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弯曲应力 (1)
第五章 弯曲应力弯曲应力主讲教师: 邹翠荣第一节 纯弯曲平面弯曲: 所有外力（包括力、力偶、分布载荷）都作 用梁的同一主轴平面内时，梁弯曲后其轴线将在主轴平 面内弯曲成一条平面曲线。PPaPPaPP假设1：梁的各纵向纤维间无挤压，所有与轴线平行的 纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩。 假设2：各个横截面变形后仍保持为平面,并仍垂直于变 形后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角 度。――梁在纯弯曲时的平截面假设。P A a FS M BP CDaP (+) Pa (+)(-)P剪切弯曲（横力弯曲）： 纯弯曲：梁在纯弯曲的情况下所有横截面仍保持为平面只 是绕中性轴作相对转动且每根纵向纤维都处于轴向拉 伸或压缩的简单受力状态。纵向对称面受压区 中性轴 受拉区 中性轴二、梁横截面上的正应力变形中性层平面假定应变分布物性关系应力分布静力方程中性层应力公式1二、梁横截面上的正应力1、变形几何关系：2、物理关系：y ???纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力， 当正应力没有超过比例极限时，应用胡克定理：y ?? ? E? ? E ??c横截面上任意一点处的正应力与该点距中性 轴的距离成正比。即：正应力沿截面高度成线 性规律分布。纵向纤维的线应变与它到 中性轴的距离成正比。 ?max：发生在横截面上、下边缘点，中性轴上各点的 正应力为零。3、静力学关系：y ? ? E? ?N ? ? ? ? dA ? 0A? E ? ?dAyA?0正应力公式变形几何关系 物理关系 静力学关系MM? y?dAA?0SZ ? 0??y?横截面对Z轴静矩为零z dA ZA（确定中性轴位置） 中性轴通过截面形心 2 y ? ? E? ? E ? y 令： I Z ? ?A y d A? ? E?1? ?Ey?My IZWZ ? IZ ymax???M EI Z??M WZM z ? ? y? ? d A ? ME?M EI ZAy?Ey??dA ? M?IZ ? M1??? ?A M?y ? ? IZEy 2d A ? M梁在纯弯曲时其横截面上任意点处的正应力计算公式? ?My IZ? max ?梁在纯弯曲时其横截面上任意点处的正应力计算公式WZ：抗弯截面模量。 量刚：mm3或m3常见截面的 IZ 和 WZb第三节 横力弯曲时的正应力平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。bh2 Wz ? 6Wy ? hb2 6h ybh3 Iz ? 12zIy ?hb3 12横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的 横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之 间发生挤压。按纯弯曲理论得出的正应力计算公式 当： l ? 5 计算剪切弯曲梁横截面上的正应力误 h 差不超过1%。dz yI z ? I y??d 464Wz ? W y ??d 332剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式： M ?x ? M ?x ? ? y ? ?x ?max ? ? ?x ? ?IZWZ2例题1： 简支梁受力如图所示，计算当梁按(1)、(2) 两种情况放置时，(竖放、平放) 求：m--m截面上点（1）、（2）处的正应力30 1M ? max ? ? 100 MPa WZ例题2：梁横截面为空心圆截面,承受正弯矩60kN.m作用。 试求：横截面上点 a、b 和c 处的弯曲正应力abP ? 5kNmP ? 5kNmC60DAB2 yz 20zcy100200解：由正应力计算公式： M?y ?? IZ? 3.14 D4 ? d 4 ? 200 4 ? 100 4 ?10 ?12 64 64 ? 73.6 ?10 ?6 m 4IZ ?????180M180? (1) max ?+ 900N.mM 900 ? ? 50 MPa(压) WZ 1 30 ? 60 2 ?10 ?9 6?a ??c ?M ? y 60 ?103 ? 50 ?10 ?3 ? ? 40.75MPa(压) IZ 73.6 ?10 ?6? ( 2) ?M?y 900 ? 20 ?10 ?3 ? ? 33.3MPa 1 IZ 30 ? 603 ?10 ?12 12M ? y 60 ?103 ?100 ?10 ?3 ? ? 81.5MPa(拉) IZ 73.6 ?10 ?6?b ? 0例题3： T型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受 负弯矩3.1kN.m。试求:该梁的最大拉应力和最大压应力。150 75 125 50 y 50 z 150第四节 弯曲时的剪应力一、矩形截面梁A BZ?1 确定形心yc ? 150 ? 50 ? 25 ? 150 ? 50 ?125 ? 75mm 2 ?150 ? 50xdxC2 截面对中性轴的惯性矩：假设：横截面上剪应力的分布规律： 1、横截面上剪应力方向平行于剪力FS。 2、剪应力沿截面宽度均匀分布。z150 ? 50 3 50 ?150 3 IZ ? ? 150 ? 50 ? 50 2 ? ? 150 ? 50 ? 50 2 12 12 ? 53.13 ?10 ?6 m 4? (max? )M ? y1 3.1?103 ? 75 ?10 ?3 ? ? ? 4.37 MPa IZ 53.13 ?10 ?6M ? y 3.1?103 ?125 ?10 ?3 ? ? ? 7.29MPa IZ 53.13 ?10 ?6? (max?)FSCy第四节 弯曲时的剪应力一、矩形截面梁的剪应力q( x)F h b弯曲时的剪应力:FNI ? ? ? dA ?A*M My dA ? Iz I A* z?A? y dA ?*A*M * Sz IzM ? dM * Sz Iz( M ? dM ) y M ? dM FNII ? ? ? dA ? ? dA ? Iz Iz A* A*? ydA ?xq( x)dxFNII ? FNI ? ? ? bdxM ?dM * M * Sz ? Sz ? ? ? b d x Iz Iz??* dM Sz I zb d xM ( x)M ( x) ? d M ( x)z?* FS S z I zb??My IzCL8TU16 yFNIFNII3梁弯曲时横截面的剪应力：??FS ? S Z IZ ?b1. 矩形截面剪应力分布：? ?式中 I Z ?b h3 , 12* SZ ?? b ? h2 ? y2 ? ? 2? 4 ?FS S Z IZb?: 横截面上任意点处剪应力 FS ：横截面上的剪力。 IZ:整个横截面对中性轴的轴惯性矩 b: 所求点处的受剪宽度 SZ: 所求点处横线以外部分面积 对中性轴的静矩。??? 6 Fs ? h 2 ? ? y2 ? 3 ? ? bh ? 4 ?h? max ?? max3 Fs 3 Fs ? 2 bh 2 Azb2、工字形截面??F ?? S ht?1max ?* FS S Z IZb在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况较复杂， 但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于 FS方向的剪应力分量，它与腹板上的 剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大 部分弯矩。??max对于标准工字钢梁：?max? 1? ?* FS S z FS ? ? h ? ?? FS ? ?? ? ? ? ?h ? ? ? I z ? ? I ? ? ???? ? ? 2 2 ?? 2 I z zO? max ??min* Fs S Z maxIZ b?yFs ? IZ ? b? * ? ?S ? ? Z max ?例题4：由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示。 试求：胶合面上的1、2点处剪应力和总剪力。P=3kN 2 1 1m?? ?例题5:试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力，(2) 此截面最大正应力,(3)全梁最大正应力、最大剪应力。q ? 60 kN m1100z 150 yIZ ?F S ?? ? S Z IZbS Z ? 100 ? 50 ? 50 ? 25 ?10 4 mm3bh 100 ? 150 ? ? 281 ? 105 mm4 12 123 330A12AZ解： RA ? RB ? 90kN1 M 1?1 ? 90 ? 60 ? ? 60kN .m 21801 ?11m? 1?1(1、 2) ?2m120Y 1 ?13 ?10 ? 25 ?10 FS S Z ? ? 0.267 MPa IZb 281 ?10 ?7 ?100 ?10 ?33?5? ? ? ? ? 0.267 MPa 剪应力互等定律：胶合面上的总剪力： Q ? ? ? A ? 0.267 ? 106 ? 1? 100 ? 10 ?3M ? y 60 ?103 ? 60 ?10 ?3 ?12 ? ? 61.7 MPa（压） IZ 120 ?180 3 ?10 ?12 3 M 60 ? 10 ? 6 ? 1?1max ? ? ? 92.6MPa WZ 120 ?180 2 ?10 ?9 1 2 FS max ? 90kN M max ? ql ? 67.5kN .m 8? max ?? 26.7 kN? max ?FS max S z max 90 ?103 ? 90 ?120 ? 45 ?10 ?9 ?12 ? ? 6.25MPa 120 ?180 3 ?10 ?12 ?120 ?10 ?3 I zb67.5 ?10 ? 6 M max ? ? 104 MPa WZ 120 ?180 2 ?10 ?934梁的强度条件1、正应力强度条件： ? max ?M ? ?? ? WZ脆性材料：由于[?拉]?[?压]，为了充分利用材料，通 常将截面做成不对称于中性轴的形状。塑性材料：由于塑性材料的[?]拉=[?]压，为使最大工 作拉应力和压应力同时达到[?]，梁截面通常做成对 称于中性轴：? max? ?? max?M max ? y1 ? ?? ? ? IZ? max?y1 y2 y zM ?y ? max 2 ? ?? ? ? IZ设计时尽量使中性轴靠近受拉边。塑性材料正应力强度条件： ? max ?? max?M max ? ?? ? WZ对脆性材料进行强度校核时,不仅需要验算最大弯矩所 在截面上的应力情况,有时还需验算与最大弯矩符号相反 的较大弯矩截面上的应力情况.图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］ =160MPa，2、剪应力强度条件：校核该梁的强度。10 kN / m200? maxF S ? S max z max ? ?? ? I zb2m4m100解：由弯矩图可见20( ?)M max ? 20kN ? m(?)M ( kN ? m)1125 .3?t ?M max 20 ? 10 ? Wz 01 . ? 0.2 2 6? 30MPa& [? ]该梁满足强度条件，安全一外伸工字梁，工字钢型号为22a，梁上荷载如图所示， 已知：l=6 m，材料的许用应力[?]=170MPa.[?]=100MPa. 试验算该梁是否安全。 WZ ? 0.309 ?10 ?3 m3 I Z ? 0.189 m d ? 7.5mmS Z max例题8：图示简支梁由N020a工字钢制成，在外荷载作用下，测得横 截面C处梁底面的纵向正应变为?=3.0?10-4,E=200GPa,a=1m. 试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力WZ ? 237 ?103 mm 3 I Zq=6kN/mP=30kN首先求支反力RA ? 29kN，RB ? 13kNqS Z max? 172 mm d ? 7mm解： 首先求支反力RA ? 1 3 qa，RB ? qa 4 4qa2画出剪力、弯矩图l/3 FS 17 + M 12 12 + 39 13 l/2 l/2M max ? 39kN .m FS max ? 17kNM 39 ? 10 3 ? max ? Wz 0.309 ?10 ?3FS max S max 17 ? 10 3 ? I zb 0.189 ? 7.5 ? 10 ?3根据虎克定律：A a FS + Mqa/4? ? E?a/2CB a/2? C ? 200 ?10 9 ? 3.0 ?10 ?3 ? 60 MPa MC 正应力计算公式： ? C ? W zM C ? 60 ?10 6 ? 237 ?10 ?6 ? 14.22 kN .m2 又由弯矩图可知：M C ? 8 qa? max? 126 MPa ? ?? ? ? 170 MPaqa2/4+3qa2/43? max ?qa2/32-3qa/4q ? 37.92kN / m? max ?M max? 12 MPa ? ?? ? ? 100 MPa全梁安全? max ?FS max Smax 0.75 ? 37.92 ?103 ?1 ? ? 23.6MPa I zb 172 ?10 ?3 ? 7 ?10 ?3M max 0.75 ? 37.92 ?103 ?12 ? ? 120 MPa Wz 237 ?10 ?63 ? qa2 45悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可 切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 Mpa,[τ]=1MPa，求 F 许可载荷。 解： 1.画梁的Q、M图z5050 50梁的截面为N010工字钢,B点由圆杆CD支承.已知 :圆杆的直径 d=20mm，梁及圆杆材料相同[?]=160MPa。试求：许用均布荷载 [q]=？ 解： 首先求约束反力 D??1mQM Fl2.按正应力强度条件计算 许可载荷RCD ? 2.25q?? ? ?? ?F100? max ??F1 ??σ ?bh26lM max 6 F1 l ? ? ?? ? Wz bh 2根据CD杆的轴拉强度条件：A 2m MN 2.25q ? ? 160 ?10 6 A 1 ? 20 2 ?10 ?6 410 7 ?100 ?150 2 ?10 ?9 ? 3750 N ? 3.75kN 6C3.按切应力强度条件计算许可载荷6 ?6? max ? 3FS / 2 A ? 3F2 / 2bh ? ?? ?1m q/2BM max ? q 2q ? 22.kN / mM max ? ?? ? WzF2 ? 2?τ ?bh/ 3 ? 2 ?10 ?100 ?150 ?10 / 3 ? 10000 N ? 10kN? max ?4.按胶合面强度条件计算许可载荷?? ?* FS S Z ? IZb?h? F3b? ? ? 3 ? ? 4 F3 ? ?? ?? bh 3 3bh b 1225.梁的许可载荷为F3 ? 3.825kNM ? 0.75q ? 0.75 ? q ? 0.752 ? 1 1 ? q ? 0.752 ? q 2 2F3 ? 3.75kN1 21 q 2 ? 160 ? 10 6 49 ? 10 3 ? 10 ?9q ? 15.7kN / m?q? ? 15.7 kNmT 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。?? t ? ? 30MPa, ?? c ? ? 60MPa, 试校核梁的强度。52（ 3 ）作弯矩图 （ 4 ）B截面校核z2 .5kN.m4kN.m? t ,max ?884 ?103 ? 52 ?10 ?3 ? 27.2MPa ? ?? t ? 7.64 ?10 ?6解： （ 1 ）求截面形心yc ? 80 ? 20 ?10 ? 120 ? 20 ? 80 ? 52mm 80 ? 20 ? 120 ? 202 .5kN.m4kN.m? c,max ?y4 ?103 ? 88 ?10 ?3 ? 46 .1MPa ? ?? c ? 7.64 ?10 ?6（ 5 ）C截面校核? t ,max ?2.5 ?103 ? 88 ?10 ?3 7.64 ?10 ?6 ? 28.8MPa ? ?? t ?（ 2 ）求截面对中性轴z的惯性矩Iz ? 80 ? 203 20 ?120 3 ? 80 ? 20 ? 42 2 ? ? 20 ?120 ? 282 ? 7.64 ?10 ?6 m 4 12 12梁的受力如图,材料的[?+]=40MPa，[?-]=100MPa。试按正应力强度 条件校核梁的强度.若将此截面倒置（外力不变）此梁是否合理. q=10kN/m A 2m FS M 20 20 +IZ ?q=10KN/mA B 10 + 20 20 -P=20KN 61 C 10 + 10 D 13920030 ? max? ?CP=20kN B 3m C 1m D 61 139200 30Cz? 69 MPa ? ?? ? ? 40 MPa 170M ? y2 20 ?103 ?139 ?10 ?3 ? IZ 40.3 ?10 ?6z 170Z?Q M10 + 10yC ?30 yM max ? ?20kN .m M ? ? 10kN .m30 y此梁放置不合理30 ? 200 ?185 ? 170 ? 30 ? 85 ? 139 mm 30 ? 200 ? 170 ? 30B 截 面 C 截 面? max? ?? max? ?M max ? y1 20 ?103 ? 61?10 ?3 ? ? 30.2MPa ? ?? ? ? ? 40MPa IZ 40.3 ?10 ?6M max ? ?20kN .m，M ? ? 10kN .m10M max ? y2 20 ?103 ?139 ?10 ?3 ? ? 69MPa ? ?? ? ? ? 100 MPa IZ 40.3 ?10 ?6:? ?? ? maxM ? ? y2 10 ?103 ?139 ?10 ?3 ? ? 34.5MPa ? ?? ? ? 40MPa IZ 40.3 ?10 ?6200 ? 303 30 2 30 ?170 3 170 2 ? 200 ? 30 ? （61 ? ） ? ? 30 ?170 ? （ 139 ? ） ? 40.3 ?10 ?6 m 4 12 2 12 2? ?? ? maxM ? ? y1 10 ?103 ? 61?10 ?3 ? ? 15.1MPa ? ?? ? ? 100 MPa IZ 40.3 ?10 ?6此 梁 安 全:6图示槽形截面悬臂梁,[?+]=40MPa,[?-]=120MPa。 试校核其强度P=10kN M=70kN.m 3m 40 25 153.6 30 + 25 200 z 50 150 y 10 3m 首先确定截面形心位置：150 ? 50 ? 25 ? 2 ? 200 ? 25 ?150 yC ? ? 96.4mm 2 ? 25 ? 200 ? 150 ? 50150 ? 50 3 2 ? 150 ? 50 ? ?96.4 ? 25? 12 25 ? 200 3 2 ? 2? ? 2 ? 200 ? 25 ? ?153.6 ? 100 ? 12 ?6 4 ? 101.8 ?10 m IZ ?? ? ??P=10kN M=70kN.m 3m 40 25 153.6 30 + 25 10 3m? 45.3MPa ? ?? ? ? ? 40 MPaM ? ? y2 30 ? 10 3 ? 153.6 ? 10 ?3 ? IZ 101.8 ?10 ?6? ? ??? 28.4 MPa ? ?? ? ? ? 120 MPaM ? ? y1 30 ? 10 3 ? 96.4 ? 10 ?3 ? IZ 101 .8 ? 10 ?6M max ? 40kN .m，M ? ? ?30kN .m? max?C此梁不安全 200 z 50 150 y96.4Z?? ?? ? ? ? 40 MPa M ?y 40 ? 10 3 ? 153.6 ? 10 ?3 ? max ? ? max 2 ? IZ 101 .8 ? 10 ?6M ? y 40 ?10 3 ? 96.4 ?10 ?3 ? max 1 ? ? 37.8MPa IZ 101.8 ?10 ?696.4CZ?? 60.3MPa ? ?? ? ? ? 120 MPa图所示铸铁梁的横截面为T字形，已知容许拉应力[? ? ] ? 40MPa ，容 许压应力 [? ? ] ? 100MPa ，容许切应力 [? ] ? 35MPa ，横截面的形心坐标 为 yC ? 157.5mm ，对中性轴的惯性矩 为 I Z ? 6.01?10?5 m?4 。 试校核梁 的正应力强度和切 应力强度。 （20分，河海大学， 2005 ）在横截面上 y1 ? 72.5mm y2 ? 157.5mm 通过内力图得到梁的 A截面上有最大剪力、最大负弯矩及D截面上有 极值弯矩，分 别为 FS max ? 20kN M max ? 20kN ? m M ' ? 10kN ? m 根据脆性材料强度 条件进行强度计算： A截面上:? ?m ax ?FAFBM m ax ? y1 20 ? 103 ? 72.5 ? 10 ?3 ? Iz 6.01 ? 10 ?5 M m ax ? y2 20 ? 103 ? 157.5 ? 10 ?3 ? Iz 6.01 ? 10 ?5 ? ax ? y1 10 ? 103 ? 157.5 ? 10 ?3 Mm ? Iz 6.01 ? 10?5? 24.1MPa ? 40 MPa? ?m ax ?? 52.4 MPa ? 100 MPa首先求出A、B两处约束反力D截面：? ?m ax?? 26.6 MPa ? 40 MPaFA ? 30kN, FB ? 10kN梁的最大切应力校核，? max ?157.5 3 ?9 FS ? S Z 20 ?10 ? 30 ?157.5 ? 2 ?10 ? ? 4.1MPa ? [? ] ? 35MPa IZ ? b 6.01?10?5 ? 30 ?10?3做出剪力图、弯矩图安全图示，长度AB=2BC=2a，矩形横截面的边长分别为b， 2b，材料的 弹性模量 为E。梁上受铅直均布力作用，其集度为q，梁重不 计。 试求：（ 1）作剪力图与弯矩图；（2）梁内最大正应力 与最大切应 力；（3）梁下边缘的总伸缩。 （25分，浙江大学， 2005 ） 解：求约束力、绘制内力图 FA ? 0.75qa 梁内最大正 应力： ? m ax ? 梁内的最大剪 应力：? maxFB ? 2.25qaM m ax 0.5qa 2 a2 ? ? 0.75q 3 2 3 Wm ax b b 3 F 1.25qa a ? s max ? 1.5 ? 0.94q 2 A 2b 2 b?l l已知简支梁 弯矩方程和弯矩图如图示，求：（1）画出梁上的载荷 z c 为形心轴， 图和剪力 图:(2） 设梁的截面 为T形,尺寸如图， a=1m, q ? 100kN / m 求梁的 横截面上最大拉应力和最大 压应力.（18分，西安交通大 学，2007 ）由胡克定律： ?? E? ? E解：根据 弯矩图给出的数值确定 A、B处约束反力。M ( x) Wz 3 1 ? 3 (? qx 2 ) 2 2bAB、CB段下 边缘弯曲应力方程：? ( x) ?M ( x) Wz 3 1 ? 3 (0.75qax ? qx 2 ) 2 2b? ( x) ?1 1 FA 2a ? qa2 ? qa2 2 621 FA ? qa 3FB ? 2 qa 3a 3 ? 2a 1 2 1 2 ? ?0 ? (0.75qax ? 2 qx )dx ? ?0 (? 2 qx )dx ? 梁下边缘总的伸长量: ?l ? 2b 3 E ? ?0 ?2 1 ?2 ? 2 FA a ? q? a ? ? qa2 3 2 ?3 ? 97设梁的截面 为T形,a=1m, q ? 100kN / m 求梁的横截面上最大拉应力 和最大压应力. 截面对中性 轴的惯性矩 ：IZ ? 200 ? 803 50 ? 1603 ? 200 ? 80 ? 402 ? ? 50 ? 160 ? 802 ? 10.2 ? 10?5 m4 12 12正方形界面悬臂梁如图所示，梁的跨度 为l，横截面边长为a，弹性 模量E，自由端受对角方向P力的作用。试求：（1）梁顶1-1纵向纤 维长度的改 变量?l,（2）梁横截面上的最大正应力和最大剪应力。解：（1）首先写出梁的弯矩方程：M ( x) ? Px ? Pl（15分，大连理工大学， 2000 ）P 1 1aaP根据梁任意横截面上的正 应力计算：?( x ) ?M( x ) a4 12 2 a 2 ? 6 2 ( Px ? Pl ) a3最大负弯矩 A截面：? ? max1 ?100 ?103 ? 80 ?10?3 M y ? max 1 ? 2 ? 39.2MPa IZ 10.2 ?10?5l?? max1 ?100 ?103 ?160 ?10?3 M y ? max 1 ? 2 ? 78.4MPa IZ 10.2 ?10?5胡克定律：?l ?( x ) ? ?( x ) ? l E则全梁的纵向 变形量：?l ? ?l 0正弯矩截面：? ? max2 ?100 ?103 ?160 ? 10?3 M ' y1 9 ? ? ? 34.9MPa IZ 10.2 ?10?56 2 ( Px ? Pl ) 3 2 Pl dx ? ? 3 a3E a E在计算时也可从自由端往左写 弯矩方程进行变形的计算梁的上边缘受拉伸长量 为：3 2 Pl a3EA 1m60 280y2y1F=80 kN?B y1 O y 220 zC2m24 ? 220 3 Iz ? ? 24 ? 220 ? (210 ? 110) 2 12 220 ? 60 3 ? ? 60 ? 220 ? (280 ? 210 ? 30) 2 12 6 ? 99.2 ? 10 mm 460 280y2跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[ ?t ]=30 MPa 许用压应力 [ ?c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定 T字 形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。截面对中性轴的惯性矩为?O y 220 z?c,maxO z?t,max解： 根据截面最为合理的要求y1 [? t] 30 1 ? ? ? y 2 [? c] 90 3梁上的最大弯矩 M max ? 最大压应力为? c, max ?yc ? y1 ? 70 mmFl 80 ? 2 ? ? 40 kN ? m 4 4220 ? 60 ? 30 ? (280 ? 60) ? ? ? (60 ? 110) yc ? ? 70 (280 ? 60)? ? 220 ? 60M max y2 40 ?103 ? 210 ?10-3 ? ? 84.7 MPa Iz 99.2 ?106 ?10-12M max y1 40 ?103 ? 70 ?10-3 ? ? 28.2 MPa Iz 99.2 ?106 ?10-12? [? c ]最大拉应力为? t,max ?得? ? 24 mm? [? t ]180图示槽形截面铸铁梁.已知:b = 2m,截面对中性轴的惯性矩 Iz=,铸铁的许用拉应力[ ?t ]=30 MPa，许用 压应力[ ?c ] =90 MPa。试求梁的许可荷载[F ] 。120 4040Fb/2120 C 形心 86 134 zF A FAb134CbB FB Fb/2bD180C 形心86q=F/bzFb/4 考虑截面B ：? t,max? F ? 2 / 2 ? ? ?86 ?10?3 ? M y ? B 2 ? ? 30 MPa Iz 5493 ??104 ?10-12-3 M B y1 ? F ? 2 / 4 ? ? ?134 ?10 ? ? ? 90 MPa Iz
?10-1220y 20F ? 19.2 kN F ? 73.8 kN20F 4y 207 F 4解：1、梁的支反力为FA ?? c,max ?FB ?考虑截面C：? t,max ?[ F ] ? 19.2 kNF ? 24.6 kNFb/4? 发生在截面B M maxFb ? 2发生在截面CM? maxFb ? 4M C y1 ? F ? 2 / 4 ? ? ?134 ?10 ? Iz
?10-12-3? ? 30 MPa因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制8第六节 提高梁的强度的主要措施设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件： 下面分别讨论提高梁强度的几个问题 （一）、梁支承的合理安排与荷载的合理布置 1、梁支承的合理安排：ql 4l 62、荷载的合理布置：Pl lPP2lPq?P2l2 llqll2?0 .138 Pl4?Pl 4?Pl 8?Pl8l0.025ql0.025ql 2??0.125ql 2??如何用最大起重量为五吨的吊车吊 起十吨重的重物？0.025ql 2（二）、梁的合理截面：（1） 提高抗弯截面模量WZ，可提高梁的强度。 一个合理截面形状应该是：Wz值较大而面积A较小。 即Wz与A的比值越大，截面越合理。h b y z2 ? bh b Wz ? 6截面是否合理，还需考虑截面横截面面积。 所以，用抗弯截面模量与面积的比值来衡量。b h z1 2 bh WZ ? 6 ? 0.167 h A bhd3 WZ 32 ? ? 0.125d ? 0.125h ? 2 A d 4z h y?? ? WZWZ WZ ? ? h bhb2 6yd z??y截面竖放比 横放抗弯能力强Wz ? WZ??其它截面：K：表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数。凡是截面面积离中性轴较远的，这种截面系数值越高。WZ ? k ?h A（三）、等截面梁：使梁横截面沿轴线变化，以达到各横截面的 最大正应力都等于许用应力. 即：（2）、根据材料的特性选择截面尺寸塑性材料：选择对称于中性轴的截面，使最大拉、 压应力同时达到许用应力。 脆性材料：使中性轴靠近受拉边。中性轴最理想 位置是最大拉、压应力能同时达到许 用应力 。?（x）max ?M（x） max ? ?? ? WZ（x）WZ（x） ?M（x） max?? ?? 最大拉应力 y1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 最大压应力 y2 ?? ? ? ? ? ??下面以塑性材料制作的矩形横面悬臂梁 为例，说明等截面梁的设计方法：9Pxh （ x）b （ x）几种等截面梁 ：xxM （x）? P ? xWZ（x）? 1 2 b h （x） （x） 6b为常数：h为常数：6? P? x ? ?? ? 2 b h （x） （x）2 h （x） ?6P ? x b?? ?b （x） ?6P ? x h 2 ?? ?WZ（x）??d 332?M （x）?? ??薄壁构件弯曲剪应力切应力流Q工字形截面??* FQ S Z IZb圆形截面??* FQ S Z IZb??FQ ht?1max ???max* FQ S Z ?y ? IZb?max? 1? ?* FS S z FS ? ? h ? ?? FS ? ?? ? ? ? ?h ? ? ? I z ? ? I ? ? ???? ? ? 2 2 ?? 2 I z zO? max ?y?min4 FQ 3A10圆环形截面* FQ S Z ?? IZb切应力公式应用－弯曲中心? max ? 2Q maxFQ A弯曲中心 :薄壁杆件横向弯曲变形时，只有当横向力通 过截面内的某一特定点时，杆件才只有弯曲无扭转 变形。这一点称为弯曲中心。弯曲中心确定:薄壁截面上所有剪应力对某点O取矩为零，则该点即为弯 曲中心合力向截面形心简化结果 向弯曲中心简化结果弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。 (2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。 (3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心 与两矩形长中线交点重合。 (4)求弯心的普遍方法：? QSz 求任意一点剪应力 : τ ? bI zC C开口薄壁杆件剪应力流、弯曲中心详见刘庆潭多媒体软件中的《开口薄壁梁横截面上剪应力流与 弯曲中心》。C Qy C向形心简化 : M C???A(?dA) d 力臂求弯心到形心距离 e :M C ? eQ ye11本 章 总 结1、学习了梁正应力、剪应力的计算 2、学习了建立正应力、剪应力的强度条件 M M?y 塑性材料正应力强度条件： ? max ? 3、学习了如何选择梁的合理截面 ? M max WZ IZ ? max ? ? ? 4、中性轴和中性层的概念 W Z Z 脆性材料正应力强度条件： ? max? 受压区 M ?y ? max? ? max 1 ? ? ?Z y 1 IZ z M max ? y 2 ? y ? 2 ? max? ? ? ?? IZ y ? Q 中性层 受拉区 max M ? 中性轴 设计时尽量使中性轴靠近受拉边。强度条件 塑性材料正应力强度条件： 脆性材料正应力强度条件：? max ??M max ? ?? ? WZ? ?Q?S ?I ? ? b? ?? ?? max? ?M max ? y1 ? ?? ? ? IZ? max?y1 y2 y z? max?M ?y ? max 2 ? ?? ? ? IZ? max?设计时尽量使中性轴靠近受拉边。向 弯 曲 中 心 简 化 结 果向 形 心 简 化 结 果合力12
弯曲应力习题1_工学_高等教育_教育专区。习题 6-1. 矩形截面悬臂梁如图所示, 已知 l=4m, h/b=2/3, q=10kN/m, [?]=10MPa,试确定此梁横截面的尺寸。...6 弯曲应力 1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的,并被 推广到横力弯曲的场合。横截面上正应力公式为 ?? Mjy Iz M Wz ...200 mm ,欲 将其中段 AB 弯成 ? ? ?? m 的圆弧,试求所需载荷,并计算最大弯曲正应力。 1 M 解: ? 而 M ? Fa F ? EI A B ?d4 EI C I? ...第六章 弯曲应力(Ⅰ) 6.1.1 平面弯曲变形的定义是( )。(A)梁弯曲变形后横截面仍保持为平面 (B)梁弯曲变形时荷载均匀作用在同一平面内 (C)梁弯曲变形后的...弯曲应力_建筑/土木_工程科技_专业资料。定义:弯曲应力简单的说即弯曲产生的应力。 弯 曲应力分为正应力和切应力。 相关知识点: 1)受弯构件横截面上有两种内力...第六章 弯曲应力(习题解答)_理学_高等教育_教育专区。6-3、图示矩形截面梁受集中力作用,试计算 1-1 横截面上 a、b、c、d 四点的正应力。 解: (1)外力...6材料力学习题解答(弯曲应力)_理学_高等教育_教育专区。6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示,已知 l=4 m, b / h =2/3,q=10 kN/m,[?]=10 MPa,试确 定此...第5章 弯曲应力_建筑/土木_工程科技_专业资料。第 5 章弯曲应力判断正误 1. 直径为 D 的圆形截面挖去一个边长为 a 的正方形如图所示,该截面对轴 z 的弯曲...理论力学[1](第七版)课后题... 210页 5财富值 材料力学-弯曲应力 59页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进...梁的弯曲的有关计算梁的弯曲的有关计算隐藏&& 1、矩形截面梁的切应力 : ? ? FQ S Z I zb , 工字型截面梁的切应力: ? max ? FQ S z I zb ? FQ...
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1．如图所示，工字钢梁受弯时，其截面上正应力沿截面高度分布图，哪个正确?
【说明】图示截面，正应力，即正应力大小与计算点到截面中性轴的距离成正比。
2．矩形截面梁在y向荷载作用下，横截面上剪应力的分布为：
【说明】矩形截面在剪力作用下，最大剪应力出现在截面中部。
3．如图所示矩形截面梁在纯扭转时，横截面上最大剪应力发生在下列何处?
(C)截面四个角顶点
(D)沿截面外周圈均匀相等
【说明】进行截面梁在纯扭转时，横截面上最大剪应力发生在长边中点。
4．在下列四个结构支座的计算简图中，哪一个是固定铰支座?
【说明】(A)所示为可动铰支座或滚轴支座，(B)所示为固定铰支座或铰支座，(C)所示为定向支座，(D)所示为固定支座。
5．如图所示。连续梁的中间支座可产生哪几种反力?
(A)可产生Rx、Ry&&&&
(B)可产生Rx、Ry、M
(C)可产生Ry&&&&
(D)可产生Ry、M
【说明】图示支座为可动铰支座，只能提供竖向反力Ry。
6．下面关于支座与结点的论述，哪项错误?
(A)铰支座A表示结构可以绕A点转动，但A点的水平位移和竖向位移被限制
(B)滚轴支座A表示允许结构绕A点转动，又允许结构沿平行支撑面方向滑动，但A点处垂直支撑面的移动则被限制
(C)刚支座的特征是结点处各杆之间可以相互传递弯矩
(D)铰节点的特征是结点处各杆都可以绕铰结点自由转动
【说明】刚支座的特征是支座处的水平、竖向位移以及转动位移均被限制。表述的是结构与约束之间的关系，而非节点处各杆之间的关系。}