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一条高中数学问题已知（1+1/2x）^n展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x).an(x),a(n+1)(x)设F(X)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x).+nan(x)+(n+1)a(n+1)(x)1,若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求n的值?2,求证：对任意x1,x2∈［0,2］,恒有│F(X1)-F(X2)│≤(n+2)×2^(n-1)
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（1）由题意可得 ak（x）=Ck-1n?(12x)k-1,k=1、2、3,…n+1,故a1（x）,a2（x）,a3（x）的系数依次为 C0n=1,C1n?12=n2,C2n(12)2=n(n-1)8．再由2×n2=1+n(n-1)8,解得 n=8．（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+nan（x）+（n+1）an+1（x）=C0n+2C1n?（12x）+3C2n?(12x)2+（n+1）Cnn?(12x)n,∴F（2）=C0n+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn．设Sn=C0n+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn,则有Sn=（n+1）Cnn+nCn-1n+…+3C2n+2C1n+C0n．把以上2个式子相加,并利用Ckn=Cn-kn 可得 2Sn=（n+2）[C0n+C1n+C2n+…+Cnn]=（n+2）?2n-1,∴Sn=（n+2）?2n-2．当x∈[0,2]时,由于F′（x）＞0,∴F（x）在[0,2]上是增函数,故对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）=2n-1（n+2）-1,命题得证．
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扫描下载二维码已知n=a0+a1x+a2x2+-+anxn(n∈N*)．(1)若a=-1.n=2012.求)iai的值,(2)当a=1时.(i)若n=8.求a0.a1.a2.-.a8中奇数的个数,(ii)若其奇数项的和为A.偶数项的和为B.求证:A2-B2=(1-x2)n,(iii)若n≥3.a1.a2.a3.a4为展开式中四个连续的项的系数.求证:a1a1+a2+a3a3 题目和参考答案——精英家教网——
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已知（1+ax）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）．（1）若a=-1，n=2012，求2012i=0（-1）iai的值；（2）当a=1时，（i）若n=8，求a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数；（ii）若其奇数项的和为A，偶数项的和为B，求证：A2-B2=（1-x2）n；（iii）若n≥3，a1，a2，a3，a4为展开式中四个连续的项的系数，求证：a1a1+a2+a3a3+a4=2a2a2+a3．
考点：二项式系数的性质
专题：综合题,二项式定理
分析：（1）当a=-1，n=2012时，可求得a0=C02012，a1=-C12012，a2=C22012，a3=-C32012，…，a12，从而可得2012i=0（-1）iai的值；（2）当a=1时，（i）若n=8，可求得a0=C08=1，a1=C18=8，a2=C28=28，…，a8=C88=1，从而可得答案；（ii）依题意知，A+B为所有项的和，A-B是奇数项与偶数项和的差，从而可证得结论成立；（iii）设a1=Ckn，那么a2=Ck+1n，a3=Ck+2n，a4=Ck+3n，利用组合数公式可求得a1a1+a2=CknCkn+Ck+1n=n!k!(n-k)!n!k!(n-k)!+n!(k+1)!(n-k-1)!=11+n-kk+1=k+1n+1，同理可得，a2a2+a3=k+2n+1，a3a3+a4=k+3n+1，从而可证的结论成立．
（1）解：∵当a=-1，n=2012，∴（1-x）x+a2x2+…+a，∴a0=C02012，a1=-C12012，a2=C22012，a3=-C32012，…，a12，∴2012i=0（-1）iai=C0+C22012+…+C=（1+1）．（2）当a=1时，（i）解：若n=8，则a0=C08=1，a1=C18=8，a2=C28=28，…，a8=C88=1，∴a0，a1，a2，…，a8中奇数的个数只有a0与C88两个；（ii）证明：∵其奇数项的和为A，偶数项的和为B，∴A2-B2=（A+B）（A-B），而A+B为所有项的和，即（1+x）n，A-B是奇数项与偶数项和的差，由于展开式是奇偶相间的，那么令x=-1即可得到，所以A-B=（1-x）n，∴A2-B2=（1+x）n•（1-x）n=（1-x2）n．得证．（iii）证明：设a1=Ckn，那么a2=Ck+1n，a3=Ck+2n，a4=Ck+3n，a1a1+a2=CknCkn+Ck+1n=n!k!(n-k)!n!k!(n-k)!+n!(k+1)!(n-k-1)!=11+n-kk+1=k+1n+1，同理可得，a2a2+a3=k+2n+1，a3a3+a4=k+3n+1，a1a1+a2+a3a3+a4=k+1n+1+k+3n+1=2k+4n+1=2(k+2)n+1=2a2a2+a3（证毕）．
点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式定理的综合应用，突出考查等价转化思想、抽象思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题．
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科目：高中数学
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已知函数f（x）=sin[ωπ（x+13）]的部分图象如图，其中P为函数图象的最高点，PC⊥x轴，且tan∠APC=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的取值范围．
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设集合A={x|x2+2x=0}，非空集合B={x|x2+ax+a2-4=0}，其中x∈R，如果B⊆A，求实数a的取值范围．
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已知椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1），圆O：x2+y2=a2，过原点的射线与椭圆C和圆O分别交于M，N两点，且|MN|的最大值是1．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）过圆O上动点Q作椭圆的两切线，斜率分别为k1，k2，问：是否存在点Q，使k1+2k2=0，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB=1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ+1AR=2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB=1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有．
科目：高中数学
已知函数f（x）=xx-1，求f（1+x）+f（1-x）的值．
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