导读：高等数学应用题，高等数学应用题1、设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：??px?Me??(M?0,??0)，其中M为市场最大需求量，?是价格系数。同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：c?c0?k
高等数学应用题
1、 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：
x?Me??(M?0,??0)，其中M为市场最大需求量，?是价格系数。同时，
生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：
c?c0?klnx???(k?0,x?1)，其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？
解：设厂家获利为u，则u?(p?c)x。作拉格朗日函数
L(x,p,c)?(p?c)x??(x?Me??p)??(c?c0?klnx).
L?(p?c)???k?0?x
?0 ?Lp?x???Me
?Lc??x???0??
因为最优价格必定存在，所以p*是电视机的最优价格。
2 某企业分批生产某产品q吨，固定成本８万元，总成本函数为
其中k为待定系数，已知批量q = 9吨时，总成本Ｃ= 62万元，问批量是多少时，使每批产品的平均成本最低？
解：将q?9,C?62代入C(q)?8?
，得k?2则平均成本为，
8q?0,则?8??0,得q?4
qq所以批量为4吨时，每批平均成本最低。
3生产某产品的边际成本为C?(x)?8x(万元／百台)，边际收入为R?(x)?100?2x(万
万元／百台)，某中x为产量，若固定成本为10万元，问(1)产量为多少时，利润最大？
(2)从利润最大时的产量再生产２百台，利润有什么变化？ 解：C?x??8xdx?4x2?c，
又固定成本为10万元，则C?x??4x2?10
因为x?0时R=0，所以C=0，则R?x??100x?x2
L?xC?x?100?xx52??R??x??
L??x??100，令L??x??0，有x?10 ?10x
所以产量为10百台时利润最大。此时最大利润为L?10???490（万元）
此时再生产2百台，利润为L?12???10?470（万元）
4设某工厂生产A和B两种产品同时在市场销售，售价分别为p和p
，需求函数分别为
q1?40?2p1+p2，q2?25?p1?p2，假设企业生产两种产品的成本为
，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？ C?q12?q2q2?q2
解：总收入函数：R?p1q1?p2q2?65p1?90p2?p12?2p1p2?2p2
22L?R?C?65p1?90p2?p12?2p1p2?2p2?（p12?p1p2?p2）.
?65p1?90p2?2p1?3p1p2?3p2
现在求二元函数L(p1,p2)的最大值.由极值的必要条件解方程组
??Lp1?65?4p1?3p2?0
得唯一驻点(8,11)，由问题的实际意义知最大利润存在，?
??Lp2?90?3p1?6p2?0
故当p1?8,p2?11时，厂家获得最大日利润.最大日利润为755.
5 已知连续复利为0.05，现存入a万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…
第n年取出10+9n万元，问a至少为多少时，可以一直取下去？ 解：由题得
a?19e?0.05?28e?0.05?2???(10?9n)e?0.05n?? ?10?e
??9ne?0.05n
?10??9ne?0.05n
两边求积分
f(t)dt??9n?e
e?0.05nx?)?0.05n?0.05n
?180?e?0.05nx?180
f(x)dx?180(1?) ?0.05x
0.05e?0.05x9e?0.05x
对上式两边求导f(x)?180 ??0.05x2?0.05x2
(1?e)(1?e)
令x?1，则f(x)?
?f(1)??0.052
10e?0.059e?0.?10e?0.1
???3794.29 ?a?
1?e?0.05(1?e?0.05)2(1?e?0.05)2
所以a至少应为3795.
6设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed& 0)； (II) 推导
?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，dP
降低价格反而使收益增加. (I) Ed?
(II) 由R = PQ，得
dRdQPdQ?Q?P?Q(1?)?Q(1?Ed). dPdPQdP
?1，得P = 10.
?0， 当10 & P & 20时，Ed& 1，于是dP
故当10 & P & 20时，降低价格反而使收益增加.
【评注】当Ed& 0时，需求量对价格的弹性公式为Ed?
利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：
dR?(1?Ed)Qdp，
?(1?Ed)Q，?(1?)p， dpdQEd
?1?Ed(收益对价格的弹性). Ep
7已知某产品的边际成本C?(q)?4q?3（万元/百台），q为产量（百台），固定成本为18
（万元），
求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本． 解（1）总成本C(q)?
C?(q)dq?C0??(4q?3)?18?2q2?3q?18
∴平均成本函数 C?
平均成本为C（q）?2?10?3?
（说明：若要求产量q=10时的总成本与平均成本，则只要把q=10代入就可以。即
q?10时总成本为C(10)?2?102?3?10?18＝188，
，令C?2??0，解得唯一驻点x?3 22
?9（万元/百台） 3
因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为300台时，可使平均成本达到最低。 ∴最低平均成本为C(6)?2?3?3?
生产某产品的边际成本为C?(x)?5x (万元/百台)，边际收入为R?(x)?120?x（万元/百台），其中x为产量，问（1）产量为多少时，利润最大？
（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解：L?(x)?R?(x)?C?(x)?(120?x)?5x?120?6x
令L?(x)?0 得 x?20（百台），可以验证x?20是是L(x)的最大值点，即当产量为20（百台）即2000台时，利润最大．
从利润最大时的产量再生产2百台，利润变化为L?
?L?(x)dx??(120?6x)dx
?(120x?3x2)
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少12万元
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相关内容搜索自然边界（图3-1（a））.试确定该野生动物乐园；（2）由于有一些动物会泅水逃跑，所以两个相邻的长；图3-1；解（1）设宽为xm，则长（即借用河岸为自然边界之；dSd2S?12000?6x,??6?0.dxd；可见目标函数的唯一驻点x=2000就是所求的最大；S?)?12(km2).；（2）设宽为xm，则长为标函数）为；(12000?2
自然边界（图3-1（a））.试确定该野生动物乐园长宽尺寸，以使其总面积为最大；
（2）由于有一些动物会泅水逃跑，所以两个相邻的长方形野生动物乐园中必须有一个不能以河岸为自然边界（图3-1（b）），这时又应该如何确定该野生动物乐园长宽尺寸，以使其总面积为最大？
解 （1）设宽为x m，则长（即借用河岸为自然边界之长）为（12000-3 x）m，可得该野生动物乐园的总面积为
S?x(12000?3x), 这就是目标函数，其定义域为0?x?4000，求导得
dSd2S?12000?6x,??6?0. dxdx2
可见目标函数的唯一驻点x=2000就是所求的最大值点，即当长为6000m，宽为2000m时，此时该野生动物乐园有最大总面积
S?)?12(km2).
（2）设宽为xm，则长为标函数）为
(12000?2x)m,于是可得该野生动物乐园的总面积（即目2
x(12000?3x)?6000x?x2,0?x?6000, 2
dSd2S?6000?2x,??2?0 dxdx2
可见此目标函数的最大值点就是x=3000，此时该野生动物乐园有最大总面积
S?)?9(km2).
注 这里总面积与隔栏的位置显然无关。
这是只有一个隔栏的问题，但它具有一定的典型意义。对于没有隔栏或有更多个隔栏的问题，完全可用类似的方法来解决。
当野生动物乐园形状并不要求是长方形，而可以是多边形的情况，我们将在多元微分学中再来考虑。
问题5 枪榴弹打到了日本鬼子的头上
我军早年武器专家吴运铎在《把一切献给党》一书中讲述了一个抗日战争期间有趣的故事。他制造了一种叫“枪榴弹”的新式武器，在一次实战使用中，结果没打着冲锋在前面的伪军，而打到了躲在小山后休息的日本鬼子的头上。
设我们制造的这种武器在射击时，枪榴弹以初速度为140m/s离开枪口，又假设小鬼子躲在距离我军1750m远处山后，而小山位于我军与鬼子军的正中间，其高度为700m，试求恰能打中鬼子兵的弹道曲线方程。
解 本问题与上一问题有所不同，这里不是求最大距
离，而是在距离确定的条件下，先求投射角，再验证抛 物线顶点的高度大于山的高度。
设投射角为?，由于枪榴弹之初速度为140m/s，所 以在如图所示的坐标系中，弹道曲线方程为
x?140tcos?,y?140tsin??
消去t，可得
gt?140tsin??4.9t2, 2
将x?1750,y?0代入，得sin2??
x2sec2?, 4000
?1?30.5?,?2?59.5?，
在?1??2?30.5?时，抛物线的顶点纵坐标为
y1?875tan30.5?sec230.5??257.6(m),
在?1??2?59.5?时，抛物线的顶点纵坐标为
y2?875tan59.5?sec259.5??742.2(m),
显然只有后者才能使抛物线的顶点高度更大，也就是说只有小山的高度不超过742m，
我们的枪榴弹就一定能够打到躲在山后离我军1750m远处的鬼子兵。由此可知恰能打中鬼子兵的弹道曲线是
y?xtan59.5??
x2sec259.5. 4000
问题6 钢珠测内径问题
有一种测量中空工件内径的方法，就是用半径为R的钢珠放在圆柱形内孔上，只要测得了钢珠顶点与工件端面之间的距离为x，就可以求出工件内孔之半径y。试求出利用x的函数来表示y的解析表达式，并证明y是关于x的单调减少函数，这里工件端面是垂直于内孔圆柱面中心轴的平面。
解：在图1-2中，可以看出OC=DC-DO=x-R，根据勾股定理有
这里函数的自然定义域是0?x?
2R所以应该按照实际意义重新确定其实际定义域为R?x?2R。
y显然是关于x的可导函数，且有
dy??0,R?x?2R,
dx所以，y是关于x的单调减少函数。
问题7 国会议席的估计
在一次美国总统选举后，把当选总统所得公众选举票数的百分比记作p，记
H(p)?3(0?p?1) 3
这个函数有着有趣的性质（称为立方律）。H(p)的值可用来逼近当选总统所在党获得众议院议席的百分比，因此，称H(p)为“议会函数”。例如，在1939年，民主党候选人弗兰克林?罗斯福（F.D.Rosevelt）赢得了公众61％的选票，从而当选总统。在那次选举中，议会函数H(0.61)?0.79，即估计民主党将占众议院议席的79％。在实际选举中，民主党赢得333个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9％，求H(p)的一阶、二阶导数，分析凹凸性。
解：H(p)?3(0?p?1)，则 3
dH(3p2?3p?1)3p2?p3(6p?3)3p2(p2?2p?1)3p2(p?1)2
dp(3p2?3p?1)2(3p2?3p?1)2(3p2?3p?1)2d2H6p(p?1)(2p?1)
dp(3p?3p?1)
从而当0?p?1时，
?0，即H为增函数。即在总统选举中得票越多，在众议院获得dp
席位越多，实际也是如此。
当0?p?时，，即在（0，）上是上凹的。 ?02
而当?p?1时，，即在（，1）上是下凹的。 ?0
问题8 怎样设计海报的版面既美观又经济
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
解：这个问题可用求一元函数最小值的一般方法解决。设印刷面积由从上到下长x分米和从左到右宽y分米构成，则x y＝128，从而y?
。于是，四周空白面积为 x4?128
s?2x?4y?4?2?2x??8,0?x???
两边同时对x求导，得
令s??0得唯一驻点x＝16，此时y＝8，又因为
?0,0?x??? x3
所以，当海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米时，可使四周空白面积为最小。
思考题：若海报印刷改为左右两栏，印刷面积增加到180平方分米，要求四周留下空白宽2分米，还要流1分米宽得竖直中缝，如何设计它的尺寸可使总空白面积最小？能否用其它方法求解？
（答案：印刷部分从左到右2×7.5分米，从上到下12分米。还可用求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法求解）。
问题9 大衣柜能搬进新居吗
问题：老张临搬家前，张在自己大衣柜旁发愁。担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿了一把尺子出去了。不一会儿，小李对老张说：“从量得电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没问题”。请问小李得根据是什么？
解：设电梯前楼道宽a m，单元前楼道宽b m，二条楼道成直角相交，大衣柜长为L，搬运拐弯时与某一楼道交角为?。
CO＝L1，OD＝L2 L＝CO＋OD＝L1＋L2
,L2? cos?sin?
L＝L1＋L2?
求L的一阶导数
?，即L是?的函数。 cos?sin?
dL(?)bsin?acos?bsin3??acos3?
d?cos?sin?sin?cos?
?0,bsin3??acos3??0 d?
bsin??acos?,tan??,tan??()3
?中 cos?sin?
??arctan()
?(a?b)，它一定是L得最大值。今大衣柜的长度不大于
(a?b)，所以小李告诉老张绝对没问题。
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高等数学应用题（上）
1、 一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，
住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100
元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？
易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；
1. 160元的定价是否为最高价应给予确定；
2. 是否所有客房定价相同需要确定.
3. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；
4. 所有客房定价相同.
根据假设1.，如果设y代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，
则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到
y?150(160?x)(0.55?0.005x)
注意到0.55?0.005x?1,又得到0?x?90,于是得到所求的数学模型为：
maxy?150(160?x)(0.55?0.005x)，0?x?90.
这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到x?25?[0,90]为唯一驻点，问
题又确实存在最大值，故x?25（元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.
1. 将房价定在135元时，相应的住房率为0.55?0.005?25?67.5%,最大收入为
ymax?150?135?67.5%?13668.75（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达
到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.
2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验知我们的结果是正确的.
3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收
入仅差18.75元.
4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我
们的假设1.是正确的.
2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张正方形椅子放稳。 答：(一)假设：地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。
如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。
记 H 为脚A,C 与地面距离之和，
G 为脚B,D 与地面距离之和，
θ 为AC连线与X轴的夹角，
不妨设H(0)&0 , G(0)=0,(为什么?)
f(θ) = H(θ) - G(θ)
则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)&0
将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0)
从而 f(π/2)= -H(0) & 0
由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0
3、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有
1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。 根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：
Xn?1?0.5Xn?1000
由X0?1200,可以算出2005年时的患者数X5?1975人.
递推计算的结果有，
Xn?11x?2000(1?). 02n2n
容易看出，Xn是单调递增的正值数列，且Xn?2000,故结论正确.
4、某人身高2米，以5/3米/秒的速度向一高7米之街灯走去，请问：（1）此人
身影的头顶以多少速度在移动？（2）此人身影长度的变化率为多少？
解：在时间t秒时，设此人离街灯底部为x米，此人身影头顶离街灯底部为y米，由相似三
角形定理，yy?xdydx??7，但， 或5y?7x，将上式左右两边分别对t求导：572dtdtdx51dy7dx7?5?7??，故???????，此人身影的头顶移动速率为2米/秒。
dt33dt5dt5?3?3
设l?y?x为身影的长，则
dldydx7522???????，此人身影长度的变化率为?dtdtdt3333
5、一个半球面形的碗，半径为a厘米，正以每分钟5?a立方厘米的稳定流量注1入水。当水的深度已达a厘米时，试求水面上升的速率为多少？ 3
12解：设水深达h厘米时其体积为V立方厘米，则V??h(3a?h)，故33
dV1dh3??(6ah?3h2)??dh3dV?(6ah?3h2)，但dV?5?a3
1dhdhdhdV33h?a?9a，即水面高度以每分钟9a厘??5?a，当时，3dtdtdVdt?(6ah?3h2)
米的速率上升
6、早晨开始下雪整天稳降不停。正午12点一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按
体积是常数。到下午2点的时候扫清了两英里路，到下午4点又扫清了1英里路，问降雪是什么时候开始的？
解：设雪从时刻t0开始下，正午记为ta。雪量为S（m/h），铲雪速度为R（m/h），街3
区长为定值L（m），宽为W（m）。则时刻t地面上雪的厚度为S(t?t0)，清扫雪时的速度为v?tt?t0RR。在t时刻清扫的路长为l(t)??vdt?ln(t?ta)。由题可知，taS(t?t0)WSWta?t0
t?2?t0t?4?t0RRlna?2L与lna?3L，比较得ta?t01 SWta?
7、若要火箭飞离地球引力范围，火箭的初速度应为多少？ Mm解：地球对火箭的引力为F?k2，其中r为地球中心到火箭的距离，M为地球的质r
量，m为火箭的质量，k为引力常数。假设火箭在地面上，即r?R，地球对火箭的引力为
kMR2gR2gmMR??F?m2?mg，其中g为重力加速度，由此得k?，故F? ?mg??。RMMr2r??2
火箭从R1到R2，地球引力所作功为
R2R2W??(?F)dr???R1R1?11??R?mg??dr?mgR2???。 ?r??R2R1?2
取R1?R，R2??，得W'??mgR。
因此要使火箭脱离地球引力范围，必须克服地球引力对火箭作功，即发射火箭的时，火箭的动能至少等于地球引力对火箭作功，12mv，用g?9.8m12s/，0?mgR2
R?6371km?6.371?106m代入得v0?11.2km/s
8、某建筑工程打地基时需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对
桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比，其比例系数为k（k&0），已知汽锤击打桩三次后，可将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r ( 0&r&1 )。（1）求汽锤第一次击打将桩打进地下的深度；（2）若击打次数不限，问汽锤至多能将桩打进地下多深?
设打桩i次后可将桩打进地下xi米，则x0?0,x3?a。由题可知，
故x1? ?a0khdh?(r2?r?1)?khdh
0x1（10分）
0khdh?(rn?1???r2?r?1)?khdh
（15分） 0
（18分） x*?limxn?n??
9、将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远
可以延伸多大距离。
解 设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 现设已用n+1块砖叠成可能达到的最远平衡状态，并考察自上而下的第n 块砖，压在其上
的n-1块砖的重心显然在它的右边缘处，而上面n 块砖的重心则位于第n+1块砖的右边缘处，设两者水平距离为Zn。由力学知识可知。第n 块砖受到的两个力的力矩相等，即有： 1/2-Zn=(n－1)Zn
11n1故Zn =1/2n，从而上面n块砖向右推出的总距离为Sn??令n趋于无穷大，?? ，2k2kk?1k?1
因调和级数是发散的，故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。
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