《椭圆》课件
椭圆及其标准方程
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椭圆的标准方程教学案例
&&&&&&&&&&★★★
椭圆的标准方程教学案例
文章来源：
更新时间： 10:46:04
一、背景介绍
结合新课改的精神和我校“以人为本”的生命化教育理念的指导，高中数学教学不仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习，更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。&&&&《椭圆的标准方程》是选修2-1第二章《圆锥曲线》第二节的内容，在讲解椭圆的标准方程之前，首先讲解的是椭圆轨迹定义。该定义是椭圆动态生成过程的阐述，而且在实际应用中，根据椭圆定义解决实际问题的题型较多。因此，为了使学生对椭圆定义有更为深刻的理解和认识，我采取了“实践操作”和“电脑演示”相结合的教学方式进行定义阐述，以下是这节课中“椭圆定义”教学过程的片段及其反思。
&二、教学片段&&&&1、创设情景，引出课题 &&&&师：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。&&&&生：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。&&&&师：我们是怎么画圆的呢？请一位同学到黑板上演示一下。&&&&生：黑板上演示。（借助事先准备好的细绳画圆）&&&&师：“圆是动点P到定点O的距离为定值的点的轨迹”，定点和定值分别代表什么？&&&&生（齐）：圆心和半径&&&&师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请同学们猜一猜会画出什么样的曲线，会是圆吗？&&&&生：（学生动手画）不是，好像是椭圆。&&&&师：请一位同学配合老师完成作图。&&&&我们看到这个曲线的形状看似一个压扁了的圆，我们称之为椭圆。大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中同学们都曾见过椭圆这种曲线，能否举例呢？&&&&生：地球运动轨迹，鸡蛋、西瓜的截面……。&&&&师：几何画板演示椭圆动态生成过程。&&&&2、通过实践，探究定义&&&&师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这种曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们尝试给出它的文字定义。请同学们回顾刚才椭圆生成的过程，类似圆的定义，请同学们寻找出一个定值。&&&&生：绳子的长是不变的，是个定值。&&&&生：到两个定点的距离的和为定值。&&&&生：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。&&&&师：很好。（在黑板上写出学生总结的椭圆定义）请同学们模仿老师画椭圆的过程，同桌互相配合，在硬纸板上画出椭圆。（事先让学生准备了细绳、图钉、硬纸板）同学们画椭圆时，感受一下椭圆的形状跟那些因素有关？&&&&生：当绳长不变时，与两定点F1、F2的位置有关。&&&&师：很好。我们改变一下F1、F2的位置，大家画一画椭圆，看一看到底有何关系？&&&&生：F1、F2位置越近椭圆愈圆，F1、F2位置越远椭圆愈扁。&&&&师：同学们总结得很好。如果我们不改变F1、F2位置，只改变绳长，大家画一画，它们又有何关系？&&&&生：细绳越短，椭圆愈扁；细绳越长，椭圆愈圆。&&&&师：这位同学总结得很好。&&&&师：设| F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，以上我们讨论了椭圆的定义，知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关，给定了线段长，两定点位置就一定能作出椭圆吗？大家讨论一下，这里有没有条件限制。&&&&生：动手实验，讨论、总结。&&&&师：在黑板演示，2a＞2c，2a=2c，2a＜2c三种不同情形的轨迹。&&&&根据我们动手实验及老师的演示以及讨论，同学们总结出什么结论呢？&&&&师生：（1）当2a＞2c时，轨迹是椭圆。&& （2）当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1、F2为端点的线段。&& （3）当2a＜2c时，无轨迹。&& （4）当c=0时，轨迹为圆。&&&&师：下面请同学们再看看椭圆的定义，有无补充。&&&&生：椭圆是平面上到两定点F1、F2的距离之和为定值2a的动点的轨迹，其中&&&&2a＞| F1F2|＞0。&&&&师：这里我们把F1、F2叫做椭圆的焦点，F1、F2之间的距离叫做焦距，记作| F1F2|=2C。
&三、教学反思&&&&椭圆是解析几何中比较重要的一类圆锥曲线，而且在实际应用中较为广泛。根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识，但是对于椭圆形成的本质属性并不了解。新课改的理念提倡数学教学更注重科学探究，倡导“以研究为中心”进行教学，通过探究性学习、合作性学习、体验性学习等形式，实现学习方式的多样化。因此教师不应只是知识的传授者，更是教学的组织者和引导者；课堂教学不仅是基础知识和基本技能的传授，更应注重获取知识的过程。&&&&本节课在讲解椭圆标准方程之前，首先讲解的是椭圆的定义。教材上椭圆的定义教学过程较为较简单，如果仅按书上安排讲解，学生对椭圆定义的理解会有一定的难度，而且印象不深刻。于是，在教学过程中，我始终本着“提出问题、分析问题、解决问题”的思路，以体验性学习为主，使学生真正成为课堂的主人。在椭圆定义动态形成和推理过程中，学生们亲身经历了“提出问题――探索发现――解决问题”的多次循环的探究过程，实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪，从而达到调动思维、挖掘潜能的目的。&&&&为了使学生掌握椭圆的本质特征，加深对椭圆定义的理解，本节课从圆和相关的图片引入着手，使学生的学习由浅至深实现过渡。考虑到作图材料（细绳）取得比较容易，操作也比较简便，还能充分调动学生积极性，我引导学生亲自体验画椭圆。学生借助事先准备好的作图道具，通过作图实践，激发了学生学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，培养了学生动手能力，感受了椭圆形成的过程，从而逐渐探究出椭圆形成的本质特征。&&&&通过学生动手实验，引导学生通过自己的积极思维，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，培养学生观察、总结、归纳的能力，从而掌握椭圆的概念。教学过程中，充分发挥学生的主体地位，敢于让学生尝试并展开丰富的想象和推理，这有利于培养学生独立思考能力。在学生亲自体验作图之后，借助计算机软件（几何画板）画椭圆，生动直观地揭示椭圆形成的本质特征，有利于学生加深椭圆动态形成的印象，从而辅助学生加深对椭圆定义的理解和记忆，也为以后学习椭圆性质和双曲线等内容打下伏笔。&&&&椭圆的定义是推导椭圆标准方程的前提和基础，也是本节课的重点内容。通过以上的教学安排，学生对椭圆定义印象比较深刻，降低了定义理解和记忆的难度，为椭圆标准方程教学的顺利实施做了良好的铺垫。通过探究性学习，使学生真正成为课堂的主人，为学生的想象力和创造力提供了空间，让数学课堂充满了生机和趣味！
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2015届高中数学教案：《椭圆定义及其标准方程1》（新人教A版，选修1-1）
2015届高中数学教案：《椭圆定义及其标准方程1》（新人教A版，选修1-1）
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§2.1.1椭圆的定义及其标准方程1
【学情分析】：
学生已经学过了轨迹方程。对于怎样列方程有了一定的了解。本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①使学生掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导过程；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；
②了解建立坐标系的选择原则。
2、过程与方法：
①通过让学生自己画图探究椭圆上的点应满足的条件；
②通过椭圆的标准方程的推导突破带“两个根号的方程”的化简方法。.
3、情感态度与价值观：
通过本节课的学习，使学生体会探索、学习的乐趣。
【教学重点】：
知识技能目标①②
【教学难点】：
知识技能目标②
【课前准备】：
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习 1、动点轨迹的一般求法？
通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内
容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。
1、椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等（利用多媒体动态演示行星的运动轨迹）
2、取一条定长的细绳，把它的两端的都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔，画出的轨迹是什么曲线？ 1、进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状
2、利用书本探究，使学生明确椭圆上的点满足的条件。
1、投影：椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）
常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：）（思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？）
2、提问：如何求轨迹的方程？（引导学生推导椭圆的标准方程）
板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）
3、投影：椭圆的标准方程：
说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2.
说明：此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.
例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（－2，0），并且椭圆经过点，求它的标准方程。
例2：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。
（由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、、即可）
5、巩固练习
1、2、3 1、明确椭圆的定义。抓住几个不变：两个定点；一个常数。
2、通过椭圆的标准方程的推导，明确：
1）结合已画出的图形探索怎样建立坐标系；2）在推导过程中，思考“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，提高学生的运算能力和思维能力；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）,；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程）
3、讨论如何从标准方程中求出、、的值来。
提问：我们已经学习了椭圆，椭圆是怎样的点的轨迹？
椭圆的标准方程是怎样的？
椭圆标准方程中a、b、c之间的关系是什么？你能通过它们求出椭圆的标准方程吗？
五、作业 P42
六、补充训练 1、焦点坐标为（0，-4）、（0，4），a=5的椭圆的标准方程为
2、与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的
椭圆方程是
3、方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则k的取值范围是（
A、－16＜k＜25
B、－16＜k＜
C、＜k＜25
4、若方程表示的曲线是椭圆，则
k的取值范围是
A．（3，5）
B．（3，4）∪（4，5）
C．（-∞，3）
D．（5，+∞）
5、、设，若方程x2sin+y2cos=1,表示焦
点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（
B. (0, C. (，)
6、若C、D是以F1、F2为焦点的椭圆上
的两点，CD过点F1，则△F2CD的长为（
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