极坐标与参数方程；一、知识总结1、极坐标；??2?x2?y2；?x??cos??；★极坐标与直角坐标的转化??y；?y??sin??tan??(x?0)；x?；★圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别；⑴??a⑵??2acos?⑶???2acos?⑷；⑷?sin??a⑸?sin???a⑹?cos(?；★圆的参数方程圆心为(a,b)，半径为r的圆的普；
极坐标与参数方程
一、 知识总结 1、 极坐标
★极坐标与直角坐标的转化
?y??sin??tan??(x?0)
★圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a?0)：
⑵??2acos?
⑶???2acos? ⑷??2asin? ⑸???2asin?
⑹??2acos(???) ★直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴???0⑵?cos??a⑶?cos???a
⑷?sin??a⑸?sin???a⑹?cos(???)?a 2、参数方程
★圆的参数方程圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x?a)2?(y?b)2?r2，
?x?a?rcos?
它的参数方程为：?(?为参数)。
y?b?rsin??
★椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，椭圆的标准方程为??2+??2=1，
其参数方程为?(?为参数)。
★直线的参数方程经过点M0(x0,y0)，倾斜角为?(??
)的直线l的普通方程是y?y0?tan?(x?x0),
?x?x0?tcos?
(t为参数)。 参数方程为?
?y?y0?tsin?
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程为
?x?x0?tcos?
(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段?
?y?y0?tsin????????
M0M的数量，当点M在M0上方，t＞0；当点M在M0下方，t＜0；当点M与M0重合时，t=0。
其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．
1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tB?tA＝○
tB?tA)2?4tA?tB．
2．线段AB的中点所对应的参数值等于○
二、 典型例题 ★坐标变换
、平面直角坐标系中，将曲线?y?sin?（?为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1 ．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为??4sin?，求C1和C2公共弦的长度．
?x?2cos?，
26．已知曲线C1：?（?为参数），曲线C2t为参数）．
y?2sin??（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线C1?，C2?．写出C1?，C2?的参数方程．C1?与C2?公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
★极坐标的相关题型
x?4?5cost,（t为参数）1、已知曲线C1的参数方程为?，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立?
?y?5?5sint,
极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2、（ 2012辽宁）在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2:?x-2?+y=4
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示）
（2）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程
★参数方程与普通方程相结合――线性型参数
A,B两点.（1）
求圆C及直线l的普通方程.（2
3、在直角坐标系xOy
lt为参数)．在极坐标系(与直角坐标系
xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴
)中，圆C的方程为ρ
=θ． (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B．若点P的坐标为(3
4、已知直线l
（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
5、在直角坐标系xOy中,
?的直线l与曲线C:x?y?1相交于不同的两点
M,N.(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;
的取值范围.
★参数方程与普通方程相结合――三角型参数
1、已知曲线C:?，直线l:?(cos??2sin?)?12．
⑴将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．
2、设点M,N分别是曲线??2sin??
求动点M,N间的最小距离.
13．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
11．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?(?为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半
y?3sin??轴为极轴的极坐标系中．曲线C
（１）分别把曲线C1与C2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线． （２）在曲线C1上求一点Q，使点Q到曲线C2的距离最小，并求出最小距离．
22．设椭圆E
(1)设y?sin?,?为参数,求椭圆E的参数方程;(2)点P?x,y?是椭圆E上的动点,求x?3y的取值范围.
?x?4?cost,?x?2cos?,
33．已知曲线C1：? （t为参数）， C2：?（?为参数）。
y??3?sint,y?4sin?,??
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II）若C1上的点P
对应的参数为
Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:2x?y?7?0（t为参数）距离的最大值。
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高考数学 高频考点归类分析 《极坐标与参数方程》（真题为例）
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资料概述与简介
极坐标与参数方程典型例题：
例1. （2012年上海市理4分）如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则
【考点】点斜式直线方程的应用，直角坐标与极坐标互化。
【解析】∵该直线过点，与极轴的夹角，
∴该直线的直角坐标方程为：，即。
根据直角坐标与极坐标的关系，，代入上式，得
例2. （2012年北京市理5分）直线 (t为参数)与曲线 (“α为参数)的交点个数为
【答案】2。
【考点】参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。
【解析】将参数方程化为直角坐标方程：
将直线方程的两式相加，得：
将曲线方程的两边平方后相加，得 ，它是圆心在（0，0），半径为3的圆。
由点到直线的距离公式，得圆心（0，0）到直线的距离为 ，它小于圆的半径。
∴直线与圆相交，有两个交点。
【也可用一元二次方程根的判别式求解】
例3. （2012年天津市理5分）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则
【答案】2。
【考点】参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质。
【分析】∵，可得抛物线的标准方程为，∴焦点。
∵点的横坐标是3，则，∴点，。
由抛物线的几何性质得。
∵，∴，解得。
例4. （2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是
【答案】。
【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。
【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。
∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。
例5. （2012年广东省理5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为　　▲　　。
【答案】（1,1）。
【考点】参数方程。
【解析】曲线C1的普通方程为：；曲线C2的普通方程为：。
∴曲线C1与C2的交点坐标为（1,1）。
例6. （2012年江西省理5分）曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为
【答案】。
【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，转化与化归的数学思想的应用。
【解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，
又∵，∴。
例7. （2012年湖北省理5分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为
【答案】。
【考点】极坐标方程，参数方程，曲线的交点。
【解析】射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为。
联立方程解得。∴线段AB的中点的直角坐标为。
例8. （2012年湖南省理5分） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则
【答案】。
【考点】直线的参数方程、椭圆的参数方程。
【解析】将曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得：
曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；
曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为。
由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知。
例9. （2012年陕西省理5分）直线与圆相交的弦长为
【答案】。【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。
【解析】将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。
例10. （2012年全国课标卷理10分） 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【答案】解：（1）∵正方形的顶点都在：上，
∴点的极坐标为。
∴点的直角坐标为：
（2）设，则。
∴的取值范围。
【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。
【解析】（1）由正方形的性质，首先求得的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。
（2）根据两点间距离公式，求出的表达式即可求出其取值范围。
例11. （2012年福建省理7分）选修4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，
故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x。
（Ⅱ）因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0。
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交。
【考点】极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离，直线和圆的位置关系。
【解析】（Ⅰ）求出点P的平面直角坐标，即可求出直线OP的平面直角坐标方程。[（Ⅱ）求出直线l的平面直角坐标方程和圆心坐标、半径，将圆心到直线l的距离与半径比较即可。
例12. （2012年辽宁省理10分）在直角坐标中，圆，圆。
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆
的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。
【答案】解：（I）由，以及可知：
圆的极坐标方程为=2；
圆即的极坐标方程为。
∴圆的交点坐标为。
（II）由和圆的交点坐标得圆交点的直角坐标为
故圆的公共弦的参数方程为（）。
【考点】直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成。
【解析】（I）利用 ，以及，直接写出圆，的极坐标方程，求出圆，的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）。
（II）求出两个圆交点的直角坐标，直接写出圆与的公共弦的参数方程。
例13. （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得。
∴圆的圆心坐标为（1，0）。
∵圆经过点，∴圆的半径为。
∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。例. （2012年广东省文5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的
参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为
【答案】（2，1）。
【考点】参数方程，曲线上点的坐标与方程的关系，同角三角函数关系式。
【解析】由（为参数，）两式平方后相加，得；
由两式相减，得。
二者联立，得，解得或。
∵，∴舍去。
∴曲线和曲线的交点坐标为（2，1）。例. （2012年湖南省文5分）在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a=　　▲　　.
【答案】。
【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。
【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程，
∵曲线C1：与曲线C2：的一个交点在极轴上，
∴与轴交点横坐标与值相等。
由，知＝。
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