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2016考研数学:巧用定积分中两个重要的公式解题
　　在《高等数学》定积分部分有两个计算公式，虽然结论只出现在例题中，但为后续的解题带来很大的方便，因此有必要熟记这两个公式，以便在考研数学中节省宝贵时间，更加胸有成竹.　　这两个公式如下：　　本题是2014年考研数学二和数学三的真题，在解题过程中用到了公式②，使得解题过程变得更为简洁准确率提高，而且节省了解题时间，这在考试中是至关重要的.　　上述例1和例2在解题过程中应用公式①、公式②来计算定积分，使得看似复杂的题目可以迎刃而解. 因此，掌握这两个公式也是十分必要的.
著名数学家华罗庚把读书的过程归纳为：“由薄到厚”与“由厚到薄”两个阶段，考研数学的复习过程也是如此.
前期的基础复习阶段就是“由薄到厚”的过程，冲刺阶段则是“由厚到薄”的过程，只要考生认真复习，善于总结将各个章节不同的知识点用自己的方式加以总结和整理，在考研过程中必将从容应对，取得理想成绩.*** 热点推荐 ****** 大纲解析 ****** 复习必看 ***　　【版权声明】　　本文版权属本网所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他方式复制发表。已经本站协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明“稿件来源：文都教育”，违者本站将依法追究责任。
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&&&点击查看文都何凯文..前言；从历史上说，定积分是由计算平面上闭曲线围成区域的；定积分中最重要的内容就是定积分的计算方法．对于定；定积分在微积分学中占有极为重要的地位，它与微分相；第1章计算定积分的常用方法；定积分是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等；第1节利用定积分的定义计算定积分；利用定积分定义来计算定积分，常要求其被积函数一般；于初学者对于定义掌握的一种锻炼，由于在运算
从历史上说，定积分是由计算平面上闭曲线围成区域的面积而产生的，为了计算这类区域的面积，最后归结为计算具有特定结构的和式的极限．人们在实践中逐渐认识到，这种特定结构的和式的极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题（如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具．因此，无论是在理论上还是在实践中，特定结构的和式的极限――定积分具有普遍的意义．于是，定积分就成为数学分析重要的组成部分之一．
定积分中最重要的内容就是定积分的计算方法．对于定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有较好的方法和技巧．本文主要以求定积分的各种方法为主线，对其分别概述、举例、并加以分析说明，从而得出适合不同题型的定积分计算方法．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出更多的特殊方法及技巧．
定积分在微积分学中占有极为重要的地位，它与微分相比，难度大，计算方法灵活，如果我们仅仅按定积分的定义计算定积分，往往是十分困难的，因此，切实掌握求定积分的各种计算方法是非常必要的．
计算定积分的常用方法
定积分是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具．定积分概念抽象，定理较多，在定积分计算中难度也很大．本章介绍了定积分计算的三种常用方法，即定义法、牛顿―莱布尼茨公式法及换元法，这些方法都可以被用于求解一些简单的定积分．
第1节 利用定积分的定义计算定积分
利用定积分定义来计算定积分，常要求其被积函数一般是比较简单的情形，适用
于初学者对于定义掌握的一种锻炼，由于在运算过程中和式?f(?i)?xi的极限一般不
容易求得，所以这种方法只适用于简单的初等函数．
定义1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在[a,b]内任意插入n?1个分点：
x1，x2，x3，?，xn?1，
令a?x0，b?xn，使
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b
把区间[a,b]分为n个小区间
[x0,x1]，[x1,x2]，?，[xk?1,xk]，?，[xn?1,xn]，
各个小区间的长度依次为
x?x2?x2?x1，?，?xn?xn?xn?1，
在小区间[xi?1,xi]上任取?i(??i?[xi?1,xi])，作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积
f(?i)?xi(i?1,2?,n)，并作和
f(?i)(xi?xi?1)
记??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论点?i在小区间[xi?1,xi]上怎样选取，只要??0时，和S总趋于确定的极限I．这时，我们称这个极限I为函数
f(x)在[a,b]上的定积分，记作?
f(x)dx，即
f(x)dx?lim
f(?i)?xi?I
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间．
定理1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上可积． 定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，且有有限个间断点，则函数f(x)在闭区间[a,b]上可积．
因此，用定义计算定积分可分为两步：
1. 先确定函数的可积性；
2. 再计算lim?f(?i)?xi．
例1 求?sinxdx，a?b．
因为函数sinx在闭区间[a,b]上连续，则函数sinx在区间[a,b]上可积，采用定义法．取h?
，[a?(k?1)h,a?kh]将[a,b]等分成n个小区间，分点坐标依次是
a?a?h?a?2h???a?nh?b，
取?k是小区间的右端点，即?k?a?kh，则
sinxdx?lim
（1） ?sin(a?kh)?h?limh??sin(a?kh)，
?sin(a?kh)
12sin12sin
12sin12sin
2sin(a?kh)sin
h)???cos(a?
h)?cos[a?(n?
h)](a?nh?b)，
将此结果代入式（1）中，有
sinxdx?lim
h)]?cosa?cosb．
第2节 利用牛顿―莱布尼茨公式计算定积分
通过求积分和的极限来计算定积分一般很困难，而牛顿―莱布尼茨公式避免了求极限和的繁琐，不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来．
定理3（微积分基本定理） 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的原函数，则
f(x)d?x(F?)b
式子（1）称为微积分基本公式，亦称牛顿―莱布尼茨公式，要求定积分，只需求出被积函数的一个原函数在此区间上的增量即可．
求定积分?解 因为arctan
的一个原函数，由牛顿―莱布尼茨公式，有
(arctanarctan0)?
求定积分?xkdx，其中k是正整数．
，由牛顿―莱布尼茨公式，有
第3节 利用换元法计算定积分
换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分计算方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，通过换元可以达到简化积分计算的目的．
定理4 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且函数x??(t)在区间[?,?]有连续导数，当??t??时，a??(t)?b，又?(?)?a，?(?)?b，则
f[?(t)]??(t)dt
这种方法叫做换元积分法，使用换元积分法关键是恰当选择变换函数x??(t)，且需注意换元必换限．此法没有一般规律可循，但被积函数中含有根式时，而通过代换又可以消除根式的情况下，可采用换元积分法．
，当x?0时，t?0；当x??
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莱布尼兹公式
莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。
Darboux。由定义可知，函数
&&&&&& &Mathematica ch1-ex1.nb
IntegrateValue= 2.66667
(1) 的变化；（2
小时，连续函数
Mathematica ch1-ex7.nb
ch1-02-ex06.nb
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3 ，给出的是在船的吃水线以下某一水平现内从船头到船尾0m10m60m宽度，从上向下读出，给出的是在船头到船尾之间某点处在吃水以下场m2m4m6m,8m}