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[中学联盟]辽宁省葫芦岛市第八高级中学人教版高二数学必修五学案
2.3 等差数列的前n项和
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mengzhishang
§23 等差数列的前n项和1
【学习目标】
1 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【使用说明及学法指导】
认真研读教材，进行础知识梳理，并勾画课本，写上提示语 ，标注序号等等 。完成预习自测题目或某几个题目将预习中不能解决的问题标识出来，并写道“我的疑问”处。限时 5 分钟，独立完成。
【自主学习】（预习教材P42 ~ P44，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？[来源:ZxxkCom]
复习2：等差数列有哪些性质？
探究：等差数列的前n项和公 式 问题：
1 计算1+2+…+100=
2 如何求1+2+…+n=
新知 ：数列 的前n项的和：一般地，称
为数列 的前n项的和，用 表示，即
如何求首项为 ，第n项为 的等差数列 的前n项的和
② 如何求首项为 ，公差为d的等差数列 的前n[来自e网通客户端]
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来源学校：葫芦岛市第八高级中学
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高一数学必修五教案 正文
高一数学必修五教案
相关热词搜索：篇一：高中数学人教版必修5全套教案 课题:
1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课 [探索研究](图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的A 则定 义 ， 有 a ?sinAc ? ， b ?sinBc ，又sCi??n c c ,1 a sinA ? b sinB c sinC ?c? 从而在直角三角形ABC中， a sinA b sinB ? c sinC CaB (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而 a sinA ? b sinB ，c sinC? ? b sinB? ，a sinA b sinB c sinC Ac
B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ?????? （证法二）：过点A作j?AC，
C ???????由向量的加法可得 AB?AC?CB ??????????????则j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB j ??????????0 jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C? ∴csinA?asinC，即 ??? ac ? ?????bc 同理，过点C作j?BC，可得 ? 从而
sinAsinBsinC 类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a ? b ? c a sinA ? b sinB ? c sinC
[理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2） a sinAsinBsinC 从而知正弦定理的基本作用为： ? b ? c 等价于 a sinA ? b sinB ， c sinC ? b sinB ， a sinA ? c sinC
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a? bsinA ； sinB ab ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， C?1800?(A?B)
??81.80) ?66.20； 根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)； sin32.00 根据正弦定理， asinC42.9sin66.20c???74.1(cm). 0 sin32.0 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理， bsinA28sin400 sinB???0.8999. 因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时， C?1800?(A?B)?0)?760， asinC20sin760c???30(cm). sin400 ⑵ 当B?1160时， C?1800?(A?B)?60)?240， asinC20sin240c???13(cm). sin400 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习 第5页练习第1（1）、2（1）题。 [补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3） Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式： a sinAsinBsinC 或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。 ●板书设计 ●授后记 ? b ? c ? a?b?c ?k?k?0?； sinA?sinB?sinC 课题:
1.1.2 余弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和?C，求边 Ac
B (图1．1-4) Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A ????????????????? 如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 bc ???????c?c?a?ba?b ?????? ?ab?b??2a??b C
a??2a??2 ?a??2a?b ?2 ???? 从而
c2?a2?b2?2abcosC
(图1．1-5) 同理可证
a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2?b2?c2?2bccosAb2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： b2?c2?a2 cosA? a2?c2?b2 cosB? b2?a2?c2 cosC? [理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例1．在?ABC中，已知a
?，c，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB =2?2?2?cos450=12?2?1) =8∴b? 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2?c2?a21 , ⑵解法一：∵cosA?
∴A?60. a解法二：∵sinA?sinBsin450,
2.4?1.4?3.8, 2?1.8?3.6, ∴a＜c，即00＜A＜900,
∴A?60.篇二：高二数学必修5全套教案(人教版) 1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。 思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B 二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， abc?sinA，?sinB，又sinC?1?ccc abc则???csinAsinBsinCC abc从而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC有 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义， 有CD=asinB?bsinA,则 同理可得 从而asinA?bsinB，csinC??bsinB?， Ac
B sinAsinBsinC （2）当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 abc???????（证法二）：过点A作单位向量j?AC， 由向量的加法可得 AB?AC?CB ??????????????则 j?AB?j?(AC?CB) ????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB ??????????0jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C? ∴csinA?asinC，即?????????ac ??????abcbc同理，过点C作j?BC，可得
从而 ???sinAsinBsinC 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sinA?b sinB?c sinC [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2）a sinAsinBsinCsinA 思考：正弦定理的基本作用是什么？ ?b?c等价于a?bsinB，csinC?bsinB，asinA?csinC ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sinB ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， ab C?1800?(A?B)??81.80)?66.20； asinB42.9sin81.80 根据正弦定理， b???80.1(cm)； sin32.00 asinC42.9sin66.20 根据正弦定理，
c???74.1(cm). sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 练习：在?ABC中，已知下列条件解三角形。 （1）A?45，C?30，c?10cm， （2）A?60，B?45，c?20cm 例2． 在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理，????bsinA28sin400 sinB???0.8999.因为00＜B＜1800，所以B?640，或0 B?116. ⑴ 当B?640时，
C?108?0A(?B0?)10?800?，(4?064asinC20sin760 c???30(cm). sin400 ⑵ 当B?1160时，C?108?0A?(B0?)01?8，0?(4?01asinC20sin240 c???13(cm). sin40 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 课堂练习 第4页练习第2题。 思考题：在?ABC中，a sinAsinB三.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：?b?csinC?k(k&o)，这个k与?ABC有什么关系？ a?b?c?k?k?0?； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC 或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) a?b?c? （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 四.课后作业：P10面1、2题。 1.2解三角形应用举例 第一课时 一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二、教学重点、难点 教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 三、教学设想 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 (2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得 AB=ACsin?ACBsin?ABC sin?ABC55sin75? =
55sin75? ≈ 65.7(m) sin54?sin(180??51??75?) AB =ACsin?ACB=55sin?ACB=
sin?ABC 答:A、B两点间的距离为65.7米 变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km 例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?， ? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得AC = BC =
asin(???)=
asin(???) sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin?= sin[180??(?????)]sin(?????) 计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB =
AC2?BC2?2AC?BCcos? 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60? 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选篇三：高中数学必修五全套学案 必修五
1.1.1正弦定理
2. 掌握正弦定理证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 ac ?sinA， bc?sinB ，又sinC?1? asinA ? ccb ， ? csinC 从而在直角三角形ABC中， sinB ．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义， 有CD=asinB?bsinA，则 asinA ? bsinB ，同理可得 csinC ? bsinB ， 从而 asinA ? bsinB ? csinC ． 类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的
的比相等，即试试： （1）在?ABC中，一定成立的等式是（ ）． A．asinA?bsinB B.acosA?bcosBC.
asinB?bsinAD.acosB?bcosA （2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于
． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k使a?ksinA，
，c?ksinC； （2） asinA ? bsinB ? csinC asinA ? bsinB ? csinC ． 等价于
， csinC ? bsinB ， asinA ? csinC ．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a? bsinAsinB ；b? ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sinA? absinB ；sinC?
． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题 例1. 在?ABC中，已知A?45?，B?60?，a?42cm，解三角形． 变式：在?ABC中，已知B?45?，C?60?，a?12cm，解三角形．
例2.在?ABC中，c?A?45?,a?2,求b和B,C． 变式：在?ABC中，b? B?60,c?1,求a和A,C． ? 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正弦定理： asinA ? bsinB ? csinC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． ※ 知识拓展a? b? c?2R ，其中2R为外接圆直径. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好
D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在?ABC中，若 cosAcosB ?ba ，则?ABC是（ ）. A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等边三角形 2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1
D．2∶23. 在△ABC中，若sinA?sinB，则A与B的大小关系为（ ）. A. A?B B. A?B C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定 4. 已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，则a:b:c= ． 5. 已知?ABC中，?A?60?，a?a?b?csinA?sinB?sinC ． 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，解此三角形． 2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围．
余弦定理1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 一、课前准备 复习1：在一个三角形中，各
和它所对角的 的 相等，即=
= ． 复习2：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在?ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ????∵AC? 同理可得： a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC． 新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍． 思考：这个式子中有几个量？ 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： cosA? b?c?a 2bc 2 2 2 ????????，∴AC?AC? ， [理解定理] （1）若C=90?，则cosC?，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 试试： （1）△ABC中，a?c?2，B?150?，求b． （2）△ABC中，a?2，b?c??1，求A． ※ 典型例题 例1. 在△ABC中，已知a?b?B?45?，求A,C和c． 变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝ 910 ，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长a?3，b?4，c?变式：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A． ，． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边． ※ 知识拓展 在△ABC中，若a2?b2?c2，则角C是直角；若a2?b2?c2，则角C是钝角； 若2?b2?c2，则角C是锐角． ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知ac＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. 2 2 B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A．60?
B．75?C．120? D．150? 3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）. A．x?Bx＜5
D＜x＜5 ?????????????? 4. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________． 5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足b2?a2?c2?ab，则∠C等于1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝ 1314 ，求最大角的余弦值． 2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB?BC的值. ????????
1.1 正弦定理和余弦定理（练习）1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 一、课前准备 复习1：在解三角形时，已知三边求角，用定理； 已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC中，已知
A＝ ?6 ，a＝，b＝，解此三角形． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. ① A＝ 思考：解的个数情况为何会发生变化？ 新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．已知边a,b和?A
a&CH=bsinA 无解 a=CH=bsinA仅有一个解?6 ，a＝25，b＝A＝ ?6 ，a3 ，b＝；③ A＝ ?6 ，a＝50，b＝. CH=bsinA&a&b有两个解
试试： 1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？
2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？ ※ 典型例题 例1. 在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?45?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC中，若a?1，c? 12 ，?C?40?，则符合题意的b的值有_____个．篇四：人教版高中数学必修5教案
第一章 解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.” 3．重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。 （三）教学内容及课时安排建议 1.1正弦定理和余弦定理（约3课时） 1.2应用举例（约4课时） 1.3实习作业（约1课时） （四）评价建议 1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。 2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。要注意对于实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题:
1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课 [探索研究](图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数 abc中正弦函数的定义，有?sinA，?sinB，又siC?n?1, ccc A abc则???csinAsinBsinC abc从而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函 ab数的定义，有CD=asinB?bsinA,则，?sinsincb同理可得，?sinsinabc从而??sinAsinBsinC (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作j?AC，由向量的加法可得 AB?AC?CB ??????????????则j?AB?j?(AC?CB) ????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB
???????????????? ??????????0jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C? ∴csinA?asinC，即 同理，过点C作j?BC，可得 从而 a sin?????ac ?bc ??b sin?c sin 类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc ??sinsinsin[理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； abcabcbac（2）等价于，， ?????sinsinsinsinsinsinsinsinAsin从而知正弦定理的基本作用为： bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?； sina②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， C?1800?(A?B) ??81.80) ?66.20； 根据正弦定理， asinB42.9sin81.80 b???80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理， asinC42.9sin66.20 c???74.1(cm). sin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理， bsinA28sin400 sinB???0.8999. 因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时， C?1800?(A?B)?0)?760， asinC20sin760 c???30(cm). sin400 ⑵ 当B?1160时， C?1800?(A?B)?60)?240， asinC20sin240 c???13(cm). sin400 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习 第4页练习第1（1）、2（1）题。 [补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3） Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结） abca?b?c（1）定理的表示形式：????k?k?0?； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC 或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。 教后记：
课题: ●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点篇五：北师大版高中数学《必修5》全部 北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出 数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行 启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习 积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际， 激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有根，在其上一层（称 作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少 根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究， 找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象――数列． （二）、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓 生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，?，256，?； 随着对折数面积依次为
11111, , , ,?,
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生还有一定次序 师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数 ［教师精讲］ 1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)， 第2项，?，第n项，?.同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数 列中的第4项 为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项． 以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数 列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，??， 每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系， 这与我们学过的函数有密切关系． 3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6?是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列： 从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列， (6)1.递增数列，2.递减数列. 4、通项公式法:如数列的通项公式为的通项公式为； ； 的通项公式为； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表 示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了， 代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列的通项公式，则． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即 便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2［例题剖析］ 例1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项： (1)an=(2)an=(-1)?nn?1 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项 生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=12345;a2=;a3=;a4=;a5=23456(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=- 师 好！就这样解 例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，?；(2)246810，，，，，?；
(3)0，1，0，1，0，1，?；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，?； (5)2，-6，12，-20，30，-42， 师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间 生老师，我写好了！ 2n1?(?1)n 解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝； (2n?1)(2n?1)2 (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，?， (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，?，1?(?1)nan＝n＋；2 an＝(-1)n+1n(n＋ 师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 （三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4 补充题：已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么( A.30是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项B.44是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这 四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案： 点评：看一个数A是不是数列{an}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使 得an=A （四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项， 并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 （五）、布置作业课本习题1-1A组1、2、3、4。 五、教后反思：
第二课时1.1.2数列的函数特性一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是 一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、 图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来 研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。 二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。 难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。 三、教学方法：讲授法为主 四、教学过程 （一）、导入新课 师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？ 生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 师你能举例说明吗？ 生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N* 1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n 1,
1111 , , ,…的通项公式为an= (n∈N* 234n 11教师进一步启发上面数列an=n-1、an=与函数f(x)?x?1,f(x)?有什么关系？你能用图象nx 直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。 （二）新知探究 1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值， 数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集． 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列． ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，?，256，?①中项与项之间的对应关系，
序号 你能从中得到什么启示？ *项2
16生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1，2，3，?，n})的函数an=f(n)，
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