x^2+(y-a)^2=a^2是个圆，那么x^2+y^2+(z-a)^2=a^2为什么不是个球呢？
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第十章多元函数积分学Ⅰ
第十章多元函数积分学Ⅰ一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数， 建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼（Riemann）积分.第一节一、二重积分的概念二重积分下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.曲顶柱体的体积 设 z=f（x，y）是定义在有界闭区域 D 上的非负（即 f（x，y）≥0）连续函数，它在直 角坐柱系中的图形是空间曲面 S，怎样求以曲面 S 为顶，以闭区域 D 为底，其侧面是一柱面 （它的准线是闭区域 D 的边界 L，母线平行于 z 轴）的曲顶柱体的体积呢（图 10-1）？图 10-1 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的 方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决它（图 10-2）.图 10-2 （1）分割闭区域 D 为 n 个小闭区域 Δσ1，Δσ2，…，Δσn， 同时也用 Δσi 表示第 i 个小闭区域的面积，相应地此曲顶柱体被分为 n 个小曲顶柱体. （2）在每个小闭区域上任取一点1（ξ1，η1）（ξ2，η2） ， ，…， n，ηn） （ξ ， 对第 i 个小曲顶柱体的体积，用高为 f（ξi，ηi）而底为 Δσi 的平顶柱体的体积来近似代 替. （3）这 n 个平顶柱体的体积之和 V n=? f (? ,? )??i ?1 i ini,就是曲顶柱体体积的近似值. （4）用 λ=maxd（Δσi）表示 n 个小闭区域 Δσi 的直径的最大值（一个闭区域的直径是指 闭区域上任意两点间距离的最大值）.当 λ→0（可理解为 Δσi 收缩为一点）时，上述和式的 极限，就是曲顶柱体的体积： V= lim? ?0? f (? ,? )??i ?1 i ini.2.平面薄片的质量 设薄片在 xOy 平面占有平面闭区域 D，它在点（x，y）处的面密度是 ρ=ρ（x，y）.设 ρ （x，y）是连续的，求薄片的质量（图 10?3）.图 10-3 先分割闭区域 D 为 n 个小闭区域 Δσ1，Δσ2，…，Δσn， 在每个小闭区域上任取一点 （ξ1，η1）（ξ2，η2） ， ，…， n，ηn）? （ξ 近似地，以点（ξi，ηi）处的面密度 ρ（ξi，ηi）代替小闭区域 Δσi 上各点处的面密度，得到 第 i 块小薄片的质量的近似值 ρ（ξi，ηi）Δσi，于是整个薄片质量的近似值是 Mn=? ? (? ,? )?? ,i ?1 i i in用 λ=maxd（Δσi）表示 n 个小闭区域 Δσi 的直径的最大值，当 D 无限细分，即当 λ→0 时， Mn 的极限就是薄片的质量 M，即 M= lim? ?0? ? (? ,? )?? .?i ?1 i i in以上两个具体问题，虽然背景不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来 就得到下述二重积分的定义. 定义 1 设 D 是 xOy 平面上的有界闭区域，二元函数 z=f（x，y）在 D 上有界.将 D 分 为 n 个小区域2Δσ1，Δσ2，…，Δσn， 同时用 Δσi 表示该小区域的面积，记 Δσi 的直径为 d（Δσi） ，并令 λ= max d（Δσi）.1? i ? n在 Δσi 上任取一点（ξi，ηi）（i=1，2，…，n） ， ，作乘积 f（ξi,ηi）Δσi， 把这些乘积加起来，得和式 Sn=? f (? ,? )??i ?1 i ini.若 λ→0 时，Sn 的极限存在(它不依赖于 D 的分法及点 (? i ,?i ) 的取法)，则称这个极限值为函 数 z=f（x，y）在 D 上的二重积分，记作??Df ( x, y )d? ，即??Df ( x, y )d? = lim? ?0? f (? ,? )??i ?1 i ini，（10-1-1）其中 D 叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，dσ 叫做面积元素，f（x，y）dσ 叫做被积表 达式，x 与 y 叫做积分变量，? f (? ,? )??i ?1 i ini叫做积分和.在直角坐标系中，我们常用平行于 x 轴和 y 轴的直线（y=常数和 x=常数）把区域 D 分 割成小矩形，它的边长是 Δx 和 Δy，从而 Δσ=Δx?Δy，因此在直角坐标系中的面积元素可写 成 d ? =dx? dy，二重积分也可记作 ???Df ( x, y )dxdy = lim? ?0? f (? ,? )??i ?1 i ini.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积 V 是函数 z=f（x，y）在区域 D 上的二重积分 V=??Df ( x, y )d? ；薄片的质量 M 是面密度 ρ=ρ（x，y）在区域 D 上的二重积分 M=??D? ( x, y )d? ?因为总可以把被积函数 z=f（x，y）看作空间的一张曲面，所以当 f（x，y）为正时，二 重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当 f（x，y）为负时，柱体就在 xOy 平面下方，二 重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果 f（x，y）在某部分区域上是正的，而在其余的部分区 域上是负的，那么 f（x，y）在 D 上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和. 如果 f（x，y）在区域 D 上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在） ，则称 f（x， y）在 D 上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关 结论，而不作证明. 如果 f（x，y）是闭区域 D 上连续，或分块连续的函数，则 f（x，y）在 D 上可积. 我们总假定 z=f（x,y）在闭区域 D 上连续，所以 f（x,y）在 D 上的二重积分都是存在的， 以后就不再一一加以说明.3二、二重积分的性质设二元函数 f（x，y） ，g（x，y）在闭区域 D 上连续，于是这些函数的二重积分存在. 利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质，我们只证其中的几 个，其余的请读者自己去证明. 性质 1 常数因子可提到积分号外面，即： ???Dkf ( x, y )d? =k??Df ( x, y )d? ，其中 k 是常数. 性质 2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即： ??? ? f ( x,y ) ? g ( x,y )? d? = ??DDf ( x, y )d? ±?? g ( x, y )d? ?D性质 3 设闭区域 D 由 D1、D2 组成，且 D1、D2 除边界点外无公共点（见图 10-4） ，则 f（x，y）在 D 上的二重积分等于在 D1 及 D2 上二重积分的和，即??Df ( x, y )d? = ?? f ( x, y)d? + ?? f ( x, y)d? .D1 D2（10-1-2）图 10-4 将 D1，D2 任意分成许多小闭区域，这样 D 也被分成了许多小闭区域： Δσ1，Δσ2，…，Δσn? 如以 Δσi1 表示包含在 D1 中的小闭区域，Δσi2 表示包含在 D2 中的小闭区域，则 证?i ?1nf (?i ,?i )?? i = ? f (?i1 ,?i1 ) ?? i1 = ? f (?i 2 ,?i 2 )?? i 2 ，i ?1 i ?1n1n2其中 n1+n2=n.令 λ=maxd（Δσi）→0，在等式两边取极限就得到（10-1-2）式. 这个性质表示二重积分对积分区域具有可加性. 性质 4 设在闭区域 D 上 f（x，y）=1，σ 为 D 的面积，则 ???D1d? = ?? d? = ? ?D从几何意义上来看这是很明显的.因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的 底面积. 性质 5 设在闭区域 D 上有 f（x，y）≤g（x，y） ，则??性质 6? 证Df ( x, y )d? ≤ ?? g ( x, y )d? 。D??Df ( x, y)d? ≤ ??D f ( x, y )d? 。显然在 D 上有4? f ( x, y ) ? f ( x , y ) ? f ( x , y ) 。由性质 5 得? ?? f ( x, y )d? ≤ ?? f ( x, y )d? ≤ ?? f ( x, y )d? ，D D D于是得到 ???Df ( x, y)d? ≤ ??D f ( x, y )d? 。这就是说，函数二重积分的绝对值必小于（或等于）该函数绝对值的二重积分. 性质 7 设函数 f（x，y）在闭区域 D 上连续，σ 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 （ξ，η）使得下式成立 ???Df ( x, y )d? =f（ξ，η）? σ?这一性质称为二重积分的中值定理. 证 因 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最 小值定理，在 D 上必存在一点（x1，y1）使（f（x1，y1）等于最大值 M，又存在一点（x2， y2）使 f（x2，y2）等于最小值 m，那末对于 D 上所有点（x，y） ，有 m=f（x2，y2）≤f（x，y）≤f（x1，y1）=M． 由性质 1，5 可得 m 再由性质 4 得 m? ≤ 或 m≤??Dd? ≤ ?? f ( x, y )d? ≤M ?? d? ．?D D??Df ( x, y )d? ≤M ? ，1 ???Df ( x, y )d? ≤M．?根据闭区域上连续函数的介值定理知，D 上必存在一点（ξ，η） ，使得1 ?即 ???Df ( x, y )d? =f（ξ，η） ，??Df ( x, y )d? =f（ξ，η）σ， （ξ，η）∈D?证毕. 二重积分中值定理的几何意义可叙述如下： 当 S∶z=f（x，y）为空间一连续曲面时，对以 S 为顶的曲顶柱体，必定存在一个以 D 为底，以 D 内某点（ξ，η）的函数值 f（ξ，η）为高的平顶柱体，它的体积 f（ξ，η）? 就等 σ 于这个曲顶柱体的体积.三、二重积分的计算前面我们已经建立了二重积分的概念与性质， 本节将根据二重积分的几何意义来说明二 重积分的计算方法.把计算二重积分的问题，化为接连计算两个定积分的问题. 下面我们考虑利用直角坐标系计算二重积分的问题.5按照二重积分的几何意义，当被积函数 f（x，y）≥0 时，二重积分??Df ( x, y )d? 的值等于以 D 为底，以曲面 z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱 体的体积 V. 设积分区域 D 由两条平行直线 x=a，x=b 及两条连续曲线 y=φ1（x） ，y=φ2（x） （在［a， b］上 φ1（x）≤φ2（x） ）所围成，这时 D 可用不等式 a≤x≤b 与 φ1（x）≤y≤φ2（x） 来表示（图 10-5）.图 10-5 用平行于 yOz 坐标面的平面 x=x0（a≤x0≤b）去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间 ［φ1（x0） 2（x0） ，φ ］为底，以 z=f（x0，y）为曲边的曲边梯形（图 10-6） ，所以这截面的面 积为图 10-6 A（x0）=???2 ( x0 )1 ( x0 )f ( x0 , y)dy ?一般地，过区间［a，b］上任一点且平行于 yOz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面 的面积为 A（x）=???2 ( x )1 ( x)f ( x, y)dy ，其中 y 是积分变量，x 在积分时保持不变.因此在区间［a，b］上，A（x）是 x 的函数.现在 用平行于 yOz 坐标面的平面，把曲顶柱体切割成许多薄片.考虑位于 x 与 x+dx 之间的薄片， 这个薄片的厚度为 dx，于是薄片的体积近似为 dV=A（x）dx. 所以曲顶柱体的体积为 V= 即得?bab ?2 ( x ) f ( x, y)dy ? dx ， A( x)dx = ? ? ? ? a ? ?1 ( x ) ? ?6? 或记作??Db ?2 ( x ) f ( x, y )d? = ? ? ? f ( x, y)dy ? dx ， ? a ? ?1 ( x ) ? ????Df ( x, y )d? = ? dx ?ab?2 ( x )?1 ( x )f ( x, y)dy ?上式右端是一个先对 y，后对 x 积分的累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为 是在求 x 处的截面积 A（x） ，所以 x 是 a，b 之间任何一个固定的值，y 是积分变量；做第二 次积分时，是沿着 x 轴累加这些薄片的体积 A（x）? dx，所以 x 是积分变量. 在上面的讨论中，开始假定了 f（x，y）≥0，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍 然正确.这里把此结论叙述如下： 若 z=f（x，y）在闭区域 D 上连续，D：a≤x≤b，φ1（x）≤y≤φ2（x） ，则 ???Df ( x, y )dxdy = ? dx ?ab?2 ( x )?1 ( x )f ( x, y)dy ?（10-1-3）完全类似地， 先对 x 积分再对 y 积分就有结论： z=f x， 在闭区域 D 上连续， c≤y≤d， 若 （ y） D： ψ1（y）≤x≤ψ2（y） （图 10-7） ，则有 ???Df ( x, y )dxdy = ? dy ?cd?2 ( x )?1 ( x )f ( x, y)dx ?（10-1-4）图 10-7 当我们把二重积分化成累次积分时，需要先画出积分区域 D 的图形，按图形找出区域 D 中点的 x，y 坐标所满足的不等式，然后再来确定两次定积分的上下限.图 10-8 例 1 计算二重积分??Dxyd? ，其中 D 为直线 y=x 与抛物线 y=x2 所包围的闭区域.解 先画出区域 D 的图形，再求出 y=x 与 y=x2 两条曲线的交点，它们是（0，0）及（1， 1）.区域 D（图 10-8）可表示为： 0≤x≤1，x2≤y≤x? 因此由公式（10-1-3）得7?1? 1 x y2 ? xyd? = ? xdx ? 2 ydy = ? ? x ? ??D 0 0 x ? 2 ?x x2dx=1 1 3 5 1 ?0 ( x ? x )dx ? 24 ? 2y .由公式（10-1-4）也可以化为先对 x，后对 y 的积分，这时区域 D 可表为：0≤y≤1，y≤x≤ 得 ? 积分后与上面结果相同. 例 2 计算二重积分??Dxyd? = ? ydy ?01yyxdx .???Dy 1 ? x2 ? y 2 d? ，其中 D 是由直线 y=x，x=-1 和 y=1 所围成的闭区域. 解 画出积分区域 D，易知 D：-1≤x≤1，x≤y≤1（图 10-9） ，若利用公式（10-1-3）得图 10-9 ???Dy 1 ? x2 ? y 2 d? = ? (? y 1 ? x2 ? y 2 dy)dx?1 x3 1 1? 2 2 2? = ? ? ??1 ? x ? y ? ? dx 3 ?1 ? ?x 111=? = 若利用公式（10-1-4） ，就有 ? 也可得同样的结果. 例 3 计算二重积分1 1 2 1 3 3 ??1 x ? 1 dx = ? 3 ?0 ( x ? 1)dx 3??1 ? 2y??Dy 1 ? x2 ? y 2 d? = ? y(??11?11 ? x2 ? y 2 dx)dy ，??Dx2 d? ,其中 D 是直线 y=2，y=x 和双曲线 xy=1 所围之闭区域. y2解求得三线的三个交点分别是 ? , 2 ? , (1,1) 及 （2， .如果先对 y 积分， 2） 那么当?1 ?2? ?1 ≤x≤1 28时，y 的下限是双曲线 y=1 ，而当 1≤x≤2 时，y 的下限是直线 y=x，因此需要用直线 x=1 把 x区域 D 分为 D1 和 D2 两部分（图 10-10）.图 10-10 D1: D2: 于是 ?1 1 ≤x≤1， ≤y≤2； 2 x1≤x≤2， x≤y≤2.??D2 2 1 2 x 2 2 x x2 x2 x2 dx ?1 2 dy + ? dx ? 2 dy d? = ?? 2 d? + ?? d? = ?1 D1 y D2 y 2 1 x y y2 2 x y2? ? x2 ? x2 ? = ?1 ? ? ? dx + ? ? ? ? dx 1 y ?1 ? y ?x 2?221x=?11 22? ? 3 x2 ? x2 ? x ? ?dx + ? ? x ? ?dx ? 1 2 ? 2 ? ? ?? x 4 x3 ? ? x 2 x 3 ? =? ? ? +? ? ? ? 4 6 ? 1 ? 2 6 ?1212=81 27 = 192 641 ≤x≤y，于是 yy如果先对 x 积分，那么 D∶1≤y≤2，???D2 3 2 y x 2? x ? x2 d? = ? dy ?1 2 dx = ? ? 2 ? dy 1 1 3y y2 y y ? ?1y=?21? y2 ?y 1 ? 1 ? ? 3 ? 3 y 5 ? dy = ? 6 ? 12 y 4 ? ? ? ? ?12=27 ? 64由此可见，对于这种区域 D，如果先对 y 积分，就需要把区域 D 分成几个区域来计算. 这比先对 x 积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域 D 和被积函数的9特点，选择适当的次序进行积分. 例 4 设 f（x，y）连续，求证? dx?abxaf ( x, y)dy = ? dx ? f ( x, y)dx ?a ybb证按照公式（10-1-3） ，上式左端可表为? dx?abxaf ( x, y)dy = ??D f ( x, y )d? ，其中 D：a≤x≤b，a≤y≤x（图 10-11）?区域 D 也可表为：a≤y≤b，y≤x≤b，于是改变积分次序， 由公式（10-1-4）可得??由此可得所要证明的等式.Df ( x, y )d? = ? dy ? f ( x, y)dx ?a ybb图 10-11 例 5 求两个半径相等其轴线垂直相交的圆柱面所围成的立体的体积. 解 设圆柱面的半径为 R，且这两个圆柱面的方程分别为： x2+y2=R2， x2+z2=R2? 利用所求立体关于坐标面的对称性， 只需求出它在第一卦限部分的体积， 然后乘以 8 就行了. 所求立体在第一卦限部分，可以看成是一个曲顶柱体，它的底是 xOy 平面上四分之一 圆 D1：0≤x≤R，0≤y≤ R ? x （图 10-12） ，它的顶是 z=2 2R 2 ? x 2 ，于是所求立体的体积为图 10-12 V=8??R 0D1R2 ? x2 d? =8 ? dx ?0R2 ? x2RR2 ? x20R 2 ? x 2 dy2=8?? R2 ? x2 y ? ? ?0dx =8 ?R0?R? x 2 ?dx10=16 3 R. 3四、二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多，我们知道，对定 积分?ba） f ( x)dx 作变量替换 x=φ（t）时，要把 f（x）变成 f（φ（t），dx 变成 φ′（t）dt,积分限 a，b 也要变成对应 t 的值.同样，对二重积分??Df ( x, y )d? 作变量替换? x ? x(u , v), ? ? y ? y (u , v)时，既要把 f（x，y）变成 f（x（u，v） ，y（u，v），还要把 xOy 面上的积分区域 D 变成 uOv ） 面上的区域 Duv，并把 D 中的面积元素 dσ 变成 Duv 中的面积元素 dσ*. 我们先来考虑面积元素的变化情况. * 设函数组 x=x（u，v） ，y=y（u，v）为单值函数，在 Duv 上具有一阶连续偏导数，且其 雅可比行列式 J=? ( x, y ) ≠0, ? (u , v )则由反函数存在定理，一定存在着 D 上的单值连续反函数 u=u（x，y） ，v=v（x，y）? 这时 Duv 与 D 之间建立了一一对应关系， uOv 面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为 xOy 面上的曲线 u（x，y）=u0，v（x，y）=v0.我们用 uOv 面上平行于坐标轴的直线 u=ui，v=vj（i=1，…，n；j=1，…，m） 将区域 Duv 分割成若干个小矩形，则映射将 uOv 面上的直线网变成 xOy 面上的曲线网（图 10-13）.ab图 10-13 在 Duv 中任取一个典型的小区域 ΔDuv （面积记为 Δσ*） 及其在 D 中对应的小区域 ΔD （面 积记为 Δσ） ，如图 10-14 所示.11ab图 10-14 设 ΔD 的四条边界线的交点为 P1（x0，y0） 2（x0+Δx1，y0+Δy1） 3（x0+Δx2，y0+Δy2） ，P ，P 和 P4（x0+Δx3，y0+Δy3）.当 Δu，Δv 很小时，Δxi,Δyi（i=1,2,3）也很小，ΔD 的面积可用 P P2 1 与 P P4 构成的平行四边形面积近似.即 1 Δσ≈｜ P P2 ×P P4 ｜. 1 1 而???? ????? ????? ???? ? ????? ? P1 P2 =（Δx1）i+（Δy1）j=［x（u0+Δu,v0）-x（u0,v0） ］i+［y（u0+Δu,v0）-y（u0,v0］j ≈［x′u（u0,v0）Δu］i+［y′u（u0,v0）Δu］j 同理???? ? P1 P4 ≈［x′v（u0,v0）Δv］i+［y′v（u0,v0）Δv］j,从而得?x ?u ???? ???? ? ? ?u Δσ=｜ P P2 ×P P4 ｜= 1 1 ?x ?v ?v=?y ?u ?u 的绝对值 ?y ?v ?v? ( x, y ) ? ( x, y ) * ??u?v = Δσ . ? (u , v) ? (u , v )因此，二重积分作变量替换 x=x（u，v） ，y=y（u，v）后，面积元素 dσ 与 dσ*的关系为 dσ= 或 dxdy=? ( x, y ) * dσ ? (u , v )? ( x, y ) dudv. ? (u , v )由此得如下结论： 若 f（x，y）在 xOy 平面上的闭区域 D 上连续，变换 T：x=x（u，v） ，y=y（u，v） ，将12uOv 平面上的闭区域 Duv 变成 xOy 平面上的 D,且满足: （1） x（u，v） ，y（u，v）在 Duv 上具有一阶连续偏导数， （2） 在 Duv 上雅可比式 J= （3）变换 T：Duv→D 是一对一的， 则有 ?? ( x, y ) ≠0; ? (u , v )??Df ( x, y )dxdy = ??Duvf ? x(u, v), y(u, v)? J dudv?（10-1-5） 下面我们讨论二重积分计算中最常用的一种换元法――极坐标变换， 得出在极坐标系下 二重积分计算法. 作变换 x=rcosθ，y=rsinθ，则 ? 从而 ?? ( x, y ) cos ? = ? ( r , ? ) sin ??r sin ? r cos ?=r＞0，??Df ( x, y )dxdy = ?? f (r cos ? , r sin ? ) rdrd? . ?D把极坐标系下的二重积分化成二次积分，一般是先对 r 后对 θ 积分.具体有以下几种情 况： （1） 极点是区域 D 的外点，如图 10-15a，则 D 可用不等式 r1（θ）≤r≤r2（θ） ，α≤θ≤βa 来表示，即 ?b 图 10-15?r2 (? )c??Df (r cos ? , r sin ? ) rdrd? = ? d? ??r1 (? )f (r cos ? , r sin ? )rdr .?（2） 极点是区域 D 的边界点，如图 10-15b，则 D 可用不等式 0≤r≤r（θ） ，α≤θ≤β 来表示，即 ???Df (r cos ? , r sin ? ) rdrd? = ? d? ???r (? )0f (r cos? , r sin ? )rdr（3） 极点是区域 D 的内点，如图 10-15c，则 D 可用不等式 0≤r≤r（θ） ，0≤θ≤2π 来表示，则13???Df (r cos ? , r sin ? ) rdrd? = ? d? ?02πr (? )0f (r cos? , r sin ? )rdr例 6 计算二重积分 解??Dxy 2 d? ，其中 D 是单位圆在第 ? 象限的部分.采用极坐标系.D 可表为 0≤θ≤π ，0≤r≤1（图 10-16） ，于是有 2图 10-16 ???Dxy 2 d? = ? 2 d? ? r cos ? ?r 2 sin 2 ? ?rdr0 0?1= 例 7 计算二重积分 解??2 0cos? sin 2 ? d? ? r 4dr =011 ? 15??Dx 2 d? ，其中 D 是二圆 x2+y2=1 和 x2+y2=4 之间的环形闭区域.2? 2 1+ cos2? 15 d? ? r 3dr = π 1 2 4区域 D（图 10-17） ：0≤θ≤2π，1≤r≤2，所以??Dx 2 d? = ? d? ? r 2cos2? ? dr = ? r0 12?20图 10-17*例8计算二重积分??Dey?x y? xdxdy ，其中 D 是由 x 轴，y 轴和直线 x+y=2 所围成的闭区域. 解 令 u=y-x，v=y+x，则 x=v ?u v?u ，y= .? 2 2在此变换下，xOy 面上闭区域 D 变为 uOv 面上的对应区域 D′（图 10-18）. 雅可比式为14J=? ( x, y ) = ? (u , v )?1 2 1 21 2 = 1， ? 1 2 2则得??Dey?x y? xdxdy = ?? e v ?D?u1 dudv 2u v 1 2 1 2 = ? dv ? e v du = ? (e - e-1 )vdv ?v 2 0 2 0=e-e-1.a*b图 10-18 例 9 设 D 为 xOy 平面内由以下四条抛物线所围成的区域： 2=ay， 2=by， 2=px， 2=qx， x x y y 其中 0＜a＜b，0＜p＜q，求 D 的面积. 解 由 D 的构造特点，引入两族抛物线 y2=ux，x2=vy，则由 u 从 p 变到 q，v 从 a 变到 b 时，这两族抛物线交织成区域 D′（图 10-19）.图 10-19 雅可比行列式为 J=? ( x, y ) 1 = ? (u , v ) ? (u , v ) ? ( x, y )15=1 ? y2 x2 2x y 2y x x2 ? 2 y=?1 ， 3则所求面积 S=??Ddxdy = ??D?1 1 （q-p）. dudv = （b-a） 3 3第二节一、三重积分的概念三重积分二重积分在几何上表示曲顶柱体的体积， 三重积分已没有几何意义， 但它在物理和力学 中同样有着重要的应用. 在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求空间 物体的质量问题.设一物体占有空间区域 Ω，在 Ω 中每一点（x，y，z）处的体密度为 ρ（x， y，z） ，其中 ρ（x，y，z）是 Ω 上的正值连续函数.试求该物体的质量. 先将空间区域 Ω 任意分割成 n 个小区域 Δv1，Δv2，…，Δvn （同时也用 Δvi 表示第 i 个小区域的体积）.在每个小区域 Δvi 上任取一点（ξi，ηi,ζi）,由于 ρ （x，y，z）是连续函数，当区域 Δvi 充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点（ξi， ηi，ζi）处的密度，因此每一小块 Δvi 的质量近似等于 ρ（ξi，ηi，ζi）Δvi? 物体的质量就近似等于? ? (? ,? , ? )?vi ?1 i i ini,?令小区域的个数 n 无限增加，而且每个小区域 Δvi 无限地收缩为一点，即小区域的最大直径 λ=maxd（Δvi）→0 时，取极限即得该物体的质量 M= lim? ?0? ? (? ,? , ? )?v .?i ?1 i i i in仿照二重积分定义可类似给出三重积分定义： 定义 1 设 Ω 是空间的有界闭区域，f（x，y，z）是 Ω 上的有界函数，任意将 Ω 分成 n 个小区域 Δv1，Δv2，…，Δvn，同时用 Δvi 表示该小区域的体积，记 Δvi 的直径为 d（Δvi） ， 并令 λ= max d（Δvi） ，在 Δvi 上任取一点（ξi，ηi，ζi）（i=1，2，…，n） ， ，作乘积 f（ξi，ηi，1? i ? nζi） i， Δv 把这些乘积加起来得和式?i ?1nf (?i ,?i , ? i ) ?vi ， 若极限 lim ? f (?i ,?i , ? i ) ?vi 存在(它? ?0i ?1n不依赖于区域 Ω 的分法及点（ξi，ηi，ζi）的取法)，则称这个极限值为函数 f（x，y，z）在16空间区域 Ω 上的三重积分，记作 ?????f ( x, y, z )dv ,n即????f ( x, y, z )dv = lim ? f (?i ,?i , ? i )?vi ,? ?0i ?1其中 f（x，y，z）叫做被积函数，Ω 叫做积分区域，dv 叫做体积元素. 在直角坐标系中，若对区域 Ω 用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一 些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号????f ( x, y , z )dxdydz 来表示，即在直角坐标系中体积元素 dv 可记为 dxdydz. 有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数 ρ（x，y，z）在区域 V 上的三重积 分表示，即 M=??? ? ( x,y, z )dv ,v如果在区域 Ω 上 f（x，y，z）=1，并且 Ω 的体积记作 v，那么由三重积分定义可知 ? 这就是说，三重积分????1dv ? ??? dv =V.??????dv 在数值上等于区域 Ω 的体积.三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述.二、三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 把三重积分????f ( x, y, z )dv 想象成占空间区域 Ω 的物体的质量.设 Ω 是柱形区域，其上、下分别由连续曲面 z=z2（x，y） ，z=z1（x，y）所围成，它们在 xOy 平面上的投影是有界 闭区域 D；Ω 的侧面由柱面所围成，其母线平行于 z 轴，准线是 D 的边界线.这时，区域 Ω 可表示为 z1（x，y）≤z≤z2（x，y）（x，y）∈D? ， 先在区域 D 内点（x，y）处取一面积微元 dσ=dxdy，对应地有 Ω 中的一个小条，再用与 xOy 面平行的平面去截此小条，得到小薄片（见图 10-20）.于是以 dσ 为底，以 dz 为高的小薄片 的质量为 f（x，y，z）dxdydz? 把这些小薄片沿 z 轴方向积分，得小条的质量为? z2 ( x, y ) f ( x, y, z )dz ? dxdy . ? ?z1 ( x , y ) ? ? ?然后，再在区域 D 上积分，就得到物体的质量 ??? ?? ? ?Dz2 ( x , y )z1 ( x , y )f ( x, y, z)dz ? dxdy ? ?17图 10-20 也就是说，得到了三重积分的计算公式 ?????z2 ( x , y ) f ( x, y, z )dv = ?? ? ? f ( x, y, z)dz ? dxdy ? D ? z1 ( x , y ) ? ?= 例 1 计算三重积分 （图 10-21）.??Ddxdy ?z2 ( x , y )z1 ( x , y )f ( x, y, z )dz .?（10-2-1）????xdxdydz ，其中 Ω 是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成的区域图 10-21 解 积分区域 Ω 在 xOy 平面的投影区域 D 是由坐标轴与直线 x+y=1 围成的区域： 0≤x≤1， 0≤y≤1-x，所以????xdxdydz = ?? dxdy ?D1? x ? y0xdz = ? dx ?011? x0dy ?1? x ? y0xdz=? dx?011? x0x(1 ? x ? y)dy=?10x(1 ? x) 2 1 dx = ? 2 24例 2 计算三重积分????zdv ，其中 Ω：x≥0，y≥0，z≥0，x2+y2+z2≤R2（图 10-22）.18解图 10-22 区域 Ω 在 xOy 平面上的投影区域 D：x≥0，y≥0，x2+y2≤R2.对于 D 中任意一点（x，R2 ? x2 ? y 2y） ，相应地竖坐标从 z=0 变到 z=.因此，由公式（10-2-1）得????zdv = ?? dxdy ?DR2 ? x2 ? y 20zdz = ??1 2 ? R ? x2 ? y 2 ?dxdy D 2=R2 - x2 1 R 2 2 2 dx ? ?0 0 ( R ? x ? y )dy 21 R? y3 ? = ? ?? R 2 - x 2 ? y ? ? 2 0 ? 3 ?0 32 1 R 2 2 = ? ? R ? x ? dx 3 0x ? R sin t=R 2 - x2dx1 π 4 2 R cos 4 tdt 3 ?0π 4 R. 16三重积分化为累次积分时， 除上面所说的方法外， 还可以用先求二重积分再求定积分的 方法计算.若积分区域 Ω 如图 10-23 所示，它在 z 轴的投影区间为［A，B］ ，对于区间内的任 意一点 z，过 z 作平行于 xOy 面的平面，该平面与区域 Ω 相交为一平面区域，记作 D（z）. 这时三重积分可以化为先对区域 D（z）求二重积分，再对 z 在［A，B］上求定积分，得????f ( x, y,z )dv = ? dz ?? f ( x, y, z )dxdyA D( z)B（10-2-2）19图 10-23 我们可利用公式（10-2-2）重新计算例 2 中的积分. 区域 Ω 在 z 轴上的投影区间为［0，R］ ，对于该区间中任意一点 z，相应地有一平面区 2 2 2 2 域 D（z） ：x≥0，y≥0 与 x +y ≤R -z 与之对应.由公式（10-2-2） ，得 ?????zdv = ? dz ?? zdxdy .0 D( z)R求内层积分时，z 可以看作常数：并且 D（z） 2+y2≤R2-z2 是 ：x 所以 ?1 ? 个圆，其面积为 （R2-z2） ， 4 41 ? 4 2 2 ???? zdv = ? z ?4? （R -z ）dz= 16 R . 0R例 3 计算三重积分????z dv ，其中 Ω：2x2 y 2 z 2 ? ? ≤1. a 2 b2 c 2解 我们利用公式 （10-2-2） 将三重积分化为累次积分.区域 Ω 在 z 轴上的投影区间为 ［-c， c］ ，对于区间内任意一点 z，相应地有一平面区域 D（z） ：x2 z2 a (1 ? 2 ) c2?y2 z2 b (1 ? 2 ) c2≤1?与之相应，该区域是一椭圆（图 10-24） ，其面积为 πab (1 ?z2 ) .所以? c2z2 )dz c2????z dv = ? z 2 dz ?? dxdy = ? ? abz 2 (1 ??c?c2ccD( z)=4 πabc3? 15图 10-24 读者若自己用公式 （10-2-1） 试算一下， 可知此积分利用公式 （10-2-2） 比用公式 （10-2-1） 计算简便得多.20三、三重积分的换元法对于三重积分????f ( x, y,z )dv 作变量替换：? x ? x (r , s, t ) ? ? y ? y (r , s, t ) ? z ? z ( r , s, t ) ?它给出了 Orst 空间到 Oxyz 空间的一个映射，若 x（r,s,t）,y（r,s,t）,z（r,s,t）属于 C1 类，且? ( x, y , z ) ≠0,则建立了 Orst 空间中区域 Ω*和 Oxyz 空间中相应区域 Ω 的一一对应，与二重 ? ( r , s, t )积分换元法类似，我们有 dv= 于是，有换元公式 ?? ( x, y, z ) drdsdt. ? ( r , s, t )????f ( x, y,z )dv = ??? * f ? x(r,s,t ), y (r,s,t ), z (r,s,t ) ???? ( x, y , z ) drdsdt. ? ( r , s, t )作为变量替换的实例， 我们给出应用最为广泛的两种变换： 柱面坐标变换及球面坐标变 换. 1. 柱面坐标变换 三重积分在柱面坐标系中的计算法如下. 变换? x ? r cos ? , ? ? y ? r sin ? , ? z?z ?称为柱面坐标变换，空间点 M 与（r，θ，z）建立了一一对应关系，把（r，θ，z）称为点 M 的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里 r,θ 为点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标.0≤r＜+∞，0≤θ≤2π，-∞＜z＜+∞（图 10-25）.图 10-25 柱面坐标系的三组坐标面为 （1） r=常数，以 z 为轴的圆柱面； （2） θ=常数，过 z 轴的半平面；21（3） z=常数，平行于 xOy 面的平面.cos ? ? ( x, y , z ) 由于 = sin ? ? (r ,? , z ) 0式为：? r sin ? r cos ? 00 0 =r，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系 1dxdydz=rdrdθdz. 于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为： ?????f ( x, y,z )dxdydz = ??? f (r cos ? , r sin ? , z )rdrd? dz .??（10-2-3）至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域 Ω 向 xOy 面投影得投影区域 D，以确定 r，θ 的取值范围，z 的范围确定同直角坐标系情形. 例 4 计算三重积分????z x2 ? y 2 dxdydz ，其中 Ω 是由锥面 z= x 2 ? y 2 与平面 z=1所围成之区域. 解 在柱面坐标系下，积分区域 Ω 表示为 r≤z≤1，0≤r≤1，0≤θ≤2π（图 10-26） ，所以????r z x2 ? y 2 dxdydz = ? d? ? dr ? z? 2dz0 0 r2?11=2π?101 2 2 r (1 ? r 2 )dr = π. 2 15图 10-26 例 5 计算三重积分??? ? x?2? y 2 ?dxdydz ，其中 Ω 是由曲线 y2=2z，x=0 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z=2，z=8 所围之区域. 解 曲线 y2=2z，x=0 绕 z 旋转，所得旋转面方程为 x2+y2=2z. 积分区域 Ω 向 xOy 面投影得投影区域 D，由于过 D 中的点作 z 轴平行线穿过 Ω 时，与 围成 Ω 的不同曲面相交，因此，需把 D 分成两个部分 D1 和 D2（图 12-27） ，则 ???? ? x?2? y 2 ?dxdydz = ?? drd? ? r 3dz + ?? drd? ?r 2 r 3dz88D12D22=?2?0d? ? 6r 3dr + ? d? ? r 3 (8 00 222?4r2 )dr 2=336π.?22图 10-27 2. 球面坐标变换 三重积分在球面坐标系中的计算法 变换? x ? r sin ? cos ? , ? ? y ? r sin ? sin ? , ? z ? r cos ? ?称为球面坐标变换，空间点 M 与（r，φ，θ）建立了一一对应关系，把（r，φ，θ）称为 M 的球面坐标（图 10-28） ，其中 0≤r＜+∞, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π.图 10-28 球面坐标系的三组坐标面为： （1）r=常数，以原点为中心的球面； （2）φ=常数，以原点为顶点，z 轴为轴，半顶角为 φ 的圆锥面： （3）θ=常数，过 z 轴的半平面. 由于球面坐标变换的雅可比行列式为sin ? cos ? ? ( x, y , z ) ? = sin ? sin ? ? (r , ? ,? ) cos ?r cos ? cos ? r cos ? sin ? ? r sin ?? r sin ? sin ? r sin ? cos ? 0=r2sinφ， 则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为: dxdydz=r2sinφdrdθdφ? 于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为 ?????f ( x, y , z )dxdydz23=?????f (r sin ? cos ? , r sin ? sin ? , r cos ? )?r 2sin? drd? d? .（10-2-4）例 6 计算三重积分????( x 2 ? y 2 ? z 2 )dxdydz ，其中 Ω 表示圆锥面 x2+y2=z2 与球面x2+y2+z2=2Rz 所围的较大部分立体. 解 在球面坐标变换下，球面方程变形为 r=2Rcosφ，锥面为 φ=π （图 10-29）.这时积 4分区域 Ω 表示为 0≤θ≤2π，0≤φ≤π ，0≤r≤2Rcosφ， 4图 10-29 所以 ?????( x 2 ? y 2 ? z 2) d xd yd z=????r 2 ?r 2 sin ? drd? d? = ? d? ? 4 d? ? ?0 02 R cos ? 02ππ2 R cos?0r 4 sin ? dr=2π π 4 sin ? (r 5 ) 5 ?0d? =28 5 πR . 15例 7计算三重积分2 2????(2 y ? x2 ? z 2 )dxdydz ，其中 Ω 是由曲面 x2+y2+z2=a2 ，x2+y2+z2=4a2， x ? z =y 所围成的区域.图 10-3024解 积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为 x=rsinφcosθ, z=rsinφsinθ, y=rcosφ， 这时 dv=r2sinφdrdφdθ，积分区域 Ω 表示为 a≤r≤2a，0≤φ≤π ，0≤θ≤2π（图 10-30）.所以 4????(2 y ? x ? z )dxdydz = ? d? ? d? ? (2r cos ? ? r sin ? )r 2 sin ? dr2 20 a2ππ 4 02a=?? 15 15 ? 4 ? π?a π . ? 8 16 ?值得注意的是，三重积分计算是选择直角坐标还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积 分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域 Ω 的边界面中有柱面或圆 锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类 似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算. *第三节广义二重积分与一元函数的广义积分一样， 二重积分也可以推广到无穷区域与无界函数两类广义二重 积分，下面对这两类广义二重积分的概念和收敛的判别法则作一简单介绍（证明略去）. 1.无界区域的广义二重积分 定义 1 设 D 是一无界区域，f（x，y）是定义在 D 上的有界函数，任作一有界闭区域 序列 D1，D2，…，Dn，使 Dn ? D（n=1，2，…） n ? Dn+1，且当 n→+∞时 Dn 扩张成为 ，D D.如果不论 Dn 如何作法，极限n???lim ?? f ( x, y)d?Dn均存在，那么称 f（x，y）在无界区域 D 上的广义二重积分 限值为该广义二重积分的值，即 积分发散. 定理 1（收敛判别法）??Df ( x, y )d? 收敛，并称此极??Df ( x, y )d? = lim ?? f ( x, y)d? ；否则称此广义二重n??? Dn设 f（x，y）在无界区域 D 上连续，若存在 ρ0 ＞0，使当2 2 ρ= x ? y ≥ρ0 且（x，y）∈D 时，有｜f（x，y）｜≤M??D，其中 M 与 α 均为常数，则当 α＞2 时广义二重积分 例 1 证明无界区域上的二重积分 I= 收敛，并求其值，其中 R2 是全平面. 证 由于对任一常数 α＞2 均有? ?????f ( x, y )d? 收敛.??R2e? x2? y2dxdylim ? ? e? ? =0＜1,225从而 ? ρ0＞0，使当 ρ＞ρ0 时有e? ? ＜21??,由定理 1 可知广义二重积分 I 收敛. 因此，要求 I 的值只需要选取一组可以扩充到全平面的特殊区域序列去计算就行了. 现取 Rn ={（x，y）｜x2+y2≤2 an }，当 n→+∞时，有 an→+∞，于是 I=2 2??R2e?( x2?2? y2 )dxdy = lim2n?????2 Rne? ( x2? y2 )dxdy ?2= limn??? 0?d? ? e? ? ?d? = lim π（1? e? an ）=π.?0n? ??an如果我们把扩充至全平面的区域序列选作正方形序列 Dn={（x，y）｜?n≤x≤n，?n≤y≤n}， 那么有 I=????R2e?( xn2? y2 )dxdy = limn2n?????Dne? ( x2? y2 )dxdy2= lim (n?????n2e? y dy ? e? x dx) ? lim (? e? x dx)22n?nn????n=(???e? x dx)2 . ? (? e? x dx)2 =π,2由于广义二重积分 I 存在，其值为 π，从而?? ??或1 π?????e ? x dx =1.?2（10-3-1）（10-3-1）式中的广义积分称为概率积分，它在概率统计中占有重要的地位. 2. 无界函数的二重积分 定义 2 设 f（x，y）在有界闭区域 D 上除一点 P0（x0，y0）外处处连续，且当（x，y） →（x0，y0）时，f（x，y）→∞，作点 P0 的任一 d 邻域 U（P0，d） ，记 Nd=U（P0，d）∩D. 如果不论 U（P0，d）如何选取，当 d→0，即 Nd 缩为点 P0 时，极限limd ?0D ? Nd??f ( x, y)d?存在，那么称 f（x，y）在有界区域 D 上的二重积分 此广义二重积分的值，即??Df ( x, y )d? 收敛，并称该极限值为??Df ( x, y )d? = limd ?0D ? Nd??f ( x, y)d? ；否则,称其发散.定理 2（收敛判别法） 设 f（x，y）在有界闭区域 D 上除 P0（x0，y0）外处处连续， 且当（x，y）→（x0，y0）时 f（x，y）→∞，若不等式 ｜f（x，y）｜≤M??26在 D 上除点（x0，y0）外处处成立，其中 M 与 α 均为常数，且? ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ，则当 α＜2 时广义二重积分 例2??Df ( x, y )d? 收敛.证明广义二重积分 I=??D1 d? x? y收敛，并求其值，其中 D={（x，y）｜x2+y2≤1}? 证 由于 （｜x｜+｜y｜）2≥x2+y2， 因此在 D 内除点（0，0）外有1 1 1 ≤ = ， x? y x2 ? y2 ?由定理 2 可知广义二重积分 I 收敛. 作 P0（0，0）的任一邻域 U（P0，d） ，则 I= limd ?0D ?U ( P0 ,d )??? 2 1 1 rdr d ? = lim 4 ? d? ? d ?0 0 d r cos ? ? r sin ? x? y=4 limd ?0?? 20d? cos ? ? sin ?? dr =4d12 ln（ 2 +1）.第四节重积分的应用我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题， 这种元素法也可以推广到重积分的 应用中，如果所考察的某个量 u 对于闭区域具有可加性（即：当闭区域 D 分成许多小闭区 域时，所求量 u 相应地分成许多部分量，且 u 等于部分量之和） ，并且在闭区域 D 内任取一 个直径很小的闭区域 dΩ 时， 相应的部分量可近似地表示为 f M） 的形式， （ dΩ 其中 M 为 dΩ 内的某一点，这个 f（M）dΩ 称为所求量 u 的元素而记作 du，以它为被积表达式，在闭区 域 D 上积分 u=?Df ( M )d? ,?（10-4-1）这就是所求量的积分表达式，显然当区域 D 为平面闭区域，M 为 D 内点（x，y）时，dΩ=dσ 即为面积微元，则（10-4-1）式可表示为 u=??Df ( x, y )d? .?当区域 D 为空间闭区域，M 为 D 内点（x，y，z）时，dΩ=dv 即为体积微元，则（10-4-1） 式可表示为 u=???Df ( x, y, z )dv下面仅讨论重积分在几何物理上的一些应用.27一、空间曲面的面积设曲面 S 的方程为 z=f（x，y） ，曲面 S 在 xOy 坐标面上的投影区域为 D，f（x，y）在 D 上具有连续偏导数 fx（x，y）和 fy（x,y）,我们要计算曲面 S 的面积 A. 在 D 上任取一面积微元 dσ，在 dσ 内任取一点 P（x，y） ，对应曲面 S 上的点 M（x，y， f（x，y） ）在 xOy 平面上的投影即点 P，点 M 处曲面 S 有切平面设为 T（图 1031） ，以小区 域 dσ 的边界为准线，作母线平行于 z 轴的柱面，这柱面在曲面 S 上截下一小片曲面，其面 积记为 ΔA，柱面在切平面上截下一小片平面，其面积记为 dA，由于 dσ 的直径很小，切平 面 T 上的那一小片平面的面积 dA 可近似代替曲面 S 上相应的那一小片曲面的面积 ΔA，即 ΔA≈dA图 10-31 设点 M 处曲面 S 的法线（指向朝上）与 z 轴正向的夹角为 γ，则根据投影定理有 dA=d? . cos ?1，因为cosγ=1 ? f x2 ( x, y ) ? f y2 ( x, y )所以dA=1 ? f x2 ( x, y ) ? f y2 ( x, y )d? ,这就是曲面 S 的面积元素.以它为被积表达式在闭区域 D 上积分，得 A= 或 A=??D1 ? f x2 ( x, y) ? f y2 ( x, y)d???D? ?z ? ? ?z ? 1 ? ? ? ? ? ? dxdy , ? ?x ? ? ?y ?22这就是曲面面积的计算公式. 设曲面方程为 x=g（y，z） ［或 y=h（z，x），则可把曲面投影到 yOz 面上（或 zOx 面上） ］ ， 得投影区域 Dyz（或 Dzx） ，类似可得 A= 或??Dyz? ?x ? ? ?x ? 1 ? ? ? ? ? ? dydz , ? ?y ? ? ?z ?2228A=??Dzx? ?y ? ? ?y ? 1 ? ? ? ? ? ? d zd x . ? ?x ? ? ?z ?2 2例 1 求半径为 a 的球的表面积. 解2 2 2 取上半球面方程为 z= a ? x ? y ，则它在 xOy 面上的投影区域 D 可表示为x2+y2≤a2. 由??z ?x ? ， 2 ?x a ? x2 ? y 2 ?z ?y ? , 2 ?y a ? x2 ? y 2得a ? ?z ? ? ?z ? . 1? ? ? ? ? ? = ? ?x ? ? ?y ? a2 ? x2 ? y222因为这函数在闭区域 D 上无界，不能直接应用曲面面积公式，由广义积分得 A= 2 用极坐标,得 A=2a??a a ? x2 ? y 22Ddxdy .?2?0d? ?ar a ?r2 20dr =4πa2.1 （x2+y2）被圆柱面 x2+y2=R2 所截下部分的曲面面积 S. 2 1 解 曲面的图形如图 10-32 所示.曲面的方程为 z= （x2+y2） ，它在 xOy 坐标面上的投 2例 2 求旋转抛物面 z= 影区域为 D；x2+y2=r2≤R2,即 r≤R?图 10-32 ?由?z ?z =x，? =y， ?y ?x29得S=??D? ?z ? ? ?z ? 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?22= 用极坐标，则 S=??D1 ? x2 ? y 2 dxdy.2???D1 ? r 2 rdrd? = ? d? ? r 1 ? r 2 dr0 0R=2π?1 2?R03 ? 2 ? 1 ? r 2 d(1 ? r 2 ) = ? ??1 ? R 2 ? 2 ? 1? .? 3 ? ?二、空间几何体的体积设空间几何体 Ω 的体积为 V，曲面 z=f1（x，y）为顶，曲面 z=f2（x，y）为底，顶与底 在 xOy 平面上的投影区域为 D，如图 10-33 所示，由二重积分和三重积分的定义，有 V= 或 V=?? ? fD2( x, y ) ? f1 ( x, y ) ?d?????dV ,其中 dσ 为 D 的面积微元， 为 Ω 的体积微元.同样可把 Ω 投影到 yOz 平面或 zOx 平面上再 dV 应用二重积分的求体积公式.图 10-33 例 3 求由球面 x +y +z =4a 与圆柱面 x2+y2=2ax 所围成的立体的体积（包含在圆柱体 内的部分）. 解 圆柱面标准方程为（x-a）2+y2=a2，所围成的立体在第一卦限中的部分，是一个以2 2 2 2半圆域（x-a）2+y2＜a2，y≥0 为底，以曲面 z=4a 2 ? x 2 ? y 2 为顶的曲顶柱体（图 10-34）.30图 10-34 设立体体积为 V，则有 V= 4 利用极坐标有 V= 4 =??D4a2 ? x2 ? y 2 d? .?2 a cos?32 3 ? 2 a ( ? ). 3 2 3??D4a ? r ? drd? = 4? 2 d? ? r2 2004a 2 ? r 2 rdr例 4 在一个形状为旋转抛物面 z=x2+y2 的容器 （图 10-35） 已经盛有 8πcm3 的溶液， 内， 3 现又倒进 120πcm 的溶液，问现在的液面比原来的液面升高多少？解图 10-35 设液面高度为 h，则由 z1=x2+y2 与 z2=h 所围成的立体体积为 V=??D( z2 ? z1 )d? = ?? (h ? x 2 ? y 2 )d? .D在极坐标系内，D 表示为 0≤r≤ h ，0≤θ≤2π， 于是，容量 V 与高度 h 之间的关系是 V=??2 0d? ? (h ?r 2 )rdr =0h? 2 h . 2把 V1=8π 与 V2=128π 分别代入上式，就得 h1=4，h2=16.因此，现在的液面比原来的液面升高 了 h2-h1=12cm. 例 5 求由球面 x2+y2+z2=2az（a＞0）和顶角为 2α，以 z 轴为中心轴的圆锥面所围成的 立体的体积（图 10-36）.?31图 10-36 在球面坐标系下球面 x2+y2+z2=2az 的方程为 r=2acosφ， 圆锥面的方程为 φ=α.这个立体 Ω 可表示为 0≤θ≤2π，0≤φ≤α，0≤r≤2acosφ，则体积 V 可表示 为 解 V= =????dV = ??? r 2sin? drd? d???2?0d? ? sin ?d? ?0?2? cos?0r 2dr=2π? = 读者也可以用二重积分计算本题.8 3 a 3??0cos3 ? sin ? d?4 3 πa （1-cos4α）. 3三、平面薄片的重心设在 xOy 平面上有 n 个质点，它们分别位于点（x1，y1）（x2，y2） ， ，…， n，yn）处， （x 质量分别为 m1，m2，…，mn.由力学知识知道，该质点系的重心的坐标为x?My M??m xi ?1 nni i?mi ?1 n i,iM y? x ? M?m yi ?1 ni?mi ?1,i其中 M=? mi 为该质点系的总质量.My= ? mi xi ，Mx=i ?1 i ?1nn?m yi ?1 ini分别为该质点系对 y轴和 x 轴的静矩. 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D，在点（x，y）处的面密度为 ρ（x，y） ，ρ（x， y）在 D 上连续，现在要找该薄片的重心坐标. 在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这个小闭域的面积也记作 dσ）（x，y）是 ，32这个闭区域上的一个点.由于 dσ 直径很小，且 ρ（x，y）在 D 上连续，所以薄片中相应于 dσ 的部分的质量近似等于 ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可 写出静矩元素 dMy 及 dMx 分别为： dMy=xρ（x，y）dσ，dMx=yρ（x，y）dσ. 以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得 My= Mx= 又由第一节知道，薄片的质量为 M= 所以，薄片的重心的坐标为?? ?? ??Dx ? ( x, y )d? , y ? ( x, y )d? .DD? ( x, y )d? ，x?My M Mx M?y??? x? ( x, y)d? , ?? ? ( x, y)d? ?? y ? ( x, y)d? ? ?? ? ( x, y)d?D D D D如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把 ρ 提到积分记号外面并从分子、分 母中约去，于是便得到均匀薄片重心的坐标为x=1 xd? ， A ??D 1 y = ?? yd? ， A D（10-4-2）其中 A=??Dd? 为闭区域 D 的面积.这时薄片的重心完全由闭区域 D 的形状所决定.我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此平面图形 D 的形心，就可用 公式（10-4-2）计算. 例 6 求位于 r=1，r=2 之间的均匀半圆环薄片的重心（图 10-37）.图 10-37 解 为 A= 因为闭区域 D 对称于 y 轴，所以重心 C x, y 必位于 y 轴上，于是 x =0，D 的面积? ?1 2 1 3 ? 2 ? ? ?12 ? ? ? .? 2 2 233而 ?? 2 ? ?1 3 ? 2 ??D yd? ? ?0 sin ? d? ?1 r dr = ? ? cos ? ?0 ? 3 r ?1 ? ?2= 所以由公式（10-4-2）得14 ， 3y=1 1 14 28 ?? yd? = 3 3 = 9? ， A ? 2即重心为 ? 0,? ?28 ? ?. 9? ?四、平面薄片的转动惯量设在 xOy 平面上有 n 个质点，它们分别位于点（x1，y1）（x2，y2） ， ，…， n，yn）处， （x 质量分别为 m1，m2，…，mn.由力学知识知道，该质点系对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量 依次为： Ix=? yi2 mi ,i ?1nIy=? x m .?i ?1 2 i in设有一薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在点（x，y）处的面密度为 ρ（x，y） ，假定 ρ （x，y）在 D 上连续.现在要求该薄片对于 x 轴的转动惯量 Ix 以及对于 y 轴的转动惯量 Iy. 应用元素法.在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这个小闭区域的面积也记作 dσ）（x，y）是这小闭区域上的一个点.因为 dσ 的直径很小，且 ρ（x，y）在 D 上连续，所 ， 以薄片中相应于 dσ 部分的质量近似等于 ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x， y）上，于是可写出薄片对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量元素： dIx=y2ρ（x,y）dσ; dIy=x2ρ（x,y）dσ. 以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得 Ix=??Dy 2 ? ( x, y )d? ，Iy=??Dx 2 ? ( x, y )d? .?（10-4-3）例 7 求由 y2=4ax，y=2a 及 y 轴所围成的均质薄片（面密度为 1）关于 y 轴的转动惯量 （图 10-38）.图 10-3834解区域 D 由不等式 0≤y≤2a,0≤x≤y2 所确定.根据转动惯量 Iy 的计算公式，得 4ax d? = ? dy ?2Iy= =??2aD0y2 4a 0x 2 dx2a 02a 1 1 1 7 y 6dy = ? y 3 ?0 192a 192a3 7 2 4 = a . 21五、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有 xOy 平面上的闭区域 D，在点（x，y）处的面密度为 ρ（x，y） ， 假定 ρ（x，y）在 D 上连续.现在要计算该薄片对位于 z 轴上的点 M0（0，0，a） （a＞0）处 的单位质量的质点的引力. 我们应用元素法来求引力 F=（Fx，Fy，Fz）.在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ （这小闭区域的面积也记作 dσ）（x，y）是 dσ 上的一个点.薄片中相应于 dσ 的部分的质量 ， 近似等于 ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）处，于是，按两质点间的 引力公式，可得出薄片中相应于 dσ 的部分对该质点的引力的大小近似地为 G? ( x, y )d?r2，2 2 2 引力的方向与（x，y，0-a）一致，其中 r= x ? y ? a ，G 为引力常数.于是薄片对该质点的引力在三个坐标轴上的投影 Fx，Fy，Fz 的元素为：r3 ? ( x, y ) yd? dFy=G ， r3 ? ( x, y )(0 ? a)d? dFz=G . r3以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得到 Fx=GdFx=G? ( x, y ) xd?，?? ??? ( x, y) x(x ? y ? a )2 2 3 2 2Dd? ，Fy=G? ( x, y) y(x ? y ? a )2 2 3 2 2Dd? ，（10-4-4）Fz=-Ga??? ( x, y )(x ? y ? a )2 2 3 2 2Dd? .例 8 求面密度为常量、半径为 R 的匀质圆形薄片：x2+y2≤R2，z=0 对位于 z 轴上点 M0 （0，0，a） （a＞0）处单位质量的质点的引力. 解 由积分区域的对称性易知，Fx=Fy=0.记面密度为常量 ρ，这时35Fz=-Gaρ???R 0d? ( x2 ? y 2 ? a )3 2 2D3 2 2=-Gaρ?2?0d? ?Rrdr (r 2 ? a 2 ) 230=-πGaρd(r 2 ? a 2 ) (r 2 ? a )1=2πGaρ ??1? ? ?， 2 2 a? ? R ?a 1故所求引力为 ? 0, 0, 2? Ga ? ?? ? ?1 ?? ? ?? . 2 2 a ?? ? R ?a ? ?六、三重积分应用举例类似于二重积分的应用， 三重积分在物理学上也有相应的应用， 例如求空间物体的重心、 转动惯量、引力等. 当物体占有空间闭域 Ω，体密度为 ρ（x，y，z）时，用微元法不难得到如下结论: （1） 其重心坐标为1 x ? ( x, y, z )dv, M ???? 1 y? y ? ( x, y, z )dv, M ???? 1 z? z ? ( x, y, z )dv, M ???? x?其中 M=（10-4-5）????? ( x, y, z )dv. ?（2） Ω 绕 x 轴、y 轴、z 轴及原点的转动惯量分别为 Ix= Iy= Iz=????( y 2 ? z 2 ) ? ( x, y, z )dv, ，（10-4-6）?????( x 2 ? z 2 ) ? ( x, y, z )dv,???( x 2 ? y 2 ) ? ( x, y, z )dv, ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( x, y, z )dv. ?I0=????（3）对质量为 m 的质点 ρ0（x0，y0，z0）的引力在 x，y，z 轴的分量为 Fx=Gm????? ( x, y, z )( x ? x0 )r3?dv,Fy=Gm????? ( x, y, z )( y ? y0 )r3dv,（10-4-7）Fz=Gm 其中???? ( x, y, z )( z ? z0 )r3dv,r=（x-x0，y-y0，z-z0）.?36例 9 设一均匀物体由球面 x2+y2+z2=R2 与半顶角为 ? 的圆锥面 x2+y2=z2tan2α(0＜α＜? )围成， 如图 10-39 所示， 2求其重心.图 10-39 解 为： 0≤r≤R，0≤θ≤2π，0≤φ≤α. 由公式（10-4-5）知 由密度 ρ 为常数及物体的对称性知 x ? y =0， 采用球面坐标变换， 积分区域 Ω 表示z?而 ???? zdv ， ??? dv? ?????zdv ? ? d? ? d? ? r cos ? ?r 2 sin ?dr0 0 02??R= ? 得1 4 πR (1 ? cos 2 ? ) ， 4???2? ? R 2 dv ? ? d? ? d? ? r 2 sin ? dr ? ? R3 (1 ? cos ? ) ， ? 0 0 0 3 3 z ? (1 ? cos ? ) R . 8因此，重心坐标为 ? 0, 0, (1 ? cos ? ) R ? . 例 10 解 求密度为 1 的均匀球体 x2+y2+z2≤a2 对 z 轴的转动惯量.? ?3 8? ?由（10-4-6）知 Iz=???π?( x 2 + y 2 )dv .在球坐标变换下，积分区域 Ω′表示为 0≤θ≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤a.? 于是 Iz=?2π0d? ? d? ? r 2 sin 2 ? r 2 sin ?dr = ? d? ? sin3 ? ? r 4dr0 0 0 0 0a2ππa=2π ? ?4 a 5 8πa 5 = . 3 5 1537第五节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念1. 曲线形物件的质量 例 1 设有平面上一条光滑曲线 L，它的两端点是 A，B，其上分布有质量，L 上任意一 点 M（x，y）处的线密度为 ρ（x，y） ，当点 M 在 L 上移动时，ρ（x，y）在 L 上连续，求此 曲线弧的质量 M.图 10-40 解 用分点 A=M0，M1，…，Mn-1，Mn=B，将曲线 L 任意分成 n 小段（见图 10-40） M0M1，M1M2，…，Mn-1Mn， 每小段 Mi-1Mi 的弧长记作 Δsi（i=1，2，…，n） ，当 Δsi 很小时，Mi-1Mi 上的线密度可以近似 看作是常量，它近似地等于 Mi-1Mi 上某点 Ki（ξi,ηi）处的值，于是这一小段的质量 ΔMi≈ρ（ξi，ηi）Δsi? 将它们求和，可得此曲线弧总质量的近似值 M= 记 λ= max ?si ，取极限得1? i ? n? ?M ≈ ? ? (? ,? )?si ?1 i i ?1 i inni.M= lim? ?0? ? (? ,? )?s .i ?1 i i in当求质量分布不均匀的曲线弧的重心、转动惯量时，也会遇到与上式类似的极限.为此 我们引进对弧长的曲线积分的定义. 定义 设函数 f（x，y）在分段光滑曲线 L 上有定义，A，B 是 L 的端点，依次用分点 A=M0，M1，…，Mn-1，Mn=B 把 L 分成 n 小段 M0M1,M1M2,…,Mn-1Mn， 每小段的弧长记为 ?si ，在 Mi-1Mi 上任取一点 Ki （ξi,ηi ）,若 λ= max ?si →0 时，和式1? i ? n? f (? ,? )?s 的极限存在(它不依赖于曲线 L 的分法及点（ξ ，η ）的取法)，则称这个极限i ?1 i i inii值为 f（x，y）沿曲线 L 对弧长的曲线积分，记作?Lf ( x, y )ds ，即38?Lf ( x, y )ds = lim ? f (?i ,?i )?si .? ?0i ?1n按定义可知，曲线弧的质量 M 等于线密度 ρ（x，y）沿曲线 L 对弧长的曲线积分： M=?L? ( x, y )ds ?二、对弧长的曲线积分的性质根据定义可以证明（证明从略） ，若函数 f（x，y）在 L 上连续(或除去个别点外，f（x， y）在 L 上连续，有界)，L 是逐段光滑曲线，则 f（x，y）在 L 上对弧长的曲线积分一定存 在(即 f（x，y）在 L 上可积). 设 f（x，y） ，g（x，y）在 L 上可积，则有以下性质： （1） （2）?Lkf ( x, y )ds =k ? f ( x, y )ds （k 为常数） ；L L? ? f ( x, y ) ? g ( x, y )? ds = ?Lf ( x, y )ds ? ? g ( x, y )ds ；L（3） 如果曲线 L 由 L1，L2，…，Lk 几部分组成，则在弧 L 上的积分等于在各部分上 积分之和，即?Lf ( x, y )ds = ? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds ? ? ? ? f ( x, y)ds .?L1 L2 Lk三、对弧长的曲线积分的计算法定理 设曲线 L 由参数方程 x=x（t） ，y=y（t） （α≤t≤β）表示，x（t） ，y（t）在区间［α， 2 2 β］上有一阶连续导数，且 x′ （t）+y′ （t）≠0（即曲线 L 是光滑的简单曲线） ，函数 f（x， y）在曲线上连续，则?Lf ( x, y )ds = ? f ( x(t ), y(t )) x?2 (t ) ? y?2 (t )dt .??（10-5-1）图 10-41 证 如图 10-41 所示，设曲线 L 以 A，B 为端点，弧 AB 的长度为 l，L 上任一点 M 可由AM 弧长 ? =s 来确定，以 s 为曲线 L 的参数，点 A 对应于 s=0，点 B 对应于 s=l，点 Ki（ξi，ηi）对应于 s=si，于是根据定义?Lf ( x, y )ds = lim ? f (?i ,?i )?si = lim ? f ( x( si ), y ( si ))?si? ?0i ?1nn? ?0i ?139= 由假设曲线 L 由参数方程?l0f ( x(s), y(s))ds .?（10-5-2）x=x（t） ，y=y（t） （α≤t≤β） 表示，x′（t）,y′（t）在［α，β］上连续，设弧长 s 随 t 的增大而增大，于是2 2 s′（t）= x? (t ) ? y ? (t ) .将（10-5-2）式右端作变量代换，并注意 t=α 时，s=0，t=β 时，s=l，于是得?Lf ( x, y )ds = ? f ( x(t ), y(t )) x?2 (t ) ? y?2 (t )dt .???证毕. 定理告诉我们，曲线积分可化为定积分来进行计算，由公式（10-5-1）可见，计算曲线 积分时，必须将被积函数中的变量 x 和 y，用坐标的参数式代入，同时将 ds 化为弧长微分的 参数形式；并且积分限对应于端点的参数值，下限 α 必须小于上限 β. 若曲线 L 由方程 y=y（x） （a≤x≤b）给出，y（x）在［a，b］上有一阶连续导数，f（x， y）在曲线 L 上连续，则? ?一段弧.Lf ( x, y )ds = ? f ( x, y( x)) 1 ? y?2 ( x)dx .ab（10-5-3）类似地，若曲线 L 由方程 x=x（y） （c≤y≤d）给出，x（y）在［c，d］上有一阶连续导数， f（x，y）在曲线 L 上连续.则Lf ( x, y )ds = ? f ( x( y), y) x?2 ( x) ? 1dy.cd?（10-5-4）例 2 计算曲线积分?2Ly ds ，曲线 L 是抛物线 y=1 2 x 自点（0，0）到点（2，1）的 4?x? 解 因为 ds= 1 ? y ? dx = 1 ? ? ? dx ,而 x 的变化区间是［0，2］ ，由公式（10-5-3） ?2?得2?Ly ds = ?=201 x2 2 x2 3 x 1 ? dx = (1 ? ) 2 2 4 3 42 02 (2 2 ? 1) .? 3x2 y 2 ? ? 1在第 ? 象限中的部分. a 2 b2例 3 计算曲线积分 I= 解?Lxyds ，L 是椭圆由椭圆的参数方程 x=acost，y=bsint，可得 x′t=-asint，y′t=bcost，2 2 2 2 2 ds= xt? ? yt? dt= a sin t ? b cos t dt按公式（10-5-1）,得 I=?Lxyds = ? 2 a cos t ? sin t a 2 sin 2 t ? b2 cos2 t dt b0?40=ab ? 2 1 ? cos 2t 2 1 ? cos 2t ?02 sin 2t a 2 ? b 2 dt 2ab ? a 2 ? b 2 b 2 ? a 2 ?02 2 ? 2 cos 2t d(cos 2t ) 4 ab 1 a 2 ? b 2 b 2 ? a 2 ? u du 4 ??1 2 21 ?1=?cos 2t ? uab 2 2 a 2 ? b 2 b 2 ? a 2 3 2 = ( ? u) 4 b2 ? a 2 3 2 2=ab a 2 ? ab ? b 2 .? 3 a?b以上我们讨论了平面上弧长的曲线积分.完全类似地，可以建立空间对弧长的曲线积分 的定义、性质与计算方法.设给定空间曲线积分?空间曲线 Γ 的参数方程为 则?f （x，y，z）ds，x=x（t） ，y=y（t） ，z=z（t） （α≤t≤β） ，??f （x，y，z）ds=???f ( x(t ), y(t ), z(t )) x?2 (t ) ? y?2 (t ) ? z?2 (t )dt（10-5-5）例 4 计算曲线积分?ds , ? x ? y2 ? z22其中 Γ 是螺旋线 x=acost，y=asint，z=bt 的第一圈，如图 10-42 所示.图 10-42 解 因为2 2 2 ds= x? (t ) ? y? (t ) ? z ? (t )dt41= (?a sin t )2 ? ? a cos t ? ? b2 dt2= a ? b dt ，2 2t 的变化区间是［0，2π］ ，由公式（10-5-5）即得2? ds dt = a 2 ? b2 ? 2 2 ?? x ? y ? z 0 a 2 ? b 2t 22=a 2 ? b2 bt arctan ab a2? 0a 2 ? b2 2? b arctan = .? ab a第六节对面积的曲面积分曲面积分的积分区域是空间的曲面，这里我们所讨论的曲面都是光滑的或分片光滑的. 如果曲面 Σ 上每点 M 都有切平面，而且当 M 沿曲面连续变动时，切平面的法向量在曲面上 连续变化，就称曲面 Σ 是光滑的；如果曲面 Σ 是由几块光滑曲面组成的连续曲面，就称 Σ 是分片光滑的.一、对面积的曲面积分的概念类似于对弧长的曲线积分的引入，我们从求曲面壳（即曲面 Σ 上分布有质量）的质量 问题得到对面积的曲面积分的概念. 类似于第五节中求曲线形物体的质量,只需把曲线改为曲面，并相应地把线密度 ρ（x,y） 改为面密度 ρ（x,y,z）,小段曲线的弧长 Δsi 改为小块曲面的面积 ΔSi,第 i 小段曲线上的一点 ki（ξi,ηi）改为第 i 小块曲面上的一点 ki（ξi,ηi,ζi） ，于是，在面密度 ρ（x,y,z）连续的前提下， 所求曲面壳的质量 M 就是下列和式的极限： M= lim? ?0? ? (? ,? , ? ) Δs ,i ?1 i i ini其中 λ 表示 n 小块曲面的直径的最大值. 在其他的问题中也会遇到与上式类似的极限，于是我们引进对面积的曲面积分的定义. 定义 设函数 f（x，y，z）在分片光滑曲面 Σ 上有界，任意分割 Σ 成 n 小片 ΔSi，第 i 小片面积也记作 ΔSi（i=1,2,…,n）,在 ΔSi 上任取一点（ξi，ηi，ζi） ，作和式? f (? ,? , ? )?Si ?1 i i ini当 ΔSi 的最大直径（曲面上两点的最大距离）λ→0 时，如果上述和式的极限存在，则此 极限值称为函数 f（x，y，z）在曲面 Σ 上对面积的曲面积分.记作42????f ( x, y, z )dS = lim ? f (?i ,?i , ? i )?Si ，? ?0i ?1n其中 f（x，y，z）称为被积函数，S 称为积分曲面. 显然，如果曲面壳 Σ 的面密度是 ρ（x，y，z） ，则 S 的质量 M 可表示为对面积的曲面积 分，即 M=???? ( x, y, z)dS .?可以证明当函数 f（x，y，z）在曲面 Σ 上连续，或除有限条逐段光滑的曲线外在 Σ 上连 续且在 Σ 上有界，则 f（x，y，z）在 Σ 上对面积的曲面积分存在（不再证明）. 对面积的曲面积分有类似于第五节中的对弧长的曲线积分的一些性质.二、对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分可以化为二重积分来计算.设曲面 Σ 的方程是 z=z（x，y） ， 于是由第四节可知，曲面 S 的面积元素为? ?z ? ? ?z ? dS= 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ， ? ?x ? ? ?y ?22所以 ????f ( x, y, z )dS=??D? ?z ? ? ?z ? f ( x, y, z ( x, y)) 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?22（10-6-1）其中 D 为曲面 Σ 在 xOy 平面上的投影. 例 1 计算曲面积分 ??? ( x?2? y 2 ? z 2 )dS ，其中 ? 是球面：x2+y2+z2=a2. 解 由被积函数与曲面的对称性，所求积分等于两倍上半球面 ? 1 上的积分，即 ??? ( x?2? y 2 ? z 2 )dS =2 ?? ( x2 ? y 2 ? z 2 )dS . ?12 2 2 ? 1 的方程为 z= a ? x ? y ，从而??z ?x ? ， ?x a2 ? x2 ? y 2 ?z ?y ? ， 2 ?y a ? x2 ? y 22 2?所以? ?z ? ? ?z ? dS= 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?43=a a ? x2 ? y 22dxdy .?曲面 ? 1 在 xOy 平面的投影区域 D 为：x2+y2≤a2,由公式（10-6-1）得 ????1( x2 ? y 2 ? z 2 )dS = ?? ( x 2 ? y 2 ? a 2 ? x 2 ? y 2 )Da a2 ? x2 ? y 2adxdy=??a3 a2 ? x2 ? y 2a 0Ddxdy = ? d? ?02?a3r a2 ? r 20dr=-2πa3 a 2 ? r 2 故有 ?=2πa4,?? ( x?2? y 2 ? z 2 )dS ? 4? a 4 .?然而，如果我们利用曲面的方程先将被积函数化简，并运用球面的面积公式，立即可得 上面积分的值，即 ??? ( x?2? y 2 ? z 2 )dS ? a 2 ?? dS =4πa4.?例 2 计算半径为 R 的均匀球壳绕对称轴的转动惯量 解 设面密度 ρ0=1，取球心为坐标原点，则球面 ? 的方程是 x2+y2+z2=R2，易证所求转动 惯量为 I= 由上例知，球面的面积元素 dS= 代入上面的积分，并利用对称性得 I=2?? ( x?2? y 2 )dS .?R R2 ? x2 ? y2dxdy，??R( x 2 ? y 2 ) R2 ? x2 ? y2RDdxdy=2R?2?0d? ??Rr 3 dr R2 ? r 20=4πR?r 3dr R2 ? r 20r ? R sin t 4πR4 ? 2 sin 3 tdt0=8 4? πR . 3I=因为球壳质量 M=4πR2?0=4πR2，所以 ρ2 2 4πR2? 2= MR2? R 3 3第七节黎曼积分小结在前面的讨论中，我们看到，虽然各种形式和的具体对象不同，但归根到底总是要处理44同一形式的和的极限.在二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分以及 物理、几何等具体积分计算中，都提出了大量类似问题.这里我们可以概括地给出下面的定 义. 几何形体 Ω 上黎曼积分的定义：设 Ω 为一几何形体（它或是有向线段，或是曲线段， 或是平面图形，一块曲面，一块空间区域等等） ，这个几何形体是可以度量的（也就是说它 是可以求长的，或是可以求面积，可以求体积的，等等） ，在这个几何形体 Ω 上定义了一个 函数 f（M） ，M∈Ω.将此几何形体 Ω 分为若干可以度量的小块 ΔΩ1，ΔΩ2，…，ΔΩn，既然 每一小块都可以度量， 故它们皆有度量大小可言， 把它们的度量大小仍记为 ΔΩ（i=1， …， 2， i n） ，并令 d= max {ΔΩi 的直径}，1? i ? n在每一块 ΔΩi 中任意取一点 Mi，作下列和式（也称为黎曼和数，或积分和数） ：? f ( M ) ?? .i ?1 i in如果这个和式不论对于 Ω 的如何分法以及 Mi 在 ΔΩi 上如何取法，只要当 d→0 时恒有同一 极限 I，则称此极限为 f（M）在几何形体 Ω 上的黎曼积分，记为： I=??f ( M )d? ，也就是I= limd ?0? f (M )?? ?i ?1 i in这个极限是与 Ω 分法及 Mi 取法无关的. 根据几何形体 Ω 的不同形态，我们不难得出 Ω 上积分的具体表示式及名称. （1） 如果几何形体 Ω 是实轴上的一个区间［a，b］ ，那么［a，b］上的积分就是定积 分，记为?baf ( x)dx = limd ?0? f (? )?x .i ?1 i in（2） 如果几何形体 Ω 是一块可求面积的平面图形 D，那么 D 上的积分就是二重积分， 记为 ???Df ( x, y )d? = lim ? f (?i ,?i )?? i .d ?0 i ?1n（3） 如果几何形体 Ω 是一块可求体积的空间几何体 Ω，那末 Ω 上的积分就是三重积 分，记为： ?????f ( x, y, z )dv = lim ? f (?i ,?i , ? i )?vi .?d ?0 i ?1n（4） 如果几何形体 Ω 是一可求长的空间曲线段 L，那末 L 上的积分就称为对弧长的 曲线积分，记为?Lf ( x, y )ds = lim ? f (?i ,?i )?si .?d ?0 i ?1n45（5） 如果几何形体 Ω 是一可求面积的曲面片 Σ，那么 Σ 上的积分就称为对面积的曲 面积分，记为 ????f ( x, y, z)ds = lim ? f (?i ,?i , ? i )?Si .d ?0 i ?1n特别地，如果被积函数 f（M）≡1，由定义知?? d? 就是几何形体 Ω 的度量，亦即??d? = ? ??? =Ω 的度量?i ?1n关于这几种积分，函数 f（M）可积的充分条件，可类似于定积分那样证明.若 f（M）在 所讨论的可度量的几何体 Ω 上连续，那末 f（M）在 Ω 上一定可积. 由黎曼积分的定义，我们不难得出以下黎曼积分的性质： （1）若函数 f（M）在 Ω 上可积，则 kf（M）在 Ω 上也可积，且有?? kf (M )d? =k ?? f ( M )d? （k 为常数）?（2）若函数 f（M）和 g（M）都在 Ω 上可积，则其和 f（M）± g（M）,积 f（M）g（M） 也在 Ω 上可积. （3）若函数 f（M）在 Ω 上可积，将 Ω 分为任何两个部分 Ω1 和 Ω2，Ω1 和 Ω2 都可度量， 并且 Ω1 的每一个内点都不在 Ω2 中，那末 f（M）在 Ω1 和 Ω2 上都可积，且?? f ( M )d? = ???f (M )d? + ? f (M )d? ???反之，若 f（M）在 Ω1 和 Ω2 上可积，则 f（M）也在 Ω 上可积，并且上述等式成立. （4）若函数 f（M）和 g（M）都在 Ω 上可积，且在 Ω 上成立着 f（M）≤g（M） ，则?? f ( M )d? ≤ ?? g ( M )d? .（5）若 f（M）在 Ω 上可积，则｜f（M）｜也在 Ω 上可积，且?? f (M )d? ≤ ??f ??? d? ;?但若｜f（M）｜在 Ω 上可积，不能断定 f（M）在 Ω 上也可积. （6） （积分中值定理） 若 f（M）在 Ω 上可积，则存在常数 c，使得 （Ω ?? f ( M )d? =c? 的度量）;? 若 f（M）在 Ω 上连续，则至少存在 Ω 上的一点 M0，使得 c=f（M0）. 习 题 十 1.根据二重积分性质，比较??Dln( x ? y )d? 与 ?? ?ln( x ? y)? d? 的大小，其中2 D（1） D 表示以（0，1）（1，0）（1，1）为顶点的三角形； 、 、 （2） D 表示矩形区域{（x，y）｜3≤x≤5，0≤y≤2}. 2.根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1） I=??D4 + xyd ? ，D={（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤2}；46（2） I= （3） I=??Dsin 2 x sin 2 yd? ，D={（x，y）｜0≤x≤π，0≤y≤π}；2?? ? xD? 4 y 2 ? 9 ?d? ,D={（x,y）｜x2+y2≤4}.3.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1） （2）??D?a ?x 2 ? y 2 d? ，D={（x，y）｜x2+y2≤a2}；???Da2 ? x2 ? y 2 d? ，D={（x，y）｜x2+y2≤a2}.r ?04.设 f（x，y）为连续函数，求 lim1 ? r2??Df ( x, y)d? ,D={（x，y）｜（x-x0）2+（y-y0）2≤r2}. 5.画出积分区域，把??Df ( x, y )d? 化为累次积分：（1） D={（x，y）｜x+y≤1，y-x≤1，y≥0}； （2） D={（x，y）｜y≥x-2，x≥y2}； （3） D={（x，y）｜y≥2 ，y≤2x，x≤2}.? x（2） （4）3? y6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序： （1） （3） （5）?20dy ? 2 f ( x, y)dx ；y2y? dx?1eln x0f ( x, y)dy ；x 2?10dy ?3? 2 y yf ( x, y)dx ；3??0dx ?sin x? sinf ( x, y )dy ；? dy ?012y0f ( x, y)dx + ? dy ?10f ( x, y)dx .7.求下列立体体积： （1） 旋转抛物面 z=x2+y2，平面 z=0 与圆柱面 x2+y2=ax 所围； （2） 旋转抛物面 z=x2+y2，柱面 y=x2 及平面 y=1 和 z=0 所围. 8.计算下列二重积分： （1）??Dx2 1 dxdy ，D∶1≤x≤2， ≤y≤x； 2 y x（2） （3） （4）????De dxdy ，D 由抛物线 y2=x,直线 x=0 与 y=1 所围；，A（1，-1） ，B（1，1）为顶点的三角形； x2 ? y 2 dxdy ，D 是以 O（0，0）x y??DDcos( x ? y )dxdy ，D={（x，y）｜0≤x≤π，x≤y≤π}.9.计算下列二次积分： （1）?10dy ?yysin x dx ； x（2）?1 2 1 4dy ?1 e x dx + ?1 dy ?2yy1y yye x dx .210.在极坐标系下计算二重积分：47（1） （2）????Dsin x2 ? y 2 dxdy ,D={（x,y）｜π2≤x2+y2≤4π2};e?( x2? y2 )Ddxdy ,D 为圆 x2+y2=1 所围成的区域；（3）??Darctanx dxdy ,D 是由 x2+y2=4，x2+y2=1 及直线 y=0，y=x 所围成的在第一象限 y内的闭区域； （4）??D( x ? y )dxdy ，D 是由曲线 x2+y2=x+y 所包围的闭区域.11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1） （3）?2a0dx ?x2 ax ? x 20( x 2 ? y 2 )2 -1 2（2） （4）?a0dx ?x0x2 ? y 2? dx? ? x1 0 x22?y??a0dy ?a2 ? y 20?x2? y 2 ? dx .*12.作适当坐标变换，计算下列二重积分： （1） （2） （3）??Dx 2 y 2 dxdy ,其中 D 是由 xy=2，xy=4，x=y，y=3x 在第一象限所围平面区域；2?? ? xD? y 2 ? dxdy ，D={（x，y）｜｜x｜+｜y｜≤1}；2?10dx ?2? x1? x?x2? y 2 ? dy ，令 x=v，x+y=u；（4）? x2 y 2 ? x2 y 2 ? 2 ? dxdy ,D∶ 2 ? 2 ≤1; ??D ? a 2 b ? a b ?（5） （6）??Dx 2 + y 2 - 4 dxdy ,D={（x,y）｜x2+y2≤9}; x 2 + y 2 - 2 y dxdy ,D={（x,y）｜x2+y2≤4}.??D13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积： （1） 曲线 y2=b2 b x,y= x 所围（a＞0,b＞0） ； a a（2）曲线 xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x 所围（x＞0,y＞0）. 14.证明： （1） （2） （3）?bady ?? y ? x? aynf ( x)dx = ?1 ?1ba1 n ?1 f ( x) ? b ? x ? n ?1?? ??Df ( x ? y )dxdy = ? f (u)du ,D 为｜x｜+｜y｜≤1； f (ax ? by ? c)dxdy = 2?1 ?1D1- u 2 f (u a2 ? b2 ? c)du ,其中 D 为 x2+y2≤1，且a2+b2≠0. 15.求球面 x2+y2+z2=a2 含在圆柱面 x2+y2=ax 内部的那部分面积.2 2 16.求锥面 z= x ? y 被柱面 z2=2x 所割下部分的曲面面积.4817.求底圆半径相等的两个直交圆柱面 x2+y2=R2 及 x2+z2=R2 所围立体的表面积. 18.设薄片所占的闭区域 D 如下，求均匀薄片的重心. （1）D 由 y= 2 px ，x=x0，y=0 所围成；（2）D 是半椭圆形闭区域：x2 y 2 ≤1，y≥0； ? a 2 b2（3） D 是介于两个圆 r=acosθ，r=bcosθ（0＜a＜b）之间的闭区域. 19.设平面薄片所占的闭区域 D 由抛物线 y=x2 及直线 y=x 所围成，它在点（x，y）处的 面密度 ρ（x，y）=x2y，求该薄片的重心. 20.设有一等腰直角三角形薄片， 腰长为 a， 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离 的平方，求这薄片的重心. 21.设均匀薄片（面密度为常数 1）所占闭区域 D 如下，求指定的转动惯量： （1） D∶x2 y 2 ≤1，求 Iy； ? a 2 b2（2） D 由抛物线 y2=9 x 与直线 x=2 所围成，求 Ix 和 Iy； 2（3） D 为矩形闭区域：0≤x≤a，0≤y≤b，求 Ix 和 Iy. 22.已知均匀矩形板（面密度为常量 ρ）的长和宽分别为 b 和 h，计算此矩形板对于通过 其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 23.求直线x y ? =1 与坐标围成的三角区域（a＞0，b＞0）对 x 轴及坐标原点的转动惯 a b量（面密度 ρ 为常数）.2 2 2 2 24.求面密度为常量 ρ 的匀质半圆环形薄片： R1 ? y ≤x≤ R2 ? y ，z=0 对位于 z 轴上点 M0（0，0，a） （a＞0）处单位质量的质点的引力 F. 25.化三重积分 I=????f ( x, y, z )dxdydz 为三次积分，其中积分区域 Ω 分别是.（1） 由双曲抛物面 xy=z 及平面 x+y-1=0，z=0 所围成的闭区域； （2） 由曲面 z=x2+y2 及平面 z=1 所围成的闭区域； （3） 由曲面 z=x2+2y2 及 z=2-x2 所围成的闭区域； （4） 由曲面 cz=xy（c＞0） ，x2 y 2 =1，z=0 所围成的在第一卦限内的闭区域. ? a 2 b226.在直角坐标系下计算三重积分： （1） 域； （2）????xy 2 z 3dxdydz ,其中 Ω 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1，和 z=0 所围成的闭区??? ?1+ x + y + z ??dxdydz3，其中 Ω 为平面 x=0，y=0，z=0，x+y+z=1 所围的四面体；（3）????z 2 dxdydz ，Ω 是两个球：x2+y2+z2≤R2 和 x2+y2+z2≤2Rz（R＞0）的公共部分；49（4） （5） （6）??? ????xyzdxdydz ，其中 Ω 是由 x=a（a＞0） ，y=x，z=y，z=0 所围成； e y dxdydz ，其中 Ω 是由 x2+z2-y2=1，y=0，y=2 所围成；?????y sin x ? dxdydz ，其中 Ω 是由 y= x ，y=0，x+z= 所围成. x 227.如果三重积分????f ( x, y, z )dxdydz 的被积函数 f（x，y，z）是三个函数 f1（x） 2 ，f（y） 3（z）的乘积，即 f（x，y，z）=f1（x）? （y）? （z） ，f f2 f3 ，积分区域为 a≤x≤b，c≤y≤d， l≤z≤m，证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即???（1） （2）?f1 ( x) f 2 ( x) f 3 ( x)dxdydz = ? f1 ( x)dx ? f 2 ( y)dy ? f3 ( z)dz .a c lbdm28.利用柱面坐标计算下列三重积分：????zdv ，其中 Ω 是由曲面 z= 2 ? x 2 ? y 2 及 z=x2+y2 所围成的闭区域；2??? ? x?? y 2 ? dv ，其中 Ω 是由曲面 x2+y2=2z 及平面 z=2 所围成的闭区域. ? y 2 ? z 2 ? dv ，其中 Ω 是由球面 x2+y2+z2=1 所围成的闭区域；29.利用球面坐标计算下列三重积分： （1） （2）??? ? x?2??? ????zdv ，其中 Ω 由不等式 x2+y2+（z-a）2≤a2，x2+y2≤z2 所确定.30.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）?xydv ，其中 Ω 为柱面 x2+y2=1 及平面 z=1，z=0，x=0，y=0 所围成的在第一卦限内的闭区域； （2） （3） （4）????x2 ? y 2 ? z 2 dv ，其中 Ω 是由球面 x2+y2+z2=z 所围成的闭区域；2??? ? x?? y 2 ? dv ，其中 Ω 是由曲面 4z2=25（x2+y2）及平面 z=5 所围成的闭区域；??? ? x?2? y 2 ? dv ，其中 Ω 由不等式 0＜a≤ x 2 ? y 2 ? z 2 ≤A，z≥0 所确定.31.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：2 2 （1） z=6-x2-y2 及 z= x ? y ；（2） x2+y2+z2=2az（a＞0）及 x2+y2=z2（含有 z 轴的部分） ；2 2 （3） z= x ? y 及 z=x2+y2； 2 2 （4） z= 5 ? x ? y 及 x2+y2=4z.*32.选择坐标变换计算下列各题： （1）????1?x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 ? 2 ? 2 dv ，Ω={（x，y，z）O 2 ? 2 ? 2 ≤1}； a2 b c a b c50（2）????exp?x 2 a 2 ? y 2 b2 ? z 2 c 2 dv ,Ω={（x,y,z）|?x2 y 2 z 2 ? ? ≤1}. a 2 b2 c 233.球心在原点、半径为 R 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离 成正比，求这球体的质量. 34.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度 ρ=1） ： 2 2 2 （1） z =x +y ,z=1; （2） z=A2 ? x 2 ? y 2 ,z= a 2 ? x 2 ? y 2 （A＞a＞0）,z=0；（3） z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0. 35.球体 x2+y2+z2≤2Rz 内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试 求这球体的重心. 36.一均匀物体 （密度 ρ 为常量） 占有的闭区域 Ω 由曲面 z=x2+y2 和平面 z=0， ｜x｜=a， ｜ y｜=a 所围成. （1）求物体的体积； （2）求物体的重心； （3）求物体关于 z 轴的转动惯量. 37.求半径为 a， 高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量 （设密度 ρ=1）. 38.求均匀柱体：x2+y2≤R2，0≤z≤h 对于位于点 M0（0，0，a） （a＞h）处的单位质量的质 点的引力. 39.在均匀的半径为 R 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料 的均匀矩形薄片， 为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上， 问接上去的均匀矩形薄片另 一边的长度应是多少？ 40.求由抛物线 y=x2 及直线 y=1 所围成的均匀薄片（面密度为常数 ρ）对于直线 y=-1 的 转动惯量. *41.试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： （1）2x ?y??Dd xd y2 2 ?1 ? x ? y ? m；2（2）???dxdyp1? x??1? yq?，D 为全平面；（3）0 ? y ?1???1 ? x? ( x, y )2? y2 ?pdxdy （0＜m≤｜φ（x，y）｜≤M）.*42.计算积分?（1）???dy ? e ? ( x???2? y2 )cos( x 2 ? y 2 )dx*43.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：x 2 ? y 2 ?1??d xd y? x2 ? y2 ?m;51（2）x 2 ? y 2 ?1??? x 2 ? xy ? y 2 ?? ( x, y )pdxdy （0＜m≤｜φ（x,y）｜≤M）.44.设 A（0，0，a）为球体 x2+y2+z2≤R2 内一质量为 1 的质点（0＜a＜R，球体密度为常 数 ρ） ，求球对 A 的吸引力. 45.计算下列对弧长的曲线积分： （1） ∮L（x2+y2）nds，其中 L 为圆周 x=acost，y=asint（0≤t≤2π） ； （2） ∫L（x+y）ds，其中 L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段； （3） ∮Lxds，其中 L 为由直线 y=x 及抛物线 y=x2 所围成的区域的整个边界； （4） ∮L e 形的整个边界； （5） ∫Γx2 ? y 2ds,其中 L 为圆周 x2+y2=a2，直线 y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇1 ds， 其中 Γ 为曲线 x=etcost,y=etsint,z=et 上相应于 t 从 0 变到 2 的这 x ? y2 ? z22段弧； （6） ∫Γx2yzds，其中 Γ 为折线 ABCD，这里 A，B，C，D 依次为点（0，0，0）（0，0， ， 2）（1，0，2）（1，3，2） ， ， ； 2 （7） ∫Ly ds，其中 L 为摆线的一拱 x=a（t-sint） ，y=a（1-cost） （0≤t≤2π） ； 2 2 （8） ∫L（x +y ）ds，其中 L 为曲线 x=a（cost+tsint）,y=a（sint-tcost） （0≤t≤2π）; （9） ∫Γz2 ds,其中 Γ 为螺旋线 x=acost,y=asint,z=at（0≤t≤π）. x2 ? y246.求半径为 a、中心角为 2φ 的均匀圆弧（线密度 ρ=1）的重心. 47.设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acost,y=asint,z=kt,其中 0≤t≤2π，它的线密度 ρ（x，y， z）=x2+y2+z2，求： （1） 它关于 z 轴的转动惯量 Iz； （2） 它的重心. 48.计算曲面积分???f ( x, y, z )dS ，其中 Σ 为抛物面 z=2-（x2+y2）在 xOy 面上方的部（2） f（x，y，z）=x2+y2；分，f（x，y，z）分别如下： （1）f（x，y，z）=1； （3） f（x，y，z）=3z. 49.计算??? ( x2? y 2 )dS ，其中 Σ 是：2 2 （1）锥面 z= x ? y 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面；（2） 锥面 z2=3（x2+y2）被平面 z=0 和 z=3 所截得的部分. 50.计算下列对面积的曲面积分： （1） （2） （3）??? ( z ? 2 x ? 3 y)dS ，其中 Σ 为平面 2 ? 3 ? 4 ? 1 在第一卦限中的部分；42xyz??? (2xy ? 2x? x ? z )dS ，其中 Σ 为平面 2x+2y+z=6 在第一卦限中的部分；2 2 2 2??? ( x ? y ? z)dS ，其中 Σ 为球面 x +y +z =a 上 z≥h（0＜h＜a）的部分；52（4） 限部分； （5）??? ( xy ? yz ? zx)dS ，其中 Σ 为锥面 z=???x 2 ? y 2 被柱面 x2+y2=2ax 所截得的有R2 ? x 2 ? y 2 dS ,其中 Σ 为上半球面 z= R 2 ? x 2 ? y 2 .1 （x2+y2） （0≤z≤1）的质量，此壳的面密度大小为 ρ=z. 251.求抛物面壳 z=52.求面密度为 ρ0 的均匀半球壳 x2+y2+z2=a2（z≥0）对于 z 轴的转动惯量.53
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