第十二章 动能定理_机械行业_中国百科网
第十二章 动能定理
    第十二章 动能定理
能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。动能定理从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题。
本章介绍动能定理及其应用，并将综合运用动力学普遍定理分析较复杂的动力学问题。
第一节 动能的概念和计算
一、质点的动能
动能是物体机械运动强弱的又一种度量。设质点的质量为m，在某一位置时的速度为v，则该质点的动能等于它的质量与速度平方乘积的一半，用EK表示，即：
由上式可知，动能恒为正值，它是一个与速度方向无关的标量。动能的量纲为
dim Ek=[M][L]2[T]-2
在国际单位制中动能的单位为N?m（牛?米），即J（焦耳）。
动能和动量都是表征物体机械运动的量，都与物体的质量和速度有关，但各有其特点和适用的范围。动量为矢量，是以机械运动形式传递运动时的度量；而动能为标量，是机械运动形式转化为其它运动形式（如热、电等）的度量。
二、质点系的动能
质点系内各质点的动能的总和，称为质点系的动能，即
式中mi和vi分别表示质点系中任一质点的质量和速度的大小。
刚体是由无数质点组成的质点系，刚体作不同的运动时，各质点的速度分布不同，故刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。
三、平动刚体的动能
当刚体作平动时，在每一瞬时刚体内各质点的速度都相同，以刚体质心的速度vc为代表，于是，由式（12-2）可得平动刚体的动能
上式表明：平动刚体的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。
四、定轴转动刚体的动能
设刚体在某瞬时绕固定轴z转动的角速度为ω，则与转动轴z相距为ri，质量为mi的质点的速度为vi=riω。于是，由式（12-2）可得定轴转动刚体的动能
上式表明：定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
五、平面运动刚体的动能
刚体作平面运动时，任一瞬时的速度分布可看成绕其速度瞬心作瞬时转动，因此，该瞬时的动能可按式（12-4）进行计算。
取刚体质心C所在的平面图形如图12-1所示，设图形中的点P是某瞬时的瞬心，ω是平面图形转动的角速度，于是，平面运动刚体的动能为
式中，JP是刚体对速度瞬心的转动惯量。由于速度瞬心P的位置随时间而改变，应用上式进行计算有时不方便，故常采用另一种形式。
根据转动惯量的平行轴定理有
式中，m是刚体的质量，d=CP，JC是刚体对于质心的转动惯量。代入式（12-5），可得
因为vc=dω，故
上式表明：平面运动刚体动能等于刚体随质心平动动能与绕质心转动动能之和。
第十二章 第一节 动能的概念和计算(例题12-1)
例12-1 在图12-2所示系统中，均质定滑动轮B（视为均质圆盘）和均质圆柱体C的质量均为m1，半径均为R，圆柱体C沿倾角为θ的斜面作纯滚动，重物A的质量为m2，不计绳的伸长与质量。在图示瞬时，重物A的速度为v。试求系统的动能。
对系统进行运动分析 A物体作平动，速度为v；滑轮B作定轴转动，角速度
；圆柱体C作平面运动，质心C的速度为
，则由式（12-3）、式（12-4）、式（12-6）分别计算刚体A、B、C的动能
系统的动能为各刚体动能之和，即
第二节功的概念和计算
力对物体的作用效果可以有各种度量。力的冲量是力在一段时间内对物体作用效果的度量。力的功则是力在其作用点所经过的一段路程中对物体的用效果的度量。
一、常力的功
设有一质点M在常力F的作用下沿直线运动，如图12-3所示。若质点由M1处移至M2的路程为s，则力 在路程s中所作的功定义为
由上式可知，功是标量，可为正、负或零。功的量纲为
dimW=[M][L][T]-2?[L]=[M][L]2[T]-2
在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。
二、变力的功
设有质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图12-4所示。将曲线M1M2分成无限多个微段ds，在这一段弧长内，力F可视为不变，于是由式（12-7）得到在ds路程中力所作的微小功或称元功为
因为力F的元功不一定能表示为某一函数W的全微分，故采用符号d''。变力在曲线M1M2上所作的功等于在此段路程中所有元功的总和，即
式中 s1和s2分别表示质点在起止位置时的弧坐标。
上式为沿曲线M1M2的线积分，其值一般与路径有关，并可化为坐标积分。
代入元功的表达式，得
于是力F在M1M2路程上的功为
上式称为功的解析表达式。
三、合力的功
设质点M受力系
的作用，它的合力为
则质点的合力FR的作用下沿有限曲线M1M2所作的功为
上式表明：作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代数和。
四、常见力的功
1．重力的功
设质量为m的质点M，由M1沿曲线M1M2运动到M2，如图12-5所示。重力mg在直角坐标轴上的投影为
Fx=0 Fy=0 Fz= -mg
代入式（12-9），可得重力在曲线M1M2上的功为
式中 h=z1-z2--质点起止位置的高度差。
上式表明：重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的乘积，而与质点的运动路径无关。若质点M下降，h为正值，重力作功为正；若质点M上升，h为负值，重力作功亦为负。
对于质点系，重力作功为
式中 m--质点系质量；
h=zC1-zC2--质点系质心起止位置间的高度差。
2．弹性力的功
设质点M与弹簧联结，如图12-6所示，弹簧的自然长度为l0，在弹簧的弹性极限内，弹簧作用于质点的弹性力F的大小与弹簧的变形δ（伸长或压缩）成正比，即
式中比例系数k称为弹簧刚度系数。在国际单位制中，k的单位为N/m，因此，当质点M由弹簧变形为δ1处沿直线运动至变形为δ2处时，弹性力的功
可以证明，当质点的运动轨迹不是直线时，弹性力的功的表达式（12-13）仍然是正确的。上式表明：弹性力的功等于弹簧的起始变形与终止变形的平方差和刚度系数的乘积的一半，而与质点运动的路径无关。
3．平动刚体上力的功
当刚体作平动时，刚体内各点的位移都相同，若以质心C的位移drc代表刚体的位移，则刚体从M1点运动到M2点时作用于刚体上力系的功为
为作用于刚体的力系上的主矢。
4．定轴转动刚体上力的功 力偶的功
设刚体绕定轴z转动，一力F作用在刚体上M点，如图12-7所示。将力F分解成三个分力；平行于z轴的力Fz，沿M点运动轨迹的切向力Fτ和沿径向方向的力Fr。若刚体转动一微小转角dφ，则M点有一微小位移ds=rdφ，其中r是M点的转动半径。由于Fz和Fr都不作功。则力F所作的功等于切向力Fτ所作的功。故力F在位移ds中的元功为
(F)是力F对于转动轴z之矩，即
上式表明：作用于定轴转动刚体上的力的元功，等于该力对转动轴之矩与刚体微小转角的乘积。
当刚体转过一角度（即有角位移）φ2-φ1时，由式（12-15）可得力F所作的功
为常量，则
如果在转动刚体上作用一个力偶，其力偶矩为M，该力偶作用面与转动轴垂直，则力偶对转动轴z的矩为M。因此，力偶的功可表示为
若力偶矩为常量，则
5．平面运动刚体上力系的功
设平面运动刚体上有一组力系作用，取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为
其中drC为质心的无限小位移，driC为质点Mi绕质心C的微小转动位移，如图12-8所示。
力Fi在点Mi位移上所作的元功为
设刚体无限小转角为dφ，则转动位移drC抬起垂直于直线MiC，大小为MiCdφ，因此，上式后一项
式中θ--力Fi与转动位移
间的夹角；
MC(Fi)--力Fi对质心C的矩。
则力系全部力所作的元功之和为
式中FR--力系主矢；
MC--力系对质心C的主矩。
刚体质心C由C1移到C2，同时，刚体又由φ1转φ2到时，力系作功为
第十二章 第二节 功的概念和计算(例题12-2)
例12-2 重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数k=50N/m的弹簧连接，另一端被一绕过定滑轮C的绳子拉住，如图12-9a所示。滑块在位置A时，弹簧具有拉力2.5N。滑块在20N的绳子拉力作用下由位置A运动到位置B，试计算作用于滑块的所有力的功之和。已知AB=200mm，不计滑轮的大小及轴承摩擦。
取滑块为研究对象，对其进行受力分析。在任一瞬时，滑块在离A点x距离处其受力图如图12-9b所示。滑块受力有重力G，水平槽法向约束力FN，弹性力F及绳子拉力FT。
由于重力G、法向约束力FN均与滑块的运动方向垂直，因此它们作功为零，即
弹性力F作的功：设以δ1，δ2分别表示滑块在位置A、B处弹簧的变形，则有
拉力FT作的功：由图12-9a可知，拉力FT与x轴的夹角余弦为
所以，滑块从位置A运动到位置B时，作用于滑块上的所有力的功之和为
第三节动能定理
一、质点的动能定理
设有质量为m的质点M在合力F的作用下沿曲线运动，如图12-10所示。根据动力学第二基本定律有ma=F，将该式投影在切线方向，得
由于ds=vdt，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，可得
上式表明：质点动能的微分，等于作用在质点上的力的元功，这就是微分形式的质点动能定理。
将式（12-21）沿路径M1M2进行积分
上式表明，在任一路程中质点动能的变化，等于作用于质点上的力在同一路程中所作的功，这就是积分（有限）形式的质点动能定理。它说明了机械运动中功和动能相互转化的关系。
从式（12-22）看出，若力作正功则质点的动能增加，即接收能量；若力作负功，则质点的动能减少，即输出能量，故可用动能
来度量质点因运动而具有的作功能力。
若作用于质点的力为常力或是质点位置坐标的已知函数，而质点的运动路程已知或相反为需求，解这类问题宜用有限形式的质点的动能定理。
二、质点系的动能定理
取质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的力为Fi。根据质点的动能定理的微分形式有
表示作用于这个质点的力所作的元功。
设质点系有n个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方程，将n个方程相加，得
为质点系的动能，以Ek表示。于是上式可写成
上式表明：质点系动能的微分，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。这就是质点系动能定理的微分形式，对式（12-23）积分，得
式中EK1和EK2分别为质点系在某一段运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能。上式表明：质点系在某一段运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。这就是质点系动能定理的积分形式。
三、理想约束
约束反力作功等于零的约束称为理想约束。如光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索等约束都是理想约束。光滑铰链、二力杆以及不可伸长的细绳等作为系统内的约束时，也都是理想约束。如图12-12a所示的铰链，铰链处相互作用的约束力F和F''是等值反向的，它们在铰链中心的任何位移dr上作功之和都等于零。又如图12-12b中，跨过光滑定滑轮的细绳对系统中两个质点的拉力F1=F2，如绳索不可伸长，则两端的位移dr1和dr2沿绳索的投影必相等，因而F1和F2二约束力作功之和等于零。至于图12-12c所示的二力杆对A、B两端的约束力，有F1=F2，两端位移沿AB连线的投影又是相等的，显然约束反力F1、F2作功之和也等于零。
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦力所作的功。但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，此时的滑动摩擦力不作功。因此，不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点是理想约束。
在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关，式（12-23）和（12-24）中只需计算主动力所作的功，这对动能定理的应用是非常方便的。
必须注意，作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值反向，但所作功的和并不等于零。以图12-13所示系统中相互吸引的两质点A与B为例，说明如下：
由任意点O作连结A、B两点的矢径rA和rB，则作用于此两点上大小相等方向相反的两力FA和FB的元功各为FA?drA和FB?drB，因此元功之和为
由图12-13得知
，考虑到FA和BA的符号，则有
可见，当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等于零。因此当机械系统内部包含或变形元件（如弹簧等）时，内力的功应当考虑。
对于刚体来说，由于任何两点间的距离保持不变，因此，刚体内力的功之和恒等于零。
不可伸长的柔绳、钢索等所有内力作功的和也等于零。
在应用质点系的动能定理时，要根据具体情况仔细分析所有的作用力，以确定它是否作功；应注意：理想约束的约束力不作功，而质点系的内力作功之和并不一定等于零。
第十二章 第三节 动能定理(例题12-3)
例12-3 质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图12-11所示。设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚度系数为k。试求弹簧的最大压缩量。
以物体为研究对象，分析物体从位置Ⅰ到位置Ⅲ的整个过程，即对物体从开始下落到弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理，在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为
，弹簧力作的功为
由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即
从本例的分析可见，在质点从位置I到位置III的运动过程中，重力作正功，弹簧力作负功，恰好抵消，因此质点在运动始、末两位置的动能是相同的。显然，质点在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑在始、末位置之间动能是如何变化的。
另外，本题也可将运动过程分为两个阶段进行分析，即分别对物体从位置I到位置Ⅱ、从位置Ⅱ到位置III应用动能定理进行求解，请读者自己求解。
第十二章 第三节 动能定理(例题12-4)
例12-4 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物，如图12-14所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，试求当重物上升的距离为h时的速度v及加速度α。
取绞车和重物组成的质点系为研究对象。
系统初始瞬时静止，动能为
系统在重物升高h时的动能为
代入上式，得
质点系具有理想约束且内力功之和等于零，则主动力的功为
，式中φ1和φ2分别为轮Ⅰ和轮II的转角，于是
根据质点系动能定理可得
将式（1）两端对时间求一阶导数，并注意到
上式两端消去v，可得重物的加速度
第十二章 第三节 动能定理(例题12-5)
例12-5 图12-15所示的行星轮系位于水平面内，由半径为R的固定大齿轮O，半径为r、质量为m1的均质小齿轮A（可视为均质圆盘）和质量为m2、长为（R+r）的曲柄OA（可视为均质杆）组成。曲柄OA在力偶矩为M的常力偶作用下由静止开始运动。求曲柄的角速度ω与转角φ之间的关系，并求其角加速度。
取曲柄和小齿轮为研究对象。曲柄OA作定轴转动，小齿轮作平面运动。
初始瞬时系统静止，动能为
任意位置系统的动能
式中ω为曲柄转过角度φ时的角速度，因小齿轮与大齿轮的接触点P为小齿轮的速度瞬心，所以小齿轮的角速度为
系统具有理想约束且内力功之和等于零，只有常力偶矩作功
由质点系动能定理得
将（1）式两端对时间求一阶导数，并注意到
曲柄OA的角加速度为
第四节功率 功率方程 机械效率
　　单位时间内力所作的功，称为功率，以P表示。功率是力作功快慢程度的度量，它是衡量机械性能的一项重要指标。功率的数学表达式为
，因此功率可写成
式中 v--力F作用点的速度。
上式表明：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。例如，用机床加工零件时，切削力越大，切削速度越高，则要求机床的功率越大。每台机床、每部机器能够输出的最大功率是一定的，因此用机床加工时，如果切削力较大，必须选择较小的切削速度，使二者的乘积不超过机床能够输出的最大功率。又如汽车上坡时，由于需要较大的驱动力，这时驾驶员一般选用低速档，以求在发动机功率一定的条件下，产生最大的驱动力。
作用在转动刚体上的力的功率为
式中 Mz--力对转轴z的矩；
ω--角速度。
上式表明：作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。
功率的量纲为
dim P=[M][L][T]-2?[L][T]-1=[M][L]2[T]-3
在国际单位制中，功率的单位为W（瓦特），1W＝1J/s，1000W=1kW（千瓦）。
二、功率方程
取质点系动能定理的微分形式
，两端除以dt，得
即 质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和，式（12-27）称为功率方程。
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。电场对电机转子作用的力作正功，使转子转动，电场力的功率称为输入功率。由于皮带传动、齿轮传动和轴承与轴之间都有摩擦，摩擦力作负功，使一部分机械能转化为热能；传动系统中的零件也会相互碰撞，也要损失一部分功率。这些功率都取负值，称为无用功率或损耗功率。车床切削工件时，切削阻力对夹持在车床主轴上的工件作负功，这是车床加工零件必须付出的功率，称为有用功率或输出功率。每部机器的功率都可分为上述三部分。在一般情形下，式(12-27)可写成
上式表明：系统的输入功率等于有用功率、无用功率与系统动能的变化率之和。
三、机械效率
任何一部机器在工作时都需要从外界输入功率，同时由于一些机械能转化为热能、声能等，都将消耗一部分功率。在工程中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率，用η表示，即
其中，有效功率＝
。由上式可知，机械效率 表明机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一，它与传动方式、制造精度与工作条件有关。一般机械或机械零件传动的效率可在手册或有关说明书中查到。显然，
第十二章 第四节 功率 功率方程 机械效率(例题12-6)
例12-6 车床的电动机功率P=5.4kW。由于传动零件之间的磨擦，损耗功率占输入功率的30％。如工件的直径d=100mm ，转速n=42r/min，允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n1=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？
由题意知，车床的输入功率为P=5.4kW ，损耗的无用功率
。当工件匀速转动时，有用功率为
设切削力为F，切削速度为v，由
当n=42r/min时，允许的最大切削为
当n1=112r/min时，允许的最大切削力为
第五节势力场 势能 机械能守恒定律
一、势力场
如果质点在某空间中的任一位置，都受到一个大小和方向完全决定于质点位置的力的作用，则这部分空间称为力场。例如，地球表面附近的空间是重力场；当质点离地面较远时，质点将受到万有引力的作用，引力的大小和方向也完全决定于质点的位置，所以这部分空间称为万有引力场；系在弹簧上的质点受到弹簧的弹性力的作用，弹性力的大小和方向也只与质点的位置有关，因而在弹性力所及的空间称为弹性力场。
如果质点在某力场中运动时，作用在质点上的力所作的功与质点路径无关，只取决于质点的初始位置和终止位置，则该力场称为势力场，而质点所受的力称为有势力。例如：重力，万有引力及弹性力都是有势力，重力场、万有引力场及弹性力场都是势力场。
在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。用Ep表示，即
点M0的势能等于零，我们称它为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。下面介绍几种常见的势能。
1．重力场中的势能
在重力场中，取如图12-16所示坐标系。重力mg在各轴上的投影为
　　取M0为零势能点，则点M的势能为
　　2．弹性力场中的势能
设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，如图12-17所示，弹簧的刚度系数为K。取点M0为零势能点，则质点M的势能
式中，δ和δ0分别为弹簧在M和M0时的变形量。
如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有
3．万有引力场中的势能
设质量为m1的质点受质量为m2物体的万有引力F作用，如图12-18所示。取点M0为零势能点，则质点在点M的势能
式中f为引力常数，r0是质点的矢径方向的单位矢量。
为矢径增量dr在矢径方向的投影，由图12-18可见，它应等于矢径长度的增量dr，即
。设r1是零势能点的矢径，于是有
如果选取的零势能点在无穷远处，即
上式表明：万有引力作功只取决于质点运动的初始位置M和终止位置M0，与点的轨迹形状无关，万有引力场为势力场。
三、机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。设质点系在运动过程中的初始瞬时和终止瞬时的动能分别为Ek1和Ek2，所受力在这过程中所作的功为W，根据动能定理有
若系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用势能计算，即
上式表明：质点在势力场内运动时机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
四、有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系
在势力场中，不同位置处的势能值不同，因此，势能是位置坐标的函数。
设有势力F的作用点从点M (x，y，z)移到点M''(x+dx，y+dy，z+dz)，M点处的势能为Ep(x，y，z)，而M''点的势能为Ep(x+dx，y+dy，z+dz)，则有势力的元功可用势能的差来计算，即
由微积分知，势能的全微分可写成
代入式(12-37)，有
而力F的元功的解析表达式为
比较以上两式，得
上式表明：有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。
如果系统有多个有势力，总势能为Ep，则对于作用在点Mi(xi，yi，zi)的有势力Fi，其相应的投影为
第六节动力学普遍定理的综合应用
动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。它们从不同侧面阐明了物体机械运动的规律，用不同的物理量反映了质点或质点系运动的改变和作用力的关系，在求解动力学两类问题时，各有其特点。
动量定理（或质心运动定理）建立了动量的变化（或质心运动的变化）与外力系主矢的关系。它涉及到速度、时间和外力三种量。对于用时间表示的运动过程，通常使用动量定理求解。特别是已知运动求约束反力的问题，必须用动量定理（或质心运动定理）求解。
动量矩定理建立了质点系动量矩的变化与外力系主矩的关系。当质点系绕轴运动时，可考虑使用动量矩定理求解。如果已知运动，则可使用动量矩定理求解作用线不通过转轴的力。如果已知外力矩，则可使用动量矩定理求解质点系绕轴（或点）的运动。
动能定理建立了质点系动能的变化与力的功的关系。它涉及到速度、路程和力三种量。对于用路程表示的运动过程，当已知力求质点系运动的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）时，通常使用动能定理求解较为方便。
此外还要注意各定理的守恒条件。通过守恒定理直接列出运动量之间的关系。
在领会各定理的特征的同时，还要学会针对具体问题进行受力分析和运动分析，弄清楚问题的性质和条件，再结合各定理所反映的规律，来选择适用的定理。
下面通过具体问题来说明普遍定理的综合应用。
第十二章 第六节 动力学普遍定理的综合应用(例题12-7)
例12-7 图12-19a所示铰车鼓轮的半径为r，重为G1，重心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常力偶，使半径为R，重为G2的滚子（鼓轮和滚子均视为均质圆盘）沿倾角为斜面由静止开始向上作纯滚动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角φ时，滚子质心C的速度、加速度、绳子的拉力和轴承O处约束力。
(1) 取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质心C的速度、加速度。
系统初始瞬时的动能
系统终止瞬时的动能
式中vC为滚子质心C的速度，
分别为滚子和鼓轮的角速度。由运动学可知，
系统具有理想约束且内力功之和恒等于零。主动力的功只有滚子的重力G2和力偶矩为M的力偶作功，它们所作的功的总和为
根据质点系的动能定理，可得
将式（1）两端对t求一阶导数，得
，代入上式，可得滚子质心 的加速度
(2)取鼓轮（包括绳子）为研究对象，其受力图如图12-19b所示，应用刚体绕定轴转动微分方程求滚子对绳子的拉力。
根据刚体绕定轴转动微分方程，可得
故滚子对绳子的拉力
(3)仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，根据质心运动定理求轴承O处约束力。
因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运动定理在x、y轴上的投影式可得
将式（3）代入，解得
第十二章 第六节 动力学普遍定理的综合应用(例题12-8)
例12-8 如图12-20所示，均质杆AB重G，长l，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下，求当杆与铅垂线成60o角时的角速度、角加速度以及此瞬时A点的约束力。
AB杆在运动中只受重力和地面法向反力的作用。所有外力均为铅垂，即水平方向合力等于零，则质心在水平方向的运动守恒。初始瞬时杆静止，即vCx=0，质心的横坐标xC保持常数。因此在AB杆的平面运动中，质心是沿着铅垂线下落的。另一方面AB杆在运动中只有重力作功，可以应用动能定理求AB杆的运动。当已知AB杆的运动后，则可使用质心运动定理求解地面的约束力。
(1)取AB杆为研究对象，应用动能定理求AB杆的角速度和角加速度。
AB杆作平面运动速度瞬心位于P点。
系统初始瞬时的动能
系统终止瞬时的动能
由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功
根据动能定理可得
将φ=60o代入，得
将式（1）两端对时间t求一阶导数
得角加速度
将φ=60o代入，得
(2)应用质心运动定理求地面的约束力FN。
为用已求得角速度ω和角加速度α来表示质心的加速度，需要应用运动学知识建立补充方程。以通过质心的铅垂线为y轴，原点O取在地面上，如图12-20所示。当AB杆与铅垂线夹角为φ时，质心的坐标为
，将其对时间求两阶导数，得
由质心运动定理
将式（2）、式（3）代入，得
地面的约束力FN也可用刚体平面运动微分方程中的最后一个式子求解。
当φ=60o时
收录时间:日 17:06:52 来源:马棚网 作者:匿名
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I. 工程科学基础一. 数学1.1 空间解析几何向量的线性运算;向量的数量积、向量积及混合积;两向量垂直、平行的条件;直线方程;平面方程;平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系;点到平面、直线的距离;球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程;常用的二次曲面方程;空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。1.2 微分学函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;数列极限与函数极限的定义及其性质;无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算;函数连续的概念;函数间断点及其类型;
导数与微分的概念;导数的几何意义和物理意义;平面曲线的切线和法线;导数和微分的四则运算;高阶导数;微分中值定理;洛必达法则;函数的切线及法平面和切平面及切法线;函数单调性的判别;函数的极值;函数曲线的凹凸性、拐点;偏导数与全微分的概念;二阶偏导数;多元函数的极值和条件极值;多元函数的最大、最小值及其简单应用。1.3 积分学原函数与不定积分的概念;不定积分的基本性质;基本积分公式;定积分的基本概念和性质(包括定积分中值定理);积分上限的函数及其导数;牛顿-莱布尼兹公式;不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法;有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分;广义积分;二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;两类曲线积分的概念、性质和计算;求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。1.4 无穷级数数项级数的敛散性概念;收敛级数的和;级数的基本性质与级数收敛的必要条件;几何级数与
级数及其收敛性;正项级数敛散性的判别法;任意项级数的绝对收敛与条件收敛;幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域;幂级数的和函数;函数的泰勒级数展开;函数的傅里叶系数与傅里叶级数。1.5 常微分方程常微分方程的基本概念;变量可分离的微分方程;齐次微分方程;
一阶线性微分方程;全微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程。1.6 线性代数行列式的性质及计算;行列式按行展开定理的应用;矩阵的运算;逆矩阵的概念、性质及求法;矩阵的初等变换和初等矩阵;矩阵的秩;等价矩阵的概念和性质;向量的线性表示;向量组的线性相关和线性无关;线性方程组有解的判定;线性方程组求解;矩阵的特征值和特征向量的概念与性质;相似矩阵的概念和性质;矩阵的相似对角化;二次型及其矩阵表示;合同矩阵的概念和性质;二次型的秩;惯性定理;二次型及其矩阵的正定性。1.7 概率与数理统计随机事件与样本空间;事件的关系与运算;概率的基本性质;古典型概率;条件概率;概率的基本公式;事件的独立性;独立重复试验;
随机变量;随机变量的分布函数;离散型随机变量的概率分布;连续型随机变量的概率密度;常见随机变量的分布;随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质;随机变量函数的数学期望;矩、协方差、相关系数及其性质;总体;个体;简单随机样本;统计量;样本均值;
样本方差和样本矩; 分布; 分布;
分布;点估计的概念;估计量与估计值;矩估计法;最大似然估计法;估计量的评选标准;区间估计的概念;单个正态总体的均值和方差的区间估计;两个正态总体的均值差和方差比的区间估计;显著性检验;单个正态总体的均值和方差的假设检验。二.物理学2.1 热学气体状态参量;平衡态;理想气体状态方程;理想气体的压强和温度的统计解释;自由度;能量按自由度均分原理;理想气体内能;平均碰撞频率和平均自由程;麦克斯韦速率分布律;方均根速率;平均速率;最概然速率;功;热量;内能;热力学第一定律及其对理想气体等值过程的应用;绝热过程;气体的摩尔热容量;循环过程;卡诺循环;热机效率;净功;致冷系数;热力学第二定律及其统计意义;可逆过程和不可逆过程。2.2 波动学机械波的产生和传播;一维简谐波表达式;描述波的特征量;阵面，波前，波线;波的能量、能流、能流密度;波的衍射;波的干涉;驻波;自由端反射与固定端反射;声波;声强级;多普勒效应。2.3 光学相干光的获得;杨氏双缝干涉;光程和光程差;薄膜干涉;光疏介质;
光密介质;迈克尔逊干涉仪;惠更斯—菲涅尔原理;单缝衍射;光学仪器分辨本领;射光栅与光谱分析;x射线衍射;喇格公式;自然光和偏振光;布儒斯特定律;马吕斯定律;双折射现象。三.化学3.1物质的结构和物质状态原子结构的近代概念;原子轨道和电子云;原子核外电子分布;原子和离子的电子结构;原子结构和元素周期律;元素周期表;周期
族;元素性质及氧化物及其酸碱性。离子键的特征;共价键的特征和类型;杂化轨道与分子空间构型;分子结构式;键的极性和分子的极性;分子间力与氢键;晶体与非晶体;晶体类型与物质性质。3.2溶液溶液的浓度;非电解质稀溶液通性;渗透压;弱电解质溶液的解离平衡;分压定律;解离常数;同离子效应;缓冲溶液;水的离子积及溶液的pH值;盐类的水解及溶液的酸碱性;溶度积常数;溶度积规则。3.3化学反应速率及化学平衡反应热与热化学方程式;化学反应速率;温度和反应物浓度对反应速率的影响;活化能的物理意义;催化剂;化学反应方向的判断;化学平衡的特征;化学平衡移动原理。3.4氧化还原反应与电化学氧化还原的概念;氧化剂与还原剂;氧化还原电对;氧化还原反应方程式的配平;原电池的组成和符号;电极反应与电池反应;标准电极电势;电极电势的影响因素及应用;金属腐蚀与防护。3.5 有机化学有机物特点、分类及命名;官能团及分子构造式;同分异构;有机物的重要反应：加成、取代、消除、氧化、催化加氢、聚合反应、加聚与缩聚;基本有机物的结构、基本性质及用途：烷烃、
烯烃、炔烃、 芳烃、卤代烃、醇、苯酚、醛和酮、羧酸、酯;合成材料：高分子化合物、塑料、合成橡胶、合成纤维、工程塑料。四.理论力学4.1 静力学平衡;刚体;力;约束及约束力;受力图;力矩;力偶及力偶矩;力系的等效和简化;力的平移定理;平面力系的简化;主矢;主矩;平面力系的平衡条件和平衡方程式;物体系统(含平面静定桁架)的平衡;摩擦力;摩擦定律;摩擦角;摩擦自锁。4.2 运动学点的运动方程;轨迹;速度;加速度;切向加速度和法向加速度;平动和绕定轴转动;角速度;角加速度;刚体内任一点的速度和加速度。4.3 动力学牛顿定律;质点的直线振动;自由振动微分方程;固有频率;周期;
振幅;衰减振动;阻尼对自由振动振幅的影响—振幅衰减曲线;受迫振动;受迫振动频率;幅频特性;共振;动力学普遍定理;动量;质心;动量定理及质心运动定理;动量及质心运动守恒;动量矩;动量矩定理;动量矩守恒;刚体定轴转动微分方程;转动惯量;回转半径;平行轴定理;功;动能;势能;动能定理及机械能守恒;达朗贝原理;惯性力;刚体作平动和绕定轴转动(转轴垂直于刚体的对称面)时惯性力系的简化;动静法。五.材料力学5.1 材料在拉伸、压缩时的力学性能低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力—应变曲线;力学性能指标。5.2 拉伸和压缩轴力和轴力图;杆件横截面和斜截面上的应力;强度条件;虎克定律;变形计算。5.3 剪切和挤压剪切和挤压的实用计算;剪切面;挤压面;剪切强度;挤压强度。5.4 扭转扭矩和扭矩图;圆轴扭转切应力;切应力互等定理;剪切虎克定律; 圆轴扭转的强度条件;扭转角计算及刚度条件。5.5 截面几何性质静矩和形心;惯性矩和惯性积;平行轴公式;形心主轴及形心主惯性矩概念。5.6 弯曲梁的内力方程;剪力图和弯矩图;分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系;正应力强度条件;切应力强度条件;梁的合理截面;弯曲中心概念;求梁变形的积分法、叠加法。5.7 应力状态平面应力状态分析的解析法和应力圆法;主应力和最大切应力;广义虎克定律;四个常用的强度理论。5.8 组合变形拉/压--弯组合、弯--扭组合情况下杆件的强度校核;斜弯曲。5.9 压杆稳定压杆的临界载荷;欧拉公式;柔度;临界应力总图;压杆的稳定校核。六、流体力学6.1 流体的主要物性与流体静力学流体的压缩性与膨胀性;流体的粘性与牛顿内磨檫定律;流体静压强及其特性;重力作用下静水压强的分布规律;作用于平面的液体总压力的计算。6.2 流体动力学基础以流场为对象描述流动的概念;流体运动的总流分析;恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程的运用。6.3 流动阻力和能量损失沿程阻力损失和局部阻力损失;实际流体的两种流态—层流和紊流;圆管中层流运动;紊流运动的特征;减小阻力的措施。6.4 孔口管嘴管道流动孔口自由出流、孔口淹没出流;管嘴出流;有压管道恒定流;管道的串联和并联。6.5 明渠恒定流明渠均匀水流特性;产生均匀流的条件;明渠恒定非均匀流的流动状态;明渠恒定均匀流的水平力计算。6.6 渗流、井和集水廊道土壤的渗流特性;达西定律;井和集水廊道。6.7 相似原理和量纲分析力学相似原理;相似准数;量纲分析法勘察设计注册工程师资格考试公共基础考试大纲II.现代技术基础七. 电气与信息7.1 电磁学概念电荷与电场;库仑定律;高斯定理;电流与磁场;安培环路定律;电磁感应定律;洛仑兹力。7.2 电路知识电路组成;电路的基本物理过程;理想电路元件及其约束关系;电路模型;欧姆定律;基尔霍夫定律;支路电流法;等效电源定理;迭加原理;正弦交流电的时间函数描述;阻抗;正弦交流电的相量描述;复数阻抗;交流电路稳态分析的相量法;交流电路功率;功率因数;
三相配电电路及用电安全;电路暂态;R-C、R-L电路暂态特性;电路频率特性;R-C、R-L电路频率特性。7.3 电动机与变压器理想变压器;变压器的电压变换、电流变换和阻抗变换原理;三相异步电动机接线、启动、反转及调速方法;三相异步电动机运行特性; 简单继电-接触控制电路。7.4 信号与信息信号;信息;信号的分类;模拟信号与信息;模拟信号描述方法;模拟信号的频谱;模拟信号增强;模拟信号滤波;模拟信号变换;数字信号与信息;数字信号的逻辑编码与逻辑演算;数字信号的数值编码与数值运算。7.5 模拟电子技术晶体二极管;极型晶体三极管;共射极放大电路;输入阻抗与输出阻抗;射极跟随器与阻抗变换;运算放大器;反相运算放大电路;同相运算放大电路;基于运算放大器的比较器电路;二极管单相半波整流电路;二极管单相桥式整流电路。7.6 数字电子技术与、或、非门的逻辑功能;简单组合逻辑电路;D触发器;JK触发器 数字寄存器;脉冲计数器。7.7 计算机系统计算机系统组成;计算机的发展;计算机的分类;计算机系统特点;计算机硬件系统组成;CPU;存储器;输入/输出设备及控制系统;总线;数模/模数转换;计算机软件系统组成;系统软件;操作系统;操作系统定义;操作系统特征;操作系统功能;操作系统分类;支撑软件;应用软件;计算机程序设计语言。7.8 信息表示信息在计算机内的表示;二进制编码;数据单位;计算机内数值数据的表示;计算机内非数值数据的表示;信息及其主要特征。7.9 常用操作系统Windows发展;进程和处理器管理;存储管理;文件管理;输入/输出管理;设备管理;网络服务。7.10 计算机网络计算机与计算机网络;网络概念;网络功能;网络组成;网络分类;
局域网;广域网;因特网;网络管理;网络安全;Windows系统中的网络应用;信息安全;信息保密III、工程管理基础八.法律法规8.1 中华人民共和国建筑法总则;建筑许可;建筑工程发包与承包;建筑工程监理;建筑安全生产管理;建筑工程质量管理;法律责任。8.2 中华人民共和国安全生产法总则;生产经营单位的安全生产保障;从业人员的权利和义务;安全生产的监督管理;生产安全事故的应急救援与调查处理。8.3 中华人民共和国招标投标法总则;招标;投标;开标;评标和中标;法律责任。8.4 中华人民共和国合同法一般规定;合同的订立;合同的效力;合同的履行;合同的变更和转让;合同的权利义务终止;违约责任;其他规定。8.5 中华人民共和国行政许可法总则;行政许可的设定;行政许可的实施机关;行政许可的实施程序;行政许可的费用。8.6 中华人民共和国节约能源法总则;节能管理;合理使用与节约能源;节能技术进步;激励措施;法律责任。8.7 中华人民共和国环境保护法总则;环境监督管理;保护和改善环境;防治环境污染和其他公害;法律责任。8.8 建设工程勘察设计管理条例总则;资质资格管理;建设工程勘察设计发包与承包;建设工程勘察设计文件的编制与实施;监督管理。8.9 建设工程质量管理条例总则;建设单位的质量责任和义务;勘察设计单位的质量责任和义务;施工单位的质量责任和义务;工程监理单位的质量责任和义务;建设工程质量保修。8.10 建设工程安全生产管理条例总则;建设单位的安全责任;勘察设计工程监理及其他有关单位的安全责任;施工单位的安全责任;监督管理;生产安全事故的应急救援和调查处理。九.工程经济9.1 资金的时间价值资金时间价值的概念;息及计算;实际利率和名义利率;现金流量及现金流量图;资金等值计算的常用公式及应用;复利系数表的应用。9.2 财务效益与费用估算项目的分类;项目计算期;财务效益与费用;营业收入;补贴收入;建设投资;建设期利息;流动资金;总成本费用;经营成本;项目评价涉及的税费;总投资形成的资产。9.3 资金来源与融资方案资金筹措的主要方式;资金成本;债务偿还的主要方式。9.4 财务分析财务评价的内容;盈利能力分析(财务净现值、财务内部收益率、项目投资回收期、总投资收益率、项目资本金净利润率);偿债能力分析(利息备付率、偿债备付率、资产负债率);财务生存能力分析;财务分析报表(项目投资现金流量表、项目资本金现金流量表、利润与利润分配表、财务计划现金流量表);基准收益率。9.5 经济费用效益分析经济费用和效益;社会折现率;影子价格;影子汇率;影子工资;经济净现值;经济内部收益率;经济效益费用比。9.6 不确定性分析盈亏平衡分析(盈亏平衡点、盈亏平衡分析图);敏感性分析(敏感度系数、临界点、敏感性分析图)。9.7 方案经济比选方案比选的类型;方案经济比选的方法(效益比选法、费用比选法、最低价格法);计算期不同的互斥方案的比选。9.8改扩建项目经济评价特点改扩建项目经济评价特点。9.9 价值工程价值工程原理;实施步骤。考试专业基础考试大纲十物理化学10.1 气体的P V T 性质10.2 热力学第一定律10.3 热力学第二定律10.4 多组分系统热力学10.5 化学平衡理想气体反应的化学平衡 实际反应的化学平衡10.6 相平衡单组分系统二组分系统气液平衡 二组分系统液固平衡 三相分系统10.7 电化学电解池 原电池和法拉第定律 电解质溶液 原电池 电解和极化10.8 表面现象表面张力 润湿现象 弯曲液面的附加压力和毛细现象 固体表面的吸附作用 等温吸附溶液表面的吸附 表面活性物质10.9 化学动力学基础化学反应速率方程 复合反应速率与机理 反应速率理论10.10 各类特殊反应的动力学溶液中反应和多相反应光化学 催化作用10.11 胶体化学胶体分散系统及其基本性质憎液溶胶的稳定与聚沉 乳状液 泡沫 悬浮液和气溶胶高分子化合物溶液十一化工原理11.1 流体输送机械液体输送设备 离心泵 其他类型泵 气体输送和压缩设备11.2 非均相物系的分离流态化和气力输送沉降 过滤 流态化 气力输送11.3 液体搅拌机械搅拌装置和混合机理搅拌器的性能 搅拌功率 搅拌器的放大11.4 传热热传导 两流体间的热量传递 对流传热系数 热辐射 换热器11.5 蒸发蒸发设备 单效蒸发 多效蒸发11.6 气体吸收气液相平衡 传质机理和吸收速率 吸收塔的计算 填料塔与填料11.7 蒸馏二元系的气液平衡 蒸馏方式 二元系精馏的设计型计算 板式塔 多元系精馏11.8 固体干燥湿空气的性质和湿度图 干燥器的物料和能量衡算 干燥速率和干燥时间 干燥器11.9 液液萃取概念及萃取操作的流程和计算 萃取设备11.10 浸取概念 设备及过程的计算十二化工过程控制12.1 过程控制系统的基本概念 自动控制的组成12.2 被控制对象的特性12.3 工艺参数(压力流量温度液位)的主要测量及转换方法 原理常用仪表的基本工作原理 特点 性能指标 使用场合 误差分析12.4 显示仪表自动电子电位差计的测量原理 数字式显示仪表的基本组成及使用方法12.5 自动调节仪表常用调节规律的输入输出关系特性 特点及应用12.6 执行器执行器基本组成 气动薄膜调节阀的结构特点及应用 调节阀的流量特性调节阀的气开气关形式及控制器的正反作用选择方法12.7 简单控制系统的工艺设计12.8 计算机控制系统的组成及特点 过程控制计算机接口技术知识和过程控制计算机硬件、软件技术知识十三化工设计基础13.1 工艺设计工艺设计和工程设计涵义 类型及分类 不同设计阶段的工作内容及其主要工作顺序化工设计的前期工作内容 工作顺序和具体要求 厂址选择项目建议书 可行性研究和设计任务书 工艺计算内容和要求物料衡算和能量衡算基本方法 化工工艺流程设计工艺流程设计主要任务(技术合理性) 工 艺流程设计方法和工艺流程图绘制车间的平立面布置图 设备布置基本内容 工艺建筑设备 对车间布置基本要求管道布置图和管道布置 一般要求和基本规范 管道常用配件各种管子和阀门规格材料 性能及用途13.2 工艺设计安全工艺设计安全性涉及的安全因素消防防爆防毒劳动安全卫生的基本内容和一般性要求13.3 工艺设计经济分析工艺设计经济合理性应分析的因素 基本内容和一般性要求设方案评价的要求和准则 评价的一般方法十四化工污染控制基础14.1 环境污染控制原则工业污染控制的基本原则综合利用知识14.2 废水处理废水处理的一般方法非均相废水的处理技术和有机废水的生物处理技术焚烧知识14.3 废气处理化工废气处理的一般方法废气中颗粒污染物的净化技术以及气态污染物的吸收吸附催化转化等净化技术和焚烧知识14.4 废渣处理固体废物处理处置技术 污泥浓缩和脱水 有关固化 热解 焚烧技术知识14.5 环境噪声控制噪声控制基本概念 声源性质 声压和声速的表示方法 声场中的能量关系噪声控制的一般方法 吸声 隔声和消声器基本知识工业区和居民区等各类场所噪声控制的范围和要求十五化工热力学15.1 热力学状态参数理想气体状态方程15.2 功热量和内能15.3 热力学第一定律及其对理想气体等值过程和绝热过程多方过程的应用15.4 气体的热容焓和熵15.5 热力学过程循环过程和热机效率15.6 热力学第二定律可逆与不可逆过程熵15.7 立方型状态方程逸度和逸度系数15.8 理想溶液正规溶液和无热溶液15.9 活度系数混合性质偏摩尔性质超额性质以及超额Gibbs自由能与活度系数的关系15.10 低压汽液平衡中总压及汽相组成计算共沸点15.11 液液平衡以及根据液液平衡数据求活度系数编辑推荐：
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