例说函数奇偶性的几种判断方法；函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个；1、考查函数的定义域是否关于原点对称；若定义域关；函数；2、若定义域关于原点对称，则判断f(?x)??f；若f(?x)??f(x)且f(?x)?f(x)，；且只有一类，即f(x)=0，x?D；?下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较；对于函数定义域内的任意一个x，若f(?
例说函数奇偶性的几种判断方法
函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)（或f(?x)?f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若f(x)是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有?x?D，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。 ? 用定义判断函数奇偶性的一般步骤：
1、 考查函数的定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点不对称，则函数是非奇非偶
2、 若定义域关于原点对称，则判断f(?x)??f(x)还是f(?x)?f(x)，
若f(?x)??f(x)，则f(x)为奇函数。
若f(?x)?f(x)，则f(x)为偶函数。
若f(?x)??f(x)且f(?x)?f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有
且只有一类，即f(x)=0，x?D。
? 下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。 1. 相加判别法
对于函数定义域内的任意一个x，若f(?x)?f(x)?0，则f(x)是奇函数；若f(?x)?f(x)?2f(x)，则f(x)是偶函数。 例1
判断函数f(x)?lg(x?x2?1)的奇偶性。
解法1：利用定义判断，由f(?x)?lg(?x?(?x)2?1)
(x2?1?x)(x2?1?x)
x2?1?x2x?1?x
?x2?1?x)?1??lg(x?x2?1)??f(x)，可知f(x)是奇函数。
解法2：由x∈R，知?x?R。因为f(x)?f(?x)?lg(x?x2?1)?lg(?x?(?x)2?1)
?lg[(x?x2?1)(?x?(?x)2?1)]?lg1?0，所以f(x)?lg(x?x2?1)是奇函数。
2. 相减判别法
对于函数定义域内任意一个x，若f(x)?f(?x)?2f(x)，则f(x)是奇函数；若f(x)?f(?x)?0，则f(x)是偶函数。
判断函数g(x)?
?的奇偶性。 x
x??xx?x(2x?1)??x
????x???解：由x∈R，知?x?R。因为g(?x)?g(x)???x
2x?1?2?12??2?12?
?x?x?x?0，所以g(x)是偶函数。
3. 相乘判别法
对于函数定义域内任意一个x，若f(x)?f(?x)??f2(x)，则f(x)是奇函数；若
f(x)?f(?x)?f2(x)，则f(x)是偶函数。
(a?0，a?1)是偶函数。 例3
证明函数f(x)?x
x(ax?1)(?x)(a?x?1)x(ax?1)
??证明：由x∈R，知?x?R。因为f(x)?f(?x)?
ax?1a?x?1ax?1
(?x)(1?a)?x(ax?1)?2
???f(x)，所以f(x)是偶函数。 ??xx
4. 相除判别法
对于函数定义域内任意一个x，设f(?x)?0，若
??1，则f(x)是奇函数；若f(?x)
?1，则f(x)是偶函数。 f(?x)
(a?0，a?1)是奇函数。 例4
证明函数f(x)?x
证明：由ax?1?0，知x?0且x?R，∴定义域关于原点对称。
f(x)ax?1a?x?1(ax?1)(a?x?1)?ax?a?x
∵f(?x)?0????x??1， ?x
f(?x)ax?1a?x?1(ax?1)(a?x?1)a?a
∴f(x)是奇函数。
点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复
杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。
已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)?1，且对任意的x∈R，都有f(x?5)?f(x)?5，f(x?1)?f(x)?1。若g(x)?f(x)?1?x，则f(2006)?________。
答案：1（提示：由f(x)?5?f(x?5)?f(x?4)?1?f(x?3)?2?f(x?2)?3?f(x?1) ?4?f(x)?5，所以其中等号均成立，f(x?1)?f(x)?1。由f(1)?1得f(2)?f(1)?1?2，f(3)?f(2)?1?3，…，f(，从而有g(2006)?f(6?1）
一. 活用数列的概念
数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往简捷明了，出奇制胜。
的等差数列，如果
分析：若以条件求出
，再求和，则运算较为繁琐。注意到两个和式中的项数相等，且均是等差
例:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是14，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
分析：从等差，等比数列的概念入手，设前三个数为
，则第四个数为
四个数为0，4，8，16或15，9，3，1。
点评：活用等差、等比数列的概念，沟通了有关元素间的内在联系，且使运算得以简化。
二.巧用数列的性质
数列的性质是对概念内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器。
例:在各项均为正数的等比数列
分析：等比数列
，选（B）。
三. 运用整体思想
从整体上考虑问题，往往能够避免局部运算的困扰，使问题得以迅速求解。
例:等差数列
的前 项和为30，前
项和为100，则其前
分析：这里无需求出
，然后再求
也成等差数列，
是等差数列，
例:是否存在常数
，使得等式
对一切自然数
都成立？证明你的结
分析：左式
这样，问题转化为上式与
对一切自然数 恒等。所以
点评：放眼全局，从整体上考虑问题，通过研究问题的整体形式、整体结构，达到简捷解决问题的目的。
四. 运用函数思想
数列是一种特殊的函数。运用函数的思想处理数列问题，往往能把握问题的本质，使求解过程简捷明快。
例:已知数列
是等差数列，
（1）求数列
；（2）设数列
是数列 的大小，并证明你的结论。
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若f（x）=xsinx+cosx，则f（-3）与f（2）的大小关系是A.f（-3）＜f（2）B.f（-3）＞f（2）C.f（-3）=f（2）D.不能确定
 试题类型：
 试题难度：
 试题内容：
若f（x）=xsinx+cosx，则f（-3）与f（2）的大小关系是A.f（-3）＜f（2）B.f（-3）＞f（2）C.f（-3）=f（2）D.不能确定
试题答案：
试题解析 ：
分析：先判断函数的奇偶性，然后利用作差法确定f（-3）-f（2）的符号，借助导数判断y=xsinx∈[，π]是减函数，从而确定f（-3）-f（2）的符号，得到选项．解答：f（x）=xsinx+cosxf（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx所以f（-x）=f（x），f（x）是偶函数f（-3）=f（3）=3sin3+cos3f（2）=2sin2+cos2f（-3）-f（2）=3sin3+cos3-2sin2-cos2=（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）余弦函数在[，π]闭区间内是递减的，所以cos3-cos2＜0；因为y=xsinx，x∈[，π]可得y′=sinx+xcosx=sin（x+）+（x-1）cosx＜0，函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，所以3sin3-2sin2＜0．所以（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）＜0，于是f（-3）-f（2）＜0，那么f（-3）＜f（2）故选A．点评：本题是中档题，考查正弦函数的单调性，利用导数判断函数的单调性是本题的难度，因为是选择题，可以借助特殊值比较大小，估计数轴即可，本题给出判断函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，的证明方法，值得注意学习．
分析：先判断函数的奇偶性，然后利用作差法确定f（-3）-f（2）的符号，借助导数判断y=xsinx∈[，π]是减函数，从而确定f（-3）-f（2）的符号，得到选项．解答：f（x）=xsinx+cosxf（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx所以f（-x）=f（x），f（x）是偶函数f（-3）=f（3）=3sin3+cos3f（2）=2sin2+cos2f（-3）-f（2）=3sin3+cos3-2sin2-cos2=（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）余弦函数在[，π]闭区间内是递减的，所以cos3-cos2＜0；因为y=xsinx，x∈[，π]可得y′=sinx+xcosx=sin（x+）+（x-1）cosx＜0，函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，所以3sin3-2sin2＜0．所以（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）＜0，于是f（-3）-f（2）＜0，那么f（-3）＜f（2）故选A．点评：本题是中档题，考查正弦函数的单调性，利用导数判断函数的单调性是本题的难度，因为是选择题，可以借助特殊值比较大小，估计数轴即可，本题给出判断函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，的证明方法，值得注意学习．
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设函数，集合，判断在上的奇偶性为（&&& ）（A）偶函数&&& （B）奇函数&& （C）非奇非偶函数& （D）既是奇函数又是偶函数&
设函数，集合，判断在上的奇偶性为（&&&）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
设函数，集合，判断在上的奇偶性为（&&& ） （A）偶函数&&& （B）奇函数&& （C）非奇非偶函数& （D）既是奇函数又是偶函数
设函数f(x)＝，集合A＝{－10，－9，－8，…，9，10}，判断f(x)在A上的奇偶性为
非奇非偶函数
既是奇函数又是偶函数
定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2．（1）求f（2）和f（0）的值；（2）求f（-1）的值并判断该函数的奇偶性；（3）设集合A={（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．
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