证明:单调有界数列必有极限
使用实数域R的性质如下:
A为R的有界子集,则A有上确界.
证明单调增且有上界数列{u(n),n&1}必有极限.
设A={u(n),n&1},则A为R的有界子集.
根据上面的性质得,A有上确界a.
根据上确界的定义得,任意ε&0,有u(N)使,
a-ε&u(N)≤a,而{u(n),n&1}单调增,则
任意N≤n,a-ε&u(N)≤u(n)≤a,
a=Lim{n→+∞}u(n).
证明单调减且有下界数列{u(n),n&1}必有极限.
由于{-u(n),n&1}是单调增且有上界数列,
==&{-u(n),n&1}有极限,==&
==&{u(n),n&1}有极限.
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人民教育出版社的~
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怎样证明数列(1+1/n)^n是单调有界数列
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设x(n)=[1+(1/n)]^n利用二项式展开有x(n)=1+[n*(1/n)]+[n(n-1)/(n^2*2!)]+
[n(n-1)(n-2)/(n^3*3!)]+……
+[n(n-1)(n-2)……*3*2*1/(n^n*n!)]整理得x(n)=1+1+{[1-(1/n)]/2!}+{[1-(1/n)][1-(2/n)]/3!}
+……+{[1-(1/n)][1-(2/n)]……[1-(n-1/n)]}/n!所以
x(n+1)=1+1+{[(1-1/n+1)]/2!}+{[1-(1/n+1)][1-(2/n+2)]/3!}+……+{[1-(1/n+1)][1-(2/n+1)]……[1-(n-1/n+1)]}/n!+{[(1-1/n+1)][(1-2/n+1)]……[(1-n/n+1)]/(n+1)!}[1-(1/n)]
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