摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。幂" />
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浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开
2014年5期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域。本文就幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域、马克劳林级数等内容进行浅析。 中国论文网 /1/view-5890581.htm　　关键词：幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数 　　中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：（2014）02（b）-0089-02 　　1 幂级数的概念 　　1.1 幂级数 　　形如或的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数。 　　1.2 收敛半径与收敛区间[1] 　　如果幂级数不是仅在c=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质： 　　当时，幂级数绝对收敛； 　　当时，幂级数发散； 　　当x=R与X=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。 　　正数R通常叫做幂级数的收敛半径。由幂级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间。 　　如果仅在c=0收敛，就规定R=0，如果对一切c都收敛，则规定R=。 　　1.3 收敛半径的求法 　　（1）对于不缺项的幂级数 　　定理：设幂级数的系数有则： 　　①当0<<时，有R=。 　　②当=0时，定义R=。 　　③当时，定义R=0。 　　（2）对于缺项的幂级数，例如 　　令，，考察== 　　则当<1时，级数收敛，此时可得知 　　①当时，R=。 　　②当时，R=。 　　③当时，定义R=0。 　　2 将初等函数展开为幂级数 　　如果f（x）在点的某邻域内具有各有阶导数、、…，…，这时称幂级数 　　为函数f（x）在x=处展开的泰勒级数。 　　特别地，取得幂级数 　　称为函数的马克劳林级数。 　　常用的马克劳林级数有： 　　（1） 　　（2）Sinx= 　　（3）Cosx= 　　（4）Ln（1+x）= 　　（5） 　　3 间接展开法 　　利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法。 　　4 幂级数的基本性质 　　（1）幂级数的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数。 　　（2）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即： 　　= 　　且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R。 　　（3）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即： 　　（注意下标的变化） 　　且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R。 　　说明：如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在c=R（或-R）处收敛，则性质2，3在c=R（或-R）处仍成立。 　　（4）若的收敛区间为（），的收敛区间为（），则 　　且的收敛区间为（-R，R），其中R=min 　　典型例题分析[2] 　　4.1 选择题 　　（1）幂级数的收敛区间为（ ）。 　　A.（-1，1） B. 　　C. D. 　　分析：因为 　　所以且当x=-1时，发散。 　　当x=1时，收敛，故收敛区间为，答：C。 　　（2）设幂级数在c=2处收敛，则该幂级数在c=-1处必定（ ）。 　　A.发散 B.条件收敛 　　C.绝对收敛 D.敛散性不能确定 　　分析：由于幂级数在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在时发散.可知，当幂级数在c=2处收敛时，必有。因此在（-2，2）内必定绝对收敛，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1处必定绝对收敛，故应选C，答：C。 　　（3）下列幂级数中，收敛半径为R=1的是（ ）。 　　A. B. 　　C. D. 　　分析：A 　　B 　　C 　　D 　　可见B为正确答案，答：B。 　　4.2 填空题 　　（1）幂级数的收敛域为 　　分析：当，即0<x<2时，幂级数收敛。 　　又当x=0时，=发散。 　　而当x=2时，=收敛。 　　故收敛域为，答：。 　　（2）关于的幂级数展开式为（-2<x<2） 　　分析： 　　= = （-2<x<2） 　　答：（-2<x<2） 　　4.3 解答题 　　（1）求幂级数的收敛半径。 　　分析： 　　，于是可知收敛半径为答：2。 　　（2）求的收敛区间。 　　分析：所给级数为不缺项情形，， 　　= 　　因此，所以幂级数的收敛区间为（-3，3），答：（-3，3）。 　　（3）求的收敛半径、收敛区间和收敛域。 　　分析： 　　于是 　　可知收敛半径为R=即当即时，收敛。 　　当c=0时，=发散。 　　当c=2时，收敛。 　　故收敛区间为（0，2），收敛域为，答：1，（0，2），。 　　（4）把函数展开为x-2的幂级数，并求收敛区间。 　　分析：= 　　利用函数 　　，R=1，得到 　　，， 　　所以 　　（5）求函数的马克劳林级数展开式。 　　分析：已知 　　=， 　　答： 　　（6）将函数展开成的幂级数。 　　分析： 　　= 　　= 　　利用公式（2）与（3）以代入得： 　　， 　　， 　　在处的展开式为： 　　Sinc= 　　参考文献 　　[1] 高霞.高等数学[M].南开大学出版社，2010. 　　[2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005.
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将函数sinx展开成x的幂级数,
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X-x^3/3!+x^5/5!-……
幂级数的展开式好难,我连最基本的e^x ,sinx都展不来，有什么技巧吗？
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