变轨问题是近几年常遇到的一类问题，例如2009年山东高考18题：日至28日我国成功实施了“神舟”七号" />
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变轨问题中径向加速度的两种求解方法分析
2013年7期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　变轨问题是近几年常遇到的一类问题，例如2009年山东高考18题：日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ） 中国论文网 /9/view-4305772.htm　　A.飞船变轨前后的机械能相等 　　B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 　　C.飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 　　D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 　　试题给出的答案：BC。其中D选项是关于变轨问题中径向加速度问题。对D选项存在着不同的看法，争议产生的原因是采用了不同的方法来确定加速度的大小。 　　方法一、利用牛顿第二定律a=来确定径向加速度的大小。 　　飞船变轨前通过椭圆轨道远地点P点时，只受万有引力作用，万有引力的大小F=G。由牛顿第二定律得，飞船变轨前通过椭圆轨道远地点P点时的加速度a1==G；飞船变轨后沿着圆形轨道通过P点时，同样只受万有引力作用，万有引力的大小为F2=G。由牛顿第二定律得，飞船变轨前通过圆形轨道到达地点P点时的加速度a2==G；由于r1=r2，所以飞船变轨前沿椭圆轨道远地点P时的加速度a1等于变轨后沿圆轨道运动到P点时的加速度a2，因此上题中的D选项错误的。由于加速度是由物体受到外力引起的，也是由物体所受外力决定的，无论是物体做什么运动，用方法一（牛顿第二定律）得到的结论无疑是正确的。这是处理变轨问题最可靠也是最简洁的方法。 　　方法二、利用加速度公式a=来确定。 　　设飞船变轨前通过椭圆轨道远地点P点时速度为v1，远地点P到地心的距离为r1；飞船变轨后沿圆形轨道2运动到P点时速度为v2，P到地心的距离为r2，由加速度表达式a=可以得到飞船变轨前通过椭圆轨道远地点P时的加速度a1=；飞船变轨后沿着圆形轨道通过P点时的加速度a2=，由于r1=r2，v1<v2，所以a1　　用两种方法得到的结果是不同的，方法一得到的结论无疑是正确的，显然是方法二出现了问题。那么方法二的问题出现哪里呢？现分析如下： 　　事实上，当物体做曲线运动时，径向加速度的大小的一般表达式为a径=，式中的ρ为曲率半径。在圆周运动中，圆周上任意一位置的曲率半径均等于圆的半径（此处不再证明），所以对于在轨道2是做圆周运动的物体而言，其径向加速度表达式为a径2==，式中r2是圆的轨道半径。根据物体做圆周运动的条件G=m，可知：G=m。显然对圆周运动而言，方法一和方法二两种方法得到的结果是相同的，所以两种方法得到的结果都是正确的。但是在椭圆运动中，远地点P处的曲率半径不再是卫星到地球的距离r1，认为在远地点处的径向加速度a1=的看法是错误的。那么如何运用a径=确定椭圆轨道中远地点处的径向加速度呢？ 　　首先确定在远地点P处的曲率半径ρ。 　　设椭圆的方程为+=1（式中a椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴），根据曲率半径公式ρ=可求得椭圆轨道上远地点的曲率半径ρ=（这是个普通的数学问题，此处不再给出详细证明）。 　　其次再来确定在远地点P处的运行速度v2。确定在远地点P处的运行速度v2需要经历两步： 　　第一步：确定卫星在椭圆轨道上做圆周运动时所具有的总能量。 　　由于卫星在运动过程中只受万有引力作用，而万有引力是有心力，有心力是保守力，所以在万有引力作用下的椭圆运动，机械能是守恒的。在极坐标系下其总能量的表达式为：E=m（r2+r2θ2）-在远日点P处，有r=a+c=a（1+e），e为椭圆的偏心率；mv2-=-r=0；（r2θ）2=GM×a（1-e）2；由以上各式可得E=-=-=-利用v=rθ可得mv2-=- 　　第二步：确定卫星在远地点P处的速度 　　由上式可知，卫星在椭圆轨道上任一点处的速度满足下式：v2=-考虑到在远地点处，r=a+c，卫星在远地点处的速度满足的方程为：v22=-最后求解卫星在远地点P处的径向加速度。 　　根据a径=，考虑到E=-=-=-ρ=，v22=-，卫星在远地点P处的径向加速度a径==（2G-G）×，即a径==GM（）×注意到在椭圆中，a2=b2+c2，=GM（）×化简后有=由于r2=a+c，所以有a2=，这与用牛顿第二定律得到的结果是一致的。 　　总上所述，可得出如下结论：确定做曲线运动的物体的加速度有两种方法：一是从受力的角度，利用牛顿第二定律求加速度，这种方法任何曲线运动都成立。这种方法不仅简单，而且可靠，是高中学生处理变轨问题的基本方法；二是从运动的角度，利用曲线运动加速的通用表达式是a径=求加速度。a=是a径=运用到圆周运动中的一个推论，它仅对圆周运动成立，对椭圆运动是不成立的。运用a径=确定椭圆运动的加速度要用到许多高中学生的学不到知识，不易向学生推荐。
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求精解第一步。求椭圆离心率80分
他又没说上下顶点，你这么说只是答案碰巧对了而已
我有更好的答案
问题补充：离心率=3分之2 题目错误，椭圆离心率不可能大于1 2b=8根号5,b=4根号5 c/a=2/3 a^2-b^2=c^2 a^2-80=4/9a^2 a=12
一步到位。（1）RT△AOF内，FO=c,AO=b,则AF=a.设O到直线FA的距离为OG故e=c/a=sin∠OAF=OG/AO=(√2/2 b)
/b=√2/2 (2)感觉这么容易拿分，不好意思，所以把第二小题也做了：设点P(x,y),F(c,0)则直线PF的斜率K=1/2,即y/(x-c)=1/2又P，F的中点在直线2x+y=0上，则2*[(x+c)/2]+(y/2)=0解得:x=-3c/5,y=-4c/5代入圆的方程x&#178;+y&#178;=4,解得c=2，又e=c/a=1/√2,∴a=2√2，b=2.∴椭圆方程为x&#178;/8 +y&#178;/4=1,点P(2,0)
由距离等于二又根号二可知角fac等于45度，既b等于c，所以离心率e等于根号二分之一
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椭圆离心率的相关知识
等待您来回答& 在做这道题之前已经预先知道这道题是贪心了，但是贪心的思路却一直没想到，所以看了题解，发现做法还是很神奇的。
一个定理：
&&&&& &对于一个序列，通过交换其相邻的两个元素，一定可以变成其全排列中的任意一个序列。
演绎证明：一个简单的想法是我们可以发现冒泡排序就是这么做的，那么上述定理的正确性不高于冒泡排序的正确性。
&&&&&&&&&&&&& & &一个类&#20284;的稍微严谨的想法是，冒泡排序中每次交换等价于消除了一个逆序对，即任何一个序列必然可以通过消除逆序对变成字典序最小的排列，那么我们只需要将其过程相逆就可以得到原序列了，那么就等价于任何一个序列都可以通过不断的交换两个相邻元素得到其任一排列。
推论：讨论相邻两个元素的交换是等价于改变序列的。
&&&&&&&&对于这道题的话，宏哥发现了一个很神的东西，那就是题解的第一步了：
&&&&&&&&&&&&& & 若在一个序列中交换两个相邻元素，其影响仅存在于其相邻元素中。
那么就讨论两个相邻元素的交换好了，既然讨论改变序列是困难的。
& & & & 设七元组(P,a1,b1,a2,b2,sum,ans),(a1,b1)∈P,(a2,b2)∈P，sum是大臣1和大臣2前所有人左手上数字的乘积，ans是大臣1与大臣2所发钱财的最大&#20540;。
&&&&& & 若选择大臣1在前面，则ans=max(sum/b1,sum*a1/b2);
&&&&& & 若选择大臣2在前面，则ans=max(sum/b2,sum*a2/b1).
&&&&& & 易知，sum/b1&sum*a2/b1，且sum/b2&sum*a1/b2。
&&&&& & ∴最优解选择大臣1在前面，当sum*a1/b2&sum*a2/b1，即a1*b1&a2*b2.
&&&&& & & &最优解选择大臣2在前面，当sum*a2/b1&sum*a1/b2，即a2*b2&a1*b1
这样我们就得到贪心的策略了，即对于序列P，满足任意ai*bi&ai&#43;1*bi&#43;1,i∈[1,|P|]∩N，则其一定是最优序列之一。
&#include&iostream&
#include&cstdio&
#include&cstring&
#include&cmath&
#include&algorithm&
const int M=100000;
char * ptr=new char[M];
inline void in(hd &x){
while(*ptr&'0'||*ptr&'9')&#43;&#43;
while(*ptr&47&&*ptr&58)x=x*10&#43;*ptr&#43;&#43;-'0';
inline bool operator & (S a) const {
return ji&a.
int ans[10000],anstmp[10000],t[10000],tmpt[10000];
inline bool gtr(){
if(ans[0]&anstmp[0])return 1;
for(hd j=ans[0];j;--j)
if(ans[j]&anstmp[j])
inline void bigout(int * a){
printf(&%d&,a[a[0]]);
for(hd j=a[0];--j&0;)printf(&%05d&,a[j]);
printf(&\n&);
int main(){
freopen(&kinggame.in&,&r&,stdin);freopen(&kinggame.out&,&w&,stdout);
hd n,l,r,i,j;
fread(ptr,1,M,stdin);
for(i=0;i&n;&#43;&#43;i){
in(a[i].l);
in(a[i].r);
a[i].ji=a[i].l*a[i].r;
sort(a,a&#43;n);
for(i=0;i&n;&#43;&#43;i){
for(j=0;j&=t[0];&#43;&#43;j)
tmpt[j]=t[j];
for(j=t[0];j;--j){
tmpt[j]&#43;=tmpt[j&#43;1]*M;
anstmp[j]=tmpt[j]/a[i].r;
tmpt[j]%=a[i].r;
anstmp[0]=t[0];
if(!anstmp[anstmp[0]])--anstmp[0];
for(j=0;j&=anstmp[0];&#43;&#43;j)
ans[j]=anstmp[j];
t[1]*=a[i].l;
for(j=2,&#43;&#43;t[0];j&=t[0];&#43;&#43;j){
t[j]=t[j]*a[i].l&#43;t[j-1]/M;
t[j-1]%=M;
if(!t[t[0]])--t[0];
bigout(ans);
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