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微分中值定理的研究
2011年第5期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：微分中值定理是微分学的核心，是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文对微分中值定理内容以及三者之间的关系进行了深入阐述。 中国论文网 /9/view-1730219.htm　　关键词：微分中值定理；罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理 　　 　　导数与微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心。微分中值定理有罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，它们是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文归纳介绍了微分中值定理的几种形式。 　　一、微分中值定理的基本内容 　　微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，它们分别是罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理。定理内容如下： 　　定理1（罗尔中值定理）若函数f（x）满足下列条件： 　　（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； 　　（3）f（a）=f（b）.则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=0 　　定理2（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足下列条件: 　　（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； 　　则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=■. 　　定理3（柯西中值定理）若函数f（x），g（x）满足下列条件： 　　（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； 　　且对任意xε（a，b），有g′（x）≠0. 　　则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使■=■. 　　二、微分中值定理的几何意义 　　罗尔中值定理：如果连续曲线弧AB上每一点都有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，则在曲线弧AB上至少有一条切线与x轴平行。 　　拉格朗日中值定理：如果连续曲线弧AB上每一点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧AB上至少有一条切线平行于弦AB。 　　柯西中值定理：在曲线｛■ (其中Ｘ为参数，ａ≤x≤b)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点A（F（a），f（a））,B（F（b）,f（b））的弦。 　　综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为：在区间[a，b]上连续且除端点外，每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线，它们有个共同的特征就是在曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行于曲线端点的连线。 　　 三、三个微分中值定理的关系 　　在拉格朗日定理中，如果f(a)=f(b)，则变成罗尔定理；在柯西中值定理中，如果F(x)=X，则变成拉格朗日定理。因此，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日定理的推广。反之，拉格朗日定理是柯西中值定理的特例，罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 　　四、微分中值定理的理解 　　（1）罗尔定理的条件不能随意变动，如将定理中任何一个条件去掉或将闭区间连续改为开区间连续，则结论可能不成立。例如函数f(x)=x-1，1就不满足定理的条件。 　　（2）罗尔定理告诉我们至少存在一点ξε(a，b)，使得f′(ξ)=0。至于ξ位于(a，b)内的具体位置，定理并未说明，但是这并不影响罗尔定理的应用。 　　（3）从罗尔定理的证明中可以看到符合罗尔定理条件的函数在开区间(a，b)内必存在最大值或最小值。 　　(4)罗尔定理在开区间(a，b)内使f′(ξ)=0的点不一定是极值点。例如函f(x)=■ (5-x)在闭区间[-1，2]上满足罗尔定理的三个条件，由f′(x)=3x2(■-x)，显然ξ=0有f′(ξ)=0成立，但ξ=0不是f(x)的极值点。 　　（5）罗尔定理的条件是其结论成立的充分条件，但不是必要条件，也就是说罗尔定理的逆命题并不成立。例如y=x3，xε[-a，a]，a>0，显然函数y=x3在[-a，a]上连续，在(-a，a)内可导，f′(0)=0，但是不存在 α，βε[-a，a]，α<β，使得f(α)=f(β)。 　　（6）罗尔定理的的三个条件都不满足，但结论却有可能成立。 　　例如函数f(x)=■，不满足罗尔定理的条件，但是取ξ=■ε(0，π)，f′(■)=cos■=0 　　（7）拉格朗日定理的是其结论成立的充分条件，但不是必要条件，也就是说的拉格朗日定理逆命题并不成立。 　　（8）Lagrange定理只断言ξ的存在性，至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数外，无法指明这种点的确切位置并且拉格朗日定理结论中的点ξ不是任意的。 　　例如函数f(x)=■满足linx→+∞f(x)=0，且f′(x)=2cosx2-■sinx2在(0+∞)内存在，但linx→+∞f(x)=linx→+∞2cosx2-■sinx2并不存在，当然linx→+∞f(x)=0不会成立。 　　（10）微分中值定理反映了函数增量与区间某个导数值之间的关系，从而可以利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质，微分中值定理在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具。 　　 　　【参考文献】 　　[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2006. 　　[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社.1995. 　　[3]吴建成.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2005. 　　 　　“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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论文写作技巧
本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用.
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导数，斜率，速度与变化率 Derivatives.slope.velocity.rate.of.change
极限，连续和三角函数 Limits.continuity.Trigonometric.limits
导数，商数，正弦和余弦 Derivatives.of.products.quotients.sine.cosine
链式法则和高阶微分 Chain.rule.Higher.derivatives
隐函数微分 Implicit.differentiation,.inverses
指数,log,对数微分;双曲函数 Exponential.and.log.Logarithmic..hyperbolic.functions
扩展和复习 Continuation.and.Review
线性二次逼近 Linear.and.quadratic.approximations
曲线构图 Curve.sketching
极值问题 Max-min.problems
相关变率 Related.rates
牛顿迭代法及应用 Newton&#039;s.method.and.other.applications
[第13课]中值定理及重要不等式
微分中值定理与不等式 Mean.value..Inequalities
微分,不定积分 Differentials,.antiderivatives
微分方程和分离变量 Differential.equations,.separation.of.variables
定积分 Definite.integrals
微积分基本定理
介绍了微积分课程中最重要的定理——微积分基本定理的形式2。仅用一点板书，就证明了这个牛顿和莱布尼茨费尽心思才发现的“上帝秘密”最后以几个简单的例子，给大家以最直观的理解并且引入了“超越函数”
在介绍了微积分基本定理的两个形式之后紧接着就是定理的应用了利用此定理，来探究一些函数的性质，让学生豁然开朗尤其是在对数函数上的应用，从前的性质竟然变得如此显然
壳层体积与平均值 Volumes.by.disks.and.shells
工作，平均值，概率 Work,.average.value,.probability
数值积分 Numerical.integration
数学永远不是读懂的，只有通过练习才能更好地理解数学概念和方法的本质。同样，只看视频不做题也不会收获很多。这节课上，教授总结了前一段时间的内容，带领同学们计算了几个例子。如果你之前半懂不懂，那更不能错过这节复习课了！
三角代换 Trigonometric.integrals.and.substitution
返向代换积分 Integration.by.inverse..completing.the.square.use
有理函数是一大类函数。如果对于它们，我们也不能解析地写出原函数的话，那绝对是令人沮丧的。但是，上帝还是不忍心让数学家们失望的。这节课上，教授告诉我们。如何才能合理地来处理这一大类函数。
不是所有函数都能解析地写出原函数。对于那些有可能写出来的函数，也需要一定的积分技巧才能随心所欲。分部积分正是很重要的一种积分技巧。通过它，我们甚至可以得到某类型函数的原函数，这是利用了导出的公式——换算公式。
积分的概念来源于实际的应用。对一个函数积分可以理解为求曲线下的面积，但积分的作用不仅仅如此。有了积分，我们就可以去计算曲线的弧长，可以去求区域的面积，
也可以去计算很多物理问题。难怪微积分被誉为牛顿一生最伟大的发现。
直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，我们不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料地简洁，
也能让问题直观地清晰起来。数学嘛，直观起来的话，也是蛮可爱动人的。
学习离不开预习和复习，对于考试前的日子，同学们一定都是在复习中度过的。MIT也是学校，有学校的地方就有考试。这节课上，教授回顾了过去几节课的内容。包括几个积分技巧和积分的应用。所谓“温故而知新”嘛，看看也是有收获的啦！
尽管之前学习过如何处理极限了，但是对于一些特殊情形的极限问题，过去的方法显得有点苍白。在先前课程的内容铺垫下，我们终于可以处理一些不定型的极限问题了，其中包括“0/0”型、“∞/∞”型。这一切都是通过“洛必达法则”实现的。从此，我们甚至能够判断“∞的大小”。
过去我们学习了有限区间上的积分，但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况，看上去仍然无法理解。这节课上，教授不仅定义了两种反常积分——无穷积分和瑕积分，甚至还算出了几个神奇的例子。看上去，反常积分还是略显有趣的。
你是否考虑过这样的情况，龟兔赛跑中的乌龟若要赶上兔子，就必须先到达一半的距离，接着还要通过一半距离的一半...如此下去，似乎看上去乌龟永远也无法赶上兔子。但现实证明，乌龟是能够做到的！这个看似有点诡异的问题，在数学面前，神秘荡然无存。学习了本课之后，掌握了无穷级数的概念和其收敛性的判定准则，你就能破解以上谜题了。
三角函数的历史起源是几何，但是，大师欧拉用分析的办法，得到了正弦函数、余弦函数的又一个定义方法——无穷级数和。课上，教授向我们讲解了如何把某类函数展开成为一个无穷级数，所用的办法证实大名鼎鼎的“泰勒公式”。毫无疑问，通过本课的学习，你将感受到分析的强大威力。
教授度假去了，请来了代课教授。代课教授带领同学们回顾了过去的内容，并重点再次讲解了上节课的“泰勒展开”。更重要的是，他为后续课程——多变量微积分（我们已经翻译并发布完毕）做了一段广告，看上去内容很是丰满。最后，黑板上出现了Jerison教授送给大家的一首小诗。自此，本课程完美落幕。
学校：麻省理工学院
讲师：Prof. David Jerison
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：本微积分课程内容包括介绍一元函数的微分、积分和应用。
扫描左侧二维码下载客户端2016考研数学：三个微分中值定理
　　每年考研数学必有一道证明题，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。
　　而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。
　　一、涉及的知识点及考查形式
　　可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分(数一、数二要求)，曲率的概念(数一、数二要求)，曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。
　　微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。
　　二、方法选择
　　题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。
　　针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。
　　三、求解步骤及历年真题解析
　　涉及到微分中值定理，一般首先要找辅导函数。针对拉式中值定理和柯西定理，经过对要证明的结论化为标准形式，可直接得出辅助函数。而罗尔定理，需要把结论化为微分方程的一般形式，使用积分因子法可找到。
　　有了辅助函数，根据中值定理，列出定理对应的三个条件，得出结论。
　　四、小结
　　三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别是复习的要点，而方法的选择是解题的关键。三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别理解透了，才能正确使用方法进行求解。知识点的理解一定要结合一定量的习题才能真正掌握知识点，并应用于考研。
　　文章作者：万学海文 周建松
备战2018年考研 你需要做这些！
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