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在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-4x=0的圆心为Q，过点P（0，-4）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B。（1）求k的取值范围；（2）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由。
题型：解答题难度：中档来源：0108
解：（1）由题意知，圆心Q坐标为（2，0），直线AB方程为：y=kx-4，利用圆心到直线的距离公式得：∴。（2）假设存在满足条件的实数k，则设，联立，得，∴，且，又，，∴，∴，即，解得：，又，∴不存在常数k，使得向量与共线。
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-4x=0的圆心为Q，过点P（0，-..”主要考查你对&&直线与圆的位置关系，向量共线的充要条件及坐标表示&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与圆的位置关系向量共线的充要条件及坐标表示
直线与圆的位置关系：
由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 其图像如下： 直线和圆的位置关系的性质：
（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。直线与圆位置关系的判定方法：
(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由&推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．△&0则直线与圆相交；△=0则直线与圆相切；△&0则直线与圆相离．(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离 d&r则直线和圆相交；d=r则直线和圆相切；d&r则直线和圆相离．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.
直线与圆位置关系的判定方法列表如下：
直线与圆相交的弦长公式：
（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长。设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|= （2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
发现相似题
与“在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-4x=0的圆心为Q，过点P（0，-..”考查相似的试题有：
340006624861553170568281293975629274& 轨迹方程知识点 & “（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动...”习题详情
160位同学学习过此题，做题成功率80.6%
（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．（2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．①求圆C的方程；②若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．（2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线...”的分析与解答如下所示：
（1）设出中点M的坐标，由中点坐标公式得到P点坐标，把P的坐标代入圆的方程即可得到M的轨迹；（2）设出N点坐标，由ON和AC垂直利用斜率之积等于-1得轨迹方程；（3）①由题意设出圆心坐标，求出曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点，由两交点到圆心距离相等求出圆心坐标，则圆的方程可求；②联立圆C与直线x-y+a=0，化为关于x的一元二次方程后利用x1x2+y1y2=0求解a的值．
解：（1）设中点M坐标为（x，y），由中点坐标公式得动点P的坐标为（2x-4，2y-3），将P点坐标代入圆得到的关于x、y的方程，就是中点M的轨迹方程（因为点P在圆上）．即（2x-4）2+（2y-3）2=4；（2）设中点N坐标为（x，y），圆心为O，则ON⊥AC，且圆心坐标为（0，0），于是 由kAC=y-3x-4，kON=yx，因为ON⊥AC，所以kACokON=-1，即y-3x-4oyx=-1，整理得（x-2）2+（y-32）2=254；（3）①根据题意，可设圆心为（3，b）．由y=x2-6x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±2√2所以，（3-0）2+（b-1）2=（±2√2）2+b2，解得b=1，则（±2√2）2+b2=9所以，圆C方程为（x-3）2+（y-1）2=9②设坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），A、B同时满足直线x-y+a=0和圆（x-3）2+（y-1）2=9联立方程组把y消去，得2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0由已知有A、B两个交点，即方程两个解，则△=56-16a-4a2＞0，因此有x1+x2=4-a，x1x2=a2-2a+12③由OA⊥OB可知，x1x2+y1y2=0，且y1=x1+a，y2=x2+a，即x1x2+a(x1+x2)+a2=0④把④代入③解得a=-1，将其代入△=56-16a-4a2进行检验，△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．
本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆相交的性质，解答的关键是灵活运用圆的对称性，考查了一元二次方程的根与系数的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
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（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．（2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．（3）在平面直角坐标系xO...
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经过分析，习题“（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．（2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线...”主要考察你对“轨迹方程”
等考点的理解。
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轨迹方程．
与“（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．（2）自定点A（4，3）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线...”相似的题目：
动点P（x，y）到定点F（1，0）与到定直线，x=2的距离之比为&√22．（Ⅰ）求P的轨迹方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l（与x轴不重合）与（Ⅰ）中轨迹交于两点M、N．探究是否存在一定点E（t，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
与y轴相切，且与圆x2+y2-4x=0也相切的圆的圆心轨迹方程为&&&&．
已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使，，成公差小于零的等差数列．（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x，y），记θ为与的夹角，求tanθ．&&&&
“（1）一个动点P在圆x2+y2=4上移动...”的最新评论
该知识点好题
1已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若MN2=λANoNB，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（　　）
2点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）
3已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（　　）
该知识点易错题
1若动点P到定点F（1，-1）的距离与到直线l：x-1=0的距离相等，则动点P的轨迹是（　　）
2已知点A（-1，0）和圆C：（x-1）2+y2=16，动点B在圆C上运动，AB的垂直平分线交CB于P点，则P点的轨迹是（　　）
3（2007o黄冈模拟）如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是（　　）
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1.75亿学生的选择
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．
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1.75亿学生的选择
（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x-9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为2，1＝|-9k+ka-b|1+k2∴2)2，1＝216-(|-9k+ka-b|1+k2)2∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64-2)2=λ2[16-2)2]∴[64-a2-16λ2+λ2（a-9）2]k2+2b[a-λ2（a-9）]k+64-b2-λ2（16-b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a2-16λ2+λ2（a-9）2=0，2b[a-λ2（a-9）]=0，64-b2-λ2（16-b2）=0同时成立，①如果b=0，则64-16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a-λ2（a-9）=0，显然a=9不满足，从而2＝aa-9，3a2-43a+192=0，△=432-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，1＝27，∴1＝2也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时 P（18，0），直线与圆外离，舍去．
为您推荐：
（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．
本题考点：
直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．
考点点评：
本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．
扫描下载二维码（2012o北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；
若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点A（-，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．
（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|--0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|--0|=；
（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（-，）．解答思路同上．
解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|--0|=≠2，
∴|0-y|=2，
解得，y=2或y=-2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”解答，此时|x1-x2|=|y1-y2|．即AC=AD，
∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴-x0=x0+2，
此时，x0=-，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，
此时C（-，）；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则
故E（-，）．
--x0=x0+3-，
解得，x0=-，
则点C的坐标为（-，），
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（2014o宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y-1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为______．
杰拉德·5uOm
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由题意，圆x2+（y-1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y-1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵CP＝2-11-0=1，∴kAB=-1，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0．
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求出圆心坐标，利用圆x2+（y-1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，求出直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程．
本题考点：
直线与圆的位置关系．
考点点评：
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．
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