分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）
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文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M 选修2-3& 1.1第一课时 分类加法计数原理与分步计数原理
一、1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(　　)A．182　　　&B．14　　 　C．48　 　　&D．91[答案]　C[解析]　由分步计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C.2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为(　　)A．13种& &&B．16种& C．24种& &&D．48种[答案]　A[解析]　应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是(　　)A．24& &&&B．81& C．6& &&&D．64[答案]　D[解析]　由分步乘法计数原理得43＝64，故选D.4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法(　　)A．720种& &&B．7776种 C．360种& &&D．3888种[答案]　B[解析]　每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　)A．8种& &&B．9种 C．10种& &&D．11种[答案]　B[解析]　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为(　　)A．2 000& &&B．4 096& C．5 904& &&D．8 320[答案]　C[解析]　可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个．7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)&A．26& &&&B．24C．20& &&&D．19[答案]　D[解析]　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D.8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(　　)A．42& &&&B．30& C．20& &&&D．12[答案]　A[解析]　将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)．9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为(　　)A．34& &&&B．43& C．12& &&&D．24[答案]　C[解析]　显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C.10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有(　　)A．16种& &&B．15种& C．14种& &&D．13种[答案]　C[解析]　解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)．[答案]　24[解析]　可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个．12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．[答案]　36[解析]　另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛 ，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)[答案]　48[解析]　本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种．&[答案]　16[解析]　五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题15．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？[解析]　(1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种；(2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种．16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．[分析]　由题目可获取以下主要信息：(1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6；(2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决．[解析]　按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；…x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．[点评]　本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类．17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？[解析]　将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？[解析]　(1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个． 文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M
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《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》说课稿
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《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》说课稿 渝水一中 钟木云 我说课的题目是《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，接下来我将从教材分析、教学目标、教学对象、教法学法和教学过程设计分析这几个方面进行说课。 一、教材分析： && 1、教材地位： 本节课是高中数学选修2-3（北师大版）第一章计数原理中&1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，本小节共需2课时，这节课是第一课时。 先说本章及本节的教材地位。计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。它们不仅是推导本章排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预备知识。因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。 & 2&& 教学目标 知识与技能： ①通过实例，总结两个基本计数原理；正确理解&完成一件事情&的含义； ②初步学会区分&分类&和&分步&； ③会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。 过程与方法： ①通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号问题），得出解答后，利用&探究&引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理； ②通过简单应用使学生初步熟悉原理； ③最后通过&探究&引导学生将原理推广到更加一般的情形； ④初步学会区分&分类&和&分步&。 情感目标： ①体会数学来源生活，并为生活服务，以此激发学生学习本章的兴趣； ②使学生通过概括两个基本原理及推广，进一步加深特殊与一般的关系； ③通过&分类&和&分步&让学生初步学会将复杂问题进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，达到化难为易，化繁为简。 3 、 教学重点与难点 && 重点：归纳地得出分类加法原理与分步乘法计数原理；正确认识分类与分步的特征； && 难点：正确理解&完成一件事情&的含义，能根据具体问题的特征，正确选择分类加法原理与分步乘法计数原理； &4、学情分析： &&& 在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，即一个一个的数；在初中概率学中也学过树状图，也可解决这种问题。但当这个数很大时，列举法就很难实施， 二、教法与学法： 1、 教学方法 &结合本节教材及学生的实际，我认为本节课宜采用问题式、螺旋上升为主的教学方法，引导学生自己获取新知识。首先先通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号、不同路线的问题），得出解答后，利用&探究&引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理，接着再配以简单应用以使学生初步熟悉原理，最后通过&探究&引导学生将原理推广到更加一般的情形。 && &2、学法： 现代教育理论告诉我们：教师的教为了不教。针对这一点，结合上述教学方法，通过本节学习，主要教给学生，面对复杂问题时，初步学会将它进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，达到化难为易，化繁为简。同时发展学生探究解决问题的能力，归纳的能力，推广结论的能力，逐步养成良好的思维品质。 && &3、教学辅助手段： &&& 建构主义理论认为，是知识意义的主动建构者。只有通过自己的亲身体验和合作、对话等方式，才能真正完成知识意义的建构。 &&& 为了节省时间，腾出更多的时间给学生探索、思考、交流、归纳，真正将课堂还给学生；同时也为了方便学生将两个计数原理的例子，进行比较。特制作幻灯片这一辅助教学手段。 三、教学思路： 首先先通过解决两个典型的、学生熟悉的实例（座位编号、不同路线的问题），得出解答后，利用&探究&引导学生分析两个问题的共同特征，然后再抽象概括出分类加法计数原理，鼓励学生再举出一些生活中类似的分类计数问题的例子，接着再配以简单应用以使学生初步熟悉原理，最后通过&探究&引导学生将原理推广到更加一般的情形。至于分步乘法计数原理，则采用通过与分类加法计数原理对比，通过比较出真知。 四、教学过程： （一）分类加法计数原理 &1、展示两个学生熟悉的实例： 问题1座位编号思考： 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题2 不同路线思考： 从新余地到宜春，乘大众交通工具，可以乘火车，也可以乘汽车。如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从新余到分宜共有多少种不同的走法？ &&& 教师通过多媒体展示问题，节省板书时间，腾出足够时间让学生阅读、思考、回答，通过解决问题，激发学生的求知欲。通过设置问题1、2，引出下面探究的问题。将问题的解决板书在黑板上 。补充这一题是学生生活中并不陌生的问题，通过两个问题，使学生能更好地完成下面的探究，更好地概括出分类加法计数原理。 2、展示书p3 探究： 你能说说这两个问题的共同特征？ &&& 学生思考、讨论、交流，归纳概括问题的共同特征，试着叙述分类加法计数原理；教师适当引导学生，帮助学生概括到&分类&和&加法&。 归纳得出分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有n=m+n种不同的方法。 给出原理时要强调：要明确 &完成一件事情&。 3、展示书p3例1、在1，2，3，&，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 安排例1主要是巩固加法计数原理的简单题，较简单，引导学生自己分析完成。重点放在引导学生分析其中的&完成一件事情&是什么。通过例题的简单应用，使学生初步熟悉原理。 4、展示讨论题： 假如仅选择末位是0的数，则完成了这件事吗？ 同样的，假如选择末位是5的数，则完成了这件事吗？ 设置讨论引导学生归纳分类加法计数原理特点：分类加法计数原理中的&完成一件事有两类不同方案&，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务。是不受其他类的限制的，即类与类互不相容。 5、展示书p3旁白 &&你能举出一些生活中类似的分类计数问题的例子？ 鼓励学生举例，适当评价与补充，特别注意让学生思考回答&完成一件事情&是什么。使学生体会&学以致用&，进一步理解原理。 6、展示书p3探究： 如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种&不同方法，那么应当如何计数呢？ （二）分步乘法计数原理 1、展示两个学生熟悉的实例： 书p3座位编号问题1： 用前6个大写英文字母和1&9九个阿拉伯数字，以a1, a2,&，b1, b2,&的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 补充不同路线问题2： 从新余地到宜春，需要经过分宜。从新余到分宜有5条路，从分宜到宜春有6条路。从甲地到乙地，有多少条不同的路？ 并回答： ①你能列出问题1所有的号码吗？ ②从你所列号码中，你发现了什么规律？ ③问题2呢？ ④这两个问题于前面分类加法的两个引例有什么不同？ 让学生阅读、思考、回答，通过解决问题，激发学生的求知欲。通过设置问题1、2，引出下面探究的问题。将问题的解决板书在黑板上 。通过设置问题1、2，与分类加法计数问题比较，引出分步计数问题。 学生利用以前学过树形图（树状图）列出号码，教师适当个别辅导。 引导学生概括&每一个大写英文字母都能和9个数字中的任何一个组成一个号码，先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样的两个步骤&。 2、展示书p4 探究： 你能说说这两个问题的共同特征？ 归纳概括分步计数问题的共同特征，得出分步乘法计数原理。先让学生思考、讨论、交流，试着叙述分步乘法计数原理；教师适当引导学生，帮助学生概括到&分步&和&乘法&。 得出分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有n= m&n种不同的方法。给出原理时要强调：要明确 &完成一件事情&。 3、展示例2：（补充） 设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 由于本例题属于简单题，引导学生自己分析完成。重点放在引导学生分析其中的&完成一件事情&是什么。通过这个例题的简单应用，巩固基本原理，使学生初步熟悉原理。 4、展示讨论： 假如只选择了男同学参加比赛，则完成了这件事吗？ 同样的，只选择了女同学参加比赛，则完成了这件事吗？ 归纳与小结：分步乘法计数原理中的&完成一件事需两个步骤&，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤，在每个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。即各个步骤是相互依存的，只有依次完成每个步骤才能完成这件事。 5、展示问题： 你能举出一些生活中类似的分步计数问题的例子？ 鼓励学生举例，适当评价与补充，特别注意让学生思考回答&完成一件事情&是什么。使学生体会&学以致用&，进一步理解原理。 6、展示书p5探究： 如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 教师引导学生类比两步不同方案的情形，让学生给出答案。通过&探究&引导学生将原理推广到更加一般的情形，加深对原理的理解。 （三）练习：p5& 1、2 利用原理解决简单问题，使学生逐步熟悉原理。 学生独立完成，个别辅导，教师提问 &完成一件事情&是什么 （四）小结： &&& 通过例题1、2，师生一起总结： 1、解决有关计数原理的题目，首先要能正确回答&完成一件事情&是指什么； 2、分类加法计数原理中的&完成一件事有两类不同方案&，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务。是不受其他类的限制的，即类与类互不相容。 3、分步乘法计数原理中的&完成一件事需两个步骤&，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤，在每个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。即各个步骤是相互依存的，只有依次完成每个步骤才能完成这件事。 &&&& 通过小结加深本节课学习的内容，进一步熟练两个计数原理。 （五）布置巩固型作业： 1．课本p5的习题1.1a第1，2，3题 2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答 五、板书设计（略）
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理适用学科适用年级全国课时时长（分钟）60知..分类加法计数原理与分步乘法计数原理适用学科适用年级全国课时时长（分钟）60知识点教学目标教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点?弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”教学过程课程入考点1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案相关文档rardocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理说课稿一、说教材分析：&&&1、教材地位：本节课是高中数学选修2-3第一章计数原理中1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，本小节共需4课时，这节课是第一课时。先说本章及本节的教材地位。计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预备知识。因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。&&由于本节课是本章的第一节课，虽然正确运用两个计数原理是本章的重点，但由于学生要达到会用的境界，需要经过一定的应用性训练的。且《数学教育学》告诉我们，在定理、原理的教学中，尽量先让学生通过对具体实例的观察、
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