9-3三重积分的计算(2)_甜梦文库
9-3三重积分的计算(2)
第三节第九章三重积分的计算(2)一,利用柱坐标计算三重积分 二,利用球坐标计算三重积分 三,三重积分的变量替换机动目录上页下页返回结束一,利用柱面坐标计算三重积分设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ρ ,θ,则这样的三 个数 ρ ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标. z规定: 0 ≤ ρ & +∞ ,0 ≤ θ ≤ 2 π,M ( x, y, z ) ∞ & z & +∞ .xoθρP ( ρ ,θ )y机动目录上页下页返回结束柱面坐标x = ρ cosθ(x, y, z) → (ρ, θ, z)y = ρ sin θz zz=z0 ≤ ρ & +∞ ,0 ≤ θ ≤ 2 π,M(ρ,θ, z) z0 y ∞ & z & +∞ .. .θxxρNy机动目录上页下页返回结束柱面坐标的坐标面 动点M(ρ, θ, z)zzρρ =常数: 柱面Sz =常数: 平面∏ S∏M0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束z柱面坐标的坐标面动点M(r, θ, z)∏zρMρ =常数:柱面Sz =常数:平面∏θ =常数: 半平面PSP0.θyx机动 目录 上页 下页 返回 结束柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成: 半平面θ及θ+dθ ; 半径为ρ及 ρ +d ρ的园柱面; 平面 z及 z+z平面zz0θ dθ ρ ρdθdρyx机动目录上页下页返回结束柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成: 半平面θ及θ+dθ ; 半径为ρ及 ρ +dρ的园柱面;平面z+dzz平面 z及 z+dzz0θ dθ ρ ρ dθdρy.x底面积 ρ dρ dθ机动 目录 上页 下页 返回 结束柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成: 半平面θ及θ+dθ ; 半径为ρ及 ρ +d ρ的园柱面; 平面 z及 z+zdVdzdV = d x d yd z = ρ d ρ d θ d z∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ= ∫∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ , z )Ω.z0ρ dρ dθ dz.θ dθ ρ ρ dθyxdρ底面积 ρ dρ dθ机动目录上页下页返回结束例1 : 计算z x 2 + y 2 dv 其中 Ω 由球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 ∫∫∫Ω与抛物面 z = x 2 + y 2 围成.zz = 2 ρ2 x = ρ cosθ 解: 在柱面坐标系下
y = ρ sinθ
z=z ρ 2 + z2 = 2 知交线为
ρ2 = z z =1z = ρ2oy z = 1, ρ = 1,xρ 2 ≤ z ≤ 2
ρ 2 , 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π Ω:∫∫∫ z Ωx + y dv = ∫ dθ ∫ dρ ∫2 22π12 ρ 200ρ234 π zρρ dz = 105机动 目录 上页 下页 返回 结束d xd ydz 例2. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 , 其中Ω由抛物面 Ω1+ x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h ( h & 0) 所围成 . ρ2 ≤ z ≤ h h 4 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ ρ ≤ 2 h0 ≤ θ ≤ 2πρ 2dz 原式 = ∫ dθ ∫0 2 dρ ∫ ρ 4 0 1+ ρ 2 h ρ ρ2 = 2π ∫ )d ρ 2 (h
0 4 1+ ρ π2π2 hho xydv = ρ d ρ d θ d z=4[( 1 + 4h) ln(1 + 4h)
4h]机动目录上页下页返回结束例3. 计算三重积分∫∫∫Ω zx + y d xd ydz 其中Ω为由2 2柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a & 0), y = 0 所围 成位于第一卦限部分的半圆柱体.z 0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ a 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a o y 原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d z Ω 2 ρ = 2 cosθ π a 2 cos θ x ρ 2 d ρ zdz = 2 dθ∫0∫0∫04a = 32∫0π28 3 cos θ dθ = a 93dv = ρ d ρ d θ d z机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 :计算2 2∫∫∫ Ω2x 2 + y 2 + 4 z 2 dv 其中 Ω 由锥面x + y = z 与平面 z = h ( h & 0 ) 围成. z 解1: 在柱面坐标系下Ω:ρ ≤z≤h 0≤ ρ ≤h0 ≤ θ ≤ 2πoyx2π∫∫∫ Ωx + y + 4 z dv = ∫ dθ ∫ dρ ∫2 2 2hh00ρρ 2 + 4 z 2 ρ dz此积分很难求!机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 :计算2 2∫∫∫ Ω2x 2 + y 2 + 4 z 2 dv 其中 Ω 由锥面x + y = z 与平面 z = h ( h & 0 ) 围成. z 解2: 用截面法:先固定 z,0 ≤ z ≤ h , Dz = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ z 2 }∫∫∫ Ωh 0x + y + 4 z dv2 2 2Dzo= ∫ dz ∫∫ x 2 + y 2 + 4 z 2 dxdyDzyx2======极坐标∫0hdz ∫ dθ ∫02πz0ρ + 4 z ρ dρ =2π6机动( 5 5
8 ) h4目录上页下页返回结束例4 : 计算∫∫∫ Ωx 2 + y 2 + 4 z 2 dv 其z中 Ω 由 锥 面 x 2 + y2 = z 2 与 平 面z = h ( h & 0) 围成.解3: 用截面法: 先固定 θ, 0 ≤ θ ≤ 2π , Dθ = {( z , ρ ) | 0 & z & h,0 & ρ & z }DθθoyxzDθ∫∫∫ Ω0x 2 + y 2 + 4 z 2 dv2 2= ∫ dθ ∫∫ ρ + 4 z ρ dρ dz2πoρ4= ∫ dθ ∫ dz ∫0 02πDθ hz0ρ + 4 z ρ dρ =2 2π6( 5 5
8 )h机动 目录上页下页返回结束二,利用球面坐标计算三重积分设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,则点 M 可用 三个有次序的数 r,,θ 来确定,其中 r 为原 点 O 与点 M 间的距离,
为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角, θ 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 段 ON 的角,这里 N 为 点 M 在 xoy 面上的投影,这样的三 个数 r,, θ 就叫做点 M 的球面坐标.机动目录上页下页返回结束球面坐标zx = rsin cosθ y = rsin sinθ z = rcos .. .zM(r,θ,)0 ≤ r & +∞ ,r0 ≤ θ ≤ 2 π,00≤ ≤π.xyθNyx机动 目录 上页 下页 返回 结束球面坐标的坐标面动点M(r,θ,)zr =常数: 球面S =常数:S0Mrxy机动目录上页下页返回结束球面坐标的坐标面动点M(r,θ,)zCr =常数: 球面S =常数: 锥面C θ =常数: 半平面PS0M θP.xy机动目录上页下页返回结束球面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:z圆锥面 球面r+d r半径为r及r+dr的球面; 圆锥面及+drsindθrsi ndrrd球 面 r半平面θ 及θ+dθ ;r圆锥面+d0dθxdθy机动目录上页下页返回结束球面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:z半径为r及r+dr的球面; 圆锥面及+drsindθdr半平面θ 及θ+dθ ;dV = r 2 sin drdθdrdrdV∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ d=∫∫∫ f (r sin
cosθ , r sin
sinθ ,Ω0θdθ.yrcos ) r 2 sin drdθdx机动目录上页下页返回结束例 5 计算 I = ∫∫∫ ( x 3 + y 3 + z 3 )dxdydz ,其中 Ω 是球面Ωx 2 + y 2 + z 2 = 2 z ,与锥面 z =解1: 利用对称性y 3dxdydz = 0, ∫∫∫Ω Ωx 2 + y 2 所围的立体. zx 3dxdydz = 0 ∫∫∫o在球面坐标系下Ω : 0 ≤ r ≤ 2 cos , 0 ≤
≤ π , 4 0 ≤ θ ≤ 2πyxI = ∫∫∫ z dxdydz =3 Ω∫02πdθ ∫ d ∫4π2 cos 00r cos
dr3 3 231 = π 15机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5 计算 I = ∫∫∫ ( x 3 + y 3 + z 3 )dxdydz ,其中 Ω 是球面Ωx 2 + y 2 + z 2 = 2 z ,与锥面 z =x 2 + y 2 所围的立体.解2: 利用对称性z3∫∫∫ y dxdydz = 0, ∫∫∫ x dxdydz = 0 Ω Ω3z =1在柱面坐标系下Ω : ρ ≤ z ≤ 1+ 1 ρ , 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π2oyx1+ 1 ρ 2I = ∫∫∫ z dxdydz =3 Ω∫02πdθ ∫ dρ ∫01ρ31 z ρ dz = π 153机动 目录 上页 下页 返回 结束例6计算 ∫∫∫ ( x + y + z )2 dxdydz 其中 Ω 是由抛物面Ωz = x 2 + y 2 和球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 所围成的空间闭区域.解Q ( x + y + z)2z= x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx )其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数,且 Ω 关于 zox 面对称, ∴ 同理oy∫∫∫ ( xy + yz )dV = 0 ΩxQ zx 是关于 x 的奇函数,且 Ω 关于 yoz 面对称,∴∫∫∫ xzdv = 0, Ω机动 目录 上页 下页 返回 结束则 I=∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz2 Ωz= ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz ,Ω投影区域 D xy : x 2 + y 2 ≤ 1,oyx(1)在柱面坐标下:0 ≤ θ ≤ 2 π,2π 00 ≤ ρ ≤ 1, ρ 2 ≤ z ≤ 2
ρ 2 ,1 2 ρ 2 0I = ∫ dθ ∫ dρ ∫=ρ2ρ ( ρ 2 + z 2 )dzπ60(96 2
89).机动目录上页下页返回结束I = ∫∫∫ ( x + y + z )2 dxdydz = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz ,ΩΩz(2)在球面坐标下:Ω1 : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤
≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π 4 cos π Ω2 : 0 ≤ r ≤ 2 , ≤
≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π 4 2 sin oyI = ∫ dθ ∫ d ∫ r
dr4 2 2 0 0 02ππx2=π60+ ∫ dθ ∫π 2d ∫0 42ππcos
89).机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7 计算 I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz ,其中 Ω 是锥面Ωx 2 + y 2 = z 2 , 与平面 z = a解1(a & 0) 所围的立体.z采用球面坐标 a Q z=a r = , cos
π x2 + y2 = z2
= , o 4 x a π ∴Ω : 0 ≤ r ≤ , 0 ≤
≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , cos
4yI = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ d ∫2 2 Ω2π0π 4 0a cos
0r sin dr4 3= 2π ∫π 4 0π 5 1 a5 3 sin
0)d = a . 10 5 cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7 计算 I =2 2 2( x 2 + y 2 )dxdydz ,其中 Ω 是锥面 ∫∫∫Ωx + y = z , 与平面 z = a(a & 0) 所围的立体.z解22采用柱面坐标2 2Q x + y = z
z = ρ,D: x2 + y2 ≤ a2 ,oΩ : ρ ≤ z ≤ a , 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 2π ,2 2yxa 2I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ρ dzΩ2πa00ρ= 2π ∫a0π 5 a a ρ (a
ρ )dρ = 2π[a
] = a . 10 4 54 53机动目录上页下页返回结束例 8 计算 I = ∫∫∫ | x 2 + y 2 + z 2
1 | dxdydz ,其中 ΩΩ是锥面 x + y = 3z 与平面 z = 1 所围的立体.2 2 2解把区域分成两部分:球坐标zΩ 1 : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤
≤π π3,0 ≤ r ≤ 1Ω2z =1Ω1oπ31 Ω 2 : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤
≤ ,1 ≤ r ≤ cosθ 3yxI = ∫∫∫ (1
x 2 + y 2 + z 2 )dxdydzΩ1+ ∫∫∫ ( x + y + z
1)dxdydz2 2 2 Ω2机动 目录 上页 下页 返回 结束Ω 1 : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤
≤π π3,0 ≤ r ≤ 1 Ω2zz =11 Ω 2 : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤
≤ ,1 ≤ r ≤ cosθ 3Ω1oπ3I = ∫∫∫ (1
x + y + z )dxdydz2 2 2 Ω1y+ ∫∫∫ ( x + y + z
1)dxdydz2 2 2 Ω2x= ∫ dθ ∫ d ∫ (1
r )r sin dr0 3 0 2 02ππ1+ ∫ dθ ∫ 3 d ∫0 02ππ1 cos
1)r 2 sin dr=π3机动 目录 上页 下页 返回 结束例9.求曲面 ( x 2 + y 2 + z 2 )2 = a 3 z (a & 0) 所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为Ω : 0 ≤ r ≤ a 3 cos , 0 ≤
≤ π 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π利用对称性, 所求立体体积为V = ∫∫∫ dVΩr=a3a 3 cosz cos ar θ= 4 ∫ dθ2 0π∫0ππ2sin d∫0r dr2y 2 3 2 1 x = π a ∫ sin cos d = π a 3 0 3 3 2 dv = r sin dr d dθ机动 目录 上页 下页 返回 结束三,三重积分的变量替换变换 定理 设 f ( x , y , z ) 在有界闭区域 Ω 上连续 , T : x = x ( u, v , w ) , y = y( u, v , w ) , z = z ( u, v , w ) 满足(1) 将 o′uvw 中的 Ω′ 一对一的变为 oxyz 中的 Ω ;( 2) x ( u, v , w ) , y( u, v , w ) , z ( u, v , w ) 在 Ω′ 上具有一阶连续偏导数 ; ( x, y, z ) ( 3) 在 Ω′ 上雅可比式 J ( u, v , w ) = ≠ 0;
( u, v , w ) 则有 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz= ∫∫∫ f [ x ( u, v , w ), y( u, v , w ), z ( u, v , w )] J ( u, v , w ) dudvdw .Ω′机动 目录 上页 下页 返回 结束Ωx y z 例 10:计算椭球面 2 + 2 + 2 = 1所围立体的体积 a b c2 2 2 x = ar sin
cosθ 解 做广义球坐标变换
y = br sin
z = cr cos
( x, y, z ) 则 J= = abcr 2 sin
,θ ) V = ∫∫∫ dv = ∫∫∫ abcr sin
dv2ΩΩ= ∫ dθ ∫02ππ04 d abcr sin
dr = πabc 0 3∫12机动目录上页下页返回结束四,小结 柱面坐标 三重积分换元法
球面坐标(1) 柱面坐标的体积元素dxdydz = ρdρdθdz(2) 球面坐标的体积元素 dxdydz = r 2 sin drdθd (3)三重积分的换元公式――广义球坐标 (4) 对称性简化运算机动 目录 上页 下页 返回 结束作业 习题8-3(P182) 3(1)(3)(5)(7),4(1)(3)(4); 5(1)(3)(5)(7),6(2)(4) 习题8-5(P210) : 3第四节 目录 上页 下页 返回 结束思考题若 Ω 为 R 3 中关于 xy 面对称的有界闭 区域 ,f ( x , y , z ) 为 Ω 上的连续函数 , 则当 f ( x , y , z ) 关于 ____ 为奇函数时 ,zz 当 f ( x , y , z ) 关于 ____ 为偶函数时 ,2 ∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ___ ∫∫∫ f ( x , y, z )dv Ω Ω1∫∫∫ f ( x , y, z )dv = 0 ; Ω其中 Ω 1 为 Ω 在 x 面上方的部分 .机动 目录 上页 下页 返回 结束x2 y2 Ω : cz = xy ( c & 0 ) , 2 + 2 = 1 1. 计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz a b Ω 及 z = 0所围成的在第一卦限的 区域.用哪种坐标? 直角坐标Ω是曲顶柱体y上顶: z =x2 y2 Dxy: x = 0 , y = 0 , 2 + 2 = 1 a bxy c下底: z = 0围成. . .bI = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydzΩDxy0= ∫∫ dxdy ∫Dxy c0f ( x, y, z )dzax= ∫ dx ∫0ab 2 2 a x a0dy ∫xy c0f ( x, y, z )dz机动目录上页下页返回结束x2 y2 1. 计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz Ω : cz = xy ( c & 0 ) , 2 + 2 = 1 a b Ω 及 z = 0所围成的在第一卦限的 区域.zx2 y2 + 2 =1 2 a bcz=xybyo.ax机动目录上页下页返回结束x2 y2 1. 计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz Ω : cz = xy ( c & 0 ) , 2 + 2 = 1 a b Ω 及 z = 0所围成的在第一卦限的 区域.zx2 y2 + 2 =1 2 a bcz=xybyo.z=0ax机动目录上页下页返回结束x2 y2 1. 计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz Ω : cz = xy ( c & 0 ) , 2 + 2 = 1 a b Ω 及 z = 0所围成的在第一卦限的 区域.zcz=xyΩbyoa.I = ∫∫ dxdy ∫Dxy c 0f ( x, y, z )dz= ∫ dx ∫0ab 2 2 a x a 0dy ∫xy c 0xf ( x, y, z )dz.目录 上页 下页 返回 结束机动2.ΩΩ : 曲面 x 2 + y 2 = az (a & 0 ) 与 z = 2 a
x 2 + y 2 所围区域用哪种坐标? 柱面坐标I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydzΩ是曲顶柱体y上顶: z = 2a
ρ联立下底: z = aρ2. . . ρ 2 = az
ρDxy:ρ ≤ a
ρ2ρ = a 解得交线 L:
z = a0DxyaxI=D xy2π∫∫ ρdρdθ ∫ρa 0 0f ( ρcosθ , ρsinθ , z )dzf ( ρ cosθ , ρ sinθ , z )dza2a
ρ a= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ρ 2机动目录上页下页返回结束2.ΩΩ : 曲面 x 2 + y 2 = az (a & 0 ) 与 z = 2 a
x 2 + y 2 所围区域z 2aI = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz柱面坐标
ρ 2 = az 联立
ρρ = a 解得交线 L:
z = aaLρ 2 = az..0 x2ay机动目录上页下页返回结束2.ΩΩ : 曲面 x 2 + y 2 = az (a & 0 ) 与 z = 2 a
x 2 + y 2 所围区域I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz =柱面坐标
ρ 2 = az 联立 ∫∫ ρdρdθ ∫ ρ zD2π 02a
ρ2f ( ρcosθ , ρsinθ , z )dz2a ρ aaa2a = ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ρ 2 f (ρcosθ , ρsinθ , z)dz0 z = 2a
ρρ = a 解得交线 L:
z = aaLρ 2 = az..z = 0 D : ρ ≤ a .. .D0yx机动目录上页下页返回结束Ω :球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 az 与球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 (a & b & 0 ) 3. 的公共部分 .z ab0xy3.Ω :球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 az 与球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 (a & b & 0 ) 的公共部分 .计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ问题:1 用哪种坐标?z ab(球面坐标)2 要不要分块? 3 怎么分块? Ω.0把图形放大一些xy3.Ω :球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 az 与球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 (a & b & 0 ) 的公共部分 .z ab计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ联立r =2a cos r =bb 2a.交线 L处
0 = arccos交线 L.0xy3.Ω :球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 az 与球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 (a & b & 0 ) 的公共部分 .Ω计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz.z z abI1 =∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydzΩ1.Ω1.. . 0 = arccosI1 =∫2π0dθ ∫ dφ ∫ f ( r sinφ cosθ , r sinφ sinθ , r cosφ )r 2 sinφ dr0 0φ0b0.b 2axy. .3.Ω :球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 az 与球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 (a & b & 0 ) 的公共部分 .z ab计算 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩI2 =∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydzΩ2.I = I1+ I2..Ω2I2 =∫2π0d θ ∫ dφ ∫xπ 2 φ002 acosφ 0f ( rsinφ cosθ , rsinφ sinθ , rcosφ )r 2 sinφ dry.例 求曲面 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2a 2 与 z ≥ 立体体积.x 2 + y 2 所围成的 z解 采用球面坐标,x + y + z = 2a
r = 2a ,2 2 2 2z=π x + y
= , 42 2oyΩ : 0 ≤ r ≤ 2a ,0≤ ≤2ππ4πx4,0 ≤ θ ≤ 2π ,2a 2V = ∫∫∫ dxdydz = ∫0 dθ ∫0 d ∫0 r sin drΩ= 2π ∫π 4 04 ( 2a )3 3 sin
1)a . 3 3机动 目录 上页 下页 返回 结束
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