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取共轭——一类复数问题的最简解
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复数的表示
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你可能喜欢江苏省苏州市第五中学高中数学教案&苏教版选修2-2&第三章《数系的扩充和复数的概念》3.2复数的四则运算（数理化网）&&苏教版
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3．2复数的四则运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的四则运算理解结合多项式的四则运算法则，理解并掌握复数代数形式的四则运算法则，并能比较两者的异同；能熟练地运用复数的四则运算法则进行运算．共轭复数理解弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系．二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________；②减法法则：______________；③乘法法则：______________；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________．(2)复数的正整数指数幂的运算律：①____________________；②____________________；③____________________．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1计算(2＋3i)＋(4－5i)－(－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：乘法运算律：；(3)；(4)；(5)；(6)例2计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)()3；(3)()6＋()6．分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用化简后，在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理．解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=；(2)原式==－1；(3)原式=＋=－2．点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i的周期性：i4n＋1=i；i4n＋2=－1；i4n＋3=－i；i4n=1()；②若，则，1，1＋0．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：①；②；③对于复数z，z是实数；④若z为纯虚数，则．例3已知复数是共轭复数，求m的值．分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数．解：由是共轭复数得：解得：从而m=1．即m=1时，是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4已知f(z)=2z＋－3i，f(＋i)=6C3i，求f(－z)的值．分析：先利用f(z)=2z＋－3i，f(＋i)=6C3i，得到复数z满足的等式，然后设z=a＋bi()，利用复数相等得到关于实数a，b的方程组，解方程组即可．解：f(z)=2z＋－3i，f(＋i)==．又f(＋i)=6C3i，=6C3i，即=6－i．设，则，，即3a－bi=6－i．由复数相等的定义知：解得：z=2＋i．f(－z)=2(－2－i)＋(－2＋i)－3i=－6－4i．点评：本题中要求f(－z)的值关键先求出z，求复数z时通常设复数，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．(5)复数的除法满足(c＋di)(x＋yi)=(a＋bi)的复数x＋yi(x，y∈R)叫复数a＋bi除以复数c＋di的商，记为：(a＋bi)(c＋di)或者．一般地，我们有==．例5已知，求实数a，b．分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到．因此我们先得将已知等式变形．解：已知左边==，右边=，所以=5－6i．由复数相等的定义知：点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法．表面上看对已知等式作如下的变形：，再施行复数运算较为简便．但事实上不如上述解答简捷．这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a，b对称的式子，因此就得到如此简捷的解法．4．自我检测(1)(1－2i)C(2C3i)＋(3C4i)－…＋(i)=______________．(2)已知复数满足则复数______________．(3)设，且为正实数，则______________．(4)复数______________．(5)复数______________．三、课后巩固练习A组若,其中为虚数单位,则_______.计算:=_______(i为虚数单位).若复数满足,则_______.设,,则的值为____.若复数z满足，则z=______________．6．已知，那么实数______________．7．如果复数是实数，则实数______________．8．若，其中a、b∈R，则=______________．9．6=______________．10．设则复数为实数的充要条件是______________．11．设复数：z1=1＋i，z2=x＋2i(x∈R)，若z1z2为实数，则x=______________．12．若复数满足方程，则______________．13．分解为一次式的乘积为______________．14．复数－7＋24i的平方根为______________．15．已知复数z满足(＋3i)z＝3i，则z=______________．16．已知复数，则______________．17．表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b=．18．计算：(1)；(2)；(3)1＋；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．19．计算：(1)(1－i)＋(2－i3)＋(3－i5)＋(4－i7)；(2)(－i)2＋(＋i)2；(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)．20．计算：(1)；(2)；(3)．B组21．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是______________．22．已知，则z100＋z50＋1=______________．23．i1i2i3i4…i2001=，(1－i)11的实部为，2001的虚部为．24．已知是实数，是纯虚数，则=______________．25．复数为纯虚数，则实数为_____．26．设复数满足，则的实部是_________．27.已知复数满足，复数的虚部为，是实数，则=―――．28．复数的虚部是______________．29．若为纯虚数，则实数a的值为______________．30．已知其中m，n是实数，则___________．31．复数的共轭复数是______________．32．复数，为的共轭复数，则____________．33．若，则复数=__________．34．设z1=2＋3i，z2=4－5i，则=______________．35．若复数同时满足－＝2，＝，则=______________．36．设z的共轭复数是，若z＋=4，z?＝8，则=______________．37．设，已知z2的实部是，则z2的虚部为．38．若f(z)=，z1=3＋4i，z2=－2＋i，则的值为______________．39．设为实数，且，求的值．40．已知x，y∈R，复数(3x＋2y)＋5xi与复数相等，求x，y的值．41．已知复数z=1＋i，求实数a，b，使．42．已知，．设，且，求．C组43．已知求．44．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求方程实根的取值范围．45．求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)是实数，且1＜≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．46．设z为虚数，是实数，且－1＜w＜2，若设z=a＋bi(b≠0)．(1)求a2＋b2的值，及a的取值范围；(2)设，求证：u为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．知识点题号注意点复数的四则运算1～30，39能熟练地运用运算律进行复数的四则运算．共轭复数31～38，40～42弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系，会用共轭复数的性质解题．综合问题43～46注意复数知识的综合运用以及复数与其它知识的综合．四、学习心得五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0，∴由(2)得，代入(1)得d2－abd＋b2c=0．以上解法是否正确?请给出你的评价．
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