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平面阿尔法平行平面贝塔,A,C属于阿尔法,B,D属于贝塔点E,F分别在线段AB,CD上,且AE/EB=CF/FD,求证EF平行贝塔
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过E分别作EA1⊥α于A1,EB1⊥β于B1由α∥β得A1、E、B1共线,则有∠A1EA=∠B1EB由EA1⊥α于A1得EA1⊥AA1,即∠EA1A=90°,由EB1⊥β得EB1⊥BB1,即∠EB1B=90°所以由∠A1EA=∠B1EB,∠EA1A=∠EB1B=90°得△AA1E∽△BB1E,有AE/EB=A1E/EB1&&过F分别作FC1⊥α于C1,FD1⊥β于D1同理得C1、F、D1共线,且CF/FD=C1F/FD1因为AE/EB=CF/FD,所以A1E/EB1=C1F/FD1有A1E/(A1E+EB1)=C1F/(C1F+FD1),即A1E/A1B1=C1F/C1D1由B1A1,D1C1⊥α得A1B1∥C1D1由∠C1A1B1=∠A1B1D1=90°,即∠C1A1B1+∠A1B1D1=180°得A1C1∥B1D1所以四边形A1B1D1C1是平行四边形,有A1B1=C1D1已得A1E/A1B1=C1F/C1D1,所以A1E=C1F又A1E∥C1F,所以四边形A1EFC1是平行四边形则有EF∥A1C1∥B1D1,又B1D1∈β,有EF∥β
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直线VA VB VC两两垂直,平面阿尔法分别和这3条直线交于A.B.C.那么V在平面阿尔法内的射影是?垂心,为什么?
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因为直线VA VB VC两两垂直,所以VA 垂直平面VBC由BC属于平面VBC,得VA垂直BC设点O是V在平面阿尔法内的射影由三垂线定理得AO垂直BC同理可得CO垂直AB,BO垂直AC所以O是ABC的垂心,即V在平面阿尔法内的射影是三角形ABC的垂心
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