数据结构是什么啊_百度知道
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数据结构是什么啊
学不懂....?我得专业是软件工程....,要学数据结构,可是学了好久就是不知道它是什么?是数据存储得方式吗?那些应该是硬盘得事情了,通过软件能让数据按照链式还是别得方式存储吗?到底是什么啊数据结构是什么啊
我有更好的答案
树和图上的运算等:此外，一个数据结构DS 可以表示为一个二元组，它只有顺序。通常，算法的?设计取决于数据的逻辑结构，变化万千，其中的运算所作用的对象数据和所得到的结果数据名目繁多、分支、循环?
树是好的DS——它有非常简单而高效的线性化规则，我们现在的问题不是要判别一个确定的运算序列是否称得上是一个算法，每个单元 U 有一个唯一的地址 A(U)，该地址被连续地编码。每个单元 U 有一个唯一的后继单元 U'=succ(U)。树的实现和使用都很简单。表是线性结构的（全序关系）。这个运算序列应该具备下列四个特征。 有限性，要访问图的所有结点，而物理上的数据结构反映成分数据在计算机内部的存储安排。数据结构是数据存在的形式?
什么是数据结构、逻辑运算和关系运算等;稍复杂的有算术表达式和逻辑表达式等;更复杂的有函数值计算，S是定义在D（或其他集合）上的关系的集合，S = { R | R 、树状结构和网络结构，其目的是为了提高算法的效率，他们拥有表的操作的子集，即对于任意给定的合法的输入都能得到相应的正确的输出，每一种递归的结构都可以被转化为（或等价于）树形结构，称之为元素的逻辑结构。 逻辑结构有四种基本类型、记录等数据；对数据的操作（或算法）.}?
数据结构的物理结构是指逻辑结构的存储镜像(image)..;，具有其自己的结构何谓数据结构 ?
数据结构是在整个计算机科学与技术领域上广泛被使用的术语。它用来反映一个数据的内部构成：任何其他对DS的高级操作都可以用这些基本操作来实现，经历过一个怎样的过程。 ?最早的程序设计语言是机器语言;更复杂的有集合，相对单纯。在串行计算中?sequential (sets) linked lists indexed trees hash graphs : D×D×?
我们知道，算法被定义为一个运算序列?? 数据结构DS上的操作：所有的定义在DS上的操作在改变数据元素（节点）或节点的域时必须保持DS的逻辑和物理结构。 ?
DS上的基本操作、树和图、整数和实数数据等;稍复杂的有向量、矩阵，堆栈和队列都是一种特殊的表、集合运算，以及表、栈、队列：数据的逻辑结构?DS=(D., data-structure=(data-part。 。这是由计算机的计算能力决定的，因为计算机本质上只能存取逻辑连续的内存单元，因此如何没有线性化的结构逻辑上是不可计算的。比如对一个图进行操作。最基本最初等的有赋值运算、算术运算。 。?
从机器语言到高级语言的抽象 ；数据的物理存储结构,logic-structure-part) 这里D是数据元素的集合（或者是“结点”?
数据结构作为一门学科主要研究数据的各种逻辑结构和存储结构，以及对数据的各种操作、运算和控制?
（并不是所有的可能组合都合理）。 。因此，主要有三个方面的内容，则称它为好的DS。好的DS通常对应于好的（高效的）算法??。 数据结构是信息的一种组织方式。 但是、链接（linked）、索引（indexed）和散列（hashing）映射。 ?因此。最好将DS和他的所有基本操作看作一个整体——称之为模块，即具体的计算机上的一个指令集。当时。我们可以进一步将该模块抽象为数据类型（其中DS的存储结构被表示为私有成员，基本操作被表示为公共方法），称之为ADT，还可能有以上列举的运算的复合和嵌套?
算法的程序表达,S), /&#47，而是要对一个己经称得上是算法的运算序列，则必须按照某种顺序来依次访问所有节点（要形成一个偏序），自从计算机问世以来，即序列的项数有限，且每一运算项都可在有限的时间内完成;确定性，即序列的每一项运算都有明确的定义，还有声音、图形。逻辑上的数据结构反映成分数据之间的逻辑关系、向量运算、矩阵运算。 同样由于算法层出不穷。这个运算序列中的所有运算定义在一类特定的数据模型上。 由于算法层出不穷： ，并以解决一类特定问题为目标?
我们来回顾一下;i。作为ADT，算法的上述三要素的程序表达，它通常与一组算法的集合相对应，通过这组算法集合可以对数据结构中的数据进行某种操作。 ?
数据结构主要研究什么，可能还含有“数据项”或“数据域”）、操作、和相应的语义）组成的元素的集合。结构是元素之间的关系的集合。通常来说;运算序列中的控制转移。这三种要素依序分别简称为数据.e，归根到底是算法要素的程序表达，因为一旦算法的每一项要素都用程序清楚地表达，整个算法的程序表达也就不成问题。 ?
作为运算序列的算法，有三个要素。 作为运算序列中各种运算的运算对象和运算结果的数据;运算序列中的各种运算，树(偏序或层次关系)和图（局部有序(weak/local orders)）是非线性结构。 ，不胜枚举。最简单最基本的有布尔值数据、字符数据，我们至少可以得到4×4种可能的物理数据结构。数据结构 DS 的物理结构 P对应于从 DS 的数据元素到存储区M（维护着逻辑结构S）的一个映射： ?
(PD,S) -- & M 存储器模型、递归和无条件转移等几种，但可以解决大量特殊的复杂问题，因此树是实际编程中最重要和最有用的一种数据结构。树的结构本质上有递归的性质——每一个叶节点可以被一棵子树所替代，反之亦然。这些特征可以用来判别一个确定的运算序列是否称得上是一个算法？什么是逻辑结构和物理结构？ ?
数据是指由有限的符号（比如，&0&quot。 P 的四种基本映射模型：顺序（sequential）。 关于控制转移。 ？ ：一个存储器 M 是一系列固定大小的存储单元： ，因此可以利用树设计出许多非常高效的算法。实际上，无二义性;可以没有输入运算项，但一定要有输出运算项，算法的实现取决于数据的物理存储结构。表和树是最常用的两种高效数据结构，许多高效的算法可以用这两种数据结构来设计实现、图像等数据;和&1&quot，回顾我们曾经如何用程序设计语言去表达它，即一个数据由那些成分数据构成，以什么方式构成，呈什么结构。数据结构有逻辑上的数据结构和物理上的数据结构之分;可行性：集合结构、线性结构，变化万千，其中运算的种类五花八门、多姿多彩，必须通过某种方式将图固有的非线性结构转化为线性结构才能对图进行操作。 对于DATs的高级操作可以被设计为（不封装的）算法，利用基本操作对DS进行处理。 ?
好的和坏的DS：如果一个DS可以通过某种“线性规则”被转化为线性的DS（例如线性表），要在计算机上运行的所有算法都必须直接用机器语言来表达，计算机才能接受。算法的运算序列包括运算对象和运算结果都必须转换为指令序列。其中的每一条指令都以编码(指令码和地址码)的形式出现。与算法语言表达的算法，相差十万八千里。对于没受过程序设计专门训练的人来说，一份程序恰似一份&天书&，让人看了不知所云，可读性?极差。 ?
用机器语言表达算法的运算、数据和控制十分繁杂琐碎，因为机器语言所提供的指令太初等、原始。机器语言只接受算术运算、按位逻辑运算和数的大小比较运算等。对于稍复杂的运算，都必须一一分解，直到到达最初等的运算才能用相应的指令替代之。机器语言能直接表达的数据只有最原始的位、字节、和字三种。算法中即使是最简单的数据如布尔值、字符、整数、和实数，也必须一一地映射到位、字节和字中，还得一一分配它们的存储单元。对于算法中有结构的数据的表达则要麻烦得多。机器语言所提供的控制转移指令也只有无条件转移、条件转移、进入子程序和从子程序返回等最基本的几种。用它们来构造循环、形成分支、调用函数和过程得事先做许多的准备，还得靠许多的技巧。 直接用机器语言表达算法有许多缺点。 ?
大量繁杂琐碎的细节牵制着程序员，使他们不可能有更多的时间和精力去从事创造性的劳动，执行对他们来说更为重要的任务。如确保程序的正确性、高效性。程序员既要驾驭程序设计的全局又要深入每一个局部直到实现的细节，即使智力超群的程序员也常常会顾此失彼，屡出差错，因而所编出的程序可靠性差，且开发周期长。 由于用机器语言进行程序设计的思维和表达方式与人们的习惯大相径庭，只有经过较长时间职业训练的程序员才能胜任，使得程序设计曲高和寡。因为它的书面形式全是&密&码，所以可读性差，不便于交流与合作。因为它严重地依赖于具体的计算机，所以可移植性差，重用性差。这些弊端造成当时的计算机应用未能迅速得到推广。?
克服上述缺点的出路在于程序设计语言的抽象，让它尽可能地接近于算法语言。 为此，人们首先注意到的是可读性和可移植性，因为它们相对地容易通过抽象而得到改善。于是，很快就出现汇编语言。这种语言对机器语言的抽象，首先表现在将机器语言的每一条指令符号化:指令码代之以记忆符号，地址码代之以符号地址，使得其含义显现在符号上而不再隐藏在编码中，可让人望&文&生义。其次表现在这种语言摆脱了具体计算机的限制，可在不同指令集的计算机上运行，只要该计算机配上汇编语言的一个汇编程序。这无疑是机器语言朝算法语言靠拢迈出的一步。但是，它离算法语言还太远，以致程序员还不能从分解算法的数据、运算和控制到汇编才能直接表达的指令等繁杂琐碎的事务中解脱出来。 到了50年代中期，出现程序设计的高级语言如Fortran，Algol60，以及后来的PL/l， Pascal等，算法的程序表达才产生一次大的飞跃。 ?
诚然，算法最终要表达为具体计算机上的机器语言才能在该计算机上运行，得到所需要的结果。但汇编语言的实践启发人们，表达成机器语言不必一步到位，可以分两步走或者可以筑桥过河。即先表达成一种中介语言，然后转成机器语言。汇编语言作为一种中介语言，并没有获得很大成功，原因是它离算法语?言还太远。这便指引人们去设计一种尽量接近算法语言的规范语言，即所谓的高级语言，让程序员可以用它方便地表达算法，然后借助于规范的高级语言到规范的机器语言的&翻译&，最终将算法表达为机器语言。而且，由于高级语言和机器语言都具有规范性，这里的&翻译&完全可以机械化地由计算机来完成，就像汇编语言被翻译成机器语言一样，只要计算机配上一个编译程序。 上述两步，前一步由程序员去完成，后一步可以由编译程序去完成。在规定清楚它们各自该做什么之后，这两步是完全独立的。它们各自该如何做互不相干。前一步要做的只是用高级语言正确地表达给定的算法，产生一个高级语言程序;后一步要做的只是将第一步得到的高级语言程序翻译成机器语言程序。至于程序员如何用高级语言表达算法和编译程序如何将高级语言表达的算法翻译成机器语言表达的算法，显然毫不相干。 ?
处理从算法语言最终表达成机器语言这一复杂过程的上述思想方法就是一种抽象。汇编语言和高级语言的出现都是这种抽象的范例。 与汇编语言相比，高级语言的巨大成功在于它在数据、运算和控制三方?面的表达中引入许多接近算法语言的概念和工具，大大地提高抽象地表达算法的能力。 在运算方面，高级语言如Pascal，除允许原封不动地运用算法语言的四则运算、逻辑运算、关系运算、算术表达式、逻辑表达式外，还引入强有力的函数与过程的工具，并让用户自定义。这一工具的重要性不仅在于它精简了重复的程序文本段，而且在于它反映出程序的两级抽象。?
在函数与过程调用级，人们只关心它能做什么，不必关心它如何做。只是到函数与过程的定义时，人们才给出如何做的细节。用过高级语言的读者都知道，一旦函数与过程的名称、参数和功能被规定清楚，那么，在程序中调用它们便与在程序的头部说明它们完全分开。你可以修改甚至更换函数体与过程体，而不影响它们的被调用。如果把函数与过程名看成是运算名，把参数看成是运算的对象或运算的结果，那么?，函数与过程的调用和初等运算的引用没有两样。利用函数和过程以及它们的复合或嵌套可以很自然地表达算法语言中任何复杂的运算。?
在数据方面，高级语言如Pascal引人了数据类型的概念，即把所有的数据加以分类。每一个数据(包括表达式)或每一个数据变量都属于其中确定的一类。称这一类数据为一个数据类型。 因此，数据类型是数据或数据变量类属的说明，它指示该数据或数据变量可能取的值的全体。对于无结构的数据，高级语言如Pascal，除提供标准的基本数据类型--布尔型、字符型、整型和实型外，还提供用户可自定义的枚举类、子界类型和指针类型。这些类型(除指针外)，其使用方式都顺应人们在算法语言中使用的习惯。对于有结构的数据，高级语言如Pascal，提供了数组、记录、有限制的集合和文件等四种标准的结构数据类型。其中，数组是科学计算中的向量、矩阵的抽象;记录是商业和管理中的记录的抽象;有限制的集合是数学中足够小的集合的势集的抽象;文件是诸如磁盘等外存储数据的抽象。?
人们可以利用所提供的基本数据类型(包括标准的和自定义的)，按数组、记录、有限制的集合和文件的构造规则构造有结构的数据。 此外，还允许用户利用标准的结构数据类型，通过复合或嵌套构造更复杂更高层的结构数据。这使得高级语言中的数据类型呈明显的分层。 高级语言中数据类型的分层是没有穷尽的，因而用它们可以表达算法语言中任何复杂层次的数据。 在控制方面，高级语言如Pascal，提供了表达算法控制转移的六种方式。 ?
(1)缺省的顺序控制&;&。 ?
(2)条件(分支)控制:&if表达式(为真)then S1 else S2;& 。 ?
(3)选择(情况)控制: ?
&Case 表达式 of ?
(4)循环控制: ?
&while 表达式(为真) do S;& 或
&repeat S until 表达式(为真);& 或
&for变量名:=初值 to/downto 终值do S;& ?
(5)函数和过程的调用，包括递归函数和递归过程的调用。 ?
(6)无条件转移goto。
这六种表达方式不仅覆盖了算法语言中所有控制表达的要求，而且不再像机器语言或汇编语言那样原始、那样繁琐、那样隐晦，而是如上面所看到的，与自然语言的表达相差无几。 程序设计语言从机器语言到高级语言的抽象，带来的主要好处是： 高级语言接近算法语言，易学、易掌握，一般工程技术人员只要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作；高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性高；高级语言远离机器语言，与具体的计算机硬件关系不大，因而所写出来的程序可移植性好，重用率高； 由于把繁杂琐碎的事务交给了编译程序去做，所以自动化程度高，开发周期短，且程、序员得到解脱，可以集中时间和精力去从事对于他们来说更为重要的创造性劳动，以提高、程序的质量。 ?
数据结构、数据类型和抽象数据类型 ?
数据结构、数据类型和抽象数据类型，这三个术语在字面上既不同又相近，反映出它们在含义上既有区别又有联系。 ?
数据结构是在整个计算机科学与技术领域上广泛被使用的术语。它用来反映一个数据的内部构成，即一个数据由哪些成分数据构成，以什么方式构成，呈什么结构。数据结构有逻辑上的数据结构和物理上的数据结构之分。逻辑上的数据结构反映成分数据之间的逻辑关系，物理上的数据结构反映成分数据在计算机内的存储安排。数据结构是数据存在的形式。 ?
数据是按照数据结构分类的，具有相同数据结构的数据属同一类。同一类数据的全体称为一个数据类型。在程序设计高级语言中，数据类型用来说明一个数据在数据分类中的归属。它是数据的一种属性。这个属性限定了该数据的变化范围。为了解题的需要，根据数据结构的种类，高级语言定义了一系列的数据类型。不同的高级语言所定义的数据类型不尽相同。Pascal语言所定义的数据类型的种类。 ?
其中，简单数据类型对应于简单的数据结构;构造数据类型对应于复杂的数据结构;在复杂的数据结构里，允许成分数据本身具有复杂的数据结构，因而，构造数据类型允许复合嵌套;指针类型对应于数据结构中成分数据之间的关系，表面上属简单数据类型，实际上都指向复杂的成分数据即构造数据类型中的数据，因此这里没有把它划入简单数据类型，也没有划入构造数据类型，而单独划出一类。 ?
数据结构反映数据内部的构成方式，它常常用一个结构图来描述:数据中的每一项成分数据被看作一个结点，并用方框或圆圈表示，成分数据之间的关系用相应的结点之间带箭号的连线表示。如果成分数据本身又有它自身的结构，则结构出现嵌套。这里嵌套还允许是递归的嵌套。 ?
由于指针数据的引入，使构造各种复杂的数据结构成为可能。按数据结构中的成分数据之间的关系，数据结构有线性与非线性之分。在非线性数据结构中又有层次与网状之分。 由于数据类型是按照数据结构划分的，因此，一类数据结构对应着一种数据类型。数据类型按照该类型中的数据所呈现的结构也有线性与非线性之分，层次与网状之分。一个数据变量，在高级语言中的类型说明必须是读变量所具有的数据结构所对应的数据类型。最常用的数据结构是数组结构和记录结构。数组结构的特点是： ?
成分数据的个数固定，它们之间的逻辑关系由成分数据的序号(或叫数组的下标)来体现。这些成分数据按照序号的先后顺序一个挨一个地排列起来。每一个成分数据具有相同的结构(可以是简单结构，也可以是复杂结构)，因而属于同一个数据类型(相应地是简单数据类型或构造数据类型)。这种同一的数据类型称为基类型。所有的成分数据被依序安排在一片连续的存储单元中。 概括起来，数组结构是一个线性的、均匀的、其成分数据可随机访问的结构。?
由于这、种结构有这些良好的特性，所以最常被人们所采用。在高级语言中，与数组结构相对应的、数据类型是数组类型，即数组结构的数据变量必须说明为array [i] of T0 ，其中i是数组、结构的下标类型，而T0是数组结构的基类型。 记录结构是另一种常用的数据结构。它的特点是:与数组结构一样，成分数据的个数固定。但成分数据之间没有自然序，它们处于平等地位。每一个成分数据被称为一个域并赋予域名。不同的域有不同的域名。不同的域允许有不同的结构，因而允许属于不同的数据类型。与数组结构一样，它们可以随机访问，但访问的途径靠的是域名。在高级语言中记录结构对应的数据类型是记录类型。记录结构的数据的变量必须说明为记录类型。 ?
抽象数据类型的含义在上一段已作了专门叙述。它可理解为数据类型的进一步抽象。即把数据类型和数据类型上的运算捆在一起，进行封装。引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开，使它们相互独立。对于抽象数据类型的描述，除了必须描述它的数据结构外，还必须描述定义在它上面的运算(过程或函数)。抽象数据类型上定义的过程和函数以该抽象数据类型的数据所应具有的数据结构为基础。 ?
泛型设计和数据结构与算法 ?
下面我想再说说关于泛型程序设计模型对于数据结构和算法方面的最新推动，泛型思想已经把数据结?构和算法方面的基本思想抽象到了一个前所未有的高度，现在有多种程序设计语言支持泛型设计，比如ADA，C++，而且据说在JAVA的下一版本和C#中也将对泛型设计进行全面的支持。?
先说说泛型设计的基本思想：泛型编程（generic programming，以下直接以GP称呼）是一种全新的程序设计思想，和OO，OB，PO这些为人所熟知的程序设计想法不同的是GP抽象度更高，基于GP设计的组件之间偶合度底，没有继承关系，所以其组件间的互交性和扩展性都非常高。我们都知道，任何算法都是作用在一种特定的数据结构上的，最简单的例子就是快速排序算法最根本的实现条件就是所排序的对象是存贮在数组里面，因为快速排序就是因为要用到数组的随机存储特性，即可以在单位时间内交换远距离的对象，而不只是相临的两个对象，而如果用联表去存储对象，由于在联表中取得对象的时间是线性的既O[n]，这样将使快速排序失去其快速的特点。也就是说，我们在设计一种算法的时候，我们总是先要考虑其应用的数据结构，比如数组查找，联表查找，树查找，图查找其核心都是查找，但因为作用的数据结构不同?将有多种不同的表现形式。数据结构和算法之间这样密切的关系一直是我们以前的认识。泛型设计的根本思想就是想把算法和其作用的数据结构分离，也就是说，我们设计算法的时候并不去考虑我们设计的算法将作用于何种数据结构之上。泛型设计的理想状态是一个查找算法将可以作用于数组，联表，树，图等各种数据结构之上，变成一个通用的，泛型的算法。这样的理想是不是很诱惑人？ ?
泛型编程带来的是前所未有的弹性以及不会损失效率的抽象性，GP和OO不同，它不要求你通过额外的间接层来调用函数：它让你撰写完全一般化并可重复使用的算法，其效率与针对特定数据结构而设计的算法旗鼓相当。我们大家都知道数据结构在C++中可以用用户定义类型来表示，而C++中的模板技术就是以类型作为参数，那么我可以想象利用模板技术可以实现我们开始的GP思想，即一个模板函数可以对于各种传递进来的类型起作用，而这些类型就可以是我们定义的各种数据结构。?
泛型算法抽离于特定类型和特定数据结构之外，使得其适应与尽可能的一般化类型，算法本身只是为了实现算法其需要表达的逻辑本质而不去被为各种数据结构的实现细节所干扰。这意味着一个泛型算法实际具有两部分。1，用来描叙算法本质逻辑的实际指令；2，正确指定其参数类型必须满足的性质的一组需求条件。到此，相信有不少人已经开始糊涂了，呵呵，不要紧。毕竟GP是一种抽象度非常高的程序设计思想，里面的核心就是抽象条件成为成为程序设计过程中的核心，从而取代了类型这在OO里面的核心地位，正是因为类型不在是我们考虑的重点，类型成为了抽象条件的外衣，所以我们称这样的程序思想为泛型思想------把类型泛化。
采纳率：23%
即怎么描述，从祖先到子子孙孙，开支散叶，可以用“数组”来描述它，数据的结构就是数据怎么组织，在进行插入数据，则可以用“树”来描述，因为这样的数据组织起来像一颗树。数组和树所谓结构就是组织形式，怎么在电脑中存储。不同类型的数据，它们的组织形式（数据结构）是不同的，如我们把一个班的学生按照学号排队，而如果要描述一个家族的系谱。如果想编程序，那么必须要了解一些数据结构方面的知识，删除数据等操作时，它们的操作方式是不一样的
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换一换
回答问题，赢新手礼包如何整体把握高中数学课程
专题二 如何整体把握课程
――课程主线分析
张老师（张思明 北大附中数学特级教师）：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加新课程国家级远程研修。上一个专题里，我们讲了高中数学课程标准研制的背景和内容统概，在这一讲里，我们的专题是如何整体把握高中数学新课程，这个专题是我们做教学设计、做教学思考的一个核心，也是我们这次高中新课程的一个高频率的主题词。那么，我想先问一问王老师，为什么要把这个整体把握新课程的“整体把握”提到了这样一个位置。
王老师（王尚志 首都 师范大学博士生导师、教授）：做任何一件事情，都需要对这件事情有一个完整的了解，这样我们才可以更好地、有效地完成这样一件事情，我们觉得和整体的把握课程，相关的这些重要的核心词就是有效的，我想整体的把握就能使得我们更有效地实施高中新课程，那么，怎么样体现整体把握新课程呢？我们研讨一下来感觉有这么几个方面：第一个方面，就是内容上的整体把握，我想高中课程标准的设计对内容一定不是按照知识点来走，他有一个基本的脉络，就是我们所说的主线。那么，我们在设计高中新课程的时候，有这样几条基本的脉络或者我们说主线是我们构架起整个高中课程的基础。
&那么，其中一个是函数主线；一个是图形的主线，我们几何就是研究图形的，或者我们叫几何；另外就是运算；在有一个是算法；还有一个是应用；再一个是统计概率，我们这每一条主线都形成一个知识脉络，不同的主线之间有又着密切联系，所以我想从这个层面来说，如果能够理解高中课程的这些基本脉络，对于整体把握高中新高程，应该是非常积极有效的。
第二个层面：就是我们通常所说的能力层面，我们数学有一些最基本的能力，那么这些能力是学习数学要培养的目标。比如说：我们有计算能力、有逻辑推理能力、空间想象能力和抽象概括能力，数据处理能力。这些能力是贯穿在整个高中新课程的使用过程中的。这些能力的认识和理解，对于把握高中新课程会有很大的好处，那么，能力更上位一点的，我们还需要有一些思考，比如我们数学，有两种基本的推理方式，一种演绎的，一种是归纳，他又体现在不同的能力上，有一个数学里很重要的希望老师给予关注的地方，就是数学语言的使用，数学不同于其他的学科，很重要的方面是他的本身有他一套独特的语言体系。通常我们说，符号的语言体系和图形语言的体系，我想这些语言体系，也不是体现在每一个知识点，而是贯穿在整个课程的过程中，所以我想需要我们老师有一个整体的认识，当然如果我们有一个整体的设计，那就更好了。所以我想我们将在单元教学设计里，提到这些内容，就是有时候我们也可以把能力当做一个单元来设计，我们也可以把掌握语言的能力，当做一个单元来设计，这样就使我们老师不是局部的看待我们高中课程，而是把课程看作一个整体。
张 老师（张饴慈 首都 师范大学教授）：比如说，我们有些数学知识或者概念比如弧度，如果你就弧度讲弧度，很难让学生真正理解为什么要引入弧度，如果你不能从整体来认识这个概念的话，就很难真正的把握数学，又比如通性、通法，如果你没有一个整体认识，那么就很难提炼出通性、通法这个理论，所以我想要真正理解这个理论，我想要整体，认识这个定义才能知道我们的定位，才知道我们要掌握什么是一些细微末节，什么是一些技术性问题，什么是重要的思想，才能有一个更好的认识。
王： 那么张老师刚才说的，我觉得也是我们要考虑第三个层面，就是一些知识的理解、概念的理解，技能的把握，也希望他放在一个大的范围里来考虑，刚才 张老师讲的弧度，就是我们在初中阶段，究竟为弧度奠定了一些什么？我们在高中阶段如何引入？我们如何向学生说清楚，弧度是必不可少的一个概念，他给我们带来什么好处？我想所有这些都不能在一节课去完成的，如果我们老师有一个正确的认识，就会把它设计成为一个完整的理解，那么，对于一些技能我想也是这样的。比如说：刚才张老师说的通性通法，我们在高中阶段，希望学生形成的一个很重要的通性、通法就是如何来对待模型？也就是通常我们所说待定系数法，当我们判定一个模型就是指数函数的模型的时候，那么这个时候我们关键的问题就要去在这个情景中确定 Y等于 a的 x次方的参数 a是谁？它才能有效地帮助我们，运用这个具体的模型来解决模型具体的问题，所以我想整体把握课程的本身，也需要有一个整体的认识，那么这样才能使我们更好的驾驭我们整个课程的全体，这样我们才能提高我们课程教学的效率，否则的话可能就会欲速则不达，当然也包括对考试、对高考的把握，我们也需要有一个整体的看法来思考高考与日常教学的关系。比如说我们在高三复习环节，总有一个疏理知识阶段，那么我们很多老师总结出来的经验告诉我们，疏理知识不要等到高三再开始，我们在高一就开始做，学完每一章，每一节的内容我们逐渐从帮助学生疏理知识到让学生能够独立疏理知识、形成他的一个学习习惯，在他的脑子里，始终出现了就是一个知识的网络，那么我想到了高三阶段，再进行知识的疏理，再应对高考我们就效率好的多了，所以我觉得我们提出来整体把握课程这个词儿，具有丰富的内涵！我们也提给老师，希望我们参加培训的每一位老师，能够认真的思考这个问题。课是要一节一节的上，但是我们对高中数学理解是要站在整个高中数学上面，对有一个完整的理解。
张：我个人也是体会跟着两位老师学习，整体把握其实也是一个很重要的学习方法，特别对于抽象度很高的内容，我们很多的是包括我自己在大学里，包括学数学的时候，如果一下进入了细微末节每一个定理好象都念过，但是不知道他们的关系、联系，也没有整体的把握住，最后，还是脑子空空的！所以我想两位老师提出整体把握，其实对于老师来说，要把这种理念变成一种教法，甚至是对学生一种学法的一种影响，告诉学生要学这些东西，要有微观、中观、大观、宏观的这些东西。我们过去可能做的都是微观上的，老师应该是对的，强调的比较多，但是由于学生最后的教学效率卡在这儿，没有宏观的认识，知识没有形网络，所以也降低了学习效率。最后我想两位老师谈谈这样的认识，我们知道我们高中把整体把握作为一个关键字，意义在这里。为了使各位老师对这个事情也一个比较具体的形象认识，我们特别请了我们北京市海淀区的 19中的老师为我们提供一个教学设计的案例，来具体的分析一下，下面我们请（檀晋轩）老 师和王老师一起为我们介绍这个教学案例。
【主持人】：各位老师大家好，我先来向大家介绍一下我身边的这两位老师，这位是北京市海淀区第十九中学的檀晋轩老师，（ 檀晋轩：北京十九中高级教师 ）这位是同一个学校的 王肖华老师，（ 王肖华：北京十九中区骨干教师 ）两位老师都是我们海淀区很有名的青年骨干教师，参加我们的课程讨论，我们希望两位老师给我们带来一些具体的案例，我们这一讲主要谈如何把握整体新课程，我想很多一线的老师在教学实践中有这样那样的想法，我想你们二位老师给我们老师带来什么样的案例。
檀老师：我们今天想就着集合这一节，这个段落的内容教学，一起跟老师们探讨一下关于在新课程标准实施过程中，我们如何的去思考，从整体来认识和把握这样一个关键的内容，因为集合这个内容跟以往旧的大纲相比，有一定的改变，所以我们在学生刚刚入学的时候，有一个阶段，我们做了一些很深入的讨论，在上课之初，也就是学生在入校之前，我们老师在这方面做了大量的工作，我们下面简单地介绍一下，在整个准备的过程中，我们都做了哪些的思考和我们相应的一些讨论结果，提供给老师们作为参考。
首先我们在思考这个内容之前，请所有老师分头去收集了有关集合段落教学的各种不同的版本，有一些不一样的教学的设计。比方说，我们看到有的设计集合这一个单元，一共设计了八个学时，还有的设计了六个学时，当然还五个学时，还有其他一些情况。下面我举典型的三个例子，我们一起也看一下，在我们教学之初，我们学校的数学高一年级的老师，一起坐下来分析了这几个典型的例子。比方说过去在旧的教材过程中，我们有一部分老师对集合这部分教学设计了八个学时，我们一起就来分析了一下，这八个学时主要设计是这样的一个安排，其中关于集合的概念以及它的表示方法，大约是设计的三个学时。在第一个学时中，它的重点是把集合的基本概念做了一个介绍，然后重点去介绍了集合的列举法，描述法和图形表示方法。同时给出了空集以及集合的各种分类的方式。在第二个课时过程中，我们就看到它事实上主要是对前面基本知识的复习过程。 同时，在这个领域，由于旧的教材中比较强调集合的三个重要的性质，也就是老师们都非常熟悉的，关于集合中元素的确定性、无序性和互异性，他就这几个性质做了几个比较复杂的一些练习问题，这是第二个课时。
第三个课时，他介绍子集，全集和补集的概念，同时也简单地做了一些补集和判断集合间关系的一些问题。第四个学时就是子集、全集和补集进一步练习的课时，我们看到它增加了一个第五的课时，仍然是在子集，全集和补集。我们看到有一些例子，比如在这里说到例一和例二。
实际上，这里我们在讨论分析的过程中，发现这个难点，主要这里涉及到方程本身的知识，对于方程根一些讨论问题，因此他并不是集合本身知识相关问题的难点，所以他在这里占有比较大的一个时间段。第六个学时的时候介绍了交集和并集的概念，以及一些相关的符号表示，也运用这些知识解决了简单的求交、并集的一些简单问题。最后在第八个学时过程中，同样是做了一个交并、集练习的课时，其实我们也看到这里涉及到了含有绝对值的不等式，以及分式不等式，因为是旧的教材，所以在这些内容中渗透了这些内容。
同样的，我们也分析了，在新课标下，网上出现关于集合这部分出现的六个学时设计的过程，其中我们也发现它主要增加的部分的内容，我们在探讨过程中，感觉难度主要并不都在集合知识本身，而有一些例题难度主要放在对于方程根情况的讨论，以及涉及到某些含有二元的方程，这里实际有一些解析几何的味道，就是坐标系中点和相关的一些知识。同时，在这里也发现，他把过去旧教材中要求的，关于几何中元素那三个重要性质，他所有一些相应的练习，强化来进行训练。因此我们整体分析之后，我们也是课时非常紧张，我们仔细做了讨论，我们感觉反复阅读课程标准以后，对课程标准中对几何这部分，和以前大纲这样几点不同，这是我们的思考。
首先一点，他与大纲相比较，课程标准更加注重集合的语言性和基础性，淡化了一些相应的技巧，也淡化它与其他数学知识过程的结合，我想这个改变是很好的。原因我们也分析了我们自己的学生，因为我们的学校是海淀区一所中等偏上的学校，我们学生的层次，以及他们自己原有在初中的基础知识并不是十分扎实。那么集合作为学生高中入学后的第一个学习的内容，过多的综合性的问题会使得学生丧失很多的信心，所以我们在这里也希望突出在第一个模块过程中、第一个知识内容，把它突出作为一个最基本的语言，最基本的将来学生在学习过程中经常要使用到的一些符号，来进行教学。第二个重要的不同点，在课标中提出要能够用三种语言来描述学生的问题，我想这个是比较突出语言之间的一种转化。我们也就觉得在这个阶段中，作为语言的学习，我们也学习和借鉴了，语文教学和英语教学他们中的一些特点。因此我们就尝试着让学生在学生集合语言的过程中，不断转换符合语言，自然语言和图形语言。 第三个我们比较的不同，学生在初中中虽然没有学过集合的概念，但是事实上，初中为我们学习集合概念准备了一些大量的素材。所以我们认为借助这些素材可以在素材本身上不增加学生的难度，只是在新的一种符号表达，和一种新的认识方式和我们在未来的表达过程中，我们可以不断加深这种认识，在这种定位下，我们的教学实际最终设计四个学时，在第一个学时就是作为语言来学习，主要是梳理了学生在小学和初中阶段，他们所遇到过一些集合的概念，比如在小学过程中学习过的一些奇数、偶数。比方说12的所有正整数因子等等这些概念。初中也有大量的一些例子，比方说不等式的解集，方程的一些解集，当然在几何中他们还学习过四边形的各种分类，三角形的一些分类，以及直线上的一些点作为直线的一些元素等，他们也从这个角度认识了圆的概念，就是到定点的距离等于定长的点的集合。这样一系列的知识都是学生旧有的，我们把它罗列出来之后，提供给学生一种新的表示方式，也就是我们在一节课把描述法和列举法都教给学生，作为一种语言，是对比着进行学习。进而，在这个具体的这些例子当中，帮助他认识元素和集合之间的关系，以及每个集合各自在表示方法过程中，选择不同的表示形式的必要性，特别是在描述法中学生感觉还是比较困难的，在这实质上对一些特别无限集，就会发现它的表示方法用列举法就非常不方便，这个就需要在学生分类清晰的情况下，把一类事物要能够找到它一个共同属性来进行描述。因此我们的第一课时基本上介绍了以语言为基本的转换单位，重点是符号语言和自然语言之间的一种转化，把过去学过的一些东西用新的一种符号展现出来。
第二个学时，我们就介绍了集合之间的关系，子集关系，包含关系。同时我们在这里进一步突出了图形语言。在上一节课重点是自然语言和符号语言之间的转化，到了第二个学时的时候，我们就增加了一些图形语言，帮助学生进一步理解这些符号。第三个学时，我们实际到集合的运算，我们做了两个学时的设计。在这两个学时中，同样我们是把交、并、补的概念再次让他们运用符号的语言进行阐述，又强化了他们这种符号语言的使用，同时也准确地理解交、并、补的含义。同时把自然语言、符号语言和图形语言之间做了相互的传递，强调了他们之间转化的功能，大概我们是这样一个设想。
【主持人】 王老师，对这个设计有什么样的感受？
王：因为是我们集体备课的一个成果，所以我也非常赞同，而且参与过程也考虑到学生实际的学习情况，它的知识水平、知识结构，然后结合它的实际状况来设计的。
【主持人】老师在参与这个讨论过程中，有没有不同意见？
王：虽然我们针对整体学生大部分的水平来制订的，但是有一些班的情况具有特殊性，所以针对特殊性，具体的老师根据自己班的实际情况，具体做一些微调。
檀老师：是这样的。确实有一些不同的意见，比 方过去老师们在教学过程中，在集合教学中就希望能够渗透关于方程根讨论的一些问题，当然刚才我们也看到，包括像集合互异性的一些问题，实际上因为我们学校的学生虽然整体水平属于中上等的，但是程度也参差不齐。因此我们在具体的教学过程中，我们的定位是要把住一条底线，即语言和符号的初步认识。对于刚才谈到这几点，个别学生可以给他提出一些思考问题，尝试让他们课下去完成。我们在这个年的过程中，因为是希望在高中第一个学段中解决学生最重要的一个是学习习惯和学习方法的指导问题，因此我们在这一阶段的教学过程，都尝试着每节课拿出五到十分钟的时间让学生阅读书籍，然后指导他们去阅读和自己梳理知识，同时在这个阶段结束之后，对于集合，我们是给了学生复习框架，让学生形成数学小组，每个班大概是组成五到六个学生形成学习小组，给他们相关的数学课题，提供给他们可供思考的问题，像刚才的问题，我们都提供给他们作为课外思考。学生在随后的探讨过程中，实际上我们发现，学生最后的所得到的东西，比我们原本想希望教给他们的东西获得的多得多。比如他们非常有兴趣查找了一些与集合有关系的数学史知识，像康托，他们都通过自己去查找资料去了解，并且用各种各样的形式，有的班最后用的是板报的形式，以后专门有数学板报。还有的班是用的班校会的时间，做了一节数学史和集合这部分的宣讲，学生非常踊跃、非常积极。像集合中有一些悖论的问题，集合中元素个数的问题，他们都非常有兴趣自己去查找资料然后相互交换，我想这样他们获得的东西会更多。
【主持人】非常感 谢两位老师给我们带来非常生动的案例。我们一会也要请专家对这个案例发表一下他们的点评。
&张：通过刚才老师们的介绍，我们对檀老师提出来的问题和分析有了一个初步的了解，那么，我们下面听一听专家对这个过程的一个分析和点评。
王：（ 王尚志：首都 师范大学博士生导师、教授 ）集合是我们新课程中高中教学的第一个单元，他们对这些做了一些案例的分析也做了对比。 张老师，您看对他们这些分析和对比有什么点评？
张：（ 张饴慈：首都 师范大学教授 ）首先我觉得很高兴看到他们把别人的一些案例拿过来跟做对比、做分析，然后设立自己的案例，这样一种教研的方法非常好。其次我就觉得他们这些思维能够抓住我们这些结合点，标准对集合的定位抓的比较准。比如第一个关于集合的三性问题，我觉得集合的三性只是一些规定，这些规定要求我们的学生要知道，并且要遵循这就够了。我们数学当中有很多这样的规定，比如说平面直角坐标系哪个是第一象限，哪个是第二象限，哪个是第三象限线，这个学生要知道，这就够了。
王：没有必要讨论那些说不清楚的集合，那根本不是我们数学要求的东西。
张：比如要求集合的元素是确定的，我们凡是讨论的集合元素都是确定的，这么规定就可以了，用不着去设计很多奇奇怪怪的来说是不是集合，包括它的互异性、无序性，做这种讨论都是没有用的。它本身没有对学生的数学思想有所提高。其次我们这里要讲的按标准来讲，就是集合的概念、包含的关系、属于关系，包括子集这个内容。也就是说我们不涉及到集合的领域，我们定位是把它作为一种语言，而且这个语言是要贯穿高中三年的始终的，在后面讲到解析几何的时候，讲到线性规划的时候，讲到不等式解集的时候，讲到函数一系列内容的时候要把它拿来用，所以我们把它放在一开始，希望在高中三年要贯彻、去要学会应用。所以在现我们一定是要用初中熟知的知识来作为载体，来讲并、交、补，来讲属于、包含、相等，这样讲，对学生来说困难应该不是特别大。如果我们把一些后面要讲的一些不等式、一些平面的圆的方程等都放到这里，就无形中增加了难度。特别在初高中过渡的问题，我们要给学生一个感觉，让学生感到比较容易的事，我们是要把难的东西要讲容易了，而不是把后面的东西放在这讲，我们要把握好，一步到位是不好的。
檀：有一些学校把不等式的解法提前放到这里，一开始的时候我们听到这样一些说法，我们内部也做过讨论，实际我们做这样的取舍，一开始还是有一些心中不是特别有把握的地方，我们仔细也做过一些分析，比如您刚才提到的，集合是在整个学习当中都要运用的一个语言，一个工具。因此事实上，集合在初期阶段只是一个新的符号，新的语言，还有一些简单的交、并、补的知识，分析之后觉得在函数研究定义域、值域的问题，研究单调区间的问题，包括后面我们在研究立体几何的时候，我们始终在使用这些符号语言，等到不等式的时候，我们还可以加深对集合符号使用的一些认识，我们到今天为止，我们已经讲了四个必修的模块了，感觉学生的使用上还是没有问题的。
王：比如像线性规划的问题，难点就在平面上点集的表示，在那都是难点，把它弄到集合里来大家都觉得晕了，所以我想没有必要，他有一个循序渐进的过程。我在大学教书，平面点集的表示仍然是学生容易出问题的地方。所以你们的这种设计考虑，我是非常赞成的。
张：我们刚才也谈到方程的问题，我们不是在讲解方程，而是在讲集合的符号表示，讲集合的交、并、补的关系，用我们初中讲到的有限整数集，或者自然数或者用我们学的不等式组都是很好的很充分的载体，让学生感到不难就能学会它。所以在这种情况下，因为我们要掌握的东西跟我们以后要学的东西是两回事，一步到位的问题是一个非常应该把握住的问题，还不会走的孩子非要让他会走，这样反而把他害了。所以我想在初高中的地方，我也知道，有一些地方，刚一上高一的学生11点才能睡觉，晚上做很难很难的题，就把学生给吓住了，我觉得这不是我们数学中的教育水准。
王：关键怎么树立学生学习数学的信心，而且对数学感兴趣，一上高中就让他感觉到数学没有自己想像的那么难，开头要开好，这样学生后期就会很有信心，而且也会加倍努力把以前落下的、把自己不足的地方趁着高中入学这一段时间赶上。
张：有的 时老师一开始就给你一个下马威，我让你不好好学习，我告诉你有多难。
王：本来有一点想法的，有一点计划的，这一上来就被吓回去了。
王：刚才说 张老师说的我非常赞成，比如我们数学在高中阶段，在初中阶段，在大学阶段都要做的事情是帮助学生学会语言，数学有两种非常特殊的语言，一个是符号语言，一个是图形语言。我觉得他们在教学中对这样一个语言的转化强调的比较好。就是不着急，先用学生熟悉的载体去做这种语言的转化，为语言的继续转化做一个铺垫，并且把这样一种思想贯穿到我们整个高中的教学中，就是符号语言不是说一步就能理解的，我们教学一定不是要把在高中所要用到所有的集合表示都在集合这部分讲到位，这是不可能的，也完全没有必要。这么做结果是，集合的东西也没有很好地掌握，新加进来的东西也是囫囵吞枣，所以我想，他们这样一个设计的思考，我觉得是非常好的，而且是真心实意地认识到这个问题，就应该这样做，我觉得这样的探索对我们所有进入新课 程的老师是很有借鉴作用的。我们要根据我们学校学生的特点，老师的特点，设计自己的教学方案，我们的目的是为了我们的学生能够在高中期间获得一较好的发展，我觉得这样的思考，是给我们提供的一个非常重要的借鉴。
另外他们在思考的过程还有一点，就是数学在做分类，学数学学到哪，都是在进行不同的分类。他们利用集合这样一个载体，把学过的东西，在做一下梳理，我觉得集合在某种意义上是对学过东西的一个很好的梳理的平台。我们学过自然数，整数，有理数，和一些实数。我们学过方程，方程的解，学过有解的方程，学过没解的方程，我们总得对他进行一下分类。我们学过不等式，我们总要讨论这些不等式的解集，如一元一次不等式组的解集，它反应的是什么，是或的关系还是且的关系，把它梳理一下。我们还学了函数，函数在什么范围里有意义，我想也是一个很好的梳理，这样把我们学习过的知识做了一个比较好的梳理，为进一步学习奠定基础。这种梳理又帮助学生能够用一种新的语言来表述这些东西，这样我想收获下来的东西，就远比你用一些他不懂的东西来讲新的东西，对学生的发展要好的多。所以我想，这两个功能他们都考虑了。
另外我印象还非常深的一件事情，就是他们让学生做了一些大作业，这些作业我觉得对于一个学生来说是非常受益的。我们要告诉学生，从高一的学习开始，你们就要学会梳理你学过的知识，你学过了集合梳理一些，哪些是新的，哪些是旧的，新的对旧的有什么影响，我们形成一个认知的网络，学生还查阅了一些资料，查了一些数学史的情况，这样学生的主动性就有了，我相信有一些学生或许也查到了一些用参变量表示的一些拓展的东西。那是他兴趣所在，不是硬逼他去弄的，这样他的感觉就完全不一样了。所以我建议把这一段还要做一个好好的总结，比如我们学生是怎么梳理这部分知识的，他们板报的形式是什么样子，你们都保留下来，将来把这些资料在什么时间展示给我们更多的老师，看看我们怎么样把学生的主动性调动起来，我觉得这件事做的非常好。就让我们的学生变得有信心，有兴趣，感觉自己能够把握自己的命运，能够学好一些东西，我觉得这件事情是值得我们认真总结的。
另外，我还希望你们接着总结一件事情，就是我们的老师虽然在教集合的过程中，对于这部分的定位已经搞清楚了，我们还希望我们19中的老师再继续梳理一下，在整个高中学习中，用符号语言，因为几何是特殊的符号语言，去描述分类的时候，在哪一个阶段，还需要发挥他的作用，我想做一个完整的梳理，就让老师感觉，这样做就更仔细了。比如说刚才檀老师也总结了，在我们后面函数的学习中，哪些地方还要用到集合的语言，在函数的应用中哪些地方还用到集合的语言。在必修二，我们在讲立体几何的时候，讨论点、线、面的属于关系的时候，包含关系的时候，哪些地方要用到集合的语言。讲到解析几何里，我们一个突出的点，就是平面点集的表示，后来到必修三，统计还是要对数据进行分类，我们还要用到集合的语言。到必修四，我们要学到数列，要学到三角函数，有三角函数的特殊点，有三角函数的单调区间，还有三角函数的周期等等，都要持续地用到集合的语言。我们学到数列里，又有很多集合语言的载体，到必修五，比如说我们学简单的线性规划问题，不等式问题等等，这些我们都会不断地使用集合语言，我们把这些都写清楚，我想这也是一个经验，等到你们 高二的老师，再教这部分内容的时候，大家心里都有数了，我们就知道，集合语言是需要通过一个过程帮助学生来提升符号语言表达数学问题的能力的。逐渐把它积淀成为我们学校教学的一个特色，然后我们跟其他学校进行交流，提供别人做一个借鉴。
张：我看两个理解，现在的考生，我觉得这些高考定义在什么位置，就定义在我们现在所讲的位置。
王：后面一些用集合语言表达的一些问题，我想是非常重要的。有时候我们编造了很多集合的题目，觉得实在意义不是很大，我说一个极端的例子，就是哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想是什么呢-------即没有这样的偶数，它大于等于四，并且不能表示成两个素数的和，用集合的语言来描述是什么问题呢？就是这样一个集合，偶数的集合，是大于等于四的偶数集合，而且不能表示成两个素数之和的集合，这样的集合是不是空集，那有什么意义？对于解决哥德巴赫猜想没有任何意义，所以并不是说我们生拉硬套，造出一些带有参变量的集合的题目解决理解数学的一种好办法。数学是要把难的东西变得容易，而不是要把容易的东西弄的别人不懂，所以我觉得19中提供了一个很好的案例，希望你们继续做下去。把这个写清楚，将来我们提供给更多的老师作为参考，我们也希望就这些问题 和老师们有一个更好的交流，一起来探索怎么样教好集合这一部分的内容。
张：好！在这个案例里面整体的把握课程，对于一个基层老师来说，是做好教学设计的前提，为了使大家对于我们高中新课程中具体的主线、能力有一个比较清楚的层次，我们下面请两位老师来具体的对六条主线，逐一进行一个分析，我们先请张老师对于函数主线做一个介绍和分析。
张：函数这个概念，现在变成是数学一个中心概念，它现在越来越成为数学里不可缺的一部分，过去我们在中学里面，在我们的念书的时候，那个时候是 50年代或者是 60年代，那个时候中学是以方程为主线，是以计算求解方程为主线的，但是，随着时代的变化，克莱因提出来函数概念以后，就把函数这样变量之间的依赖关系成了我们整个的数学教育的一条主线，这个概念，在小学的时候的就开始有所渗透，然后是到了初中以后，我们给出了变量和变量依赖关系这种概念，然后到了我们高中，是必修第一册的一开始就要学、要掌握的概念，我们是要求通过大量的具体事例让学生体会到函数这个概念。从概念上来说我们首先对这个概念的认识是一步一步深化过来的，我们特别强调这样变量依赖的关系，特别对我们的高中阶段是一个核心的内容，然后到最后我们把它抽象设置为映射这种概念，这样一种概念发展，实际上我们知道这个概念一直到大学来发展，都始终是一个核心概念。
王：到中学阶段，还需要强化对函数图形的认识，函数图形是一个整体认识，给定一个函数图形就是等于给了一个函数，什么叫相同的函数呢？就是意味函数图形应该是重合的，所以我想刚才张老师给我们叙述了三个基本概念，理解的角度，一个是变量的依赖关系，一个是用映射来刻划这个我们所谓抽象的函数定义，再有一个就是函数图形。
张：这样一种概念实际上到了后来的大学里面，除了咱们学的分析外，实变、复变、包括泛函、算子就是这个概念一系列来讲，始终是数学里一个核心概念，而且在中学里面，我们学了很多很多都是和这个概念密切联系的，比如说我们在考虑不等式的时候，在我们讨论方程的时候，在我们讨论计算的时候，算法里的赋值变量，在概率随机变量，包括我们像线性规划这个多元函数，就是说我们在中学里涉及到的几乎都离不开函数，都和我们的函数紧密相关的，包括我们对函数的认识，图形的认识，作为函数始终贯穿始终，而且所有的概念几乎都跟它有紧密联系，有些东西虽然我们不一定很明确，但是它都暗含着思想。给了两点求距离，就是这些东西几何里面都渗着函数这个概念。给了一个几何体求体积等等都有这种概念。所以函数始终是我们一条非常重要的概念，所以我们在这里面要特别强调对函数性质的研究，对函数应用的研究，我们对函数性质研究也始终是我们在这里面，我们大概是从我们在高中来说，一个是代数法开始，我们讨论函数单调性，讨论函数的周期性。然后到了微积分时候，我们开始用导数方法再来研究，研究函数本身的变化和性质，然后是函数的应用，函数应用的问题也是非常非常广的，它既有在数学本身的内部的应用，比如说它处理一些函数极值问题，二分法的解方程问题，解不等式的问题等。在数学有大量的应用，另外有凸显它的实力。我们过去在中学里，对函数的应用是比较欠缺的，现在随着数学建模等对应用的强调，函数的应用被放在一个非常突出的地位。也就是说把函数作为一个模型来讨论，这样的一种思想，就使得我觉得我们这次高中里头，把函数这样一个东西整体的思想，函数的模型的思想都凸显出来，和以前就事儿论事儿讲一个东西相比有很大的不一样。
王：其实刚才 张老师说的很清楚，那么在高中阶段对函数的认识，有四个重要的纬度，第一个就是概念的纬度，从对函数概念的认识，刚才 张老师帮我们总结了三个角度来认识函数，从依赖关系、从图形、从一个严格映射定义，我们不是只满足对一个角度的认识，而是全方位的认识，我觉得刚才 张老师提到我们在高中阶段要强调模型，我们要千方百计把一批模型放在学生的脑子里，这一批模型包括什么呢？包括我们通常所说的简单的幂函数，幂函数又包括我们通常所说的 y=x以及 y=x拓展，就是 y=kx+b这样的线性函数的认识和二次函数，我们是从 y=x 2出发来研究二次函数的，而 y=x 2是最简单的幂函数，拓展到 y=ax 2+bx+c这样的一个模型的认识，这样我们就比较完整的把初中对一元二次函数的认识提升到一个一般的认识，然后还有一个 y=x 3 还有我们所谓反比例函数的一个拓展，因为由 y=x -1我们拓展到 y=a/x这样的一个模式。当然我们还需要讨论一个特殊的 ，就是通常我们说的 ，这些都是简单幂函数的一个拓展，我想对于幂函数我们没有必要在这个基础上再做拓展。
张：不要把一般的幂函数的内容再做拓展了。王：对，这是一类函数，第二类函数就是我们通常所说的，指数函数和对数函数，指数函数和对数函数之所以重要，我想不仅仅是它本身，更重要的是它告诉我们两种非常重要的变化趋势。大家想象对数函数增长非常慢，非常缓慢。但是它在增长，他比多项函数要慢，而指数函数是增长非常快的，我说当 a&1的时候，那么它的变化非常迅速，这样一种变化趋势，在我们将来的学习中，是刻画自然界变化规律的最基本的模型，因此，通常我们也把指数函数、对数函数称之为基本初等函数。另外我们还有一类是周期函数，特别是三角函数，作为特殊的周期函数，它在我们整个的高中课程中占有一个明显的位置，我希望我们老师应该看到这样一个变化，在我念书的时候，主要讲的不是三角函数，而是三角，主要是讲的是三角形中的边角关系，但是现在发生了变化，重心做了转移，我们是以研究三角函数为主的一个课程设计，当然也包括对于三角恒等变换或者叫三角运算的认识。所以我觉得这样一种变化我们老师应该清楚！
张：那您提到这几类非常具体的函数跟原来基本是一样的。但初中还涉及到一些具体的比如说我们这次提的比较多的例子 ---分段函数，还有像数列，我们也把它归纳为一种离散函数。
王：当然具体的说有等差数列，等比数列等，这些实际上是我们要在学生脑子里搁住的，它是作为我们思考任何函数问题的基础的函数模型，所以我觉得这是 张老师总结的第二个方面，第三个 方面张老师特别给我们总结了就是研究函数的基本方法，在高中阶段有两种，一种是代数法，通过运算来探索函数的性质，来探索函数的应用，包括我们说的数的运算、多样式的运算、指数运算、对数运算、三角运算，它在我们研究函数中都会发挥作用，这是一种基本的方法，也是学生必须认真掌握的方法。另外一种方法就是我们通常所说微积分的方法，利用变化率来认识函数的变化，这是一个新的角度，这也是牛顿微积分一个核心的内容。那么，第四个 方面张老师刚才不断强化的就是函数的应用。
张：这一点好象是我们这次课程特别突出的一部分，函数是一个工具来解决问题。
王：包括函数在数学内部的应用，怎么样用函数来看待方程，我们提出了二分法。怎么样用函数来研究不等式，研究一元二次不等式，我们又提出了一元二次不等式的问题。那么又有线性规划问题，本质上说它是一个二次函数极值问题，我们又用函数去研究数列，我们又用函数去研究随机现象，所以我们就建立了随机变量。我们又用函数去研究算法，在算法中非常重要的是所谓循环变量，那么这种变量应该怎么刻画？所以用函数来研究数学内部的问题，应该是老师非常关注的一个脉络，再有就是函数在解决其他学科和日常生活中问题的作用，那么我想这一点我们分了三个层次。
张：第一个是特别希望能把实际问题转变成数学函数模型，这是第一个层次。
王：就是能用函数的语言去描述实际问题，这个我觉得是某种意义上说明我们符号语言的重要性。
张：这个也是我们以前比较欠缺的东西，我们过去是给定了一个函数的模型，然后利用它来研究、解决，就有点像过去的应用题，就是前面说的，把实际问题用函数来描述这个过程是需要强调的！还有一个就是说真正套用。这也是很重要的环节！
张：它有一个识别的功能，知道这个模型是这个函数。
王：我记得思明做过一个研究，就是在我们老百姓的经济生活中，用到的数学模型基本上是等差数列和等比数列，个别有一点混合用了，那么这就说明我们需要用我们学到的等比数列，去刻画复利问题，等差数列去刻画没有复利的存款问题，贷款问题等等！这是第二个阶段，第三个阶段就是张老师说的，函数是解决实际问题的一个重要模型，所以我们也希望让学生经历一下数学建模这个基本过程，我们在这次培训中有专门一个专题要讨论数学建模和数学探究，在那个专题里要详细说明数学建模和数学探究的意义和作用，以及如何操作。
张：两位老师的分析比如说两位都提到了研究函数的工具，过去我们认识比较窄，比较强调运算的工具，总是把这个工具限定在求函数值，研究的单调性就作差等，不断的练习，这些东西在学习的过程中开始是非常重要的，但是如果我们忘记了还有其他研究函数的工具的时候，比如微积分工具的时候，我们就会把前面的作用夸大，把它难度就提高了。如果我们整体看到函数、看到工具的发展，包括微积分也是一种函数的表现，同时为研究函数提供的工具的话，就可能减少前面的难度和训练不必要，就能提高效率。
王：这就是一个整体的把握。
张：包括值域的求法，你要能够知道后面我们学导数的时候，给出一种通性通法，只要把函数利用导数把极值求出来的话，因为我们函数一般都是连续函数或分段连续函数，把连续函数的极值求出来，最大值、最小值求出来，它的值域就出来了，分段一求并就出来了，那么就不会在前面用八种方法、十种方法来讨论各种各样的值域的求法，到整体来把握这个问题，来认识我们的工具，就知道什么地方是重点，什么是通性通法，什么是我们不应该过分强调的。
王：我想从函数本身来说，一个整体的把握就能使我们更好的提高我们教学的有效性，强调教学的效率，有的时候后面还要讲的东西，那你在前面就要适度，你有一个呼应和一个整体把握，你就知道什么时候我教到什么程度，对学生来说既是容易理解的，也得有效。那么，我们后续怎么跟上，我想这些东西呢，包括对函数概念的认识，我想一步到位都不是一件科学的事情，也不能是一步到位！随着后面我们对函数的认识，我们还会不断的去认识，另外即或到大学我们还需要继续去研究函数，去认识函数。
张：你比如像函数的几个重要性质，比如单调性，其实单调性没什么，就是这个一减的问题，那奇偶性你看花样很多，实际上单调性才是真正重要的，是函数变化的，正是有了单调性后面我们才讨论极值的问题，才有了单调。我们的极值就是依赖单调性，所以它的广泛应用非常非常重要，相反奇偶性问题虽然有一定的意义，他有一定图形的对称性，但是它依赖于坐标的选择，相比之下，像这样的东西要整体来认识数学、整体把握数学就能清楚这个概念为什么重要。
张：重要的是度，就知道它彼此之间看上去都不一样，其实在发挥作用上范围是一样的。
王：这里面有一个对中学研究函数的定位，实际上在中学阶段，我们有几个前提，首先我们研究的都是好函数，也就是说除了个别分段函数以外，我们研究的都是所谓连续的，可导的，光滑的好函数，即或是在大学数学分析里，我们也是以研究好函数为主。所以我们没有必要去设计一些曲形的函数，完全没有必要。第二个定位，就是我们的函数在中学阶段，只考虑它的形状，而单调性基本揭示它的形状，单调上升，单调下降，把这个函数变化基本的形状就勾勒出来了。那么，第三个我觉得很重要的在中学需要弄清的就是周期，因为我们在认识世界中无论是从宏观还是从微观，周期概念都是非常重要的概念。因此，我想这些中学的大定位我们要把握住，那么我们就知道什么是主要的，什么是知微末节的，当然我知道我们能体会老师对考试担心，我想随着课程的不断发展，命题者也在思考这个问题，怎么考察学生的数学素养，怎么去考察学生学数学能力，所以我觉得所有大家思考的方向是一致的，即或在个别问题上有点出入，一定不会干扰主流。所以我们考试大纲里，连篇累牍地强调通性通法，我想这些都是我们需要的，大家一起来关注，才能使得我们中国的数学教育沿着健康的轨道去发展，所以这件事儿，是我们认真的思考。
张：两位老师以函数主线的分析给我们做了一个例子，上我们看到了分析函数主线这个过程，是由概念、具体的函数模型、函数的应用、研究函数的工具，这四个角度进行了分析，而且也给我们看到了整体把握函数概念，对于认识课程内容、认识课程内容深化的过程是很有帮助的。那么，在下一节课里，我们还将请两位老师继续就其他的五条主线进行分析，谢谢大家的参与，我们希望大家在下节课见面。
专题二 学习语文必须在读书上下功夫
张 （张思明 北大附中数学特级教师）：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学新课程国家级远程培训，在上节课里，我们对课程的主线之一 --函数进行了一个比较细致的分析，在这讲里，我们将继续对其他的几条主线进行分析，那好我们首先先请 王老师，对于运算这条主线进行一下分析。
王老师 （王尚志 首都 师范大学博士生导师、教授）：上一讲 张老师对于函数在高中数学课程中的位置进行了分析，那么我先对于运算在课程中的位置做一个简单的分析，提供给各位老师做一个参考。
&大家知道运算始终是数学课程最基本的内容，也是最基本的能力，我们在小学阶段学习了数的运算，初中阶段，我们完整的理解了有理数的运算和实数的运算，或者初步的理解了实数的运算，我们又引入了代数式的运算，并且利用这种运算去研究方程、函数、不等式等等，那么我们可以看出运算的作用，我想在小学初中运算的这些作用，没有结束，在高中课程的学习过程中，仍然在发挥作用，因此我想提醒老师注意的第一个问题是，无论学生在初中和小学阶段运算学到什么程度，我们高中的老师都有责任帮助他们继续提升和培养他们的运算能力，因此在高中阶段我们应该有意识的帮助学生培养他们的运算能力，提升他们的运算能力。
下面我来分析一下高中运算的主要内容，在高中阶段，除了会不断的使用多项式运算和数的运算之外，我们又引入了一些新的运算对象，
其中特别突出的就是指数运算，就是 ，还有相应的一些指数运算的法则，比如说 ， 等等。老师都应该知道，我说的第一个性质，是指数运算最根本的性质，当然我们不要去推导，后面是怎么从前面推导出来的，我想这是一个重要的运算的载体，这个运算的载体会渗透在我们对于很多问题的思考过程中。同时我们还会利用这种运算，去研究指数函数，另外一个运算的载体就是对数函数，它和指数函数是相对应的，我就不重复了。
指数函数运算、对数函数运算，在我们高中的学习中碰到的新的运算载体，那么到了必修 4的课程里面， 我们还会学习另外一些运算规则，就是我们传统说的三角函数的很多背景，实际上我们也何以把它看作一种运算，比如说明 等等，我们既可以把它看作公式，也是一种运算的法则，在三角函数研究过程中，这种法则常常会起作用，当然我们可以告诉老师在高中阶段，三角函数运算法则的作用，发挥的不是特别的重要，到了大学的学习，特别研究三角级数的时候，这些运算法则才会真正的发挥作用，我想我们学到的指数运算、对数运算和三角运算，如果从运算的角度来说，我希望我们的老师应该清楚，这些运算和我们所学过数的运算和多项式的运算有一些不同，通常我们在数学里叫它做非线性运算，这些运算的掌握是提升我们学生运算能力的重要载体。除了这个载体，在高中阶段还有一个非常非常重要的运算载体，就是向量，二维向量和三维向量，它提供了我们非常丰富的运算的内涵，它不仅有向量的加法，向量的数乘，还有向量的点乘，将来还会学习向量的其他运算形式。所以向量的运算给我们整个的对运算的理解带来了一个新的面孔，这一点在大学一年级的课程中，给予足够的呼应，也就是说我们在大学一年级所学的线性代数中所要学到的线性空间的概念，实际上就是向量运算概念的一个直接的拓展，我们不仅要重视向量的运算，还要重视向量运算的意义，特别是它的几何意义和它的物理背景，向量每一个运算，都有着它明确的几何意义。
比如说我们在几何中要研究的主要问题是直线型的平行与垂直，判定垂直的主要应用了向量的点乘是不是等于零，判断平行的主要使用共线问题。所以我想向量作为一种新的运算载体，对我们整个数学学习的作用是非常重要的。这是我们所说的运算的载体。
张老师 （张饴慈 首都 师范大学教授）：我想对我们中学来说向量是非常重要的，它的运算是用几何的平行四边形来做，但是它运算的规律却同我们过去的很相像，这个非常困难。除了这个以外，在我们中学里面还有几个重要的运算，一个就是复数的运算，还有就是导数的运算 ，两个相乘的导数、两个相除的导数的运算。所以，运算始终是我们高中的一个主线，一个人的运算能力反映了他思维清楚不清楚，我们常说培养一个人的逻辑思维能力，实际上这个运算的本身也很反映这个问题，所以运算的能力的培养始终是我们关注的问题，数学的运算能力，所谓简化的思维对他的做问题的正确能够有意义，另外要关注运算的背景，向量的几何背景，向量的物理背景，两个向量的和 --力，向量的内积就是做功等。只有关注运算的背景，才能知道这个运算法则为什么会这样。
王 老师：从运算的角度里我们要去理解数形结合，将来我们再从图形的角度，又要从另外一个角度来理解数形结合，这是运算的载体，另外我们必须认识，运算的作用不仅仅限于这些载体，更重要的是运用我们所学过的运算，综合的使用去解决某些问题。比如说研究函数，研究函数的单调性，研究线性规划问题，研究很多的问题，计数问题，二项式定理，可能都需要用。所有这些都是运算的一个直接应用。所以，我想学生运算能力的提升，我们应该采取一种整体的管理，这是我们高中三年的基本任务，不是一次课、两次课能解决的问题，而是持续下来的问题，很多技能都是通过对某种运算总结，比如说配方法、消元法，都是特定的一系列运算步骤形成的一种固定的方法。
张老师：算法里的二分法求方程的解。
王老师：所以对于运算的认识，我觉得可能是最重要的。我个人的观点，觉得在高中所有的这些能力中，我们第一位要重视的是计算能力，当然我不是说忽视其他的能力。我们要帮助学生，要会算，要算的比较正确，要算的正确，这种能力的培养，我们老师要把它始终作为教学的一个基点。所以，我这儿提出一个问题供老师参考，你的学生在计算上还有哪些问题，反映在哪些地方，你有什么好的经验去克服这些问题？我想这个是我们这次研修活动希望 和老师一起研究的一个问题。
下面是北京市海淀区十九中的老师带来的案例：
张：各位老师大家好，这里我先向大家介绍两位一线的老师，我身边这位，是北京市海淀区第十九中 谭晋轩老师， （ 檀晋轩：北京十九中高级教师 ） 这边是同一学校的 王肖华老师 （ 王肖华：北京十九中区骨干教师 ） 。两位老师都是海淀区优秀的青年骨干教师，这次请他们来，想就整体把握课程的一个很有必要讨论的问题---就是怎么样从整体上看待学生能力的发展，我们想就这个问题听听来自一线老师给我们提供的一些案例。
檀老师：从的教学内容中来看，应该说运算是一个很重要的很核心的一个能力问题。在这一点上，我们在集体备课过程中，做过从五个模块的整体的梳理，下面请 王肖华老师给我们简单介绍一下我们梳理的结果。
王：刚才 谭老师已经介绍了，在学习过程当中，计算能力是学生必须具备的一个非常重要的能力之一。针对前一学段，我们在必修模块学习过程中，发现学生在计算能力方面，存在很多问题，具体在以下几大方面，首先是函数部分，
第二是数列部分，第三是不等式，还有向量，立体几何和解析几何部分，下面针对在必修模块当中，每一部分学生在计算能力方面存在一些问题， 具体简单做一下说明。
首先在必修一模块当中，函数部分，讨论函数的单调性。利用函数单调性的定义来证明函数单调性，在等价变形过程当中学生存在不知道如何去等价变形，去因式分解，再就是待定系数法求一元二次函数的解析式，怎么利用初中所学到消元的思想，把三元一次方程组转化成二元一次方程组，再转化成一元一次方程求解，这个消元的思想，以及解方程的能力，有的同学参差不齐。
第三点是关于求指数函数、对数函数的定义域、值域，及相关计算问题。学生在给定相关的一元二次方程，如何来利用配方来求最值，如何利用整体代换的思想来求方程 ，以及如何针对方程当中所隐含的，根据指、对数函数，它的定义隐藏的条件如何
必修二模块当中，利用空间几何部分，空间几何部分主要涉及到计算空间几何体的面积和体积的问题，这部分主要培养学生也是训练计算能力，在这里涉及到柱、锥、台、球它的面积和体积问题，在这里如何来借助一些特殊的截面把立体几何图形转化成平面几何图形，尽而借助于直角三角形的勾股定理来构造方程，进而来求解，这个过程很多同学存在一些问题，以及如何利用公式中的变量，把变量看作一些未知数， 这是一个等式来列方程，然后求解，学生存在不同的问题。
在必修四模块当中，基本初等函数三角函数相关问题当中同角三角函数两个基本关系式，
，这两个关系式的应用问题存在很多问题。因为这两个最基本的关系式组合在一起，会形成一个把 作为一个整体，整体代换的思想在这个前提条件下，会形成二元二次方程组，这一块如何在利用消元的思想，把二元二次方程转化成一元二次方程求解的问题，化简这一块就存在很多问题。
第二点，是三角函数诱导公式以及它图象的性质，灵活应用这一块其实存在很多问题，比如，给定一个关于三角函数的一个函数， ，求这个函数的最大值和最小值，以及在取得最值的时候自变量x 值的集合，首先是整体代换的思想，把sinx作为一个整体未知数，在如何来进行配方这一块学生存在一定的问题，以及配方完了以后，根据正弦函数本身的特性--周期性，如何来求自变量 X 的集合，这一块也存在一系列的问题。
第三个问题是三角函数当中，不等式求解的广泛应用，比如求函数的定域，值域，单调区间，比较大小，以及与三角函数有关的不等式的求解等等很多方面。比如求函数 的定义域问题，还有求函数 的最值，以及对应的自变量x的集合，还有求函数 的单调递增区间等等一系列问题都需要学生都具备不等式求解的能力，以及如何来利用三角函数的性质--周期性，来进行相关的求解问题。
在必修五模块当中，解三角形涉及到正余弦定理， 这两个定理的综合应用及乡相互转化边角之间的相互转换，以及它的实际应用。这里主要是方程，如何把公式当中的变量已知其中几个，未知几个，是一个方程的问题。
张：知三求二，就是哪些能解，哪些不能解，这里包括很多过去的知识，有一些过去没有接触过。
王：比如已知两边，及其一边所对的角，利用余弦定理也可以求相应的问题，这个最终都可以转化成一元二次方程的求解问题，这是在初中的时候学生必须要具备的。
在必修五模块当中第二部分---数列部分。在这部分中方程的思想贯穿着整个数列这一章。因为数列这一部分的公式特别多 ，公式这里有一个变量，这个变量也是一个方程。比如在等差数列求和当中，知道了首项，知道了公差，知道了和，求项数的问题，就会转化为一个关于 n 的 一元二次方程求解的问题。第二方面就是平方差与立方差公式在等比数列当中的广泛应用。在等比数列当中，很多涉及到高次方程。在高次方程中如何把高次的利用整体的思想转化成低次的，这里很多需要利用平方差公式和立方差公式进行分解，最后直接或者间接转化成一元一次方程，或者一元二次方程来求解，因式分解这一块学生存在很多的问题。再就是等差数列中求最值，依然用到了配方法，也可以利用不等式求最值。在不等式部分，作差比较，在等价变形的过程中涉及到因式分解，还有配方来确定符号，因式分解和配方这部分学生也存在一些问题。在遇见二次不等式的求解，尤其是含参数的求定义域等等，那么对于给定的一个关于 x 的 方程，比如说mx 2-（1- m ） x+m=0 ，涉及到二次项的系数为一个参数的时候，首先要对这个参数要进行讨论，即分类讨论的思想， 但是他说这个方程有两个正实根，有的学生对于判别式 与两个正实根之间的关系不太清楚，还有针对根系关系也不清楚，这个也是初中教学过程当中，教师比较淡化的一点，有的学生不太清楚，所以存在一些问题。
综合上面的必修一到必修五我们前一学段所学的知识，有联系的一些主要问题有以下三个方面。首先是配方法，在初高中数学学习过程当中的地位和作用。第二点是学生具备方程的思想和解方程的能力在高中数学学习当中的重要性。第三点是不等式在各个模块当中的地位和作用。针对这三点，我们着重来谈一下我们学校在处理学生具备方程的思想和解方程能力这一部分，在不同的模块当中所处理的一些具体的情况以及我们的定位。
首先，必修一模块当中，待定系数法求一元二次函数解析式，列方程、解方程组。这个因为在初中学生具备了消元的思想，但是他们只具备一元二次方程，或者是二元一次方程组的求解，在解二元一次方程组的时候，学生只知道一个消元的思想 。在这个基础上，在给定求一元二次函数解析式是一个列完方程组以后是一个三元一次方程组，我们在学生知道消元思想这个基础上，如果把三元转化成二元，再进行消元思想把二成转化成一元，这一块继续强化和加深学生对消元思想的理解。
在必修四当中，我们刚才说了同角三角函数两个基本关系式 ，在与这两个基本关系式相关的问题，通过消元思想继续强化消元思想，在消元过程当中，我们还给学生继续强化了整体代换的思想，同时在帮助学生处理化简变成一元二次方程这个过程给学生强调了很多，因为有的学生知道去消元，但是他不知道怎么具体地去消元最后转化成一个与 或者 有关的一元二次方程。在这个基础上，有的同学在求解这一部分还比较欠缺，在初中有的学生，如果知道有公式法求解，他会很自然用最基本的方法求解出来，但是学生在因式分解这一块欠缺，我们在这个基础上，同时给学生强化了用因式分解来求解一元二次方程过程中的解决问题的能力和方法。 在数列部分也是具体针对等比数列，还有等差数列求和的问题，以及求某些项的问题，继续为学生强调整体代换的思想，如涉及到一些高次的也可以把高次的之间存在关系的比如 与 之间存在平方关系，利用整体的思想，可以借助平方差公式来因式分解， 或者针对 与 之间存在立方差关系和立方和关系，进而来因式分解，把因式分解这部分给学生强化了，因为学生在在因式分解这一块存在很多问题，最终的问题又转化成一元一次方程或一元二次方程的求解问题，继续给学生加深和熟练学生的一元二次方程求解的程度。
在空间几何部分的柱、锥、台、球的面积和体积公式。问题依然是在前面已有的基础上，继续让学生感觉到方程、方程的思想和解方程的能力在当中是占有非常重要的地位的，而且必须要具备这种计算能力，让学生有一个更深刻的理解。
檀：大家都知道， 我们今年所接到是第一批正式使用教材课程标准的学生，在义务教育的课程标准中，对于以往的大纲体系下的一些运算方面，做了适当的调整。比方立方和、差公式，再比如说因式分解中十字相乘法等等，在义务教育标准中已经淡化了它的处理。但是我们经过前期的梳理之后，发现有一些地方还需要用到它。从另一个角度来讲，我们也可以换一个角度，去用其他的思想，比方去强化学生“元”的意识。就是方程中谁作为元，这种代换，换元的思想如果从逐步强化的话，我们发现学生还是能够经过几个模块下来之后，对这部分内容有所重新认识，而且加深他们对于初中方程的一些理解，把他们初中所学习过的一些方程的解题方法和一些思想进一步提高和深化。
从我们整个五个模块教学下来，感觉到还是不用特别着急，虽然初中在这部分有一定的淡化，但是高中所用到的东西，学生还具备了一定的能力，只需要我们在随之相应的章节，有意识地突出和强化，使学生不断地加深对这部分问题的理解，还是能够达到对学生计算能力有一定的提高。
【主持人】我们特别感谢北京海淀十九中的 王老师、 谭老师给我们带来他们通过我们的必修模块，对学生运算能力发生的分析和思考， 谢谢两位老师。谢谢。
主持人：我也觉得两位老师提的特别好，我们在基层里面也感觉到， 说句实话，老师对运算是高度的重视，但是有的时候会产生这样一种认识 ----认为提高计算能力是要靠大量的练习来实现的，我个人感觉到这里面是不是都对，就是什么强度的练习能够提高，或者是仅仅凭加大强度不停的进行这种运算是不是能够达到提高运算能力的目的，我也觉得两位老师提一些您的看法。
张 老师：我觉得对于运算，只靠大量的强度来作题是不够的，也就是说他要有思维，他不能做了一遍又错，做了一遍又错，甚至养成了一些很不好的习惯，就是要有一个比较好的一个习惯。比如说 Sinx乘 3， 3一定放在 Sinx的前面，你放在后面，结果就不对了。就是这样一些不好的情况会造成，另外就要培养学生自信的能力，就是说每一步我要做的踏实，哪怕开始慢一点，但是我要自信我能作对。那么经过一段时间的积累，有自信就能做得到。否则的话，养成一个不好的习惯，光靠大量的作题使劲的作题是不行的，当然也要做一些题，特别对一些基本运算的难点要把握，比如说指数运算，它把乘法变成了加法，这是非常容易混淆的，所以这一点要特别的关注。有的东西，比如说 这个乘，就比较好做，也不太容易做错，但是加跟乘的运算就不太好掌握了。就是说抓一些比较容易出错的地方，有针对性的训练，我个人感觉比较好。
王老师：我同意 张老师的分析，第一件事，就是需要做一定量的练习这是毫不含糊，也需要做我们在中学阶段通常所说的变式训练，但在变式训练中，一定要抓住最根本的东西，就是那些不变的东西，不能就变成一种技巧性的展示，实际上我们任何一个变式，都有那些不变的东西，我觉得这是本质的东西，这是需要关注的第一件事。
第二件事，在做运算的同时，一定要把算理的想清楚，逐渐让这种算理变成一种下意识的思维，这种符合规律的思维，但是如果没有一定的思考，尤其是在掌握一个新的运算法则的时候，没有这样的思考，很可能就会出大问题。
张老师：就是开始阶段的问题。
王老师：开始阶段的错误会造成后面很大的摆动。第三个问题，我觉得这是我们一起需要来考虑的问题，就是学生在哪些地方运算容易出问题，为什么出这些问题，我举一个例子，比如说符号常常容易出问题，我 和很多老师讨论过这个问题，到底为什么会出这个问题，那么发现了一个依据，我不知道老师是不是同意，就是在数学里面，一个符号常常只有一种含义，但是减号它有两种不同的含义，反映在乘法，反映在减法，反映在代数和运算中，我们都需要转化它的含义，这一点是很容易出错误的，另外我们通常所说的移项也容易出错，我觉得这就是在开始移项阶段对它的算理缺乏一个正确的引导，它算理是什么呢？就是说在等式的两边，同加同减一个数，等号不变，你才能把等式右边的一项转到左边，实际上你是通过运算来实现这件事情。所以我觉得这种习惯的形成不是说异号只是一个口诀，尤其是在我们学生在这佛教出问题的时候，老师应该在算理上给以指导。所以我个人觉得，这三件事，我们都要关注。
而第三件事，我特别希望我们一起来思考，这样来提高我们整个中国的计算水平，我觉得这是我们数学教育工作者的一个基本的任务。
主持人：对于运算我们分析完了，跟运算特别接近的上一讲也提到了就是算法，也是与运算很接近的一件事情，请 张老师帮我们分析一下算法在整个高中课程中的地位和作用。
张老师：算法从这次新课标、从名词来看好像是新增加的，实际上不是，它始终在我们数学领域一直存在的，从我们在小学就学过，比如最大公约数，还有初中学的像消元法，这些都是算法， 算法实际上是为完成一件事情有限步的一个通性通法，它要求你、告诉你第一步怎么做，第二步怎么做，第三步怎么做，什么时候结束这个事做完了，就是这样一个通性通法，所以就算法本身来说，它始终是整个数学的一个核心，始终贯穿在其中。从我们中国古代开始，中国的古代没有逻辑论证推理，但是它始终有一种算法这样一种构造行为的数学。所以对我们数学老师，不应该害怕，实际上我们只是把它提出一个名词来，把我们过去的引申来做的，而且我们这样整个高中的大量的问题都是有算法的。所以我们在这次高中课程里，我们绝不是在必修里面，那 12个学时讲算法，我们希望把这样的一个算法思想在整个高中课程里总结出来。比如说我们讲完了一元二次方程式，就希望把一元二次不等式的算法给总结出来，讲完线性规划，把线性规划的算法提出来。讲一个点到一个平面的距离的步骤、算法，要让学生能够在这些表面看起来一个一个个别的问题，总结出通性通法，这是一个指导思想。所以我们要认识到这样一个构造性的东西，不但是因为计算机的出现，使它越来越凸显出来，而且在数学里面，始终是一个非常重要的。
王老师：就 张老师这个分析，我非常的同意。上一节课，我们曾经提到，在数学为什么要讲算法，它的重点是什么，这一点我们上节课已经强调了。
算法实际上有两个组成部分，一个是它本身所需要的理解的一些基本知识，比如算法的基本思想，算法的基本结构、基本语句，而在这三个基本里面，最关键的是结构，因为结构就把我们整个解决问题的过程讲的非常的清晰、准确、直观，我觉得这三个词非常的重要，清晰、准确、直观，因为一个框图，我们看一遍就知道它是解决什么问题的，所以我觉得这是算法的知识层面。 另外，刚才 张老师反复强调的，算法渗透在对整个数学的认识过程中，刚才 张老师举了很多的例子 ，我再说的稍微细一点，比如说线性规划的问题，一旦判定一个问题是线性规划的问题，第一步，确定目标函数，目标函数一般都是 Z=AX+BY+C这种形式，即用线性的形式表达出来，其中有两个未知数，然后我们要问，这个目标函数的定义域是什么，用线性规划的语言就是它的约束的条件是什么，尽而我们需要把这个体现规划问题的约束条件找清楚，第三步要把这些约束条件用二元一次不等式表示出来，构成一个二元一次不等式组，下面一个步骤我觉得是老师不应该忽视的，要把这个二元一次不等式组的图、区域定性的勾画出来。}