回顾高等代数历史背景对于学生学习的重要意义；内容摘要：高等代数史作为一门历史科学，它描述了高；关键词：历史背景，数学修养，学习积极性，刻苦钻研；1.导言；高等代数是数学专业的一门主干基础课程，它对学生的；2.利用欧式空间发展的历史背景诠释数学理论的发展；在数学发展史上，经常发生着各种形式的变迁：以比较；一个理论或概念被另一理论或概念所替代，正是人们对；3.利
回顾高等代数历史背景对于学生学习的重要意义
内容摘要：高等代数史作为一门历史科学，它描述了高等代数的发展与演变的历史。学习高等代数时，在大多数情况下，人们只是停留在对数学概念和各类方法技巧的掌握，并没有深入地对这些方法技巧背后的历史背景进行了解，因此研究高等代数历史背景对于学生学习的重要意义是有必要的。本文通过列举的形式，阐述了对高等代数史的了解可以提高学生的综合素质，调动学生对高代学习的积极性，提升学生数学修养。
关键词：历史背景，数学修养，学习积极性，刻苦钻研，综合素质
高等代数是数学专业的一门主干基础课程，它对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养，以及后继的学习起着非常重要的作用。但是，学生在学习这门课程时只顾吸取其中已有知识，仅仅解决了“是什么”的问题，而往往对各类概念研究的历史背景也就是“是怎样得到的”以及以后的发展概况一无所知。高等代数教学内容中, 有一些内容表面上是孤立的, 但实际上很多这样的内容都有其生动的背景。对各类概念的历史背景进行了解,能提高我们的综合数学修养, 会使我们对需要学习的内容得到更加精确与深入的理解, 更好的掌握这门课程。下面将通过列举的形式，对高等代数中历史背景对于学生学习的几个重要意义进行了阐述。
2.利用欧式空间发展的历史背景诠释数学理论的发展性，培养学生综合素质。
在数学发展史上，经常发生着各种形式的变迁：以比较正确的认识代替错误的认识的现象绝不罕见，举一个例子来说：从欧式空间中“距离”的自我扬弃升华到距离空间，直到拓扑空间，这是一个不断深化的过程。
一个理论或概念被另一理论或概念所替代，正是人们对高等代数从低级到高级，从片面到全面的认识与发展，并不断拓广高代知识体系，从而把高代推向前进。通过如此生动的例子可以体现出我们政治理论课中《马克思主义基本原理概论》中认识的否定之否定规律，综合体现出唯物辩证法的基本规律。利用高等代数的历史背景，拓宽课堂的界限，培养学生的综合能力，正是我校教育转型改革的重要体现。
3.利用回顾高等代数学家的背景激励学生刻苦钻研数学。
依笔者拙见，高等代数教学的目的不仅仅是去教会学生如何去考试并取得高分，而且更重要的是让学生获得知识，从中受益，并培养和提高熟练运用数学这一基本工具解决实际问题的能力，培养学生的科学创新精神。与后者比较起来，考得高分只不过是最次要的事情。
提及高等代数数学家，大家都会想到一个不会考试的数学家――埃尔米特。埃尔米特是19世纪最伟大的数学家之一，但是他大学入学考试考了5次，每次失败的原因都是数学考不好.他大学几乎没能毕业，每次考不好都是因为数学.他大学毕业后考不上任何研究所，还是因为考不好数学.数学是他一生的至爱，
但是数学考试是他一生的噩梦.不过这无法改变他的伟大。课本上的“共轭矩阵”是他先提出来的；人类一千多年来解不出“五次方程式的通解”，是他先解出来的；自然对数的底的“超越数性质”，在全世界，他是第一个证明出来的人。他的一生证明“一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生”。
通过对高等代数中相关数学家有趣、励志故事的回顾，学生不仅可以从中消除自己高代学习的枯燥感将“要我学”转变为“我要学”，更重要的是从中体会到高代学习的真谛，不再以考试成绩高低作为自己学习的一个标准，只要自己切切实实地学到了东西，踏踏实实地进行了钻研，那么学生们便真正达到了高代学习的目的，也达到了教员的要求和希望。
4.了解高代重要概念的历史背景，提高学生数学修养。
高等代数教学内容中, 有一些内容表面上是孤立的, 但实际上很多这样的内容都有其生动的背景。对各类概念的历史背景进行了解,能提高我们的综合数学修养, 会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解, 更好的掌握这门课程。 下面以二次型的历史背景为例子：
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，）建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
1851，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双性线性。
以上是对二次型历史背景的列举，通过对其历史背景的介绍，学生们可以从中了解到二次型发展、演变过程的来龙去脉，从而实现从“是什么”问题到“是
怎样得到”问题的飞跃，这样一来，学生们的数学修养不仅能够在不知不觉中得到提升，学生对二次型也将有更深入的认识和理解，势必会收到学习起来事半功倍的功效。
本文通过对一些高等代数中历史背景的回顾，阐述了了解高等代数历史背景对高代学习的重要意义，笔者从中想要表达的是高代史的了解与高等代数的学习是分不开的。回顾数学概念与数学家的历史背景是我们数学专业学生提高数学修养水平的重要途径，而且，我们也从中提升了自己的综合素质并调动了高代学习的积极性。对高等代数中历史背景的了解将促进我们对数学概念更加深入的理解。笔者希望通过本文让读者提高对高等代数历史背景的重视程度。此外，由于笔者的水平有限，本文仍存在着许多的不足之处，例如例证不够充分
三亿文库包含各类专业文献、专业论文、高等教育、应用写作文书、文学作品欣赏、各类资格考试、外语学习资料、中学教育、52高等代数中各类重要概念的历史背景回顾等内容。　
　代数中的基本概念,不仅要正确掌握这些概念的内 涵,还要了解这些概念的实际背景。...(习题课、作业、问题探讨)以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的... 　从而有助于学生正确理解《高等代数》的基本概念和论证 方法及提高分析问题 解决...就是初等变换与化归及转化的思想 方法,这在各章节中都体现的很充分,教学中应... 　高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家...现在群的概念已成为现代数学中最重要的,具有概括性的一个数 学的概念,广泛应用... 　《高等代数》教案一、课程性质与目的 各种数学理论在...在理论和实际中 有着广泛的应用背景,更重要的是这...教学重点、难点: 1. 一元多项式整除的概念及其基本... 　高等代数课程改革的重要性在历史的长河中 屡屡为人所见,每每都会产生一批优秀的研究成果. 为了能更好的提出改革建议, 我们有必要了解一下目前高等代数还面临的各 种... 　对于 考研的学子来说,同样对于高等代数这一门课程的学习来说,将各个模块的知识...中,掌握好基的概念,认识线性映射的两个最重要的子空间 ImA 和 KerA 及其相 ... 　2014 年第 02 期 摘要:在大学数学课程中,高等代数是其中一门十分重要的科目。...因此,在教学中,要让学生深刻理解、体会概念。譬如,阶行列式 的定义,是由所有... 　2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和 原理的深刻内涵和它们之间的相互联系. 3. 要突出传授数学思想和数学方法, 使学生初步掌握... 　不同的教材各有侧重。现在的教学基本要求是两者兼顾,因此现行教材中两者大体均衡...从高等代数学习的角度, 还要有算法的概念。 所谓算法是指完成一个特定工作所...君，已阅读到文档的结尾了呢~~
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数学归纳法产生的历史背景.doc
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函数产生的历史背景
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1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo,意,)在《两门新科学》一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes,法,)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的.1673年,莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用 “流量”来表示变量间的关系.2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ,瑞,)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量.”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示.1755,欧拉(L．Euler,瑞士,) 把函数定义为“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”18世纪中叶欧拉(L．Euler,瑞,)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了 “随意函数”.不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数1821年,柯西(Cauchy,法,) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数.”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词,同时指出对函数来说不一定要有解析表达式.不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限.1822年傅里叶（Fourier,法国,1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示,也可以用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新层次.1837年狄利克雷(Dirichlet,德,) 突破了这一局限,认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数.”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述,以清晰的方式被所有数学家接受.这就是人们常说的经典函数定义.等到康托(Cantor,德,)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象.4.现代函数概念——集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数,其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了.1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.”
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算法分析（7）
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
[编辑本段]基本步骤
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数 有关的命题 ，
（1）验证 n=n0时 P(n)成立；
（2）假设 no&n&k时 P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立。
综合（1）（2）对一切自然数 n(&n0)，命题P(n)都成立；
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）对于无穷多个自然数命题 P（n）成立；
（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，
综合（1）（2），对一切自然数 n(&n0),命题P(n)都成立；
（四）螺旋式归纳法
P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如
（1）P(n0)成立；
（2）假设 P(k) (k&n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；
综合（1）（2）,对于一切自然数n（&n0），P(n),Q(n)都成立；
1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
3.证明数列前n项和与通项公式的成立
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个
奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:
递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。
递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含
在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：
第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：
（1）第一块骨牌倒下
（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下
这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下
无论是毛罗利科还是帕斯卡．也无论是伯努利还是其后的效学家们，虽然都在不断地使用效学归纳法．但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称．
只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作．才引进了 归纳法 这一名称．并在两种截然不同的意义上应用于效学：(1)以特恻获得一般结论的沃利斯方式
I(2)指定从到 +l的论证．并且影响了其后的效学家们．使这种混用状态大约持续了140年．倒如，l9世纪上半叶，英国的效学家皮科克(G．Peacc~k，)
在他的《代效学)(Treatise∞ Algebra．剑桥．1830)的排列与组合部分．谈到。梅成的规律用归纳法延伸到任意效 ．是从。预攫f 意义上以沃利斯方式使用 归纳法 的．
后来，他又将从“到R+1的论证称之为。证明归纳法 (demonstrativeinduction)．在名称上迈出重要一步的是英国效学家德摩根(A．de Morgan，)．
1838年在伦敦出版的‘小百科全书》(Penny Cydopedia)中．越摩根在他的条目“归纳法(效学) 里建议使用“逐收归纳法 (Succesiveinduction)．
但在该条目的最后他偶然地使用了术语 效学归纳法 ，这是我们所能看到这一术语的最早一孜使用．
皮科克和德摩根的名称后来为英国效学家托德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的‘代效)(1866年第4敝)所采用并因而得到广泛传播．
他在该书中介绍这种证明方法时．使用了两个名称 “效学归纳法”和。证明归纳法 ，但该章的题目却用的是前者．
这两十名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(w．S．Jevons，)的‘逻辑初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的‘完全代效)
(CompteteAlgebra．1874)所使用，后者宣称是受惠于托德亨特．随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，倒如英国教育家、效学家克里斯托(chrysta1．
)的‘代效)第2卷以及霍尔(H．S．Hal1)和纳特(s．R．KmgM)台著的‘代效》(1898)、奥尔迪斯(w．S．Aktis)的‘代效教科书~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。
效学归纳法 而不再使用“证明归纳法”
参考知识库
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函数的详细发展史和产生背景
胡椒歌惜0727
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随机过程的发展
随时间推进的随机现象的数学抽象.例如,某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此便是一个随机过程.类似地,森林中某种动物的头数,液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置,百货公司每天的顾客数,等等,都随时间变化而形成随机过程.严格说来,现实中大多数过程都具有程度不同的随机性.
气体分子运动时,由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的.人们希望知道,运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)?分子从一点出发能达到某区域的概率有多大?如果有两类分子同时运动,由于扩散而互相渗透,那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀?又如,在一定时间内,放射性物质中有多少原子会分裂或转化?电话交换台将收到多少次呼唤?机器会出现多少次故障?物价如何波动?这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题.
一些特殊的随机过程早已引起注意,例如1907年前后,Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程）,这种过程至今仍是重要的研究对象.虽然如此,随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代.1931年,Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后,Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》.这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础.稍后,P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书,其中蕴含着丰富的概率思想.1953年,J.L.杜布的名著《随机过程论》问世,它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论.1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分),为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展,人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论,正方兴未艾.60年代,法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果,在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论,包括截口定理与过程的投影理论等,中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作.
研究随机过程的方法是多样的,主要可分为两大类：一是概率方法,其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法,工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等.但许多重要结果往往是由两者并用而取得的.此外,组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用.研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等.
随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部,来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进,而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求.目前随机过程论已得到广泛的应用,特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著.
随机过程的定义
设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率）,T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应,就称随机变量族x＝为一随机过程（简称过程）.研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞,∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称为随机序列.如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集,则称x为多指标随机过程.
过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数,当t固定时,它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数.
如不限于实值情况,可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,∈F.特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量.如果其中RT为全体实值函数ƒ=(ƒ(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域,则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程.如对每个t∈T,有取值于E 的随机元x(t)与之对应,则称为取值于E的随机过程.
以下如无特别声明,只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程.
有穷维分布族
一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x=起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1,2,…,n,考虑的联合分布函数,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件：
① 对(1,2,…,n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn), ；
② 若m&n,则.反之,有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定义于其上的随机过程x,而且x的有穷维分布族重合于F.
从测度论的观点看,每一随机过程x=在(RT,BT)上产生一概率测度PX,称为x 的分布,它在上述柱集上的值就是
有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程.就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样,正态过程被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数 λ(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定,其中λ(s,t)是对称非负定函数,即λ(s,t)=λ(t,s),而且对任意的 tj∈T及实数αj,1≤i≤n,有反之,对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证,存在一个正态过程,以m(t)为其均值函数,以λ(s,t)为其协方差函数.
根据中心极限定理,许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程.此外,正态过程有一系列的好性质,如它的最佳线性估计重合于条件期望,这一点在应用上是很方便的,既准确又便于计算.因此正态过程在实际中有广泛的应用,在无线电通讯及自动控制中尤为重要.为方便计,设m(t)呏0.任取tj,t∈T,用L(x(t1),x(t2), …,x(tn))表示由x(t1),x(t2),…,x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间,x(t)在此空间上的投影记作 称为x(t)关于x(t1),x(t2),…,x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),…,x(tn))则是非线性的最小均方误差估计.对正态过程来讲,这两种估计以概率1相等.
设F是p-完备的,即F包含任何概率为零的集的一切子集.在随机过程的研究中,Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到.例如对一切若T不可列,则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件,也就谈不上它的概率.为了解决这类问题,杜布引进了随机过程可分性的概念.称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分),是指除了一个概率为零的集N外,x在每一t∈T 处的值,可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω,存在∈Q,使得rj→t,且x(rj,ω)→x(t,ω).所谓Q为T 的稠集,是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限.如果x 关于Q 可分,则可以证明上述的 A是一个事件,而且有p(A)＝p().如果过程x关于T的任一可列稠集都可分,则称x完全可分.
设x=与Y=为定义在概率空间(Ω,F,p),上的两个随机过程,如果对任何t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时,x和Y有相同的有穷维分布族.虽然任给的过程 x未必可分,但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在与它等价的可分过程Y .因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时,可取一可分过程Y来代替x.
过程x称为随机连续,如果对任一t0∈T,在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有,对随机连续的过程x,必存在一个完全可分过程Y与之等价.
为了研究样本函数对t的积分等问题,需要x(t,ω)关于两个变量(t,ω)的可测性.设T是R中某区间,B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域,B(T)×F表示乘积σ域,μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度,表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域.
称随机过程x为可测的,如果对任一实数α,有： 称随机过程x 为波莱尔可测的,如果对任一实数α,有.如果过程x 随机连续,则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y.
有时还需要更强的可测性.设给了F的一族子σ 域,其中T=R+=)×.
循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的,但逆之不然,除非样本函数性质较好.例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测.使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域,称为可选σ域,关于可选σ域可测的过程称为可选过程.可见,可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性.进一步,使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域,称为可料σ域,关于可料σ域可测的过程称为可料过程.这又是一种比可选可测性更强的可测性.可以证明,样本函数左连续的适应过程都是可料过程.
当人们观察物体作随机运动时,最感兴趣的问题之一是它的轨道性状,因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质,例如探讨在什么条件下,过程的轨道x(t,ω), α≤t≤b,以概率1有界,或无第二类断点,或是阶梯函数,或是连续函数,等等.函数ƒ(t)在上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α,b),存在左、右极限及 而在α、b)处,则存在单侧极限.
设过程可分,而且存在常数α&0,ε&0,с≥0,使得对任意的t∈,t+Δt∈,有,则过程的轨道以概率1在上一致连续.设可分过程随机连续,而且存在常数p&0,q&0,r&0,с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b,有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点.正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程,只要存在с≥0,α&0,使得 ,x的轨道就以概率1连续.
这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围.早在1945年,J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想.60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代,由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善.
直观上,停时是描述某种随机现象发生的时刻,它是普通时间变量t的随机化.例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时.又如,作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf,且约定inf═＝∞,当x 的轨道连续而且A是一个闭集时,τ就是一个停时,它是一个随机变量,而且对任何t≥0,∈σ.
一般地,设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族,称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时,如果对任意 t≥0,总有∈.这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息,一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中.
类似于,对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域.Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息.
停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时,其中,;还有,这里表示包含、的最小σ域；进一步,若是一列停时,则也是停时.更细致地研究停时,需要对其进行分类,重要的类型有可料时、绝不可及时等.
均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程.二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示.设F是可测空间(∧,A)上的有限测度,如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2& ∞；②则称Z＝为(∧,A)上的正交随机测度.定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧,A,F）.给了一个正交随机测度Z,一族函数, 就可以产生一个二阶过程,满足
(1)它的二阶矩为 . (2)反之,对给定的二阶过程,只要它的二阶矩有积分表示(2),就一定存在一个正交随机测度Z,使过程本身有积分表示(1).(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示.对均方连续的实二阶过程,则有级数展开式
其中是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0,n=m时,δnm=1),λn是积分方程的本征值,ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s).
特殊随机过程类
对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程.除上述正态过程、二阶过程外,重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等.贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程,布朗运动和泊松过程,它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛.从它们出发,可以构造出许多其他过程.这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数.
正如从普通函数发展到广义函数一样,随机过程也可发展到广义过程.设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集,定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx.考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ,·)是随机变量,则称为定义在(Ω,F,p)上的广义过程.它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族".前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函
根据有穷维分布族的性质,也可以定义特殊的广义过程类,象广义平稳过程、广义正态过程等.例如,若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn,有限维分布都是正态分布,则称x＝为广义正态过程.
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