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矩阵AB=AC,A不等于0矩阵,如果A是m*n矩阵,且R(A)=n,则为啥能推出B=C?
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AB=AC,则A(B-C)=0所以B-C是由Ax=0的解空间中向量构成的矩阵A即便不是零矩阵,只要A的行列式等于0,Ax=0也能有非零解,故B-C可以不等于零而A是m*n矩阵,r(A)=n时,Ax=0只能有零解,故B-C=0,故B=C
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反证法，假如有B≠C，那么有A(B-C)=0,并且B-C不等于0。假设D=B-C的第i列不全为零，记为Di=[di1,di2,...,din]的转置；记aj为矩阵A的第j列，则A可以写成A=[a1,a2,...,an]。于是有di1*a1+...+din*an=0,由于dij不全为0，故可以得到a1,...,an是线性相关的，这与R(A)=n是矛盾的。
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A,B,C,D为n阶矩阵,A可逆,且AC=CA,如何证明|A B;C D|=|AD-CB|刘老师,您好,请问这道题怎么证明,谢谢!A,B,C,D为n阶矩阵,A可逆,且AC=CA证明|A B;C D|=|AD-CB|
莉香沐0374
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|A|不等于0,故A是可逆矩阵 [A^(-1)
On] *[A B]
A^(-1)B] [-CA^(-1)
D-CA^(-1)B]两边同取行列式左边=|A^(-1)|*|A B|=|D-CA^(-1)B|
|C D||A|*|A^(-1)|=1|A B|=|A|*|D-CA^(-1)B|=|A(D-CA^(-1)B|=|C D|=|AD-ACA^(-1)B|=|AD-CAA^(-1)B|=|AD-CB| 注：开始2行是矩阵,其中In是n阶单位矩阵
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