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1.75亿学生的选择
为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?
北條°辦a垳n
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这个是圆系方程：定义：在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.简要说明
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圆心(a,b)为定点,r为参变数,则它表示同心圆的圆系方程．若r是常量,a（或b）为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上（平行于x轴或y轴）的圆系方程． 　　经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 　　的交点圆系方程为： 　　x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) 　　经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程 　　x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 　　类型1：方程 表示半径为定长 的圆系 类型2：方程 表示以定点为圆心的同心圆系. 　　拓展1：方程 表示圆心落在定直线上,半径为r（r为正数） 的圆系. 　　拓展2：方程 表示圆心落在任意直线上,半径为定长 的圆系. 　　拓展3：方程 表示圆心落在直线 上的圆系. 　　拓展4：方程 表示圆心落在圆 上,半径为 的圆系. 　　类型3：共轴圆系 　　若⊙C1与⊙C2交于A、B两点,则直线AB称为这两个圆的根轴.经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系,这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB,因此我们称这种圆系为共轴圆系.
理1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点 　　可将原式化为x+y+m(y+1)=0 　　即为x+y=0；y+1=0 　　解得恒过点（1,-1） 　　由此我们理解到当除了x,y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点. 　　由此可联想：当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点. 　　过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为： 　　x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0 　　理解2：有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式 　　x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式 　　①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0 　　此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立） 　　加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆. 例题　　例2：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程. 　　分析：本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大.自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行.为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程.则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题. 　　圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为 　　x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0,即2x+2y-11=0 　　过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为 　　x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0,即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0 　　依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上.即-2λ-2λ+11=0,则λ=-11/4 　　代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8
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圆系方程及其应用方程 椭圆 交点 直线 圆心 应用
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26高中数学 圆的方程 圆系 圆的一般方程、标准方程...
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26高中数学 圆的方程 圆系 圆的一般方程、标准方程、参数方程
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巧用圆系方程,简化“与圆有关”问题解题过程
05:50:19 来源网站：
篇一：高中数学直线与圆的方程知识点总结 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα
（α≠90°）； ②垂直：斜率k不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：k?tan?? y1?y2y2?y1 ? x1?x2x2?x1 ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2 ①相交：斜率k1?k2（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：&1& l1?x轴，即k1不存在，则k2?0；
&2& 斜率都存在时：k1?k2??1 。②平行：&1& 斜率都存在时：k1?k2,b1?b2；
&2& 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。③重合： 斜率都存在时：k1?k2,b1?b2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：y?y0?k(x?x0)
将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可；
②斜截式：y?kx?b将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可； ③两点式：带入即可； y?y1x?x1 ?，(其中x1?x2,y1?y2) 将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接 y2?y1x2?x1 xy ??1 将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可； ab ④截距式： ⑤一般式：Ax?By?C?0 ，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式： (x1?x2)?(y1?y2)
①两点间距离：P1P2? ②点到直线距离：d? 22 Ax0?By0?CA?B 2 2
③平行直线间距离：d? C1?C2A?B 2 2
4、中点、三分点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2) x1?x2y1?y2 ,)22 2x?x22y1?y2 ,) 靠近A的三分点坐标
②AB三分点(s1,t1),(s2,t2)：(1 33x?2x2y1?2y2 ,) 靠近B的三分点坐标 (1 33 ①AB中点(x0,y0)：( 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）： ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。 2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①?PB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：
②?PB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； 2 2 ③PA?PB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1
y=(a-1)(x+2)+3 令：x+2=0
必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0
m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解
必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析： ① 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：&1&斜率不存在时，是否满足题意；
&2&斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
&1& 直线与两定点所在直线平行；
&2& 直线过两定点的中点。 圆的方程 1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法： DE? 第一种：圆的一般方程——x?y?Dx?Ey?F?0其中圆心C???,??， ?2 2? D2?E2?4F半径r?. 2 当D2?E2?4F?0时，方程表示一个圆， 22 当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???当D2?E2?4F?0时，方程无图形. DE? ,??. 22?? 第二种：圆的标准方程——(x?a)2?(y?b)2?r2.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的圆 第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：? ?x?a?rcos? （?为参数） y?b?rsin?? 注：圆的直径方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0 3. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2. ①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 4. 直线和圆的位置关系： 设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)；
圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切； ②d?r时，l与C相交；， ③d?r时，l与C相离. 5、圆的切线方程： 2 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条) Aa?Bb?CA?B 2 2 .?y1?y0?k(x1?x0)? b?y1?k(a?x1)，②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?联立求出k?切线方程.（注：R?? R2?1? 过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X轴的直线。） 6.圆系方程： 过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ 2 2 （x2+y2+D2x+E2y+F2）=0 过两圆的交点的直线方程：x+y+D1x+E1y+F1- x+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方 程就是直线方程） 7.与圆有关的计算： 22 弦长的计算：AB=2*√R-d 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离 2 AB=（√1+k）*∣X1-X2∣
其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与 该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。 ④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y， 在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。 9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆 心坐标 2 2 2 2篇二：第三讲 圆、直线与圆的位置关系 第三讲
圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、复习目标： 1．掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数?的意义，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。 2．能根据所给条件，选取适当的方程的形式，运用待定系数法求出圆的方程，注意运用圆的几何性质优化解题过程。 3．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的问题。
4．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。 二．基础知识： 1．圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r&0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 DE (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F&0)，其中圆心为(-，-)22(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之） （4）参数式：? ?x?a?rcos? ，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心，θ（圆心角）为参数 y?b?rsin?? r2?x?a?b,y??c?bx?x2?d等 2 （5）半圆方程：y? （6）圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2； （???1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程；当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。） 22 2．圆的一般方程与二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0的关系：二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF&0。 ?圆上??x0?a?2??y0?b?2?r2 3．若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在?圆内??x?a?2??y?b?2?r2 ?00 ?圆外??x?a?2??y?b?2?r2 00?4．直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法： ?d?r?相交???0?相交 ?（1） 代数法（判别式法）????0?相切
（2）几何法，圆心到直线的距离?d?r?相切 ?d?r?相离???0?相离 ?? 一般宜用几何法。 5．弦长与切线方程，切线长的求法 ?l? （1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则d2????r2 ?2? （2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以x0x, y0y,改写圆方程中的x2，y2,x,y （3） 切线长d? 22 x0?y0?Dx0?Ey0?F? 2 x0?xy0?y ,22 x0?a2?y0?b2?r2 6．圆与圆的位置关系： 设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有： (1)d=k+r ?两圆外切； (2)d=k-r ?两圆内切； (3)d＞k+r ?两圆外离； (4)0&d＜k-r ?两圆内含； (5)k-r＜d＜k+r ?两圆相交． 三．题型归类 题型一：求圆方程——常用待定系数法 例1、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。 解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b)∵⊙O与⊙Q相外切于P ∴O、P、Q共线，且λ= 63OQ = -= -
由定比分点公式求得a=-3，b=33 42QP ∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16 (2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： x2?y2=(x?1)2?(y?1)2 即x+y-1=0 解方程组x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5 ∴(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
将P、Q点的坐标分别代入①，得： 4D-2E+F=-20② D-3E-F=10
③ 令x=0，由①得y2+Ey+F=0④ 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。 222 ∴(y1-y2)=(y1+y2)-4y1y2=E-4F=48⑤ ②、③、⑤组成的方程组，得
D=-2 D= -10
F= -12F=4 x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0 【思维点拔】无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。 题型二：与圆有关的轨迹问题 例2、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。 解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为( xy ，)，线段MN的中点坐22 y?4 标为(x0?3，0)。 22 因为平行四边形对角线互相平分，故 xx0?3yy0?4 =，= 2222 从而x0=x+3 y0=y-4 N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4 因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(- 9122128，)和(-，) 5555 【思维点拔】：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点 之间的关系或动点所满足的几何条件。 题型三：含参数的圆的方程 例3、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a≠1，且a∈R。 (1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点； (2)求圆心的轨迹方程。 (3)求与圆相切的直线方程； 解：（2）将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0 令
x2+y2-4y+2=0
x-y=0 解之得
x=1y=1 ∴定点为(1，1) (2) 圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则有x=ay=2-a 消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程。 (3)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为2|a-1|。 设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0 则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即 |ka?(a?2)?b| k?1 2 =2|a-1|恒成立。 整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。 比较系数可得2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。 本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。 一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+λg(x，y)=0(λ为参数)。 题型四：直线与圆的综合问题 例4、已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和L相切的圆的方程。 解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+?( x2+y2-4)=0，即(1+?)x2+(1+?)y2-2x-4y+4-4?=012?1??2???4??1??? 所以圆心为?,??????16????，半径为 2?1????1????1????1??1???4?16?161??14 ?2 1??1??1??依题意有 ? 25 解之得???1，舍去???1，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。 四．作业 2 22 1．圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且直线y=x截圆所得的弦长为27，求此圆的方程。 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x?3y?0上，故设圆方程为(x?3b)2?(y?b)2?9b2，由于直线y?x截圆所得的弦长为2，则有( 3b?b2 )2?(7)2?9b2解得b??1，故所求圆方 程为(x?3)2?(y?1)2?9或(x?3)2?(y?1)2?9 2．设A(-c,0),B(c,0) (c&0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a&0)，求P点的轨迹。 (x?c)2?y2|PA|解：设动点P的坐标为（x，y），由?a(a?0)，得?a. 22|PB|(x?c)?y 化简得(1?a2)x2?2c(1?a2)x?c2(1?a2)?(1?a2)y2?0. 2c(1?a2)1?a222ac2222 当a?1时,得x?，整理得x?c?y?0(x?c)?y?(). 222 1?aa?1a?1 当a=1时，化简得x=0. 2 2aca2?1 |c,0)为圆心，|2所以当a?1时，P点的轨迹是以(2 a?1a?1 为半径的圆； 当a=1时，P点的轨迹为y轴。 3．已知⊙M：x2+(y-2)2=1Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果|AB|?中点P的轨迹方程. 解:（1）由|AB|? 42 ，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的3 42 ，可得 3 |AB|22221 |MP|?|MA|2?()?12?()?,由射影定理，得 233 |MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在Rt△MOQ中， 22 |OQ|?MQ|?|MO|? 32?22?5， 故a?或a??5，所以直线AB方程是 2x?5y?25?0或2x?y?25?0; （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上， 2y?2?,(*)由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|, 得?ax 即 x2?(y?2)2?a2?4?1,(**)x2?(y?7)21 4?16 (y?2). 把（*）及（**）消去a，并注意到y?2，可得篇三：圆与方程(B级).学生版 圆与方程
高考要求知识框架
1. 圆的标准方程 （1）以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程：(x?a)2?(y?b)2?r2 （2）圆心在原点的圆的标准方程：x2?y2?r2
2. 圆的一般方程 （D2?E2?4F?0）① x2?y2?Dx?Ey?F?0， 说明：（1）x2和y2项的系数相等且都不为零； （2）没有xy这样的二次项． （3）表示以(? DE,?) 223. 直线与圆的位置关系 将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程求出其?的值，然后比较判别式?与0的大小关系， 若??0，则直线与圆相离 若??0，则直线与圆相切 若??0，则直线与圆相交 4. 圆的弦长的求法 ?l? 几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则???d2?r2 ?2?yA?，B?xB，yB?代数法：设l的斜率为k，l与圆的交点分别为A?xA， 2 则弦长AB?xA?xB；AByA?yB． 5. 圆系方程 经过两个定点A，B的圆有无数多个，那么表示这无数多个圆的方程称为圆系方程． （1）经过直线Ax?By?C?0与圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程为 x2?y2?Dx?Ey?F???Ax?By?C??0，其中??R． （2）经过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程为 C1:x2?y2?D1x?E1y???x2?y2?D2x?E2y?F2??0，其中??R且???1同时不包括圆C2 当???1时，方程变为?D1?D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0，若两圆相交，则其表示两圆公共弦所在直线方程．
1． 圆的方程 【例1】 方程x2?y2?ax?2ay?2a2?a?1?0表示圆，则a的取值范围是（ ） A ．a??2或a? 22 B．??a?0 33 2 3 C．?2?a?0 D．?2?a?
2 2 【例2】 （07上海文13）圆x?y?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是（
） A．(x?3)2?(y?2)2? 2 2 1
B．(x?3)2?(y?2)2? 2 2 1 2 C．(x?3)?(y?2)?2 D．(x?3)?(y?2)?2 【例3】 与直线x?y?2?0和曲线x2?y2?12x?12y?54?0都相切的半径最小的圆的标准方 是
2． 直线和圆的位置关系 【例4】 （2010年丰台一模）过点P?2,0?与圆x2?y2?2y?3?0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长 时的直线方程是_________． 【例5】 （2008年山东）已知圆的方程为x2?y2?6x?8y?0．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别 为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（
【例6】 圆x2?2x?y2?4y?3?0上到直线x?y?1?0） A．1个B．2个C．3个 D．4个 【例7】 （2006年湖南）圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离 的差是_________． 【例8】 已知P是直线3x?4y?8?0上的动点，PA、PB是圆C:x2?y2?2x?2y?1?0的两条切线， A,B是切点，那么四边形PACB面积的最小值为_______，此时P点的坐标为_____．
【例9】 （2010年江西）直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M，N两点，若MN≥， 则k的取值范围是（ ） ?3?A．??，0? ?4? 3?? B．???，??∪?0，??? 4?? ?2? D．??，0? ?5? 2 2
【例10】 （2010年海淀一模）?by?1与圆x2?y2?1相交于A，B两点（其中a,b是实数），且 ，则点P?a,b?与点?0,1?之间距离的最大值为（ ） ?AOB是直角三角形（O是坐标原点） A1 B．2CD1 【例11】 （2011年东城区期末6）直线ax?by?a?b?0与圆x?y?2的位置关系为（） A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
?x?2?cos? 【例12】 （2011年东城一模理）已知曲线C的参数方程为?（?为参数），则曲线上C的点到 y?sin?? 2 2 直线3x?4y?4?0的距离的最大值为． 【例13】 （2010年全国理11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 ???????? PA?PB的最小值为（ ） A．?4? B．?3? C．?4?D．?3? ?x?2?3cos? 【例14】
(2010年安徽理7)设曲线C的参数方程为?(?为参数)，直线l的方程为 y??1?3sin?? x?3y?2?0，则曲线C上到直线l） A．1 B．2C．3
【例15】 （2010年湖北9）若直线y?x?b与曲线y?3?b的取值范围是 1?A．???1，3?C．??1??
．??1? 3?D．??1?
【例16】 （2010年江西8）直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M，N两点，若MN?则k的取值范围是（
） ?3? 0?B． A．??，4?? ?3?? ??，??0，???? C
D． ??4???? 2 2 ?2? ?，0? ??3?
22 【例17】 （2009年全国II 16）已知AC、BD为圆O:x?y?4的两条相互垂直的弦，垂足为M1， ?则四边形ABCD的面积的最大值为
【例18】 （06湖南卷）若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同点到直线l:ax?by?0的距离为 l的倾斜角的取值范围是 () A．[ ?5???? ]B．[] C．[] D．[0]??《》出自：
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