正确的解法是，
能正确地求解方程”“。我们通过以下几个例题加以说明，
以便与读者共享。１
第一类问题（丢解问题）
在求解一阶微分方程的过程中，常常容易发生丢解现
象，这类问题常常发生在方程两端同除以同一个因子，或
分离变量后，两边积分得：庠：庠，
者用分离变量法解方程的过程中。考察下面的两个例子：
解得：ｌｎＩｙｊ＝ｌｎｌｘｌ＋Ｃ．Ｙ由上式得：酬＝ｅ叫十ｑ＝ｅｑＨ，于是
Ｙ＝±ｅｑｘ＝ＣＸ（其中Ｃ＝±ｅ‘。）
例ｌ：求解方程一ｄｙ＋（３－２ｘｙ）ｄｘ＝０
如果用ｊｃｚ同除方程两端，可将原方程变为
一ｄｙ一型：一三，这是一个一阶线性非齐次方程，用常ｄｘｘ
例：求解方程ｘ兰～一√ｘ２＋ｙ２＝例３：求解方程ｘ孚～，Ｙ一０巧ｔ五０
数变易法容易求出通解为Ｙ＝ＣＸ‘＋一。但是，工ｓ０也是这个方程的解，它不包含在通解当币，由于方程两端同除，这个因子，所以ｚ兰０这个解很容易被丢掉。
ｒ――――●ｒ＿――――＿
解：用ｘ同除方程两端，当ｘ＞Ｏ时，得到
例２：求解方程ｘ√ｌ―Ｙ２ｄｘ＋ｙ４１一ｘ２ｄｙ＝０
一，，Ｉ一／一
专；当ｘ＜ｏ时得到
用分离变量法将原方程变为丽十丽一ｕ
一手一㈤＋当。令“：上，将原方程化为
厂―――＝－厂―――＿
，积分得出通解为、／ｌ―ｘ２＋、／１一ｙ２＝ｃ，其中０＜ｃ＜２。
Ｊ．Ｙ＝１
（一】＜ｘ＜１），（一１＜ｙ＜１），
夕＝一１ｘ＝一１
（一１＜Ｊ＜１）（一ｌ＜ｙ＜１）
丽２±了，两边积分，对于这两种情形可以分别得
厂―＝＿――＿
ｙ＋√ｘ２＋ｙ二＝蹦
都是原方程的解，由于在分离变量过程中，需要假定ｌ―ｘ２≠０，ｌ―Ｙ二≠０，所以很容易将这四个解丢掉。
另外，有些微分方程在求解过程中，要用到积分公式
ｙ＋、／ｘ。＋Ｙ。＝一蹦畔ｏ）。于是，我们看到这个方程
的积分曲线分成两个曲线族，一个位于＇，轴左侧，另一个位
于ｙ轴右侧。
厂ｉ―――了
兰＝ｉｎＨ＋ｃ，这时千万不能忘记对ｘ加绝对值符号，否…
２第二类问题（解的值域问题）
在用初等积分法求解微分方程时，有时会遇到对数运
则也会出现丢解情况。例如微分方程烹２＝的通解是
收稿日期：２００６―１０一２０
作者简介：陈向华（１９５４一），女，广西桂平人，副教授，研究方向：微分方程的应用和数学教育。
运算、三角函数运算、取绝对值运算以及开方运算等，这时要做认真、具体的分析，否则就会出现计算错误。
例如在解微分方程时经常用到积分公式
３第三类问题（通解中的任意常数问题）
众所周知，微分方程通解中含有一些任意常数，有
些时候，微分方程通解中的任意常数的取值是受到一定限制的。那么，只有准确的理解微分方程通解中的任意常数的取值限制，才能给出微分方程解的正确结果，我们通过下面例子说明。
例６：求解方程ｄｙ／ｄｘ＋３ｙ＝－０
Ｊ一２Ｉｎ［ｘｌ＋ｃ，而在积分时就会遇到这样的问题：应该取Ｊ坐：ｌｎ．Ｙ＋ｆ，还是』坐＝Ｉｎ（一一）＋ｃ，或者是Ｊ一２ＩｎＩ．Ｙ卜ｃ’？为此，做如下分析：我们知道，微分方
程的解的定义总是离不开一定的区间，因此在考虑积分
这是一个一阶线性齐次方程，分离变量后，妙，
ｌ’＝一３救解此齐次方程，两边积分得：
Ｊ一的时候也要考虑积分是在自变量工的哪个区间上进
行。考察下面的例子：
ＩＪ’Ｉ＝一３ｘ＋ｃｌ，（ｃｌ∈尺）
取指数形式得到Ｈ＝ｃ２ｅ。。，这里ｃ２＝ｅ（１＞０。
去掉绝对值得到：Ｊ一＿＋ｃ２ｅ一３、＝∞一３。ｐ删。
Ｊ?（一１）：ｌ。首
由上述求解过程得到的解Ｊ’＝ｃａｌ’，对常数ｃ有一个限制ｆ为，这是由求解过程中的数学运算决定的，因为在求解过程０ｅＮｙ同除方程两端是假是》为的，但是注意
例４：求解初值问题÷ｄｖ：坠，
一．Ｉ’一
１一、．一
先将方程分离变量得到
、?ｄ１．＝二―二一ｄ、｜，两边积分得
二（－、２＋，－２）：ｐ。
ｄ、Ｉ＋（．。由题设可知所求的初值问题
，ｄ．ｒ，
到ｒ＝０也是此齐次方程的解，所以Ｃ为这个限制可以去
掉。因此，该齐次方程的通解是ｙ＝ｃｅ。、，（ｃ∈Ｒ
应考虑ｘ＜Ｏ，因此，应选取公式Ｊ＿＿２Ｊｎ（叫Ｊ＋ｃ。于是
通过此例说明，对于常数的取值限制，是求解过程中某些数学运算的结果，在方程通解表达式中，问题本身的性质和意义可以将这个限制去掉。
所求通解为＝（．、Ｉ。＋．、‘。）＝Ｉｎ（一一）＋（．，代入初始条件得ｃ＝ｌ。最后得到满足初始条件的解为
二（．、Ｉ一＋、’一）＝Ｉｌｌ（一．、Ｉ）＋１。
又如微分方程２．’’等＋２．ｘ３’二＝＿、ｅ。的通解为
例５：求解方程（．、’＋３）ｄ．ｖ＋ｃｏｔ．、．妙＝０。用分离变
量法将原方程化为Ｉ／Ｏ斗３）ｄ．）一－－－ｔａＩＬｖｄｘ，在积分时遇到这样的问题ｆ
．１‘二＝ｅ一、?（÷．ｒ二＋ｆ），由通解表达式可以看出如果要使解的
定义域非空，常数ｃ必须满足（。ｓ０。因而，通解中的常数ｆ的取值限制，对讨论方程的通解起着非常重要的作用，它还可以描绘出解的性态。考察下面例子。
例７：讨论方程ｄｙ／ｄｘ＝１１２０，２一１）的通解。将方程分离变量得：２ｄｌ?／０，２一１）＝ｄｘ，
ｄｘ＝一ｉｎｃｏｓｘ，还是』ｔａｎｘ
＝一ｌｎ（一ｃｏ时），或者是』ｔａｔｔｒｄｘ＝－－ＩｎｌｃｏｓｘＪ？同理，
在考虑积分ｆ
ｄｘ的时候也要考虑积分是在自变量ｘ
的哪个区间上进行。
如果是在区间（０，＝）上考虑上述方程的解，那么应当是』ｔａｎｘ
ｄｘ＝一Ｉｎ（ｃｏｓｘ），于是得到Ｉｎｌ３十ｌ’ＦＩｎ
两边积分得到：ＩｎｌＯ，一１）／０，＋１）Ｉ－－ｖ＋ｃｉ，即１０’一１）／
Ｏ件１）１＝ｅ、“‘‘＝ｃ２ｅ。，或０，一１）／０，＋１）＝±ｃ２ｅ。＝ｃｅ．ｖ，所以原方程的通解为
ｙ＝－（１＋ｃｅ＇）／（１一ｃｅ。１
对于每个确定的负值ｃ，（?）式给出一个定义于（一
（ｃｏｓｘ）＋ｃ，从而得到１３十ｌ’Ｉ＝ｃｃｏｓｒ（ｆ＞０），１ｉ１１３＋ｒ＝ｃｃｏｓｘ（ｆ
不等于ｏ）。但是因为．、’＝一３也是方程的一个解，所以方
程的通解是．、’＝一３＋（’ＣＯＳ．Ｙ（（‘∈Ｒ）。
反之，如果是在区间（＝，丌）上考虑上述方程的解，那么应当是ｆｔａｌｌ
ｏｑ＋哟上的解，它整个位于条形区域．１＜Ｊ＜ｌ内。对于每
一个正值ｃ，（＋）式给出了两个解，一个是定义于区间（一ｏｏ，ｌｎｃ）上，而位于半平面ｙ＞ｌ内的解；另一个是定义于区间（．Ｉｎｃ，＋固上，而位于半平面ｌ＜一ｌ内的解。当ｃ＝０和ｃ为时，给出两个特解，ｙ＝Ｉ和，．－－ｌ。
由以上两个例子可以看出，确定常数（．的取值范围，需要注意两点，第一是在进行积分运算时，应注意到常数ｃ的来源；第二是注意通解表达式对于常数ｃ的取值限制。
综上所述，我们看到，学习过程中除了理解基本概念，掌握基本运算和基本解题方法之外，还应该特别注意解题中的细节，强调严谨的分析和认真的演算，只有
ＡｄＡ＂～Ｉｎ（ＣＯＳ．Ｙ），运算结果表明，最
后得到的通解也是１’＝－３＋（。ＣＯＳ．Ｙ（（。∈Ｒ）。现在的问
题是，在这里写成ｆｔａｎ，ｖｄｖ＝一ｌｎ（ｃｏｓｘ）行不行？正确
的答案是：如果要求的是微分方程的通解，并且没有指明是在哪个区间上求微分方程通解，这样写是可以的；如果题目已经指明在区间【０．：）求解，应写成
ｆｔａｎ．ｒｄ＿ｖ＝一Ｉｎ（ｃｏｓ．ｖ）；若在区间（＝，７ｒ）上求解，应写
成ｆｆａｎＹ小＝一１ｎ（～ｃｏｓ．Ｙ）；如果问题是求解微分方程
通解，并且没有指明是在哪个区间上求微分方程通解，
这样才能准确、无误。（下转５３页）
就应该写成Ｊ
ｒ、ｄ．ｖ＝一ｌｎｌｃｏｓ．ＹＩ。
由于一ＮＯ：具有拉电子共轭效应（一Ｃ），所以，Ｉ、Ⅲ
Ⅲ不稳定，Ⅱ稳定。故一ＮＯｚ为第二类定位基。
一ＮＯ：：具有一Ｃ和一Ｉ效应，故为致钝基团。
２．２关于取代基致活和致钝问题
第一类定位基（邻、列－位定位基）使苯环再发生亲电取代反应活性增加（致活，卤素除外），第二类定位基（问位定位基）使苯环再发生亲电取代反应活性降低（致钝）。原有取代基决定苯环再发生亲电取代反应活性高低的原因是：原有取代基的电子效应（含共轭效应和诱导效应）使苯环电子密度增加，则再发生亲电取代反应活性增加，该取代基为
致活基团：反之为致钝基团。
以一ＯＨ，一ＣＩ，一Ｎ０２为例说明：
苯环定位规律是有机化学芳香烃一章的重点内容。对于它的理论解释是本章节的难点。笔者基于２０多年有机化学教学经验，提出直接用中间体正离子稳定性解释定位规律，比用共振论法更简单更易馇。
【参考文献】
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社．１９９９．１６４一１７１．
一ＯＨ：具有给电子共轭效应（＋ｃ）和拉电子诱导效应（一Ｉ），由于＋ｃ＞一Ｉ，故一ＯＨ为致活基团。
一ｃｌ：因为一ｃｌ与苯环共轭，其提供的Ｐ轨道为３Ｐ轨道，而Ｃｌ的３Ｐ轨道与苯环ｃ的２Ｐ轨道大小差异较大，故共轭效果不好，所以ｃｌ给电子共轭效应（＋Ｃ）较小，总的结果是：＋Ｃ＜一Ｉ，所以一ｃｌ为第一类定位基，但却是致钝基
【２】邢其毅，徐瑞秋，等．基础有机化学Ｄｑ．第２版．北京：高
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ＡＮｏｖｅｌＳｉｍｐｌｅＥｘｐｌａｎａｔｉｏｎａｂｏｕｔｔｈｅＯｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｉｎｔｈｅＢｅｎｚｅｎｅＲｉｎｇ
ＬＩＡＮＧ
Ｃｈｅｎｇ－ｇａｎｇ
（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＣｈｅｍｉｓｔｒｙ，ＢａｏｔｏｕＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ；Ｂａｏｔｏｕ０１４０３０）
．Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＮｏｗｎｅａｒｌｙａｌｌｔｈｅｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｓａｐｐｅａｒｅｄｉｎｏｒｇａｎｉｃｂｏｏｋｓＲｉｎｇｉｓｂａｓｅｄ
ｔｈｅｒｕｌｅｏｆｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｂｅｎｚｅｎｅ
ｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆ
ｒｅｓｏｎａｎｃｅ．
Ａｆｔｅｒｍａｎｙｙｅａｒｓｔｈｉｎｋａｎｄｒｅｓｅａｔ’ｃｈｔｈｅａｕｔｈｏｒｐｒｏｐｏｓｅｄｂｅｎｚｅｎｅｒｉｎｇ．Ｔｉｒｅｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｗａｓｔｅｓｔｉｆｉｅｄ
ｓｉｍｐｌｅｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎａｂｏｕｔｔｈｅｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｉｎｔｈｅ
ｂｅｇｏｏｄ
Ａｆｔｅｒｆｉｖｅｙｅａｒｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｔｅａｃｈｉｎｇ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：１）ｅ，ｎｚｅｎｅｒｉｎｇ：ｌ＇ｕ｜ｅ“ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ；ｔｈｅｏｒｅｔｉｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ
（上接１７页）【参考文献】
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京；高等教育出版社，１９８２年．
【３】薛嘉庆，高等数学题库精编嗍，沈阳：东北大学
出版社，２００１年。
ＡＦｅｗＡｎｎｏｔａｔｉｏｎａｂｏｕｔｔｈｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎ
ＣＨＥＮＸｉａｎｇ－ｈｕａ
（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｔｏｕＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｂａｏｔｏｕ０１４０３０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｐａｓｓｔｈｒｏｕｇｈ
ｔａｋｅｎｐｌａｃｅｉｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄ
ｆｅｗｔｙｐｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ，ａｎｕｍｂｅｒｏｆｓｏｍｅｍｉｓｔａｋｅｎｈａｓｂｅｅｎｐｏｉｎｔｏｕｔｉｔｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｅ
ｅｏｌＴｅｅｌ
ｐｒｏｂｌｅｍｈａｓｂｅｅｎｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｏｆｓｏｌｖｅ
ｐｒｏｂｌｅｍ．
关于微分方程解的几点注释
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陈向华， CHEN Xiang-hua
包头师范学院,数学科学学院,内蒙古,包头,014030阴山学刊（自然科学版）YINSHAN ACADEMIC JOURNAL)0次
参考文献(3条)
1.王高雄.周之铭.朱思铭 常微分方程 19822.李苹荪 高等数学微积分习题详解 19943.薛嘉庆 高等数学题库精编 2001
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4、将3中获得的思路运用到了平面桁架结构的随机性分析中，对结构的质量矩阵和刚度矩阵的随机性提出了两种近似处理方法，通过对误差的定性分析表明第一种方法能获得结构动力特性均方根上限，第二种方法能获得结构动力特性随机性的近似解，这两种方法都能显著节俭Monte Carlo数值模拟法的计算量。算例表明所给方法不但节省了数值模拟的时间，且具有较好的精度。
5、对于3和4中提及的随机因子，这里首次从数学证明的角度对其进行了论述：将随机物理参数结构系统的质量矩阵和刚度矩阵均以随机因子的齐次形式表示，通过对QR变换法求解随机矩阵特征值过程的论述，证明了系统中各阶固有频率具有相同的随机因子，并导出了求解固有频率随机变量概率密度的公式；在此基础上，论述了系统正则振型矩阵中各元素亦具有相同的随机因子，并导出了求解正则振型随机因子概率密度的公式。算例表明了所得结论的正确性。
6、对于非线性瞬态温度场，为了避开对复杂分布进行假设检验时面临的统计量寻找和分位数确定等经典难题，通过综合运用差分法、Monte
Carlo数值模拟法、Q―Q图法、Box-Cox幂变换法，正态假设检验以及参数区间估计，提出了一整套近似求解温度响应主体区间的方法和表达式，并通过算例表明所提出的分析和求解策略的有效性与合理性。
7、针对热机电耦合压电智能薄板结构，提出了一种新型的包含4个位移节点、2个电势节点和8个温度节点的混合有限元模型，并基于虚功原理推倒了热机电耦合有限元微分方程，通过与已有文献的比较，表明所得有限元方程的正确性；同时也给出了这类有限元模型具体的编程实现方法。以智能悬臂薄板为例，对位移响应、温度响应和输出电压进行了数值仿真，凸现了在小挠度变形下，变化幅值较大的温度对输出电压具有重大影响。
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通过对常微分方程的常规解法的进一步探讨,总结出使求解过程简化的具体作法,同时实现了几类微分方程求解的公式化或半公式化,提高了求解速度和准确性.
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第一章介绍了数学物理机械化及其相关学科的发展，围绕微分方程的求解理论和计算机代数的关系，简述了相关方面的国内外研究和发展概况，在本章最后介绍了本文的选题和主要工作。
第二章考虑了微分方程的AC=BD理论，介绍了C-D对理论的基本内容和思想，AC=BD理论侧重于对微分方程变换的机械化构造，可以把复杂问题转化为简单问题，把变系数问题转化为常系数问题，把非线性问题转化为线性问题来解决。
第三章从一个新的角度来考虑非线性发展方程的精确求解理论，类似于代数方程的理论，微分方程也可以看作在特定环上的求解。通过构造微分多项式环及其相应的导子，在这个环上求解满足给定方程的元素。可以不断的扩大构造的微分多项式环及其导子，以扩大给定方程特解的形式。并且给出了多项式环上的多项式次数的确定方法。这种方法确定的次数不仅和给定的方程有关，还和未定元的导数(相当于辅助方程)有关。并且给出了计算非线性发展方程精确解的两个机械化算法，改进了射影Riccati方法，提出了多行波变换的辅助方程法，这个方法可以获得更多类型的精确解，包括多孤立子解，周期和孤子相互作用解，双周期解和孤子作用解，并将其推广到变系数的情形，以2+1维KdV方程为例，模拟了解的性态。给出了n+1维Klein-Gordon方程，n+1维Klein-Gordon-Zakharov方程的双行波形式的解。这种模式的优点主要有：第一，可以统一很多方法，并在此基础上提出新方法。第二，解的表达式不再是假设的，而是按照微分多项式环的基展开，减少了原来算法中的假设．第三，可以给出更有效的展开阶次的确定方法。
第四章首先将第三章中确定展开阶次方法推广到微分差分方程，通过对非线性微分差分方程的差分项和微分项分别处理，即构造差分方程来约化差分项，构造微分方程来约化微分项。通过将所得多项式化为代数方程组的求解。研究了两种辅助方程，第一种为Riccati方程，另一种为椭圆方程。这个方法比原来的方法提高了效率，因为最终所解方程化为代数方程，而原来的解法有时候会有非代数的方程。并且该方法更有统一性，离散的Riccati方程法将非线性微分差分方程的孤立波解，周期解，和有理解的求解统一起来了。只需计算一次即可得到三种类型的解。而椭圆方程法则将几种主要的椭圆函数的求解统一起来了。接下来通过构造方程的不同差分项的递推关系构造了微分差分方程的射影Riccati方程法，对其解分别求出其差分项的递推关系，构造了一个机械化算法，它可以得到广泛的精确解。
第五章讨论了几种求解微分方程的近似解的方法在微分差分方程中的应用，有同伦分析法，Adomian分解法，这种思想对Lyapunov小参数展开法，摄动方法等都同样适用，在第一节以离散的KdV方程为例说明了同伦分析法的应用，将结果与精确解相对比，它们吻合良好。在第二节我们以Hybrid方程为例说明了Adomian分解法在微分差分方程的应用，并且求解了它的冲击波解和扭结孤立波解。对连续情形的求解过程进行分析说明了同伦分析中的几个假设量之间可以相互确定的，这样就减少了假设量的个数，使求解过程更加有章可循。
第六章利用符号积分中的Order函数的性质，设计了一个算法确定两个三阶变系数常微分方程之间的所有自变量之间的有理代数变换(因变量的变换不做限制)，若存在就给显式的求出来，如不能求解可以证明所给方程间不存在有理变换。特别的，我们可以给出变系数线性常微分方程通过变换变为常系数线性微分方程。
有时计算机输出的结果异常庞大和复杂，而且有些结果是可以化简的，计算机并没有自动将这些结果化简为我们想要的相对简单的形式，针对这个问题，我们设计了一个算法判断两个孤立子解是否是等价的，亦即是否是同一个解。另外，我们给出了无平方分解的另外一种算法，不同于已有的先求最低次数的无平方因子，反过来，尽可能的从具有较高的次数的无平方因子开始求．这样就可以一次消掉次数较高的因子，这种算法对次数较高的多项式效率更高。
9.期刊论文 熊灿.谢建新.XIONG Can.XIE Jian-xin 二阶常系数微分方程解法的简化 -南昌工程学院学报)
给出了二阶常系数齐次线性微分方程通解的三角函数形式或双曲函数形式,同时得出了利用位移定理,结合待定系数法解几类特殊的二阶常系数非齐次线性微分方程的方法,简化了此类微分方程的求解过程.
10.学位论文 张立达 非均匀变截面梁(柱)自由振动的差分法求解 2010
变截面梁在工程中得到广泛的应用。由于其控制方程为变系数微分方程，一般很难得到解析解，可以运用数值计算方法求解其近似解。本文基于Euler-Bernoulli梁的理论并采用中心差分法分析了置于弹性地基上的变截面梁在轴向荷载作用下的自由振动响应，获得了固有频率和振型，讨论了各种参数对频率的影响。主要内容包括以下几个方面：
采用中心差分格式将任意四阶变系数常微分方程两点边值词题离散为系数矩阵为五对角的线性代数方程组。然后，利用追赶法推导出了该代数方程组的递推求解过程。利用该递推求解过程编程时只需要5个一维数组即可存储代数方程组的系数矩阵。具有便于编程、存储空间小、计算速度快等优点。它可以用于求解任意四阶变系数常微分方程的两点边值问题。
2.基于Euler-Bernoulli梁理论并利用上述中心差分法的递推求解过程，研究了弹性地基上非均匀变截面梁在轴向压力作用下的自由振动响应。在分析中考虑了梁的横截面尺寸和弹性模量沿轴线连续变化的情形。作为算例，分别计算了两端夹紧和两端简支边界条件下弹性地基上的圆形非均匀变截面梁在轴向压力作用下的自由振动响应。在退化为无弹性支撑和无轴向压力作用均匀梁的特殊情形，所得无量纲固有频率和振型与解析解相比十分接近。讨论了截面变化参数、材料弹性模量参数、弹性地基参数、轴向载荷参数以及边界条件对梁的自由振动固有频率的影响。结果表明，固有频率随轴向压力的增大而减小，随地基参数的增大而增大。
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