已知在X趋于无穷大算是极限存在么bn的极限是1，cn的极限是无穷大算是极限存在么，bn、cn都是非负数列
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时间：2017-03-05 02:40
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设{an}{bn}{cn}均为非负数列且liman=0 limbn=1 limcn=无穷大 下列叙述中哪些是对的哪些是错的an&bn,n属于N* & 2.bn&cn,n属于N* & 3.limancn不存在 & &n趋近于无穷大 & 4.limbncn不存在 &n趋近于无穷大要详细一点,别只给个答案,没看懂才问的.
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只有4正确.1和2是同样的道理,以1为例,由liman=0和limbn=1只能保证当n充分大时,有an<bn成立,但不能保证对任意的正整数n,an<bn都成立,因为数列的极限只能保证这数列足够靠后的那些项的某些性质,改变数列的有限项不改变该数列的极限,例如取an=1/n,bn=1满足条件,由于a1=b1=1,则对n=1时an<bn就不成立.3中limancn是0*∞型未定式,极限可能存在也可能不存在,例如an=1/n,cn=n,则limancn=1存在.4正确,因为1*∞=∞,这不是未定式.
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2012海文高数赵达夫强化班讲义
高等数学强化讲义一 函数 极限 连续 §1 函数一 函数的基本概念D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则 f ，使每一个 x ? D ，都有一个确定的实数 y 与之对应，则称这个对应规则 f 为定义在 D 上的一个函数关系，或称 变量 y 是变量 x 的函数，记作 y ? f ( x), x ? D . 二 函数的基本性态 1 奇偶性 (1) 定义：偶 f (? x) ? f ( x) ；奇 f (? x) ? f ( x) 。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇. (3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中? f (t )dt ? ? 奇,f ( x)偶 ?0x?偶, f ( x)奇2 有界性 (1) 定义： ?M ? 0 , ?x ? X ，有 f ( x) ? M . (2) 无界： ?M ? 0 , ?x ? X ，有 f ( x) ? M . (3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设 f (x) 在 ? a, b? 连续, 则 f (x) 在 ? a, b? 有界. 设 f (x) 在 ( a, b) 连续, 且 lim f ( x), lim f ( x) 存在, 则 f (x) 在 ( a, b) 有界.x?a ? x ?b ?3 周期性 (1) 定义： f ( x ? T ) ? f ( x) (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。 4 单调性 (1) 定义：递增(递减) 当 x1 ? x2 时，均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?或f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1 ?? ? ?? ? (2) 导函数： f '( x) ? (?)0 ?? f ( x) 单增(减)； f '( x) ? (?)0 ?? f ( x) 单增(减). ? ???题型一 无界与无穷的判定 例 1 设 f ( x) ? xecos x sin x, 则f ( x)是（ （A） 偶函数 （C） 周期函数）（B）有界函数 （D）单调函数.例 2 当 x ? 0 时，变量1 sin 是（ x x21） （B）无穷大 （D）无界的，但不是无穷大（A）无穷小 （C）有界的，但不是无穷小量题型二 函数性态的判定 例 3 设 f ( x) 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( （A） ? ? f (t ) ? f (?t ) ?dt0 x)（B） ? ? f (t ) ? f (?t ) ?dt0x（C） f '( x)（D）根据上面条件无法判断例 4 设函数 f ( x) 具有二阶导数，并满足 f ( x) ? ? f (? x),且 f ( x) ? f ( x ? 1). 若f '(1) ? 0, 则（） (B) f (5) ? f ''(?5) ? f '(?5).(A) f ''(?5) ? f '(?5) ? f (?5).2 (C) f '(?5) ? f (?5) ? f ''(?5).(D) f (?5) ? f '(?5) ? f ''(?5).练习：设 f ( x) 在 (??,??) 内可导，且对任意 x1 , x 2 ，当 x1 ? x 2 时，都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则( )（A） 对任意 x ,f ' ( x) ? 0（B）对任意 x ,f ' (?x) ? 0（C）函数 f (? x) 单调增加（D）函数 ? f (? x) 单调增加 .例 5 设函数 f ( x) ? A (-1,0)| x | sin( x ? 2) 在下列哪个区间内有界( x( x ? 1)( x ? 2) 2)B (0,1)C (1,2)D (2,3)三 各种其他的函数 1 分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达 2 复合函数 [? ( x)] ： y ? f (u ) 与 u ? ? (x) 复合而成的复合函数, u 为中间变量. 3 反函数、隐函数 (1)原来的函数为 y ? f (x) ,若把 y 作为自变量， x 作为因变量，便得一个函数x ? ? ( y ) ，且 f [? ( y)] ? y ，称 x ? ? ( y ) 为 y ? f (x) 的反函数.(2) 隐函数: F ( x, y) ? 0 . 4 初等函数3 (1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角. (2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数. 题型三 分段函数的复合 方法：各种情形分别讨论.? 2 ? x2 , ?0, x ? 0 ? 例 6 设 f ( x) ? ? , g ( x) ? ? ?| x | ?2, ?1, x ? 0 ? x ?1 ， 试求 f [ g ( x)], g[ f ( x)] . x ?1§2 极限一 极限的概念 1 数列极限： lim x n ? a ? 对于 ?? ? 0 ?N ? 0 当 n ? N 时有 xn－a ? ? .n??2 函数的极限 (1) x ? x0 (自变量趋向于有限值的情形) (a) lim f ( x) ? A ? x ? x0 , f ( x) ? A ? ?? ? 0 ， ?? ? 0 ，当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，x ? x0有 | f ( x) ? A |? ? . (b) lim f ( x) ? A1 (左极限) ? x ? x0 ?, f ( x) ? A1 .x ? x0 ? x ? x0 ?lim f ( x) ? A2 (右极限) ? x ? x0 ?, f ( x) ? A2 .x ? x0 ? x ? x0 ?(c) lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .x ? x0(2) x ?? (自变量趋向于无穷大的情形) (a) lim f ( x) ? A ? x ? ?, f ( x) ? A ? ?? ? 0 ， ?M ? 0 ，当 | x |? M 时，x ??有 | f ( x) ? A |? ? . (b) lim f ( x ) ? A1 ? x ? ??, f ( x) ? A1 .x ??? x ???lim f ( x) ? A2 ? x ? ??, f ( x) ? A2 .x ??? x ???(c) lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .x ??4 (3) 常见有不同极限的函数：分段函数、 ex ,arctan x 二 极限的性质 1 有界性：lim x n ? a ? ?xn ? 有界；n??x ? x0lim f ( x) ? a ? ?? ? 0,0 ?| x ? x0 |? ? , f ( x) 有界2 有理运算性质： (1) 若 lim f ( x) ? A, , lim g ( x) ? B , 则 (a) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? Bx ? x0x ? x0x ? x0(b) lim f ( x) g ( x) ? ABx ? x0(c) lim f ( x) ? A ( B ? 0) . x? x0g ( x)B(2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不 为 0，上述运算法则就成立. (3) 延伸：若 limx ? x0f ( x) ? A ，则 g ( x)(a) lim g ( x) ? 0 ? lim f ( x) ? 0; x? x x?x0 0(b) lim f ( x) ? 0, A ? 0 ? lim g( x) ? 0 .x ? x0 x ? x0例 设 limx 2 ? ax ? b ? 3 ，求 a 和 b . x ?1 sin x 2 ? 1 ? ?3 保号性： lim f ( x) ? (?)0 ? ?? ? 0, 当 0 ?| x ? x0 |? ? , 有 f ( x) ? (?)0x ? x0三 极限的两个存在准则 (1)单调有界定理: 若数列 ?xn ? 单调且有界, 则 ?xn ? 有极限. (2)夹逼准则: 设在 x0 的领域内恒有 ? ( x) ? f ( x) ? ? ( x) , 且x ? x0lim ? ( x) ? lim ? ( x) ? A , 则 lim f ( x) ? A .x ? x0 x ? x0四 无穷小和无穷大 1 无穷大量: 若 lim f ( x) ? ? , f ( x) 称为 x ? x0 的无穷大量.x ? x0正无穷： lim f ( x) ? ?? ； 负无穷： lim f ( x) ? ?? .x ? x0 x ? x02 无穷小量： 若 lim f ( x) ? 0 , 称 f ( x) 是 x ? x0 时的无穷小量。x ? x05 (1) 设 f ( x) 、 g ( x) 都是 x ? x0 时的无穷小量, 若且 limx ? x0f ? x? ?l ， g ? x?(a) l ? 0 ，称 f ?x ? 是比 g ?x ? 高阶的无穷小，记以 f ?x ? ? o?g ?x ??, (b) l ? 0 ，称 f ?x ? 与 g ?x ? 是同阶无穷小。 (c) l ? 1 ，称 f ?x ? 与 g ?x ? 是等阶无穷小，记以 f ?x ? ~ g ?x ? . (2)若 f ( x), g ( x) 为无穷小,且 limf ? x? ? g ? x ?? ? ?kx ? x0? c ? 0 ,称 f ( x)是g ( x) 的 k 阶无穷小.(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小; 有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小. (4) 等价无穷小的作用: 若 ? ' ~ ? , ? ' ~ ? , 则 lim?' ? ? lim . ?' ?(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理. 3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大; 无穷大的倒数为无穷小. 题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论 核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形 例 1 设对 ?x, 有 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 且 lim ? g ( x) ? ? ( x) ? ? 0 , 则 lim f ( x ) (x ??x ??)A C存在且为 0 一定不存在B 存在但不一定为 0 D 不一定存在例 2 设数列 {xn } 与 { yn } 满足 lim xn yn ? 0 , 则下面断言正确的是( )n ??A 若 {xn } 发散，则 { yn } 必发散， C 若 {xn } 有界， 则 { yn } 必为无穷小B 若 {xn } 无界，则 { yn } 必有界1 D 若 { } 为无穷小，则 { yn } 必为无穷小 xn6 例 3 设 {an },{bn },{cn } 均为非负数列, 且 lim an ? 0 , lim bn ? 1 ， lim cn ? ? , 则( )n ?? n ?? n ??A Can ? bn , ?nlim an cn 不存在n ??B bn ? cn , ?n Dlim bn cn 不存在n ??例 4 设函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 内单调有界, {xn } 为数列, 下面命题正确的是( A 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 必收敛 C 若 { f ( xn )} 收敛， 则 {xn } 收敛 B 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 必收敛 D 若 { f ( xn )} 单调， 则 {xn } 收敛)题型二 求函数的极限 步骤 1：四则运算和等价无穷小 注 1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形. 注 2：常见的等价无穷小 当 x ? 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， 1 arctan x ~ x ， 1 ? cos x ~ x 2 ， e x ? 1 ~ x ， lim?1 ? x ? ~ x ， ?1 ? x?a ? 1 ~ ax 2 当 x ?? 时, an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 ~ an xn .1| sin x | ex ?2 例 5 求极限 lim . 1 x ?0 x x 1? e例61 2 4 若 x ? 0时, 1 ? ax ? 1与x sin x 是等价无穷小，则 a ? ________ .??7 例 7 limx ?0x ln(1 ? x) ? ________ . 1 ? cos x例 8 求 I ? lim(2 x ? 1)4 ( x ? 1)6 ? 5 x( x8 ? x) x ?? ( x ? 2)10例9求 I ? lim x 2 (e x ? e x ?1 )x ?011例 10 求 limesin x ? e x x ?0 x31 1 ) 例 11 求 lim x 2 (arctan ? arctan x ?? x x ?1例 12 设 limx ?0ln(1 ? f ( x)sin 5 x) ? 1 , 求 lim f ( x ) x?0 2x ? 1步骤 2：恒等变形 (1). 含 u( x)v( x) 的极限.8 (a)若直接计算 lim u ( x) v ( x ) 且 u ( x) ? 1 , 直接利用公式lim u ( x)v ( x ) ? exp((u ( x) ? 1)v( x))(b) 将 u( x)v( x) 写成 u( x)v ( x ) ? exp(v( x)ln u( x)) 求解.? arcsin x ?1?cos x 例 13 求 lim ? . ? x ?0 3 ? ?11 ? 2 ? cos x ? 例 14 lim 3 ? （ ） ? -1 x ?0 x 3 ? ?x(2) 有理化变形a? b?a ?b 3 a ?b , a?3b? 3 2 a? b a ? 3 b2 ? 3 ab例 15 I ? lim 3 x 2 ( 3 x ? 8 ? 3 x ? 1)x ??(3) 分子、分母同时除以最大的无穷大? ?常见的无穷比较: x ? ??， x ?? x? (? ? 0) ?? x? (? ? 0) ?? a x (a ? 1) ln 例 16 求 lim4 x2 ? x ?1 ? x ? 1 x 2 ? cos xx ???sin 2 x ? 2enx cos x 例 17 设 f ( x) ? lim , 求 lim f ( x ) . x?0 x ?? x ? enx9 步骤 3：洛必达法则和导数定义 (1) 先进行步骤 1 和 2，然后再用第 3 步, 符合洛必达法则用洛比达法则; (2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解, 此类问题一般为抽象型问 题.例 18 求 limx ?0x ? ? cos t 2 dt2 0x2sin10 x例 19设函数 f ? x ? ? ? 1?cos x sin ? t 2 ?dt , g ? x ? ? 0 ）[无穷小量的比较]x5 x 6 ? ，则当 x ? 0 时， f ? x ? 5 6是 g ? x ? 的（（A） 低阶无穷小 （C） 等价无穷小（B） 高阶无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小例 20I ? limx ?0(1 ? x) ? e x1 x? f ( x ? xy ) ? y 例 21 设 f ( x) ? 0 且可微, 求极限 lim ? ? y ?0 ? f ( x) ?110 步骤 3’： 泰勒定理 含： sin x,cos x,(1 ? x)? ,ln(1 ? x), ex 可直接利用 Peano 形式的泰勒定理. 例 22 求 lim(x ?01? x 1 ? ). 1 ? e? x x题型三 求数列的极限 方法 1：将 n 换成 x , 直接利用求函数极限的方法求解. ? 2 例23 lim tan n ( ? ) . n ?? 4 nn3 n 2(1 ? cos例 24 求 limn ??1 ) n2 n2 ? 1 ? n方法 2：单调有界必有极限, 应用在递推数列求极限 例 25 设 0 ? x1 ? 3 , 且 xn?1 ? xn (3 ? xn ) , 证明 {xn } 极限存在并且此极限.方法 3：夹逼准则.n 例 26 求 lim n a1n ? a2 ? ? ? a n ，其中 p ? 0, ai ? 0 . p n??11 题型四 求数列连加和的极限 方法 1：直接合并? 12 22 n2 ? 例 27 求 lim ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ?? n n n ? ?方法 2：夹逼准则 一般情况下只放分母不放分子, 且必须使左右两边的放缩项极限相同.? 12 ? 22 n2 例 28 求 lim ? ? ?? ? ? 6 n ?? n 6 ? 2n n6 ? n 2 ? ? n ?n方法 3：定积分定义. 若函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上可积, 则1 n i 1 n ? i ?1 ? 1 lim ? f ( ) ?? f ( x)dx, lim ? f ? ? ? ? f ? x ? dx n?? n n?? n n 0 ? n ? 0 i ?1 i ?111 1 ? ? 1 例 29 求 lim ? ? ?? ? ? n ?? n ? 1 n?2 n?n? ?? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 例 30 lim ? ? ?? ? 1 1? n ?? ? n ? 1 n? n? ? ? ? 2 n? ?12 1 2 n 练习： lim n (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) n n n n ??题型五 已知极限求未知参数 1 若是 x ?? 的多项式型问题，考虑多项式的最高次数. 0 2 若是 型, 根据分子或分母极限为 0 得到一个参数再求解其他参数. 0 c 例 31 设 lim ?? x5 ? 3x4 ? 2? ? x ? ? l , 求 c, l . ? x ?? ? ? ?例 32确定 a, b, c 值，使 limx ?0 xax ? sin x ? C ?C ? 0? . ln ?1 ? t 3 ? ? t dt b§3 连续一 连续与间断 1 连续的概念 (1) 若 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ，则称 f ?x ? 在点 x0 处连续。x ? x0(2) 若 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ， 则称函数 f ?x ? 在点 x0 处左连续； 如果 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ， ? ?x ? x0x ? x0则称函数 f ?x ? 在点 x0 处右连续. 处既是左连续，又是右连续.如果函数 y ? f ?x ? 在点 x0 处连续， f ?x ? 在 x0 则2 间断点的分类：非连续点 lim f ? x ? ? f ? x0 ?x ? x0(1) 第一类间断点: lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 都存在的间断点：x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) ? lim? f ( x) ，则称 x0 为跳跃型间断点.x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) = lim? f ( x) ，则称 x0 为可去间断点.x ? x0 x ? x013 (2) 第二类间断点: lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 中至少有一个不存在的间断点x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 中至少有一个为无穷大，则称 x0 为无穷型间断点.x ? x0 x ? x0当 x ? x0 时函数值在摆动, 称为摆动型间断点. 3 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点. 二 连续函数的性质 1 连续函数运算的性质. (1) 若 f ( x), g ( x) 在 x0 连续, 则 f ( x) ? g ( x) , f ( x) g ( x) 在 x0 连续，若还有条件g ( x0 ) ? 0 ，则f ( x) 在在 x0 也连续. g ( x)(2) 若 f ( x) 在 x0 连续, g ( x) 在 f ( x0 ) 连续, 则 g ( f ( x)) 在在 x0 连续. (3) 初等函数在定义域内都连续. 2 闭区间连续函数的性质: 闭区间[a,b]上的连续函数 f (x) (1)（有界性定理） f (x) 在[a,b]上有界。 (2) (最值定理)f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值.(3)(介值定理) 设 m, M 为 f (x) 在[a,b]上的最小值最大值，则对 ?c(m ? c ? M ) ， 至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 f (? ) ? c . (4)(零点定理）若 f (a) ? f (b) ? 0 ，则至少存在一点 ? ? ? a, b? ，使 f (? ) ? 0 . 注：若 f (a) ? f (b) ? 0 ，则至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 f (? ) ? 0 . 题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义. 抽象函数：一般利用连续函数运算性质. 例 1 设 f ? x ? 和? ? x ? 在? ?? ? ?? 内有定义，f ? x ? 为连续函数， f ? x ? ? 0,? ? x ? 有 且 间断点，则 （A） ? ? f ? x ? ? 必有间断点。 ? ? （C） f ?? ? x ? ? 必有间断点。 ? ? （B） ? ? f ? x ? ? 必有间断点。 ? ?2（D）14? ? x?f ? x?必有间断点。 例 2 设函数 f ( x) ? lim1? x x 2nn?? 1 ?，讨论函数 f (x) 的间断点，其结论为( ) （B）存在间断点 x ? 1 （D）存在间断点 x ? ?1（A）不存在间断点 （C）存在间断点 x ? 01 ?1 3 ? x 2 ln ?1 ? x ? sin x , x ? 0, ? 例 3 设 f ? x ? ? ?0, x ? 0, 则 f ? x ? 在 x ? 0 处( ?1 x ? ? sin ? t 2 ? dt , x ? 0, ?x 0)（A）极限不存在 （C）连续，但不可导（B）极限存在，但不连续 （D）可导? sin t ? sin t ?sin x ? f ?x ?的间断点，并判别其类型。 例 4 求 lim? ? t ? x sin x ? ?x15 题型二：证明 ?? , F (? ) ? c 或者方程 F ( x) ? c 有根. 若具体已知了某些函数值或者函数值的等式, 用零点定理; 若没有这些信息, 一般采取介值定理, 只要证明 m ? c ? M . 例 5 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，且 x1 , x2 ,?, xn ? ? a, b ? ，求证存在 ? ? ? a, b? 使得f (? ) ? n f ( x1 ) f ( x2 )? f ( xn ) .例 6 设 f (x) 是 [0,1] 上非负连续函数，且 f (0) ? f (1) ? 0. 证明：对任意实数 r （ 0 ? r ? 1） ，必存在 x0 ?[0,1] ，使得 x0 ? r ?[0,1] ，且 f ( x0 ) ? f ( x0 ? r ) 。例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续, 且f (0) ? f (1) ，1 (1)证明：存在 ? ? [0,1], 使f (? ) ? f (? ? ) ； 2 1 (2)证明：存在 ? ? [0,1], 使f (? ) ? f (? ? ) (n ? 2 且 n 为正整数）. n第二章一元函数微分学§1 导数与微分一 导数与微分的基本概念 1 导数的概念： f '( x0 ) ? lim?x ?0f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? lim x ? x0 ?x x ? x016 左导数：f ?' ( x0 ) ? lim?x ?0?f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x右导数： f ?' ( x0 ) ? lim?x ?0 ?f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x导数存在 ? 左右导数存在且相等 2 微分的基本概念 (1) f ( x)在x0可微：f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? A?x ? o(?x)f ( x)在x ? x0的微分df ( x)x ? x0(?x ? 0) .? A?x ? Adx(2) f ( x)在x0可微 ? f ( x)在x0可导 且 A ? f '( x0 )df ( x)x ? x0? f '( x0 )?x ? f '( x0 )dx?? ? 3 可导(微)、连续关系： f '( x0 ) 存在 ? f ( x) 在 x0 可微 ?? f ( x) 在 x0 连续. ? ? 4 导数的几何意义：切线的斜率 题型一：可导性的讨论 核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论.例 1 设函数 f ( x)在x ? 0 连续, 则下面命题错误的是( )f ( x) f ( x) ? f (? x) 存在, 则 f (0) ? 0 （B）若 lim 存在, 则 f (0) ? 0 x?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f (? x) （C）若 lim 存在, 则 f '(0) 存在 （D）若 lim 存在, 则 f '(0) 存在 x?0 x ?0 x x（A）若 lim例 2 设 f (0) ? 0 , f ( x)在x ? 0 可导的充要条件的是( )f ?1 ? cosh ? （A） lim 存在 h ?0 h2（B） limh ?0f ?1 ? eh ? h存在（C） limh ?0f ? h ? sinh ? 存在 h2（D） limh ?0f ? 2h ? ? f ? h ? 存在 h例 3 设 f ? x ? 可导, F ( x) ? f ? x ? (1? | sin x |) ,则 f (0) ? 0 是 F ( x) 在 x ? 0 可导的( )条件17 (A) 充分必要(B) 充分非必要(C) 必要非充分(D) 即非充分也非必要注：若 f ( x) ?| x ? a | ? ( x) 且 ? ( x) 在 x ? a 连续, f '(a) 存在 ? ? (a) ? 0. 例4 函数 f ? x ? ? ? x 2 ? x ? 2 ? x 3 ? x 有( （B）2； )个不可导点. （D）0.（A）3；（C）1；二 导数与微分的计算公式 1 导数的有理运算和复合运算法则 (1) ( f1 ? f2 )' ? f1' ? f2' (3) (f1 f 'f ?f f ' )' ? 1 2 2 1 2 f2 f2(2) ( f1 f2 )' ? f1' f2 ? f1 f2' (4)[ f1 ( f2 ( x))]' ? f1 '( f 2 ( x)) f 2 '( x)2 微分的有理运算和形式不变性u vdu ? udv (1) d (u ? v) ? du ? dv, d (uv) ? vdu ? udv, d ( ) ? v v2(2) df (u) ? f '(u)du , 不管 u 是最终变量还是中间变量. 3 特殊函数求导法 (1) 反函数求导： x '( y ) ?1 y &( x) , x ''( y) ? ? 3 y '( x) ? y '( x)?(2)参数函数求导：dy y '(t ) d 2 y y &(t ) x '(t ) ? x &(t ) y '(t ) ? ? , 。 3 dx 2 dx x '(t ) ? x '(t )?(3)隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法. (4)变上限函数求导：设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则 推广:???2 ? x ??1 ? x ?f ? t ? dt ' ? f ??2 ? x ? ? ?2? ? x ? ? f ??1 ? x ? ? ?1? ? x ? ? ? ? ????xaf ? t ?dt ' ? f ? x ? .?18 4 连环相乘的对数求导法： 应用在形如 f ( x) ? u1 ( x)v1 ( x ) u2 ( x)v2 ( x ) ?un ( x) n 两边取对数 ln f ( x) ? v1 ( x)ln u1 ( x) ? v2 ( x)ln u2 ( x) ? ? ? vn ( x)ln un ( x) 从而f '( x) ? (v1 ( x) ln u1 ( x) ? v2 ( x) ln u2 ( x) ? ? ? vn ( x) ln un ( x)) ' f ( x)v ( x)的函数题型二：求显函数的导师 (1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数. (2) 公式：四则、复合、对数. 例 5 设 f ( x) ?x3 3? x 3 , 求 f '( x) 1 ? x (3 ? x)2例 6 设 f ( x) ?? x ?1? ( x ? 2)?( x ?100) , ? x ? 1? ( x ? 2)?( x ? 100)求 f '(1)例 7 设 f ( x) ? (1 ? x2 )sin x , 求 f '( x) .?1 ? ? f ( xt )dt , x ? 0 ?0 f ( x) ? ? 2 ,令 F ( x) ? ? 0 例 8 设 F ( x) 在 x ? 0 连续, 且 lim , x ? 0 , 求 F '( x) . x ?0 x ?x ? sin t dt , x ? 0 ?? t ?01 ? 2 ? x cos , x ? 0 例 9 设 ? ( x) ? ? ,且 f ( x) 在 x ? 0 可导, 令 F ( x) ? f (? ( x)) ,求 F '(0) . x ? 0, x ? 0 ?19 题型三：隐函数和参数函数求导 隐函数求导有三种方法: 一般情形下求导和求微分的方法等价.但若只要求隐函 数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到 y ', y 的关系, 不采取解出y ' 再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法.例 10 函数 y ? y ( x) 由方程 y ? tan( x ? y) 确定, 求 y ', y & .例 11 设可导函数 y ? y ( x) 由方程 sin x ? ? ? (u )du ? 0 确定,其中可导函数 ? (u ) ? 0 ,xy且 ? (0) ? ? '(0) , 求 y &(0) .? x ? 3t 2 ? 2t ? 3 d2y 例 12 设设可导函数 y ? y ( x) 由参数方程 ? y 所确定, 求 2 |t ?0 . . dx ?e sin t ? y ? 1 ? 0三 高阶导数20 (1) f ? ? x ? 在点 x0 处的导数称为 f ? x ? 在点 x0 处的二阶导数，记以 f ???x0 ? .若 f ? x ? 的 n ? 1 阶导数的导数存在，称为 y ? f ?x ? 的 n 阶导数，记为 y ?n ? ?x ? 或ndny . dx n(2)运算法则： (u( x) ? v( x))(n) ? u( x)(n) ? v( x)( n) ， (u ( x)v( x))( n ) ? ? Cnk u ( x)( k ) v( x)( n ?k )k ?0(3) 常见函数的高阶导数： (a x )( n) ? a x (ln a)n , (e x )( n ) ? e x ,sin(ax ? ? )( m ) ? a m sin(ax ? ? ? m ), 2?? m(m ? 1)?? m ? n ? 1? (1 ? x) m?n , m ? n n [(1 ? x)m ]? ? ? ? 0 , m?n ?题型四 求高阶导数 1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解. 2 若函数为 f ( x) ? xk g ( x) ,利用莱布尼茨公式求解. 3 若只求某点的高阶导数 f (n) (a) , 利用泰勒公式 f ( x) ? ? f ( n ) (a)( x ? a)nn ?0 ?例 13 设 f ( x) ?x , 求 f (n) ( x) . x ? 5x ? 62例 14 求函数 f ( x) ? x2 ln(1 ? x) 在 0 点的 100 阶导数 f (100) (0) .§2 中值定理和导数的应用一 微分中值定理 1 洛尔定理: 设函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,在开区间 ( a, b) 内可导21 f (a) ? f (b) , 则存在 ? ? (a, b) ，使得 f ?(? ) ? 0 .2 拉格朗日定理：设函数 f ?x ? 在闭区间 ?a, b? 上连续,在开区间 ?a, b ? 内可导， 则 存在 ? ? ?a, b ? ，使得 推论:f ?b ? ? f ?a ? ? f ??? ? . b?a若在 ?a, b ? 内可导，且 f ??x? ? 0 ，则 f ?x ? 在 ?a, b ? 内为常数。例 证明 arctan e x ? arctan e? x ??2.3 柯西中值定理:设函数 f ?x ? 和 g ?x ? 在闭区间 ?a, b? 内皆连续，在开区间 ?a, b ? 内 皆可导，且 g ??x ? ? 0 ，则存在 ? ? ?a, b ? 使得f ?b ? ? f ?a ? f ??? ? ? g ?b ? ? g ?a ? g ??? ??a ? ? ? b? 。二 泰勒定理（泰勒公式） (1) Lagrange 余项：设 f ?x ? 在包含 x0 的区间 ?a, b ? 内有 n ? 1 阶导数，在 ?a, b? 上有n 阶连续导数，则对 x ? ?a, b?，有公式f ? ? x0 ? f ?? ? x0 ? f ? n ? ? x0 ? f ? n ?1? ?? ? 2 n n ?1 f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? 1! 2! n! ? n ? 1?!(2)皮亚诺余项:设 f ?x ? 在 x0 处有 n 阶导数，则有f ? ? x0 ? f ?? ? x0 ? f n ? x0 ? 2 n n f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? o ?? x ? x0 ? ? ? ? 1! 2! n!注：上面展式称为以 x0 为中心的 n 阶泰勒公式; x0 ? 0 时，也称为麦克劳林公式。 (3) e x , sin x , cos x ， ln?1 ? x ? 和 ?1 ? x? 等的 n 阶泰勒公式.?三 极值 1 若对点 x0 ,存在它的某一邻域, 使得其中 ?x ? x ? x0 ? ，总有 f ? x ? ? ? ?? f ? x0 ? ， 称 f ?x0 ? 为函数 f ?x ? 的一个极大(小)值，称 x0 为极大(小)值点. 2 必要条件: f ( x0 ) 为极小值 ? f ??x0 ? ? 0 (驻点)或 f ? x ? 的不可导点.22 3 充分条件: 一阶判别法和二阶判别法 (1) x0 为可能极值点, f ? ? x ? 在 ?x0 ? ? , x0 ? 和 ?x0 , x0 ? ? ? 异号，左边小于 0 右边 大于 0 为极大值， 反之为极小值. (2) f ?x ? 在 x0 处有二阶导数，且 f ??x0 ? ? 0 ， f ???x0 ? ? 0 ，则当 f ???x0 ? ? 0 ， f ?x0 ? 为极大值， x0 为极大值点. 题型一：极值的判断与求解 1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解. 2 若已知函数可导, 先求可能的极值点, 然后再用充分条件判断. 注： 极值的两个充分条件不能互相替代, 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导 数判别法. 例 1 设 f ?x ? 在 x ? 0 处连续，若 limx ?0f ? x? ?1, x2问(1) 当 x ? 0 时, f ' ? x ? 是否存在? (2) x ? 0 是否为 f ? x ? 的极值点?例 2 设 y ? y ( x) 由方程 2 y3 ? 2 y 2 ? 2xy ? x2 ? 1 确定, 求 y ? y ( x) 的极值点和极值.例 3 求函数 f ? x ? ? ? ( x 2 ? t )e?t dt 的单调区间与极值.2x2123 四 最大值和最小值 1 闭区间 ?a, b? 上最值 (1) 求出 f ?x ? 在 ?a, b ? 内所有驻点，和不可导点 x1 ,?, xk ； (2) 计算 f ?x1 ?,?, f ?xk ?, f ?a ?, f ?b?； (3) 比较上面的值，最大者就是最大值 M ；其中最小者就是最小值 m . 2 开区间 ? a, b ? 上最值 (1) 求出驻点,利用图表法划分单调区间; (2) 作出草图, 求出最值. 例 4 求函数 f ? x ? ? ? (2 ? t )e ? t dt 的最大值与最小值.0 x2五 凹凸性与拐点 1 若 f ''( x) ? 0 称 f ( x) 是凸的，若 f ''( x) ? 0 则称 f ( x) 是凹的. 曲线上凹与凸的分 界点，称为曲线的拐点. 2 必要条件： f ??( x) ? 0 或 f ??(x) 不存在。 充分条件：去心邻域二阶可导， f ??(x) 在 x ? x0 左右变号。 题型二：判断凹凸性和拐点 例5 设 f ?x ? 有二阶连续导数且 f ? ? 0? ? 0 ，又 limx ?0f &? x ? ? 1 , 则( ) | x|(A) f ? 0 ? 是 f ?x ? 的极大值 (C)(B) f ? 0 ? 是 f ?x ? 的极小值?0, f ?0?? 是曲线 y ? f ?x?的拐点 ?0, f ?0?? 不是曲线 y ? f ?x?的拐点(D) f ? 0 ? 不是 f ?x ? 的极值,24 例 6 设 f ?x ? 在 ? ??, ??? 连续, 且在 ? ??,0) ? (0, ??? 内有二阶连续导数, f ' ? x ? 的图形如右, 则 y ? f ? x ? 的驻点、极值点、拐点的个数为( ) (A) 4，4,4 (B) 4,4,3 (C) 4，3,4 (D) 5,4,4六渐进线x ?c ? x ?c ?1 垂直渐近线 x ? c ： lim f ( x) ? ? 或 lim f ( x) ? ? . 2 有斜率的渐近线： lim ( f ( x) ? ax ? b) ? 0 或 lim ( f ( x) ? ax ? b) ? 0 ,x ??? x ???f ( x) f ( x) , b ? lim ( f ( x) ? ax) 或 a ? lim , b ? lim ( f ( x) ? ax) x ??? x ??? x ??? x ??? x x 题型三 求渐近线方程 1 垂直渐进线： 先求可能点(定义域的端点)+ 定义判断 2 有斜率的渐近线：先求 x ??? 的情形, 再求 x ??? 的情形其中 a ? lim( x 2 ? 2 x ? 3)e x 例 7 设 f ( x) ? 2 ， 求 f ( x) 的渐近线. ( x ? 1) arctan x125 例 8 设 f ( x) ? arc tan x ? (A) 1x ，则 f ( x) 具有渐近性的条数为 ( 1 ? ex (B) 2 (C) 3 (D) 4)题型四 方程根的讨论 1 写出方程对应的函数 f ( x) . 2 求 f ( x) 的驻点,利用图表法将函数分解成几个小的单调区间. 3 作 f ( x) 草图, 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数 例 9 试讨论方程 ln x ?x ? 1 的实根个数. e例10 试确定方程 x ? ae x (a ? 0) 的实根个数.题型四 中值定理的等式证明 情形一： 一个中值点、一阶导数 1 参数放在等式右边，左边为f (b ) ? f ( a ) f (b) ? f (a ) 或 的形式，直接利用拉格 b?a g (b) ? g (a )朗日或者柯西中值定理. 2 辅助函数法 注：特别要注意变上限函数的情形.26 例 11 证明： ?? ? (a, b) 使得, aeb ? bea ? (1 ? ? )e? (a ? b)例 12 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导，证明： ?? ? (a, b) 使得ab [bf (a) ? af (b)] ? ? 2 [ f (? ) ? f '(? )] . b?a例13 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导， f (1) ? 3? e1? x f ( x)dx ，证明21 30?? ? (0,1) 使得 f '(? ) ? 2? f (? )1 例14 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导，且满足 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1 ，证明 2 1 1）存在? ? ( ,1), f (? ) ? ? ； 22） ?? , 存在 ? ， f '(? ) ? ? ( f (? ) ? ? ) ? 1.例 15 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导, 且 ? f ( x)dx ? 0 ，证明：0127 ?? ? (0,1) 使得 ? f ( x)dx ? ?? f (? )0?情形二 k 阶导数一个中值点 方法：多次利用洛尔定理. 例 16 f ( x) 在 [0,1] 上有三阶连续导数， f (0) ? f (1) ? 0, F ( x) ? x3 f ( x) ， 证明： ?? ? (0,1) 使得 f '''(? ) ? 0 .情形三 1 阶导数 2 个中值点 1 三个点，用二次 Lagrange 中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的. 2 将两个参变量分离在等式的两边，与形式 定 g ( x), h( x) ，利用柯西中值定理即得. 例 17 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导，证明:f '(? ) f '(? ) h(b) ? h(a) ? 作对比，确 g '(? ) h '(? ) g (b) ? g (a)?? ,? ? ? a, b? 使得 f '(? ) ?a?b f '(? ) . 2?例 18 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导， f '( x) ? 0, 证明f '(? ) eb ? ea ?? ? e . ?? ,? ? ? a, b? 使得 f '(? ) b ? a28 例 19 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导，且满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1, ，证明 (1)存在 ? ? (0,1), f (? ) ? 1 ? ? ； (2)存在不同的点 ?1 , ?2 ? (0,1), f '(?1 ) f '(?2 ) ? 1.题型五 不等式的证明 情形一： 不含中值点 方法 1 参数放在等式右边，左边为f (b) ? f ( a ) f (b) ? f (a ) 或 的形式， b?a g (b) ? g (a )直接利用拉格朗日或柯西中值定理. 例20 若 0 ? ? ? ? ??2，证明：? ?? ? tan ? ? tan ? . cos 2 ?例21 设 e ? a ? b ? e2 ，证明： ln 2 b ? ln 2 a ?4 (b ? a ) . e2方法 2：辅助函数法 1 设置一个自变量,构造自变量的函数； 2 对函数求导，通过研究导数求最值, (1) 具体而言，要么求出 f '( x) ? 0 的根设法证明其中一个根为最值点; 要么证明 f '( x) ? 0 或 f '( x) ? 0 ,得到单调性. (2) 如果无法把 f '( x) 研究清楚, 就通过研究 f &( x) 得到 f '( x) 的性质.29 3 将最值和要证明的值做比较 例 22 若 x ? 0 ，证明 ( x2 ?1)ln x ? ( x ?1)2 .例 23 若 x ? ?1 ，证明 (1 ? x)n ? 1 ? nx 。例 24 证明：当 0 ? x ??2时,tan x x ? . x sin x情形二： 含中值点或者 max f ( n) ( x) 核心点：Lagrange 中值定理和泰勒定理, 在导数和高阶导数信息最多的点展开. 例 25 若 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导， f '(a) ? f '(b) ? 0 ，证明：?? ?? a, b? 使得 | f &(? ) |?4 | f (b) ? f (a) | . (b ? a)2例 26 若 f ( x) 在 [0,1] 上二阶连续可导，且 f (0) ? f (1) ? 0 , min f ( x) ? ?1 ，证明：0 ? x ?1?? ?? a, b? 使得 max f &( x) ? 8. .0 ? x ?130 三 积分及其应用 §1 不定积分一 不定积分的基本概念 1 定义：F ??x? ? f ?x? 在区间 I 上成立，则称 F ?x ? 为 f ?x ? 在区间 I 的原函数. f ?x ? 在区间 I 中的全体原函数称为 f ?x ? 在区间 I 的不定积分， 记为 ? f ?x ?dx ? F ?x ? ? C . 2 充分条件：若 f ?x ? 连续则必有原函数. 注：sin x 2 ,cos x 2 ,sin x cos x 1 ? x2 , , , e 等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示. x x ln x3 不定积分的性质? f ?x ?dx ? F ?x ? ? C(2) ? ? f ? x ? dx ? ' ? f ? x ? ? ? (4) ? ? f ?x ? ? g ?x ??dx ? ? f ? x ?dx ? ? g ?x ?dx(1) ? F ?? x ?dx ? F ? x ? ? C (3) ? kf ? x ? dx ? k ? f ? x ? dx(k ? 0) 二 第一类类换元法? 1 公式： ? f ?u ?du ? F ?u ? ? C ， ? ?x ? 可导， ? f ?? ? x ?? ?? x ?dx ? ? f ?? ? x ??d? ? x ? . 设 又 则2 常用的凑微分 1 (1) dx ? d (ax ? b) a (2) sin xdx ? ?d cos x,cos xdx ? d sin x1 da x ln a(3) sec2 xdx ? d tan x,sec x tan xdx ? d sec x (4) e x dx ? de x , a x dx ? (5)1 1? x?2dx ? d arcsin x,1 dx ? d arctan x 1 ? x2? 1 dx? ?1 , ? ? ?1 1 ? (6) x dx ? ?? ? 1 , 特别的 ? ? 1, ? , ?2 要记处. 2 ? d ln | x |, ? ? ?1 ?1 dx , 例 求? 2 a ? x2?sin x21 x dx31 练习： ?1 a ? x22dx注： ?1 1 dx 和 ? dx 很有用要记住. 2 a ?x a2 ? x22二 第二类类换元法 1 公式：若 ? (t ) 可导、单调且 ? '(t ) ? 0 则 ? f ( x)dx 2 常见代换模式 (1) (2) (3)x ?? ( t )? ? f ?? ?t ??? '(t )dt . ? ?a 2 ? x 2 ，令 x ? a sin t , a 2 ? x 2 , 令 x ? a tan t , x2 ? a2 ，令 x ? a sect ,t ? [?? ?, ] 2 2t ? [?? ?, ] 2 2t ? [0, ) ? t ? ( , ? ] 2 2??(4) f ( x, n ax ? b ) 或 f ( x, nax ? b ax ? b ) ，令 t ? n ax ? b 或 t ? n cx ? d cx ? d3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式, 其他类型的复杂 函数也可尝试此法. 例 求?1 x x2 ?1 dx .三 分部积分法 1 公式：设 u?x ? ， v?x ? 均有连续的导数，则 ? u ?x ?dv ?x ? ? u ? x ?v? x ? ? ? v?x ?du ?x ? 。 2 在选用分部积分法时，选取 v 的顺序为三角、指、幂、有理、反对数、反三角. 例 求 ? ? arccos x ? dx .232 四 特殊函数的积分 1 有理函数积分 (1) 特型方法：除、拆. (2) 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法.x3n?1 1 dx 和 ? 例 求? 2 dx 1 ? x2n x ( x ? 1)( x ? 2)2 三角函数的积分t ? tan(1)万能公式法： ? f (sin x, cos x) dx ?x 2?f(2t 1 ? t 2 2 , ) dt 1? t2 1? t2 1? t2(2)一般情形下，式子比较简单才会用万能公式,其他用凑微分. sin x dx 。 例 求? sin x ? cos x题型一 求解不定积分 例 1 求I ??xearctan x (1 ? x )3 2 2dx例 2 求I ??arctan e x dx . e2 x33 例 3 计算不定积分 ? ln(1 ?1? x )dx( x ? 0) x例 4 设 ? xf ? x ?dx ? arcsin x ? C ，则 ?dx ? _________; f ? x?例 5 求解 ?dx dx 和? 8 x?x sin x cos 4 x题型二 求分段函数的不定积分 1 在各段先求出不定积分 2 分界点的连续性(少数时候用到可导性)，得到一系列方程并求解.?sin 2 x, x ? 0, ? 例 6 设 f ? x? ? ? 求 f ? x ? 的原函数 F ? x ? . ?ln ? 2 x ? 1? , x ? 0, ?34 §2 不定积分一 定积分的基本概念 1 定义： ? f ( x)dx ? lima d ?0 b? f (? )?x .n i ?1 i i特别的： ? f ( x)dx ?01n n 1 1 1 i 1 1 i ?1 f ( ) 或 ? f ( x)dx ? lim? f ( ). lim? n n 0 n n?? i ?1 n n?? i ?1 n n2 充分条件：函数在 [a, b] 连续或函数在 [a, b] 有界且仅有有限个间断点. 必要条件：函数有界 3 定积分的重要性质 (1) (2)? [ Af ( x) ? Bg ( x)]dx ? A?abbaf ( x)dx ? B ? g ( x)dx .ac b a cb?baf ( x)dx ? ?? f ( x)dx,ba?baf ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .b b a a(3) 若 f ( x) ? g ( x), x ? [a, b], 则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .特别的： 又有 f ( x), g ( x)连续， 但两个函数不全相等，则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .a a b b(4)中值定理. 设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则存在 ? ? (a, b) 使得? f ?x?dx ? f ?? ??b ? a ? .b a(5) 定积分是一个数 题型一 定积分的概念和基本性质 例 1 lim sinn ????? cos nk ?1n2k? ? _________ . n例 2 设 f ? x ? 为连续函数，且 f ? x ? ? x ? 2? f ? t ?dt ，求 f ? x ? .1 035 二 微积分基本定理 1 设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则 推广:???2 ? x ??1 ? x ?f ? t ? dt ' ? f ??2 ? x ? ? ?2? ? x ? ? f ??1 ? x ? ? ?1? ? x ? 。 ? ? ? ????xaf ? t ?dt ' ? f ? x ? .?注: 我们只能计算被积函数为 f (t ) 的变上限函数的导数， 若为 f (t , x) 必须通过 提取 x 或变量代换将积分函数化成只和 t 有关的函数。 2 (N―L) f ?x ? 在 ?a, b? 上可积，F ?x ? 为一原函数， ? f ?x ?dx ? F ?x ? ? F ?b? ? F ?a ? . 则b ab a3 不定积分与定积分的转换 (1) (2)?baf (? ( x))? '( x)dx ??? (b ) ? (a)?f (u )du 。?baf ?x ?dx ? ? f ?? ?t ??? ??t ?dt?( x ? ? ?t ? 在 ?? , ? ? 单调，? ?? ? ? a ，? ?? ? ? b )；b b b （3） ? u?x ?v??x ?dx ? u?x ?v?x ? ? ? v?x ?u ??x ?dx 。 a a a注: 无论是哪一种换元在计算中一定要变换积分限。 题型二 关于变上限函数的求导 例3 设 f ( x) 在 ? ??, ??? 连续且 Φ( x) ? ? s n?1 f ( x n ? sn )ds ，求 Φ?(x) ．x 0例 4 设 f ( x) 在 ? ??, ??? 连续，又 Φ ( x) ?1 x ( x ? t ) 2 f (t )dt ，求 Φ ?( x)， Φ ??( x) ． 2 ?0例5设 Φ( x) ? ? ( ?0xy20sint 2 dt )dy ，求 Φ??(x) ． 1? t 236 三 反常积分 1 无穷区间上的广义积分 (1)定义： ??? af ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dx . 若极限存在，则称广义积分 ?b b??? a?? a??af ?x ?dx 是收敛的， 它的值就是极限值； 若极限不存在， 则称广义积分 ? (2) 其他类型：f ?x ?dx 是发散的.?b?? ??f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dxb a ??? a c ?? ?? c? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ?????f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dxc b a??? a b??? c（3）一个结论：?x11p? 收敛, p ? 1 dx ? ? ?发散，p ? 12 无界区间上的广义积分（瑕积分） (1)定义：设 f ?x ? 在 ?a, b ? 内连续，且 lim f ? x ? ? ? ，则称 b 为 f ?x ? 的瑕点。定义 ?x ?b? f ?x?dx ? lim ?b ab ????0? af ?x ?dx . 若极限存在，则称广义积分 ? f ?x ?dx 收敛，且它的b a b a值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分 ? f ?x ?dx 发散。 (2) 其他类型：? f ? x ? dx ? ?lim ?b ab?0? a ??f ? x ? dx ， b 为 f ?x ? 的瑕点b ?2 ?0 c ??2?baf ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? lim? ?c b a c ?1 ?01c ??1af ?x?dx ? lim? ?f ?x?dx , c ? (a, b) 为 f ?x ? 的瑕点（3）一个结论： ?0?收敛, 0 ? p ? 1 1 dx ? ? p x ? 发散，p ? 1三 关于积分的其他 1 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.? n ?1 n ? 3 1 ? ? n n ? 1 ? 2 2 , n为偶数 ? n n 2 公式： I ? ? sin xdx ? ? cos xdx ? ? 0 0 ? n ? 1 n ? 3 ? 2 ，n为奇数 ? n n ?1 3 ?? ?2 2题型二 定积分和反常积分的计算 1 对称性和周期性37 (1)对称性： ?a?a? a ?2 f ( x)dx, f ( x)偶 f ( x)dx ? ? ? , 0 ? 0， f ( x)奇 ?a ? nT(2)周期性： f ( x) 是周期为 T 的函数.??ab ?Tf ( x)dx ? n?bf ( x)dx .例 6 设M ? ? 2?? ? sin x 4 cos xdx N ? ? 2? ? sin3 x ? cos4 x ?dx, P ? ? 2? ? x2 sin3 x ? cos4 x ? ，则( ) ? 1 ? x2 ? ? 2 2 2（A） N ? P ? M ； （C） N ? M ? P ； 例 7 设函数 S ? x ? ? ? cos t dt ，x 0（B） M ? P ? N ； （D） P ? M ? N .（1）当 n 为正整数，且 n? ? x ? ? n ? 1? ? 时，证明： 2n ? S ? x ? ? 2 ? n ?1? ； （2）求 limS ? x? . xx ???x ? 2?练习：设 F ( x) ? A 为正常数?xesin t sin tdt , 则F ( x)C 恒为 0 D 不为常数B 为负常数2 N ? L 公式：三大积分方法 例8 求积分 ?0 1x 2 arcsin x 1 ? x2dx ..38 例 9 求???0?1 ? e? x ?xe? x2dx .3 特殊技巧 1）对直接不好积分的函数, 采用积分变量替换的方法， 一般情形下做替换时要注意积分区间不变. 常用的 替换为： t ?1 , t ? a ? b ? x 等等. x2) 直接求解或者配对相加求解. 例 10 求 I ? ? 20?f ?sin x ? dx . f ?sin x ? ? f ?cos x ?例 11 求 I ? ??1 dx (1 ? x )(1 ? x? ) 02题型三 特殊函数定积分的计算 1 变上限函数 方法：变上限函数为 U ( x ) 分布积分法或二重积分交换积分次序的办法(推荐)。39 例 12 f '( x) ?sin x , f (0) ? 0, 求 ? f ( x)dx 。 ? ?x 0?练习：2 ?t ? x f ( x)dx, 其中 f ( x) ? ? e dt 。21x012 分段函数 (1) 设分段函数 f ( x) ，若要计算 f ( g ( x)) 的积分，先进行变量代换 u ? g ( x) 变成f (u ) 相关函数的积分。(2) 分析分段函数各段的定义域，划分区域分段积分相加. 注: 本类问题中一个特例是绝对值函数和最值函数，对于这种情况先把它写成 分段函数然后用上述方法求解。? x, 0 ? x ? 1 x ? 例 13 设f ( x) ? ?2 ? x,1 ? x ? 2, 求 ? f (t ? 2)dt 。 0 ? 0, 其他 ?例 14 求 ? min ?1, x 2 ? dx .3 ?240 题型四 定积分的等式证明 1 积分的换元法：应用于不含中值点且被积函数不含导数的等式证明. (1) 将等式的一边变量为 x , 另一半为 u . 若一端为 f ( x) , 另一端为 f (? (u)) 则令 x ? ? (u ) . (2) 若函数无法得到换元，则比较被积函数的积分区间. 1 注：两个常见的代换： t ? a ? b ? x, t ? . x 例 15 证明 ? e0 x xt ? t 2dt ?ex2 x 4?e0?t2 4dt练习：证明 ?11 1 dt ? ? dt 2 1? t 1? u2 x 11 x例 16 设 f ? x ? ， g ? x ? 在区间 ? ?a, a? ? a ? 0? 上连续， g ? x ? 为偶函数，且 f ? x ? 满足 条件 f ? x ? ? f ? ?x ? ? A （ A 为常数）. （1）证明： ? f ? x ?g ? x ? dx ? A? g ? x ?dx ；a a ?a 0（2）能利用（1）的结论计算2 分部积分法：不含中值点, 被积函数含导数.41 从含高阶导数的积分式开始用分部积分法，直到化到令一端. 例 17 若 f ( x) 在 ? a, b? 有二阶连续导数，证明：f ( x) ? f (a) ? f '(a)( x ? a) ? ? f ''(t )( x ? t )dt 。ax练习：设 f ( x) 在 ? a, b? 有二阶连续导数， f (a) ? f ?(a) ? 0 ，证明：?baf ( x)dx ?1 b f ??( x)( x ? b) 2 dx 2 ?a3 微分方法：不含中值点, 两边积分均可看做函数. 先证明导数相等，后证明值也相等. 4 中值定理：微分中值、积分中值和泰勒定理. 例 18 f ( x) 在 [?a, a] 上二阶连续可导数且 f (0) ? 0, 证明： (1)写出 f ( x) 的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林展开式； (2) ?? ? [?a, a] 使得 ? f ( x)dx ??a aa3 f ''(? ) . 3例 19 f ( x) 在 [0, ? ] 连续, 且 ? f ( x) ? 0 ,? xf ( x) ? 0 ，证明 ?? ,? (? ? ? ) 使得a abb42 f (? ) ? f (? ) ? 0 .题型五 定积分的不等式证明 1 积分的性质：比较性. 应用于比较简单的不等式证明,积分的上下限相同, 即 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .a a b b例 20 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续, 且 ? f (t )dt ? ? g (t )dt ? a ? x ? b ? , ? f (t )dt ? ? g (t )dt ,a a a axxbb试证明： ? tf (t )dt ? ? tg (t )dt .a abb例 21 比较 ? | ln t | [ln(1 ? t )] dt 与 ? | ln t | t n dt 的大小.n 0 0112 辅助函数法：容易设置辅助函数, 辅助函数容易求导.. (1) 选择某个字母为自变量, 设置辅助函数 (2) 求导，确定最值或者单调性 (3) 比较取值范围和要证明的值的大小43 例 22 当 x ? 0 时，证明 f ? x ? ? ? ? t ? t 2 ? sin 2n tdt （ n 为自然数）的最大值不超过x 0? 2n ? 2?? 2n ? 3?1.例 24 设 f ( x), g ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明? b f ( x) g ( x)dx? ? b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ?a ?a ? ?a ? ? ?2练习： f ( x) 在 [a, b] ? a ? 0? 连续且 f ( x) 单调递增，证明：1 ? xf ( x)dx ? 2 (b? f ( x)dx ? a? f ( x)dx) . a 0 0bba3 中值定理：微分、积分中值和泰勒定理 应用在：含中值点、 max f '( x) 的问题等.a ? x ?b例 25 设 f ( x) 在 ? a, b? 有一阶连续导数且 f (a) ? f (b) , 证明：4 max f '( x) ? a ? x ?b (b ? a)2?abf ( x) dx .44 例 26 设 f (x) 在 ? a, b? 上有连续的二阶导数，且 f (a) ? f (b) ? 0 ， f &( x) ? 0 试证明：?baf ? x ? dx ?(b ? a)3 min f &( x) . 4 a ? x ?b补例：设 f (x) 在 ?0,1? 上有连续的一阶导数，且 f (0) ? f (1) ，试证：M ? f ?x ? dx ? 4 ，其中 M ? max1 00 ? x ?1f ?( x) .第三部分 定积分的应用1 微元法： 要求 U ,先考虑一个微小的区间 [ x, x ? dx] ， 将部分量 ?U ? f ( x)?x , 则U ? ? c f ( x )dx 。2 积分的几何应用 (1) 面积 A ? ? f ( x)dxa b(2) 体积 V ? ? ? f 2 ( x) V ? ? 2? xf ( x)dxa abb45 (3) 弧长 s ? ? 1 ? ? f '( x) ? dx (数学一、二)2 ab旋转面的面积 A ? 2? ? f ( x) 1 ? ? f '( x) ? dx (数学一二)2 ab3 积分的物理应用(略) 例 1 求由 x2 ? y 2 ? 2 x 与 y ? x 确定的平面图形绕直线 x ? 2 旋转而成的旋转体的 体积.例 2 已知抛物线 y ? px 2 ? qx（其中 p ? 0, q ? 0 ） 在第一象限内与直线 x ? y ? 5 相 切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S ， （1）问 p 和 q 何值时， S 达最大值? （2）求出此最大值.例 3 求曲线 r ? a sin 3?3的全长.(数学一、二)46 四 空间解析几何(数学一) §1 基本概念一 向量? 1 定义：既有大小，又有方向的量, 称为向量。在本章中，向量一般写作 a 。2 对于平面(或空间)中任一向量，它与平面(或空间)的点一一对应，因此可用点 ? ? 表示向量，即 a ? (a1, a2 , a3 ) 也写作 a ? a1i ? a2 j ? a3k ，其中 i ? (1,0,0), j ? (0,1,0), k ? (0,0,1) . 3 向量的基本属性? (1) 向量的长度称为模长， 显然它就等于点 (a1 , a2 ) 与原点的距离即 a ? a12 ? a22 。(2) 向量与 x 轴所称的角称为与 x 的方向角，它的余弦值称为与 x 方向余弦。其 他类同。 ? ? (3)长度为 1 的向量称为单位向量，故而 a 就是 a 的单位向量。 ?a注：单位向量的元素就是方向余弦 二 向量的运算 1 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 ? a 2 向量加减法： a ? b ? c ,平行四边形法则。a ? b ? c 即 a ? (?b) ? c 。? ? ? ? ?? b 3 数量积: a? ? a b cos ? , a? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 。 b? ? ?? ? ? a? b 位置： a? ? 0 ? a ? b ，意义: cos ? ? ? ? 。 b | a || b |? ? ? ? 4 向量积: a ? b ? a b sin ? , 方向符合右手法则, a × b = a1? i? j a2 b2? k a3 。 b3b1? ? ? ? ? ? ? ? 位置: a ? b ? 0 ? a / /b ，意义: a ? b 表示 a, b 构成平行四边形的面积。5 混合积:?a1 ? ? ? a ? b ? c ? b1?a2 b2 c2a3 b3 。 c3c1?? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ??? 位置: (a ? b)?c ? 0 ? a, b, c 共面， 意义: (a ? b) ? c 表示 a, b, c 构成平行六面体的体积。三 平面方程和直线方程47 1 直线方程:x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , 其中 (a, b, c) 为方向向量。 a b c平面方程: a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? c( z ? z0 ) ? 0 。 2 位置关系的判断 (1) 设 ?1 : A1 x ? B1 y ? C1z ? D1 ? 0, ?2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0, 则 (a) ?1 // ?2 ?A1 B1 C1 D1 ? ? ? ; (法向量共线但两平面不重合) A2 B2 C2 D2(b) ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? 0; (c) ?1 , ?2 的夹角 ? , cos ? ?n1 ?n2 A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 ? n1 n2 A12 ? B12 ? C12 A2 2 ? B2 2 ? C2 2(2) 设 L1 :x ? x1 y ? y1 z ? z1 x ? x2 y ? y2 z ? z2 ? ? , L2 : ? ? ,则 l1 m1 n1 l2 m2 n2 l1 m1 n1 ? ? 且 ( x1 , y1 , z1 ) 不满足 L2 的方程； l2 m2 n2(a) L1 // L2 ? S1 // S2 , 即(b) L1 ? L2 ? S1 ? S2 ? l1l2 ? m1m2 ? n1n2 ? 0; (c) L1 , L2 的夹角 ? , cos ? ? 3 距离? ? a?b (1) 点线距: d ? ? a ? ? ? ( a ? b) ? c (3) 异面直线： d ? ? ? a?bS1 ?S2 S1 S2 ? l1l2 ? m1m2 ? n1n2 l12 ? m12 ? n12 l2 2 ? m2 2 ? n2 2(2) 点面距： d ?Ax0 ? By0 ? Cz0 ? d A2 ? B 2 ? C 2。四 曲面方程和空间曲线方程 1 曲面：一般方程 F ( x, y, z ) ? 0 ；参数方程? x ? x (u , v ) ? ? y ? y (u , v ) . ? z ? z (u , v ) ? ? x ? x (t ), ? ? y ? y (t ), 。 ? z ? z (t ). ?2 曲线:一般方程? F1 ( x, y , z ) ? 0, ；参数方程 ? ? F2 ( x, y , z ) ? 0.48 3 常用二次曲面的方程及其图形 (1) 椭球面x2 y 2 z 2 ? ? ? 1. a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 和双叶双曲面 a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 ? ? ? ?1 (双曲面)。 a 2 b2 c 2(2)单叶双曲面(3)椭圆抛物面x2 y 2 ? ? ? z 和双曲抛物面 a 2 b2x2 y 2 ? ? ? z (抛物面). a 2 b2五 旋转和投影 1 旋转面的方程求解。 (1) 设一般点 ( x, y, z ) ,得到平面上的点的坐标。 (2) 通过旋转面的特性(同一圆上的点到中心线距离相等)，得到一般点 ( x, y, z ) 与平面点的关系， 2 平面上的投影? F ( x, y, z ) ? 0, 设曲线 C : ? 1 消去z 关于 xy 平面的投影柱面 F ( x, y) ? 0 ，则 C 在 xy 平 ?????? ? ? F2 ( x, y, z ) ? 0? F ( x, y) ? 0, 面上的投影曲线为 ? 同理，可得 C 关于其他两个平面的投影曲线. ? z ? 0.§2 基本题型一 向量的相关习题 重点考核数量积、矢量积和混合积的直接计算公式和坐标计算公式。 例 1 设（ a × b ） c ＝2，则［ a ＋ b ）×（ b ＋ c ）? c ＋ a ）＝________． ? （ ］（二 直线和平面的相关问题 求直线和平面方程先要求向量(方向或法)再找一个点，用点向式求解。 求直线和平面的位置关系， 用矢量积判断是否垂直，或两个向量对应成比例判断 求直线和平面的距离用相关公式求解. x ? 2 y ?1 z x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? ? ? 的平面方 例 2 过直线 L1： 且平行于直线 L2： 1 0 ?1 2 1 1 程是________．49 ?2 x ? 3 y ? 9 z ? 4 ? 0 ? 例 3 证明下列三个平面 ? 3 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 相交于一条线.。 ? 2x ? y ? z ? 0 ?题型三 求旋转面和投影?3x 2 ? 2 y 2 ? 12 例 4 求由曲线 ? 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面 ?z ? 0?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 例 5 求曲线 C： ? 在 xy 平面上的投影曲线的方程． x ? y ? z ?1 ?五 常微分方程和差分方程一 一阶微分方程 1 可分离：dy ? p ? x?Q ? y? ， dx则?dy ? p( x)dx ? C . Q( y ) ? du dx ? ? ? C ? ln x ? C . f (u ) ? u x2 齐次：y dy ? y? ? f ? ? ，令 ? u , x dx ?x?则?3 一阶线性方程 (1) 解的结构： y1 ? x ? ? 0 为齐次线性方程的特解，则线性组合 y ? Cy1 ? x ? 齐次线 性通解. 若 y ?x ? 非齐次的特解， y ? y ? x ? ? Cy1 ? x ? 是此非齐次线性方程的通解。 则? p ( x ) dx p ( x ) dx dy ? P? x ? y ? Q? x ? 则 y ? e ? [ ? Q( x)e ? dx ? C ] dx dy ? P ? x ? y ? Q ? x ? y? ?? ? 0,1? (数学一) 4 伯努利方程 dx(2) 解的表述：50 求解方法：令 y1?? ? z , 方程转化为一阶线性方程 5 全微分方程 P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? 0 (1) 定义：?Q ?P . ? ?x ?y( x, y ) ( x0 , y0 )1 dz ? P( x) z ? Q( x) . 1 ? ? dx(数学一)(2) 解法： u( x, y) ? ?P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? C .dy ? f ( x, y ) ,看其是否是可分离、 齐次或者一阶线性. dx题型一： 求解一阶方程 (1) 定类型： 将方程表示成 (2) 是否全微分：验证?Q ?P ? 是否成立. ?x ?y(3) 若(1),(2)无法求解, 考虑置换应变量与自变量. 注：(3)一般用在分母复杂、分子简单的方程.? y ? y 2 ? x 2 dx ? xdy ? 0 ? , x ? 0 的解. 例 1 求初值问题 ? ? y |x ?1 ? 0 ???例 2 设 y ? e x 是 xy ? ? p?x ?y ? x 的解，求此微分方程满足 yx ? ln 2? 0 的特解.例 3 求解方程 (2 xe y ? 3x2 )dx ? ( x2e y ? 2 y ? 1)dy ? 051 例4(1) 求微分方程dy y 的通解. ? dx x ? y 4dy x ? ? tan y dx cos y(2) 求微分方程例 5 已知函数 y ( x) 在任意点 x 处的增量 ?y ??x 较高阶的无穷小， y (0) ? ? ，则 y(1) ? （y?x ?? ， 且当 ?x ? 0 时，? 是比 1 ? x2）π（A）2 ? ．（B） ? ．π（C） e 4 ．（D） πe 4 ．例 6 设 F ?x? ? f ?x?g ?x? ， 其中 f ?x ? ， ?x ? 在 ?? ?,??? 内满足以下条件 f ??x ? ? g ?x ? ， gg ??x ? ? f ?x ?，且 f ?0? ? 0 ， f ?x ? ? g ?x? ? 2e x（1）求 F ?x ? 所满足的一阶微分方程 （2）求出 F ?x ? 的表达式52 二 二阶微分方程 1 二阶线性微分方程 (1) 二阶线性齐次微分方程： y &? P( x) y '? q( x) y ? 0 二阶线性非齐次微分方程： y &? P( x) y '? q( x) y ? f ( x) (2) 解的结构. (a) y1 ? x ? ， y 2 ? x ?为齐次线性方程的两特解，则 C1 y1 ?x? ? C2 y2 ?x? 也是解. 特别地, y1 ? x ? 与 y 2 ? x ?线性无关时，则方程的通解为 y ? C1 y1 ?x? ? C2 y2 ?x ? . (b) y1 ? x ? ， y 2 ? x ?为非齐次的解, 则 y1 ? x ? ? y2 ? x ? 是齐次方程的解. (c) 若 y ?x ? 非齐次的特解， y1 ? x ? 与 y 2 ? x ?为齐次方程线性无关的两个解, 则 y ? y ? x ? ? C1 y1 ? C2 y2 是此非齐次线性方程的通解。 (d）叠加原理：若 y1 是方程 y &? P( x) y '? q( x) y ? f1 ( x) 的一个解， y2 是方程 则 y &? P( x) y '? q( x) y ? f 2 ( x) 的一个解， y1 ? y2 是 y &? P( x) y '? q( x) y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的一个解. 注： 叠加原理就是将复杂的方程分解成一些列简单方程组. 2 常系数微分方程 (1) 齐次线性微分方程 特征根 实根 ?1 ? ?2 实根 ?1 ? ?2 复根 ? ? i? (?＞0) (2）非齐次线性微分方程：f ( x)线性无关二解e ?1x， e ?2 xe?1x， xe?1xe? x cos ? x, e? x sin ? xr 与 ?1 ， ?2 的关系 r≠ ?1 ，r≠ ?2 r= ?1 ，r≠ ?2 r= ?1 ，r= ?2特解 y*的形式Qm ( x)erxxQm ( x)erxPm ( x)erxx 2Qm ( x)erxerx (M cos?x ? N sin ?x)r ? i? 不是特征根r ? i? 是特征根erx ( A cos?x ? B sin ?x) xerx ( A cos?x ? B sin ?x)53 3 可降阶的高阶微分方程（数学一、二） 方程类型 解法及解的表达式y ( n ) ? f ?x ?y?? ? f ?x, y??通解 y ? ? ? ? f ? x ??dx ? ? C1 x n ?1 ? C 2 x n ? 2 ? ? ? C n ?1 x ? C n ?n n次令 y ? ? p ，则 y ?? ? p? ，原方程 ? p? ? f ?x, p ?一阶方程y?? ? f ? y, y??令 y ? ? p ，把 p 看作 y 的函数，则 y ?? ?dp dp dy dp ? ? ?p 把 dx dy dx dyy ?, y ?? 的表达式代入原方程，得dp 1 ? f ? y, p ? 一阶方程， dy p题型二： 求解二阶方程 (1) 定类型：常系数、可将阶(2) 分类型求解.例 7 微分方程 y?? ? y ? x 2 ? 1 ? sin x 的特解形式可设为 (A) y* ? ax2 ? bx ? c ? x( A sin x ? B cos x). (C) (B) y* ? x(ax2 ? bx ? c ? A sin x ? B cos x). (D) y* ? ax2 ? bx ? c ? A cos x.y* ? ax2 ? bx ? c ? A sin x.例 8 求解方程 y ''? 4 y ? e2 x ? xe2 x .例 9 求方程 xy &? 3 y ' ? 0 的通解.例 10 方程 y '' ? 3 y , 满足 y |x?0 ? 1, y ' |x?0 ? 2 的特解.54 例 11 设 y ? y?x ? 具有二阶导数，且 y '( x) ? 0 ， x ? x? y ? 是 y ? y?x ? 的反函数.? dx ? d 2x (1) 将 x ? x? y ? 满足的方程 2 ? ? y ? sin x ?? ? ? 0 变换为 y ? y?x ? 满足的方程； ? dy ? dy ? ?3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y?0? ? 0 ， y ??0? ?3 的解. 2练习：利用变量代换 x ? cos t (0 ? t ? ? ) 化简微分方程 (1 ? x2 ) y ''? xy '? y ? 0 并求满足 y |x?0 ? 1, y ' |x?0 ? 2 的特解. 题型三：求解其他类型的方程 1 积分或微分积分方程：直接求导变成微分方程. 2 函数方程：直接求导或者导数定义变成微分方程. 例 12 设 f ( x) ? sin x ? ? ( x ? t ) f (t )dt ，其中 f ( x) 连续．求 f ( x) ．0 x例 13 设 f ( x ? y) ? f ( x)e y ? f ( y)e x , 且 f '(0) ? 1 ，求 f ( x) .55 题型四：与解的结构相关的两类问题 (1) 抽象方程求解 (2) 已知解求方程. 例 14 函数 y ? C1ex ? C2e?2 x ? xex 满足的一个二阶线性微分方程是___________.练习： y1 ? xex ? e2 x , y1 ? xex ? e? x , y2 ? xex ? e2 x ? e? x 是二阶常线性微分方程的三 设 个解，求此微分方程.例 15 设线性无关的函数 y1 , y2 , y3 是微分方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? f ( x) 的解,其中p ( x) , q( x) , f ( x) 是连续的，且 C1 和 C2 是任意常数，则此方程的通解( )．(A) C1 y1 ? C2 y2 ? y3 (C) C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3(B) C1 y1 ? C2 y2 ? (C1 ? C2 ) y3 (D) C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3题型五：微分方程的实际应用 1 微分方程在几何问题方面的应用 (1) 面积、体积 (2) 切线的斜率 (3) 弧长、曲率 2 物理应用（略） 例 16 求通过 ?3,0? 的曲线方程，使曲线上任意点处切线与 y 轴之交点与切点的距 离等于此交点与原点的距离。56 例 17 设函数 f ?x ? 在 ?1,??? 上连续，若曲线 y ? f ?x ? ，直线 x ? 1 ， x ? t ?t ? 1? 与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V ?t ? ???t 32f ?t ? ? f ?1? ，试求?y ? f ?x ?所满足的微分方程，并求 yx?2?2 的解。 9题型六：差分方程(数学三) 例 18 求解差分方程 yt ?1 ? 2 yt ? t 和 yt ?1 ? 2 yt ? t 2t .六 多元微分学及其应用 §1 多元微分学一 极限 1 2( x , y ) ?( x0 , y0 )limf ( x, y ) ? A : ?? ? 0 , ?? ? 0 ，当 0 ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? 时，有 | f ( x, y) ? A |? ? .f ( x, y ) ? A ? ( x, y )以任意路径趋向( x0 , y0 ), f ( x, y ) ? A? x , y ??? x0 , y0 ?( x , y ) ?( x0 , y0 )lim推论：若 ( x, y ) 按两路径趋向于 ? x0 , y0 ? 所得极限不同，则 lim 3( x , y ) ?( x0 , y0 )f ? x, y ? 不存在.limf ( x, y ) ? 0 ? ?? ? 0, 当 0 ?? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ?22? ? , 有 f ( x, y) ? 0 .57 二 连续函数和初等函数 1 定义： 2 运算:( x , y ) ?( x0 , y0 )limf ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ) .连续的函数的和、差、积及商（分母不为零） ，仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续.3 闭区域上连续函数的性质：. 设 f ?x, y ? 在闭区域 D 上连续, 则 (1)（有界性定理） f ?x, y ? 在 D 上一定有界. (2)（最值定理）f ?x, y ? 在 D 上一定有最大值和最小值.(3) 介值定理） 设 M 为最大值， 为最小值， m ? c ? M ， （ 若 则存在 ?x0 , y0 ? ? D ， m 使得 f ?x0 , y0 ? ? C . 4 由基本初等函数(可能是不同的自变量)有限次四则运算和复合得到的函数称 为初等函数. 性质：初等函数在其定义域内连续. 题型一：二元函数的极限 (1)利用夹逼准则、 等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限. 例1 求sin xy x5 ? y 5 . 和 lim . ( x , y ) ?? 0,0 ? e xy ? 1 ( x , y )?? 0,0 ? x 4 ? y 4 lim(2)选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在. 例 2 请说明x2 y x2 ? y 2 是否存在. 和 lim ( x , y ) ?? 0,0 ? x 4 ? y 2 ( x , y ) ?? 0,0 ? xy ? ( x ? y ) 2 lim注：一般情形下，分子的次数大于分母次数，极限往往为 0, 利用方法(1); 其他情形下，一般极限不存在利用方法(2). 三 偏导数58 1 多元函数偏导数定义.z ? f ?x, y ? ,?z f ?x ? ?x, y ? ? f ?x, y ? ?z f ?x, y ? ?y ? ? f ?x, y ? ? f x??x, y ? ? lim , ? f y? ?x, y ? ? lim ?x ?0 ?y ?0 ?x ?x ?y ?y? xy , ( x, y) ? (0, 0) ? 例 f ( x, y) ? ? x 2 ? y 2 在 (0, 0) 处( ) ? 0, ( x, y) ? (0, 0) ?A 连续，偏导数存在 C 不连续，偏导数存在 B 连续，偏导数不存在 D 不连续，偏导数不存在注： f ( x, y) 偏导存在是 f ( x, y) 连续的即非充分又非必要条件. 2 偏导的链氏法则和二阶偏导数 (1) 设 z ? f (u, v) , u ? u( x, y) , v ? v( x, y) 则?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? ； ? ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y(2)?2z ? ? ?z ? ?? ? f xx ?x, y ? ? ? ? ， 2 ?x ? ?x ? ?x?2 z ? ? ?z ? ?? ? f xy ?x, y ? ? ? ? ， ?x?y ?y ? ?x ??2 z ? ? ?z ? ?? ? f yx ?x, y ? ? ? ? ， ?y?x ?x ? ?y ? ? ??2 z ? ? ?z ? ?? ? f yy ?x, y ? ? ? ? 2 ?y ? ?y ? ?y ? ??? ?? (3) 当二阶偏导数连续时， f xy ( x, y) ? f yx ( x, y)3 全微分 (1) ?z ? A?x ? B?y ? o? ? ???x ?2 ? ??y ?2 ? ??当 ?x ? 0, ?y ? 0 时则称 z ? f ?x, y ? 可微，而全微分 dz ? Adx ? Bdy . (2) z ? f ?x, y ? 可微 ? f x '( x, y), f y '( x, y) 存在且 A ? f x '( x, y), B ? f y '( x, y)z ? f ?x, y ? 可微 ? z ? f ?x, y ? 可微连续f x '( x, y), f y '( x, y) 连续 ? z ? f ?x, y ? 可微?? ? ?? ? ?? f 可微 ? ? 注： f x ', f y ' 连续 ?? ? ? ?? ? ?? ??f 连续 ???? f x ', f y ' 存在59 推论： z ? f ?x, y ? 可微 ?( ?x , ?y ) ?(0,0)limf ( x ? ?x, y ? ?y ) ? f ( x, y ) ? f x ' ?x ? f y ' ?y (?x) 2 ? (?y ) 2?0.(4) 微分形式不变性 z ? f (u， v) 可微， 不论 u , v 是中间变量还是自变量，微分形式是一样的即 dz ? 注：利用微分形式不变性可用来求微分和求偏导数. 例 求 g ( x, y) ? f ( x ? y, xy) 的全微分.?f ?f du + dv . ?u ?v题型二 求显函数偏导数和全微分 (1) 定义法： 分段函数的分界点或判断是否可导、可微 例3 设 f ( x, y ) ? ex2 ? y 4, 则 f ( x, y) 在原点偏导数有()(A) x 偏导存在， y 偏导不存在 (C) x 偏导不存在, y 偏导存在(B) x 偏导不存在， y 偏导也不存在 (D) x 偏导存在， y 偏导也存在例 4 讨论二元函数? x2 ? y2 ， x， y ) ? (0， )， ( 0 ? xy f ( x， y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 0， ( x， y ) ? (0， )， 0 ?在 (0, 0) 处的连续性、偏导、是否可微分.例 5 设函数 f ( x, y) ?| x ? y | ? ( x, y) 且 ? ( x, y ) 在 (0, 0) 连续, 问 (1) ? ( x, y ) 在 (0, 0) 为何值时, f x '(0,0), f y '(0,0) 存在. (2) 在(1)的条件下, 问 f ( x, y) 在 (0, 0) 是否可微.60 (2) 求导法则和微分形式的不变性. 例6 (1) 设 f ( x, y, z) ? zx yy , 求 f x ', f y ', f z ', df . z(2) 设 u( x, y, z) ? z 2exy ， 求 du .?x? (3) 设 u ? ? ? ， 求 df |(1,1,1) . ? y?z例 7 设 f ?u, v ? 具有二阶连续偏导数，且满足?2 f ?2 f ? ?1， ?u 2 ?v 2?2 g ?2 g ? 1 ? g ?x, y ? ? f ? xy, x 2 ? y 2 ? ，求 2 ? 2 . ?x ?y ? 2 ???x y ?2 z 练习： z ? f ( xy, ) ? g ( ), 其中 f 有二阶连续偏导数, f 有二阶导数， 设 求 . y x ?x ?yx? y例 8 设函数 u ( x, y ) ? ? ( x ? y ) ? ? ( x ? y ) ?x? y? ? (t )dt ,其中 ? 有二阶导数, ? 有一阶导数, 求? 2u ?x ?y61 例 9 函数 f (u , v) 由关系式 f ( xg ( y), y) ? x ? g ( y) 确定, 其中 g ( y ) 可微且 g ( y ) ? 0 , 则?2 f . ?u ?v例 10 设?2 z ? 1 , z (0, y) ? sin y, z ( x, 0) ? sin x , 则 z ( x, y ) ? _________. ?x?y例 11 设 u 有二阶连续偏导数, 若方程 6?? ? x ? 2 y ? 2u ? 2u ? 2u ? ? 2 ? 0 经变换 ? 2 ?x ?x?y ?y ?? ? x ? ay可变为? 2u ?0 , 求a. ?????四 隐函数存在的微分法 1 y ? y ( x) 由方程 F ( x, y) ? 0 ，F '( x, y) dy . ?? x dx Fy '( x, y)2 z ? z ( x, y ) 由方程 F ( x, y, z ) ? 0 ，Fy '( x, y, z ) F '( x, y, z ) ?z ?z . ?? x , ?? ?x Fz '( x, y, z ) ?y Fz '( x, y, z )? F ( x, y, z ) ? 0 3 方程组的情形, 由 ? 确定了隐函数 z ? u ( x) 和 z ? v( y) ，则有 ?G( x, y, z ) ? 062 ? ? ? du ? dv ? Fx ? Fu dx ? Fv dx ? 0 ? ，克莱默法则求解即得. ? ?G ? ? G ? du ? G ? dv ? 0 u v ? x dx dx ?题型三 隐函数的全微分和偏导数：直接求导法和微分形式的不变性. 例 12 设 u ? f ?x, y, z ? 有连续的一阶偏导数，又函数 y ? y?x ? 及 z ? z ?x ? 分别由下 列两式确定 e xy ? xy ? 2 和 e x ? ?x? z 0sin t du dt ，求 . t dxy z ?z ?z 例 13 设方程 F ( , ) ? 0 确定了函数 z ? z ( x, y ) , 则 x ? y ? _______. x x ?x ?y(A) x(B) ?x(C) z(D) ?z? x ? ?u 2 ? v ? z ?u ?v ?u 例 14 设方程 ? 确定了函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) ，求 , , ?x ?x ?z ? y ? u ? vz第二节 偏导数的应用1 曲线的切向量及切线和法平面方程(数学一)? x ? x(t ) ? (1) 曲线方程 ? y ? y (t ) . t ? t0 的切向量为 ? ? {x?(t0 ), y?(t0 ), z?(t0 )} ? z ? z (t ) ?切线：x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , 法平面： x?(t0 )(x ? x0 ) ? y?(t0 )( y ? y0 ) ? z?(t0 )(z ? z0 ) ? 0 . x?(t0 ) y?(t0 ) z?(t0 )63 ?F ( x, y, z) ? 0 (2) 曲线方程 ? ， P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量 ?G( x, y, z) ? 0? ?F ?F ?F ?F ?F ?F ? ? ?y ?z ? ? ?z ?x ?x ?y ? ? ?? , , ? ? {l , m, n} . ?G ?G ?G ?G ?G ?G ? ? ? ?y ?z ?z ?x ?x ?y ? ? ?P0切线:x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? ? ，法平面: l ( x ? x0 ) ? m( y ? y0 ) ? n( z ? z0 ) ? 0 . l m n2 曲面的法向量及切平面和法线方程(数学一) (1)曲面方程 F ( x, y, z) ? 0 , ( x0 , y0 , z0 ) 处的法向量 n ? {Fx? ( x0 , y0 , z0 ), Fy? ( x0 , y0 , z0 ), Fz? ( x0 , y0 , z0 )} 切平面： Fx?( x0， y0， z0 )(x ? x0 ) ? Fy?( x0， y0， z0 )( y ? y0 ) ? Fz?( x0， y0， z0 )(z ? z0 ) ? 0 法线：x ? x0 y ? y0 z ? z0 . ? ? Fx?( x0， y0， z0 ) Fy? ( x0， y0， z0 ) Fz?( x0， y0， z0 )(2)特别的：若曲面方程为 z ? z ( x, y ) ，写成 F ( x, y, z) ? z ? z( x, y) ? 0 之后，其法 向量 n ? {??z ?z , ? ,1}，此 n 指向与 z 轴正向夹角为锐角. ?x ?y题型一： 几何应用 例 1 函数 z ? f ( x, y) 在 (0, 0) 附近有定义且 f x?(0， ) ? 3， f y?(0， ) ? 1 则 0 0 ． （A） dz ( 0, 0 ) ? 3dx ? dy （B）曲面 z ? f ( x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的法向量为 (3,1,1) .? z ? f ( x， y) （C）曲线 ? 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 (1, 0,3) . y?0 ? ? z ? f ( x， y) （D）曲线 ? 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 (3, 0,1) . ?y ? 0例 2 求椭球面 x2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1 的与平面 x ? y ? 2 z ? 0 平行的切平面方程.64 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 6 例 3 求? 在点 (1, ?2,1) 的切线和法平面方程？ ?x ? y ? z ? 03 二元函数的二阶泰勒公式(数学一)1 ?? ?? ?? f ( x0 ? h, y0 ? k ) ? f ( x0 , y0 ) ? f x?( x0 , y0 )h ? f y?( x0 , y0 )k ? (h2 f xx ( x0 , y0 ) ? 2hkf xy ( x0 , y0 ) ? k 2 f yy ( x0 , y0 )) 2! 1 2 23 ??? ( ??? ??? ??? ? (h3 f xxx ? ? , ? )h kf3 ? ? ? hk f)2 ?3? k ?k( f yyy (? )? ，) ( , xyy , , ) xxy 3!注：在泰勒公式（4）中，令 a ? 0, b ? 0 ，就得到二元函数 f ( x, y) 的麦克劳林公 式. 4 无条件极值 (1)定义： z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 某邻域内有定义,存在某邻域使 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) (或f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ),则称函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处取得极大值（或极小值）.(2)必要条件：若函数 f ( x, y) 在 P ( x0 , y0 ) 处偏导数都存在，且取得极值，则 0? f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,其中 ( x0 , y0 ) 称为驻点. ? ? ? f y ( x0 , y0 ) ? 0(3)充分条件： z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 某邻域内连续,且有二阶连续偏导数,? A ? f &xx ( x0 , y0 ) ? f x?( x0 , y0 ) ? 0 ? 又? , 记 ? B ? f &xy ( x0 , y0 ) , 则 ?( x0 , y0 ) ? 0 ? fy ?C ? f & ( x , y ) yy 0 0 ?(a) AC ? B 2 , f ( x0 , y0 ) 为极值; 若 A ? 0, AC ? B2 , f ( x0 , y0 ) 为极小值; 若 A ? 0, AC ? B2 , f ( x0 , y0 ) 为极大值. (b) AC ? B 2 , f ( x0 , y0 ) 不为极值;65 (c) AC ? B 2 , 无法判断. 题型二 无条件极值? zx ' ? 0 (1)具体问题：先求出驻点 ? , 再用二阶偏导判断. ?zy ' ? 0(2) 抽象问题：定义. 例 4 已知函数 f ( x, y) 在点 （0， 的某邻域内连续， lim 0） 且x ?0 y ?0f ( x, y) ? xy 问 ? 1， （0,0） ( x 2 ? y 2 )2是不是 f ( x, y) 的极值点？例 5 求 f ( x, y) ? x3 ? y3 ? 3x2 ? 3 y 2 ? 9x 的极值点.例 6 求方程 x2 ? 6xy ? 10 y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 所确定的隐函数的极值.5 条件极值 (1) 目标函数 u ? f ( x, y, z ) 在约束 ? ( x, y, z ) ? 0 下的极值称为条件极值. (2)拉格郎日乘子法. u ? f ?x1 ,?, xn ?? ? 1 ? x1 , ? , x n ? ? 0 ? ? 在约束条件 ? ?? ? x , ? , x ? ? 0 n ? m 1m?m ? n ? 极值，令 F ? F ?x1 ,?, xn , ?1 ,?, ?m ? ? f ?x1 ,?, xn ? ? ? ?i? i ?x1 ,?, xn ?i ?166 ? Fx?1 ? 0 ? ?? ? Fx? ? 0 ? n k 求出 x1k ,?, xn ? F??1 ? ? 1 ? x1 , ? , x n ? ? 0 ? ?? ? ? F??m ? ? m ? x1 , ? , x n ? ? 0 ??? ?k ? 1,2,?, l ? 是有可能的条件极值点.注：考研中不要求条件极值，只要求条件最值. 题型三 条件极值、最值 (1) 从约束条件解出某些变量, 代入目标函数中变成无条件最值. (2) 拉格朗日乘子法求出可能的条件极值，最大的为条件最值.? z ? x2 ? y2 例 7 求函数 u ? x ? y ? z 在约束条件 ? 下的最大值与最小值． ?x ? y ? z ? 42 2 2题型四 求闭区域 D0 的最值. 方法: 1 求出 f ( x, y) 在 D0 内部的极值； 2 求出 f ( x, y) 在 D0 边界的极值； 3 比较以上函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值. 例 8 已知函数 z ? f ?x, y ? 的全微分 dz ? 2 xdx ? 2 ydy ，并且 f ?1,1? ? 2 。求 f ?x, y ? 在? ? y2 ? 1? 上的最大值和最小值。 椭圆域 D ? ?? x, y ? x 2 ? 4 ? ?例 9 求 f ( x, y) ? x2 ? 2 y 2 ? x2 y 2 在区域 D ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 4, y ? 0} 上的最大值和最小值.67 七 多元积分学(一)――二重积分一 二重积分的基本概念 (1) 定义：??Df ( x, y)dxdy ? lim ? f (?i ,?i )?si .? ?0i ?1n特别的： ?? d? 表示 D 的面积.D(2) 若 f ( x, y) 在 D 上连续或 f ( x, y) 在 D 上分块连续有界，则 f ( x, y) 在 D 上可积． (3) 二重积分的主要性质 (a) ?? ( Af ( x， y) ? Bg( x， y))d? ?A?? f ( x， y)d? ? B?? g ( x， y)d?．.D D D(b)?? f ( x， y)d? ? ?? f ( x， y)d? ? ?? f ( x， y)d? ,D D1 D2其中 D ? D1 ? D2 , D1 ? D2 ? ? . 特别的：(c) 若 f ( x, y) ? g ( x, y), 则 ?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D又有 f ( x, y), g ( x, y)连续， 但两函数不全相等，则 ?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D(d) 中值定理： f ? x, y ? 在 D 上连续， 设 则存在 ? ? D 使得 ?? f ( x, y)d? ? f ?? ,? ? s( D) .D(e) 二重积分是一个数. 题型一：积分的基本性质 例 1 lim ??n ?? i ?1 nn 等于( ) 2 2 j ?1 ( n ? i )(n ? j )xn1 ( A ) ? dx ? dy (1 ? x)(1 ? y 2 ) 0 0( C )1( B )? dx? (1 ? x)(1 ? y) dy0 01x1? dx?0111 dy (1 ? x)(1 ? y) 0( D )? dx?0111 dy (1 ? x)(1 ? y 2 ) 068 例 2 求 lim xr ?02? y 2 ?r 2??ex2? y2cos( x 2 ? y 2 )dxdy r2.例 3 设 I1 ? ?? cos x 2 ? y 2 d? , I 2 ? ?? cos( x 2 ? y 2 )d? ， I3 ? ?? cos( x2 ? y 2 )2 d? ，其D D中 D ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 ，则判断 I1 , I 2 , I3 的大小.??D二 二重积分的计算 1 平面坐标系重积分的计算 (1) 基本公式?? f ? x, y ? dxdy ? ? dx? ? ? f ? x, y ? dyb a D?2 ? x ??1 x?? f ? x, y ? dxdy ? ?Ddcdy ??2 ? y ??1? y ?f ? x, y ? dx(先固定 x 得到 y 范围再确定 x 可移动范围) 可移动范围) (2) 平移变换(先固定 y 得到 x 范围再确定 y?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (u ? a, v ? b)dudv ,D D?x ? u ? a 其中 ? . ?y ? v?b2 极坐标系重积分的计算 (1) 极坐标二重积分的计算?? f ? x, y ? d? ? ?? f ? r cos? , r sin ? ? rdrd?D D69 ?? f ? x, y ? d? ? ? d? ? ? ? f ?? cos? , ? sin ? ? ? d??D??2 ?? ??1 ??? f ( x, y) d? ? ? dr ??a Db?2 ( r )1(r )f (r ,? ) rd?(先固定 ? 得到 r 范围再确定 ? 范围) (先固定 r 得到 ? 范围再确定 r 范围) 注：考研中极坐标情形最常用的是是先积 r 后 ? .? x ? x0 ? r cos ? (2) 一般情形下,若 D 是圆或圆的一部分, 设 ( x0 , y0 ) 为圆心可令 ? ? x ? y0 ? r sin ?例 1 计算 I ? ?? e ? ( xD2? y 2 ?? )sin( x 2 ? y 2 )dxdy 其中积分区域 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? ? } .3 无界区域上的二重积分(数学三) (1) 设函数 f ( x, y) 在无界区域 D 上有定义，且在区域 D 的任何有界部分上的二 重 积分存在，则函数 f ( x, y) 在无界区域 D 上的二重积分?? f ( x, y)d? ?DDT ? Dlim?? f ( x, y)d? .DT其中区域 DT 是由曲线 T 从 D 中分割出来的有界区域，且当 T 移动时有界区域 DT 趋向于无界区域 D ． (2)平面坐标： DT 一般取为 D ? { y ? b} 或 D ?{x ? b}, b ? ?? . 极坐标： DT 一般取为 D ?{x2 ? y 2 ? r 2}, r ? ?? . 题型二：二重积分的计算 1 二重积分的对称性 (1) D 关于 y 轴对称??D?0 ? f ( x, y)dxdy ? ?2 ? ?D ?? x ? 0???f ( x, y)dxdyf ( ? x , y ) ? ? f ( x, y ) f ( ? x , y ) ? f ( x, y )(2) D 关于 x 轴对称70 ??D?0 ? f ( x, y )dxdy ? ?2 ? ?D ?? y ? 0???f ( x, y )dxdyf ( x, ? y ) ? ? f ( x , y ) f ( x, ? y ) ? f ( x , y )(3) D 关于 y ? x 轴对称?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy .D D若还有 f ( x, y) ? f ( y, x) , 则 ?? f ( x, y )dxdy ? 2DD ?( y ? x )??f ( y, x)dxdy例 4 设区域 D ? ( x，y) x 2 ? y 2 ? 4，x ? 0，y ? 0? 且f ( x) 为 D 上的正值连续 函数， a , b 为常数，求 I ? ??D?a f ( x) ? b f ( y ) f ( x) ? f ( y)d? ？例 5 计算 I ? ?? y (1 ? xe xD2? y2)d? , D 由 y ? ?1, y ? x3 , x ? 1 围成.练习：设 D 为平面上以 A?1,1? , B ? ?1,1? , C ? ?1, ?1? 为顶点的三角形, D1 是 D 在第 一象限的部分,求 I ? ?? ? xy ? cos x sin y ? d? ？D2 二重积分的常规计算 (1) 画出积分区域, 看是否可以用对称性; (2) 选择适当的坐标系. 一般来说，区域为圆形、扇形、环型或被积函数形如f ( x2 ? y 2 ), f ( y / x), f ( x / y) ;用极坐标系， 其余用直角坐标系.(3) 选择积分顺序.第一个积分可以求出，顺带考虑使划分的区域越少越好. 注：函数sin x e x ? x2 1 1 1 , , e , e x ,sin , 的原函数不是初等函数. x x x ln x71 例 6 求 I ? ?? x 2 e ? y d? ，其中 D 由 (0, 0), (1,1), (0,1) 所围成的三角区域.2D例 7 设 D 为圆域 x2 ? y 2 ? R2 , 求 ?? (Dx2 y 2 ? )d? ? a 2 b22 例 8 求 I ? ?? ( x - y ? 3)d? ，其中 D 为 ( x ? 2）? ( y ?1)2 ? 1 .D例 9 求 I ? ?? yd? ， 其中 D 由直线 x ? ?2, y ? 0, y ? 2 以及曲线 x ? ? 2 y ? y 2 围成．D例 10 设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) ? xy ? ?? f (u, v)dudv ，其中 D 是由Dy ? 0, y ? x2 , x ? 1 所围成区域，求 f ( x, y) ?例 11 f ( x) 在区间 [0,1] 连续，设 ? f (t )dt ? A ，求 ? f ( x)dx ? f ( y)dy .0 0 x11172 题型三：分段函数的二重积分 方法：写函数，划分区域，分段积分相加. 例 12 计算 I ? ?? emax( xD2, y2 )?0 ? x ? 1 . dxdy, D : ? ?0 ? y ? 1例 13 计算x ?1 0? y ? 2??y ? x 2 dxdy .题型四：交换积分次序. 方法：先写成二重积分和积分区域, 然后交换积分次序. 例 13??20d? ?1 0cos?0f (r cos ? , r sin ? )rdr ? _________ ．y? y（A） ? dy ?1 001f ( x， y)dx（B） ? dy ?011? y 20x ? x2f ( x， y)dx f ( x, y)dy（C） ? dy ? f ( x， y)dx0（D） ? dx ?010例 14 交换 ? dx?02a2 ax 2 ax ? x 2f ?x, y ?dy 的积分顺序.73 补例：设函数 f ( x) 连续, F (t ) ? ? dy ? f ? x ? dx , 求 F '(t ) .t t 1 y题型五 无界区域上的二重积分 例 15 求 I ? ?? xe? y d? ，其中 D 是由曲线 y ? 4x2 , y ? 9x2 在第一象限围成的区域．2D?( x 例 16 求 I ? ?? e R? R2? y2 )d? .题型六 综合题 例 17 设 f ( x, y) 在单位圆 x2 ? y 2 ? 1有连续的偏导数，且在其边界上取值为 0，1 ? ? 0 ? 2?f (0,0) ? 2010 ，试求极限 lim? ? x ? y ?12 2 2??xf x '? yf y ' x2 ? y 2dxdy .例 18 设 f ( x) 在 [0, ??) 上连续且 f (t ) ? e4? t ?2x 2 ? y 2 ? 4t 2??f(1 2 x ? y 2 )dxdy ,求 f ( x ). 2八 无穷级数(数学一、数学三) §1 常数项级数74 一 常数项级数 1?un ?1?n? u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n ? ? 称为数项级数, un 称为第 n 项或通项.n ?2 S n ? ? u k ? u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n , 若 lim S n（存在）? S ， 则称级数 ? u n 收敛，k ?1n??n ?1其和为 S ，记作 ? u n ? S ；若极限不存在，称级数 ? u n 发散.n ?1 n ?1??3 收敛的基本性质 (1) 则 则 ? un 和 ? v n 皆收敛， ? un ? vn 收敛; ? un 收敛，? v n 发散， ? un ? vnn ?1 n ?1n ?1??????n ?1n ?1n ?1发散；?un ?1??n发散， ? v n 发散， ? un ? vn 情况不明.n ?1n ?1??(2) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变. (3)? un 与 ? cun (c ? 0) 收敛性相同.n ?1n ?1?(4) 对收敛级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变. 但是发 散级数任意加括号，不一定发散它可能收敛. (5) 级数 ? u n 收敛的必要条件是 lim u n ? 0 .n ?1n ???注：若 lim un ? 0 , 则级数 ? u n 发散.n ???n ?1二 正项级数 1 若 u n ? 0?n ? 1,2,3,??则 ? u n 称为正项级数.n ?1 ??un ?1 ??n收敛 ? S n 有上界2 比较判别法 一般: vn ? un ? 0 成立, ? v n 收敛,则 ? u n 收敛;若 ? u n 发散,则 ? v n 发散。n ?1 ???n ?1n ?1n ?1极限: 设 u n ? 0 ， vn ? 0 ， 若 lim? ?un ?A n?? v n?1）当 0 ? A ? ?? 时， ? u n 与 ? v n 同时收敛或发散。2）当 A ? 0 时，若 ? v n 收n ?1 n ?1 n ?175 敛，则 ? u n 收敛。 3）当 A ? ?? 时，若 ? u n 收敛，则 ? v n 收敛.n ?1 n ?1 n ?1???3 比值判别法（达朗倍尔） 设 u n ? 0 ，而 lim?u n ?1 ?? n ?? u n1）当 ? ? 1 时，则 ? u n 收敛; 2）当 ? ? 1 时（包括n ?1?? ? ?? ） ，则 ? u n 发散; 3）当 ? ? 1时，此判别法无效.n ?1注：对于多项式形式或者对数多项式的级数，本方法必定不能判断. 4 根值判别法（柯西） （数学一） 设 u n ? 0 ，而 lim n u n ? ?n ??1）当 ? ? 1 时，则 ? u n 收敛;n ?1?2）当 ? ? 1 时（包括 ? ? ?? ） ，则 ? u n 发散;n ?1?3）当 ? ? 1时，此判别法无效.注: 比值判别法和根值判别法在很大程度上是等价的， 根据所给级数的形状有不 同的选择。含阶层的通项往往用比值判别法，含指数为 n 的通项往往用根植判别 法. 题型一 正项级数的收敛性判断 判断程序: 必要条件,比较极限(等价代换),比值根值,比较. 例 1 讨论级数 ?1 (a ? 0) 的收敛性. n n ?1 1 ? a?例2? 1 1 讨论 ? ? ln(1 ? ) 的收敛性. n n ?1 n例 3 讨论级数 ? a n ! 的收敛性. n n ?1 nn?76 例4讨论 ??n?21 ( p ? 1) 的收敛性. n ln np三 交错级数及其莱布尼兹判别法 1 定义： 若 u n ? 0 ， ? ?? 1?n ?1 ? n ?1u n 称为交错级数。2 莱布尼兹判别法. 设交错级数 ? ?? 1?n ?1 ? n ?1u n 满足： 1） un?1 ? un ?n ? 1,2,3,?? 2） lim u n ? 0 ，n ??则 ? ?? 1?n ?1?n ?1u n 收敛，且 0 ? ? ?? 1? u n ? u1 .n ?1 n ?1??例 讨论级数 ? sin n2 ? 1π 的收敛性.n ?1四 绝对收敛与条件收敛 (1) 定义： 若 ? u n 收敛, 称 ? u n 绝对收敛； ? u n 收敛， u n 发散， ? u n 若 称 ?n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ? ? ?为条件收敛。 (2) 关系：若 ? u n 收敛，则 ? u n 一定收敛；反之不然。n ?1 n ?1 ? ?(3) 绝对收敛级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不 变. 题型二 判断或证明抽象的收敛性 方法 1：定义和收敛的性质. 方法 2：比较判别法 例 5 设 pn ?an ? an 2?， qn ?an ? an 2?， n ? 1,2,? ，则下列命题正确的是?(A) 若 ? an 条件收敛，则 ? p n 与 ? qn 都收敛.n ?1 n ?1 n ?177 (B) 若 ? an 绝对收敛，则 ? p n 与 ? qn 都收敛.n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ????(C) 若 ? an 条件收敛，则 ? p n 与 ? qn 敛散性都不定.n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ?(D) 若 ? an 绝对收敛，则 ? p n 与 ? qn 敛散性都不定.n ?1 n ?1 n ?1练习：设 an ? 0, n ? 1,2,?, 若 ? an 发散， ? (?1) n?1 a n 收敛，则下列结论正确的是n ?1n ?1??(A)?an ?1 ? n ?1?2 n ?1收敛， ? a 2 n 发散 .n ?1?（B）?an ?1 ? n ?1?2n收敛， ? a 2 n ?1 发散.n ?1?(C)? (a2n?1 ? a2n ) 收敛.?(D)?? (a2 n ?1? a 2 n ) 收敛.例 6 设级数 ? a n ?a n ? 0? 收敛，则 ?n ?1an n收敛.n ?1例 7 设数列 ?nan ?收敛，级数 ? n?an ? an?1 ? 收敛，证明 ? an 收敛.n ?1 n ?0??题型三 综合题 例8 设 a n ? ? 4 tan n xdx0?(1)求 ?an ? an?2 的值. n n ?1?(2)证明：对任意正常数 ? ? 0 ， ?an 收敛. ? n ?1 n?78 1 1 例 9 设 a1 ? 2 , an ?1 ? (an ? ) , n ? 1 ， 证明： 2 an(1) lim an 存在;n ??? ? a ? (2) 级数 ? ? n ? 1? 收敛. n ?1 ? an ?1 ?§2 幂级数一 幂级数 1 定义:? a ?x ? x ?n ?0 n 0?n称为 ?x ? x0 ? 的幂级数.?2 (Abel 定理) 若幂级数 ? an xn 在点 x1≠0 处收敛(发散)，则在 (? x1 , x1 ) 之n ?0内绝对收敛(之外发散). 推论：条件收敛点必定为收敛域的端点.n 3 收敛半径与收敛区间： lim u ?1 ?1 n?? nu收敛域：收敛区间+可能端点. 题型一：求收敛半径和收敛域 例 1 求下列幂级数的收敛域.1 (1) ? n ( x ? 1)2 n n n ?1 3 ? 2?2n x n (2) ? n ?1 (2n ? 1)!?79 例 2 设幂级数为 ? an ( x ? 2)n ,求满足下列条件的收敛半径n ?1?(1) 在 x ? 0 点收敛，在 x ? ?4 点发散. (2) 在 x ? 3 点条件收敛.二 幂级数的分析性质 设幂级数 ? a n x n 收敛半径 R ? 0 ， S ?x ? ? ? an x n 为和函数，则有下列重要性质：n ?0 n?0 ? ?(1) S ?x ? 在其收敛域内连续.? ? ? ? ?? n? (2) S ?x ? 在 ?? R, R? 内可导，则 S ??x ? ? ? ? a n x ? ? ? a n x n ? ? nan x n?1 , n ?1 ? n ?0 ? n ?0? ?新的级数与原来的级数有相同的收敛半径. (3) S ?x ? 在收敛域内可积，则 ? S ?t ?dt ? ? ? an t n dt ? ?x x 0 n ?0 0 ?an n?1 x n ?0 n ? 1?且新幂级数的收敛半径也不变. 三 泰勒级数 1 泰勒级数: 级数 ?n ?0 ?f ? n ? ? x0 ? ?x ? x0 ?n . n!?当 x0 ? 0 ，则级数 ?n ?0f ?n ? ?0? n x 称为 f ?x ? 的麦克劳林级数。 n!2 收敛条件：在 a 的条件下，泰勒级数收敛于 f ( x) (或说 f ( x) 可展开成幂级数)f ? ? (? ) n ?1 的充要条件是 lim Rn ( x) ? 0, Rn ? x ? ? ? x ? x0 ? . n ?? ? n ? 1?!n ?13 常见的几个泰勒(麦克劳林)级数 (1)? 1 ? ? xn 1 ? x n ?0x ?1x 2n?1 ， x ? ?? ? 2n ? 1?!(2) e x ? ?n ?0?xn n!? nx ? ??x2n ， x ? ?? ? 2n ?!(3) sin x ? ? ? ?1?n ?0?n(4) cos x ? ? ? ?1?n ?080 (5) ln ?1 ? x ? ? ? ? ?1?n ?0?nxn?1 ， ?? 1 ? x ? 1? n ?1(6)?1 ? x ? ? 1 ? ??? ?? ? 1???? ? n ? 1? n x ， n! n ?1??1 ? x ? 1 注：利用泰勒级数可以用来求高阶导数.例 求 f (1000) (0) , 其中 f ( x) ? x2ex .2题型二 幂级数收敛的求和 1 将幂级数变换为几个常见幂级数的和或差等. 例3?n ?1?n ?1 n x . n!2 逐项积分或微分. 1) 求出级数的收敛域。 2) 在收敛区间内， 通过逐项积分或求导将原来}
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设{an}{bn}{cn}均为非负数列且liman=0 limbn=1 limcn=无穷大 下列叙述中哪些是对的哪些是错的an&bn,n属于N* & 2.bn&cn,n属于N* & 3.limancn不存在 & &n趋近于无穷大 & 4.limbncn不存在 &n趋近于无穷大要详细一点,别只给个答案,没看懂才问的.
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只有4正确.1和2是同样的道理,以1为例,由liman=0和limbn=1只能保证当n充分大时,有an<bn成立,但不能保证对任意的正整数n,an<bn都成立,因为数列的极限只能保证这数列足够靠后的那些项的某些性质,改变数列的有限项不改变该数列的极限,例如取an=1/n,bn=1满足条件,由于a1=b1=1,则对n=1时an<bn就不成立.3中limancn是0*∞型未定式,极限可能存在也可能不存在,例如an=1/n,cn=n,则limancn=1存在.4正确,因为1*∞=∞,这不是未定式.
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2012海文高数赵达夫强化班讲义
高等数学强化讲义一 函数 极限 连续 §1 函数一 函数的基本概念D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则 f ，使每一个 x ? D ，都有一个确定的实数 y 与之对应，则称这个对应规则 f 为定义在 D 上的一个函数关系，或称 变量 y 是变量 x 的函数，记作 y ? f ( x), x ? D . 二 函数的基本性态 1 奇偶性 (1) 定义：偶 f (? x) ? f ( x) ；奇 f (? x) ? f ( x) 。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇. (3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中? f (t )dt ? ? 奇,f ( x)偶 ?0x?偶, f ( x)奇2 有界性 (1) 定义： ?M ? 0 , ?x ? X ，有 f ( x) ? M . (2) 无界： ?M ? 0 , ?x ? X ，有 f ( x) ? M . (3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设 f (x) 在 ? a, b? 连续, 则 f (x) 在 ? a, b? 有界. 设 f (x) 在 ( a, b) 连续, 且 lim f ( x), lim f ( x) 存在, 则 f (x) 在 ( a, b) 有界.x?a ? x ?b ?3 周期性 (1) 定义： f ( x ? T ) ? f ( x) (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。 4 单调性 (1) 定义：递增(递减) 当 x1 ? x2 时，均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?或f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1 ?? ? ?? ? (2) 导函数： f '( x) ? (?)0 ?? f ( x) 单增(减)； f '( x) ? (?)0 ?? f ( x) 单增(减). ? ???题型一 无界与无穷的判定 例 1 设 f ( x) ? xecos x sin x, 则f ( x)是（ （A） 偶函数 （C） 周期函数）（B）有界函数 （D）单调函数.例 2 当 x ? 0 时，变量1 sin 是（ x x21） （B）无穷大 （D）无界的，但不是无穷大（A）无穷小 （C）有界的，但不是无穷小量题型二 函数性态的判定 例 3 设 f ( x) 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( （A） ? ? f (t ) ? f (?t ) ?dt0 x)（B） ? ? f (t ) ? f (?t ) ?dt0x（C） f '( x)（D）根据上面条件无法判断例 4 设函数 f ( x) 具有二阶导数，并满足 f ( x) ? ? f (? x),且 f ( x) ? f ( x ? 1). 若f '(1) ? 0, 则（） (B) f (5) ? f ''(?5) ? f '(?5).(A) f ''(?5) ? f '(?5) ? f (?5).2 (C) f '(?5) ? f (?5) ? f ''(?5).(D) f (?5) ? f '(?5) ? f ''(?5).练习：设 f ( x) 在 (??,??) 内可导，且对任意 x1 , x 2 ，当 x1 ? x 2 时，都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则( )（A） 对任意 x ,f ' ( x) ? 0（B）对任意 x ,f ' (?x) ? 0（C）函数 f (? x) 单调增加（D）函数 ? f (? x) 单调增加 .例 5 设函数 f ( x) ? A (-1,0)| x | sin( x ? 2) 在下列哪个区间内有界( x( x ? 1)( x ? 2) 2)B (0,1)C (1,2)D (2,3)三 各种其他的函数 1 分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达 2 复合函数 [? ( x)] ： y ? f (u ) 与 u ? ? (x) 复合而成的复合函数, u 为中间变量. 3 反函数、隐函数 (1)原来的函数为 y ? f (x) ,若把 y 作为自变量， x 作为因变量，便得一个函数x ? ? ( y ) ，且 f [? ( y)] ? y ，称 x ? ? ( y ) 为 y ? f (x) 的反函数.(2) 隐函数: F ( x, y) ? 0 . 4 初等函数3 (1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角. (2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数. 题型三 分段函数的复合 方法：各种情形分别讨论.? 2 ? x2 , ?0, x ? 0 ? 例 6 设 f ( x) ? ? , g ( x) ? ? ?| x | ?2, ?1, x ? 0 ? x ?1 ， 试求 f [ g ( x)], g[ f ( x)] . x ?1§2 极限一 极限的概念 1 数列极限： lim x n ? a ? 对于 ?? ? 0 ?N ? 0 当 n ? N 时有 xn－a ? ? .n??2 函数的极限 (1) x ? x0 (自变量趋向于有限值的情形) (a) lim f ( x) ? A ? x ? x0 , f ( x) ? A ? ?? ? 0 ， ?? ? 0 ，当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，x ? x0有 | f ( x) ? A |? ? . (b) lim f ( x) ? A1 (左极限) ? x ? x0 ?, f ( x) ? A1 .x ? x0 ? x ? x0 ?lim f ( x) ? A2 (右极限) ? x ? x0 ?, f ( x) ? A2 .x ? x0 ? x ? x0 ?(c) lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .x ? x0(2) x ?? (自变量趋向于无穷大的情形) (a) lim f ( x) ? A ? x ? ?, f ( x) ? A ? ?? ? 0 ， ?M ? 0 ，当 | x |? M 时，x ??有 | f ( x) ? A |? ? . (b) lim f ( x ) ? A1 ? x ? ??, f ( x) ? A1 .x ??? x ???lim f ( x) ? A2 ? x ? ??, f ( x) ? A2 .x ??? x ???(c) lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A .x ??4 (3) 常见有不同极限的函数：分段函数、 ex ,arctan x 二 极限的性质 1 有界性：lim x n ? a ? ?xn ? 有界；n??x ? x0lim f ( x) ? a ? ?? ? 0,0 ?| x ? x0 |? ? , f ( x) 有界2 有理运算性质： (1) 若 lim f ( x) ? A, , lim g ( x) ? B , 则 (a) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? Bx ? x0x ? x0x ? x0(b) lim f ( x) g ( x) ? ABx ? x0(c) lim f ( x) ? A ( B ? 0) . x? x0g ( x)B(2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不 为 0，上述运算法则就成立. (3) 延伸：若 limx ? x0f ( x) ? A ，则 g ( x)(a) lim g ( x) ? 0 ? lim f ( x) ? 0; x? x x?x0 0(b) lim f ( x) ? 0, A ? 0 ? lim g( x) ? 0 .x ? x0 x ? x0例 设 limx 2 ? ax ? b ? 3 ，求 a 和 b . x ?1 sin x 2 ? 1 ? ?3 保号性： lim f ( x) ? (?)0 ? ?? ? 0, 当 0 ?| x ? x0 |? ? , 有 f ( x) ? (?)0x ? x0三 极限的两个存在准则 (1)单调有界定理: 若数列 ?xn ? 单调且有界, 则 ?xn ? 有极限. (2)夹逼准则: 设在 x0 的领域内恒有 ? ( x) ? f ( x) ? ? ( x) , 且x ? x0lim ? ( x) ? lim ? ( x) ? A , 则 lim f ( x) ? A .x ? x0 x ? x0四 无穷小和无穷大 1 无穷大量: 若 lim f ( x) ? ? , f ( x) 称为 x ? x0 的无穷大量.x ? x0正无穷： lim f ( x) ? ?? ； 负无穷： lim f ( x) ? ?? .x ? x0 x ? x02 无穷小量： 若 lim f ( x) ? 0 , 称 f ( x) 是 x ? x0 时的无穷小量。x ? x05 (1) 设 f ( x) 、 g ( x) 都是 x ? x0 时的无穷小量, 若且 limx ? x0f ? x? ?l ， g ? x?(a) l ? 0 ，称 f ?x ? 是比 g ?x ? 高阶的无穷小，记以 f ?x ? ? o?g ?x ??, (b) l ? 0 ，称 f ?x ? 与 g ?x ? 是同阶无穷小。 (c) l ? 1 ，称 f ?x ? 与 g ?x ? 是等阶无穷小，记以 f ?x ? ~ g ?x ? . (2)若 f ( x), g ( x) 为无穷小,且 limf ? x? ? g ? x ?? ? ?kx ? x0? c ? 0 ,称 f ( x)是g ( x) 的 k 阶无穷小.(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小; 有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小. (4) 等价无穷小的作用: 若 ? ' ~ ? , ? ' ~ ? , 则 lim?' ? ? lim . ?' ?(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理. 3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大; 无穷大的倒数为无穷小. 题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论 核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形 例 1 设对 ?x, 有 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 且 lim ? g ( x) ? ? ( x) ? ? 0 , 则 lim f ( x ) (x ??x ??)A C存在且为 0 一定不存在B 存在但不一定为 0 D 不一定存在例 2 设数列 {xn } 与 { yn } 满足 lim xn yn ? 0 , 则下面断言正确的是( )n ??A 若 {xn } 发散，则 { yn } 必发散， C 若 {xn } 有界， 则 { yn } 必为无穷小B 若 {xn } 无界，则 { yn } 必有界1 D 若 { } 为无穷小，则 { yn } 必为无穷小 xn6 例 3 设 {an },{bn },{cn } 均为非负数列, 且 lim an ? 0 , lim bn ? 1 ， lim cn ? ? , 则( )n ?? n ?? n ??A Can ? bn , ?nlim an cn 不存在n ??B bn ? cn , ?n Dlim bn cn 不存在n ??例 4 设函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 内单调有界, {xn } 为数列, 下面命题正确的是( A 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 必收敛 C 若 { f ( xn )} 收敛， 则 {xn } 收敛 B 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 必收敛 D 若 { f ( xn )} 单调， 则 {xn } 收敛)题型二 求函数的极限 步骤 1：四则运算和等价无穷小 注 1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形. 注 2：常见的等价无穷小 当 x ? 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， 1 arctan x ~ x ， 1 ? cos x ~ x 2 ， e x ? 1 ~ x ， lim?1 ? x ? ~ x ， ?1 ? x?a ? 1 ~ ax 2 当 x ?? 时, an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 ~ an xn .1| sin x | ex ?2 例 5 求极限 lim . 1 x ?0 x x 1? e例61 2 4 若 x ? 0时, 1 ? ax ? 1与x sin x 是等价无穷小，则 a ? ________ .??7 例 7 limx ?0x ln(1 ? x) ? ________ . 1 ? cos x例 8 求 I ? lim(2 x ? 1)4 ( x ? 1)6 ? 5 x( x8 ? x) x ?? ( x ? 2)10例9求 I ? lim x 2 (e x ? e x ?1 )x ?011例 10 求 limesin x ? e x x ?0 x31 1 ) 例 11 求 lim x 2 (arctan ? arctan x ?? x x ?1例 12 设 limx ?0ln(1 ? f ( x)sin 5 x) ? 1 , 求 lim f ( x ) x?0 2x ? 1步骤 2：恒等变形 (1). 含 u( x)v( x) 的极限.8 (a)若直接计算 lim u ( x) v ( x ) 且 u ( x) ? 1 , 直接利用公式lim u ( x)v ( x ) ? exp((u ( x) ? 1)v( x))(b) 将 u( x)v( x) 写成 u( x)v ( x ) ? exp(v( x)ln u( x)) 求解.? arcsin x ?1?cos x 例 13 求 lim ? . ? x ?0 3 ? ?11 ? 2 ? cos x ? 例 14 lim 3 ? （ ） ? -1 x ?0 x 3 ? ?x(2) 有理化变形a? b?a ?b 3 a ?b , a?3b? 3 2 a? b a ? 3 b2 ? 3 ab例 15 I ? lim 3 x 2 ( 3 x ? 8 ? 3 x ? 1)x ??(3) 分子、分母同时除以最大的无穷大? ?常见的无穷比较: x ? ??， x ?? x? (? ? 0) ?? x? (? ? 0) ?? a x (a ? 1) ln 例 16 求 lim4 x2 ? x ?1 ? x ? 1 x 2 ? cos xx ???sin 2 x ? 2enx cos x 例 17 设 f ( x) ? lim , 求 lim f ( x ) . x?0 x ?? x ? enx9 步骤 3：洛必达法则和导数定义 (1) 先进行步骤 1 和 2，然后再用第 3 步, 符合洛必达法则用洛比达法则; (2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解, 此类问题一般为抽象型问 题.例 18 求 limx ?0x ? ? cos t 2 dt2 0x2sin10 x例 19设函数 f ? x ? ? ? 1?cos x sin ? t 2 ?dt , g ? x ? ? 0 ）[无穷小量的比较]x5 x 6 ? ，则当 x ? 0 时， f ? x ? 5 6是 g ? x ? 的（（A） 低阶无穷小 （C） 等价无穷小（B） 高阶无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小例 20I ? limx ?0(1 ? x) ? e x1 x? f ( x ? xy ) ? y 例 21 设 f ( x) ? 0 且可微, 求极限 lim ? ? y ?0 ? f ( x) ?110 步骤 3’： 泰勒定理 含： sin x,cos x,(1 ? x)? ,ln(1 ? x), ex 可直接利用 Peano 形式的泰勒定理. 例 22 求 lim(x ?01? x 1 ? ). 1 ? e? x x题型三 求数列的极限 方法 1：将 n 换成 x , 直接利用求函数极限的方法求解. ? 2 例23 lim tan n ( ? ) . n ?? 4 nn3 n 2(1 ? cos例 24 求 limn ??1 ) n2 n2 ? 1 ? n方法 2：单调有界必有极限, 应用在递推数列求极限 例 25 设 0 ? x1 ? 3 , 且 xn?1 ? xn (3 ? xn ) , 证明 {xn } 极限存在并且此极限.方法 3：夹逼准则.n 例 26 求 lim n a1n ? a2 ? ? ? a n ，其中 p ? 0, ai ? 0 . p n??11 题型四 求数列连加和的极限 方法 1：直接合并? 12 22 n2 ? 例 27 求 lim ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ?? n n n ? ?方法 2：夹逼准则 一般情况下只放分母不放分子, 且必须使左右两边的放缩项极限相同.? 12 ? 22 n2 例 28 求 lim ? ? ?? ? ? 6 n ?? n 6 ? 2n n6 ? n 2 ? ? n ?n方法 3：定积分定义. 若函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上可积, 则1 n i 1 n ? i ?1 ? 1 lim ? f ( ) ?? f ( x)dx, lim ? f ? ? ? ? f ? x ? dx n?? n n?? n n 0 ? n ? 0 i ?1 i ?111 1 ? ? 1 例 29 求 lim ? ? ?? ? ? n ?? n ? 1 n?2 n?n? ?? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 例 30 lim ? ? ?? ? 1 1? n ?? ? n ? 1 n? n? ? ? ? 2 n? ?12 1 2 n 练习： lim n (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) n n n n ??题型五 已知极限求未知参数 1 若是 x ?? 的多项式型问题，考虑多项式的最高次数. 0 2 若是 型, 根据分子或分母极限为 0 得到一个参数再求解其他参数. 0 c 例 31 设 lim ?? x5 ? 3x4 ? 2? ? x ? ? l , 求 c, l . ? x ?? ? ? ?例 32确定 a, b, c 值，使 limx ?0 xax ? sin x ? C ?C ? 0? . ln ?1 ? t 3 ? ? t dt b§3 连续一 连续与间断 1 连续的概念 (1) 若 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ，则称 f ?x ? 在点 x0 处连续。x ? x0(2) 若 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ， 则称函数 f ?x ? 在点 x0 处左连续； 如果 lim f ?x ? ? f ?x0 ? ， ? ?x ? x0x ? x0则称函数 f ?x ? 在点 x0 处右连续. 处既是左连续，又是右连续.如果函数 y ? f ?x ? 在点 x0 处连续， f ?x ? 在 x0 则2 间断点的分类：非连续点 lim f ? x ? ? f ? x0 ?x ? x0(1) 第一类间断点: lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 都存在的间断点：x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) ? lim? f ( x) ，则称 x0 为跳跃型间断点.x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) = lim? f ( x) ，则称 x0 为可去间断点.x ? x0 x ? x013 (2) 第二类间断点: lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 中至少有一个不存在的间断点x ? x0 x ? x0若 lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 中至少有一个为无穷大，则称 x0 为无穷型间断点.x ? x0 x ? x0当 x ? x0 时函数值在摆动, 称为摆动型间断点. 3 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点. 二 连续函数的性质 1 连续函数运算的性质. (1) 若 f ( x), g ( x) 在 x0 连续, 则 f ( x) ? g ( x) , f ( x) g ( x) 在 x0 连续，若还有条件g ( x0 ) ? 0 ，则f ( x) 在在 x0 也连续. g ( x)(2) 若 f ( x) 在 x0 连续, g ( x) 在 f ( x0 ) 连续, 则 g ( f ( x)) 在在 x0 连续. (3) 初等函数在定义域内都连续. 2 闭区间连续函数的性质: 闭区间[a,b]上的连续函数 f (x) (1)（有界性定理） f (x) 在[a,b]上有界。 (2) (最值定理)f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值.(3)(介值定理) 设 m, M 为 f (x) 在[a,b]上的最小值最大值，则对 ?c(m ? c ? M ) ， 至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 f (? ) ? c . (4)(零点定理）若 f (a) ? f (b) ? 0 ，则至少存在一点 ? ? ? a, b? ，使 f (? ) ? 0 . 注：若 f (a) ? f (b) ? 0 ，则至少存在一点 ? ? (a, b) ，使 f (? ) ? 0 . 题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义. 抽象函数：一般利用连续函数运算性质. 例 1 设 f ? x ? 和? ? x ? 在? ?? ? ?? 内有定义，f ? x ? 为连续函数， f ? x ? ? 0,? ? x ? 有 且 间断点，则 （A） ? ? f ? x ? ? 必有间断点。 ? ? （C） f ?? ? x ? ? 必有间断点。 ? ? （B） ? ? f ? x ? ? 必有间断点。 ? ?2（D）14? ? x?f ? x?必有间断点。 例 2 设函数 f ( x) ? lim1? x x 2nn?? 1 ?，讨论函数 f (x) 的间断点，其结论为( ) （B）存在间断点 x ? 1 （D）存在间断点 x ? ?1（A）不存在间断点 （C）存在间断点 x ? 01 ?1 3 ? x 2 ln ?1 ? x ? sin x , x ? 0, ? 例 3 设 f ? x ? ? ?0, x ? 0, 则 f ? x ? 在 x ? 0 处( ?1 x ? ? sin ? t 2 ? dt , x ? 0, ?x 0)（A）极限不存在 （C）连续，但不可导（B）极限存在，但不连续 （D）可导? sin t ? sin t ?sin x ? f ?x ?的间断点，并判别其类型。 例 4 求 lim? ? t ? x sin x ? ?x15 题型二：证明 ?? , F (? ) ? c 或者方程 F ( x) ? c 有根. 若具体已知了某些函数值或者函数值的等式, 用零点定理; 若没有这些信息, 一般采取介值定理, 只要证明 m ? c ? M . 例 5 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，且 x1 , x2 ,?, xn ? ? a, b ? ，求证存在 ? ? ? a, b? 使得f (? ) ? n f ( x1 ) f ( x2 )? f ( xn ) .例 6 设 f (x) 是 [0,1] 上非负连续函数，且 f (0) ? f (1) ? 0. 证明：对任意实数 r （ 0 ? r ? 1） ，必存在 x0 ?[0,1] ，使得 x0 ? r ?[0,1] ，且 f ( x0 ) ? f ( x0 ? r ) 。例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续, 且f (0) ? f (1) ，1 (1)证明：存在 ? ? [0,1], 使f (? ) ? f (? ? ) ； 2 1 (2)证明：存在 ? ? [0,1], 使f (? ) ? f (? ? ) (n ? 2 且 n 为正整数）. n第二章一元函数微分学§1 导数与微分一 导数与微分的基本概念 1 导数的概念： f '( x0 ) ? lim?x ?0f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? lim x ? x0 ?x x ? x016 左导数：f ?' ( x0 ) ? lim?x ?0?f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x右导数： f ?' ( x0 ) ? lim?x ?0 ?f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x导数存在 ? 左右导数存在且相等 2 微分的基本概念 (1) f ( x)在x0可微：f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? A?x ? o(?x)f ( x)在x ? x0的微分df ( x)x ? x0(?x ? 0) .? A?x ? Adx(2) f ( x)在x0可微 ? f ( x)在x0可导 且 A ? f '( x0 )df ( x)x ? x0? f '( x0 )?x ? f '( x0 )dx?? ? 3 可导(微)、连续关系： f '( x0 ) 存在 ? f ( x) 在 x0 可微 ?? f ( x) 在 x0 连续. ? ? 4 导数的几何意义：切线的斜率 题型一：可导性的讨论 核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论.例 1 设函数 f ( x)在x ? 0 连续, 则下面命题错误的是( )f ( x) f ( x) ? f (? x) 存在, 则 f (0) ? 0 （B）若 lim 存在, 则 f (0) ? 0 x?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f (? x) （C）若 lim 存在, 则 f '(0) 存在 （D）若 lim 存在, 则 f '(0) 存在 x?0 x ?0 x x（A）若 lim例 2 设 f (0) ? 0 , f ( x)在x ? 0 可导的充要条件的是( )f ?1 ? cosh ? （A） lim 存在 h ?0 h2（B） limh ?0f ?1 ? eh ? h存在（C） limh ?0f ? h ? sinh ? 存在 h2（D） limh ?0f ? 2h ? ? f ? h ? 存在 h例 3 设 f ? x ? 可导, F ( x) ? f ? x ? (1? | sin x |) ,则 f (0) ? 0 是 F ( x) 在 x ? 0 可导的( )条件17 (A) 充分必要(B) 充分非必要(C) 必要非充分(D) 即非充分也非必要注：若 f ( x) ?| x ? a | ? ( x) 且 ? ( x) 在 x ? a 连续, f '(a) 存在 ? ? (a) ? 0. 例4 函数 f ? x ? ? ? x 2 ? x ? 2 ? x 3 ? x 有( （B）2； )个不可导点. （D）0.（A）3；（C）1；二 导数与微分的计算公式 1 导数的有理运算和复合运算法则 (1) ( f1 ? f2 )' ? f1' ? f2' (3) (f1 f 'f ?f f ' )' ? 1 2 2 1 2 f2 f2(2) ( f1 f2 )' ? f1' f2 ? f1 f2' (4)[ f1 ( f2 ( x))]' ? f1 '( f 2 ( x)) f 2 '( x)2 微分的有理运算和形式不变性u vdu ? udv (1) d (u ? v) ? du ? dv, d (uv) ? vdu ? udv, d ( ) ? v v2(2) df (u) ? f '(u)du , 不管 u 是最终变量还是中间变量. 3 特殊函数求导法 (1) 反函数求导： x '( y ) ?1 y &( x) , x ''( y) ? ? 3 y '( x) ? y '( x)?(2)参数函数求导：dy y '(t ) d 2 y y &(t ) x '(t ) ? x &(t ) y '(t ) ? ? , 。 3 dx 2 dx x '(t ) ? x '(t )?(3)隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法. (4)变上限函数求导：设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则 推广:???2 ? x ??1 ? x ?f ? t ? dt ' ? f ??2 ? x ? ? ?2? ? x ? ? f ??1 ? x ? ? ?1? ? x ? ? ? ? ????xaf ? t ?dt ' ? f ? x ? .?18 4 连环相乘的对数求导法： 应用在形如 f ( x) ? u1 ( x)v1 ( x ) u2 ( x)v2 ( x ) ?un ( x) n 两边取对数 ln f ( x) ? v1 ( x)ln u1 ( x) ? v2 ( x)ln u2 ( x) ? ? ? vn ( x)ln un ( x) 从而f '( x) ? (v1 ( x) ln u1 ( x) ? v2 ( x) ln u2 ( x) ? ? ? vn ( x) ln un ( x)) ' f ( x)v ( x)的函数题型二：求显函数的导师 (1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数. (2) 公式：四则、复合、对数. 例 5 设 f ( x) ?x3 3? x 3 , 求 f '( x) 1 ? x (3 ? x)2例 6 设 f ( x) ?? x ?1? ( x ? 2)?( x ?100) , ? x ? 1? ( x ? 2)?( x ? 100)求 f '(1)例 7 设 f ( x) ? (1 ? x2 )sin x , 求 f '( x) .?1 ? ? f ( xt )dt , x ? 0 ?0 f ( x) ? ? 2 ,令 F ( x) ? ? 0 例 8 设 F ( x) 在 x ? 0 连续, 且 lim , x ? 0 , 求 F '( x) . x ?0 x ?x ? sin t dt , x ? 0 ?? t ?01 ? 2 ? x cos , x ? 0 例 9 设 ? ( x) ? ? ,且 f ( x) 在 x ? 0 可导, 令 F ( x) ? f (? ( x)) ,求 F '(0) . x ? 0, x ? 0 ?19 题型三：隐函数和参数函数求导 隐函数求导有三种方法: 一般情形下求导和求微分的方法等价.但若只要求隐函 数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到 y ', y 的关系, 不采取解出y ' 再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法.例 10 函数 y ? y ( x) 由方程 y ? tan( x ? y) 确定, 求 y ', y & .例 11 设可导函数 y ? y ( x) 由方程 sin x ? ? ? (u )du ? 0 确定,其中可导函数 ? (u ) ? 0 ,xy且 ? (0) ? ? '(0) , 求 y &(0) .? x ? 3t 2 ? 2t ? 3 d2y 例 12 设设可导函数 y ? y ( x) 由参数方程 ? y 所确定, 求 2 |t ?0 . . dx ?e sin t ? y ? 1 ? 0三 高阶导数20 (1) f ? ? x ? 在点 x0 处的导数称为 f ? x ? 在点 x0 处的二阶导数，记以 f ???x0 ? .若 f ? x ? 的 n ? 1 阶导数的导数存在，称为 y ? f ?x ? 的 n 阶导数，记为 y ?n ? ?x ? 或ndny . dx n(2)运算法则： (u( x) ? v( x))(n) ? u( x)(n) ? v( x)( n) ， (u ( x)v( x))( n ) ? ? Cnk u ( x)( k ) v( x)( n ?k )k ?0(3) 常见函数的高阶导数： (a x )( n) ? a x (ln a)n , (e x )( n ) ? e x ,sin(ax ? ? )( m ) ? a m sin(ax ? ? ? m ), 2?? m(m ? 1)?? m ? n ? 1? (1 ? x) m?n , m ? n n [(1 ? x)m ]? ? ? ? 0 , m?n ?题型四 求高阶导数 1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解. 2 若函数为 f ( x) ? xk g ( x) ,利用莱布尼茨公式求解. 3 若只求某点的高阶导数 f (n) (a) , 利用泰勒公式 f ( x) ? ? f ( n ) (a)( x ? a)nn ?0 ?例 13 设 f ( x) ?x , 求 f (n) ( x) . x ? 5x ? 62例 14 求函数 f ( x) ? x2 ln(1 ? x) 在 0 点的 100 阶导数 f (100) (0) .§2 中值定理和导数的应用一 微分中值定理 1 洛尔定理: 设函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,在开区间 ( a, b) 内可导21 f (a) ? f (b) , 则存在 ? ? (a, b) ，使得 f ?(? ) ? 0 .2 拉格朗日定理：设函数 f ?x ? 在闭区间 ?a, b? 上连续,在开区间 ?a, b ? 内可导， 则 存在 ? ? ?a, b ? ，使得 推论:f ?b ? ? f ?a ? ? f ??? ? . b?a若在 ?a, b ? 内可导，且 f ??x? ? 0 ，则 f ?x ? 在 ?a, b ? 内为常数。例 证明 arctan e x ? arctan e? x ??2.3 柯西中值定理:设函数 f ?x ? 和 g ?x ? 在闭区间 ?a, b? 内皆连续，在开区间 ?a, b ? 内 皆可导，且 g ??x ? ? 0 ，则存在 ? ? ?a, b ? 使得f ?b ? ? f ?a ? f ??? ? ? g ?b ? ? g ?a ? g ??? ??a ? ? ? b? 。二 泰勒定理（泰勒公式） (1) Lagrange 余项：设 f ?x ? 在包含 x0 的区间 ?a, b ? 内有 n ? 1 阶导数，在 ?a, b? 上有n 阶连续导数，则对 x ? ?a, b?，有公式f ? ? x0 ? f ?? ? x0 ? f ? n ? ? x0 ? f ? n ?1? ?? ? 2 n n ?1 f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? 1! 2! n! ? n ? 1?!(2)皮亚诺余项:设 f ?x ? 在 x0 处有 n 阶导数，则有f ? ? x0 ? f ?? ? x0 ? f n ? x0 ? 2 n n f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? ? ? ? ? x ? x0 ? ? o ?? x ? x0 ? ? ? ? 1! 2! n!注：上面展式称为以 x0 为中心的 n 阶泰勒公式; x0 ? 0 时，也称为麦克劳林公式。 (3) e x , sin x , cos x ， ln?1 ? x ? 和 ?1 ? x? 等的 n 阶泰勒公式.?三 极值 1 若对点 x0 ,存在它的某一邻域, 使得其中 ?x ? x ? x0 ? ，总有 f ? x ? ? ? ?? f ? x0 ? ， 称 f ?x0 ? 为函数 f ?x ? 的一个极大(小)值，称 x0 为极大(小)值点. 2 必要条件: f ( x0 ) 为极小值 ? f ??x0 ? ? 0 (驻点)或 f ? x ? 的不可导点.22 3 充分条件: 一阶判别法和二阶判别法 (1) x0 为可能极值点, f ? ? x ? 在 ?x0 ? ? , x0 ? 和 ?x0 , x0 ? ? ? 异号，左边小于 0 右边 大于 0 为极大值， 反之为极小值. (2) f ?x ? 在 x0 处有二阶导数，且 f ??x0 ? ? 0 ， f ???x0 ? ? 0 ，则当 f ???x0 ? ? 0 ， f ?x0 ? 为极大值， x0 为极大值点. 题型一：极值的判断与求解 1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解. 2 若已知函数可导, 先求可能的极值点, 然后再用充分条件判断. 注： 极值的两个充分条件不能互相替代, 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导 数判别法. 例 1 设 f ?x ? 在 x ? 0 处连续，若 limx ?0f ? x? ?1, x2问(1) 当 x ? 0 时, f ' ? x ? 是否存在? (2) x ? 0 是否为 f ? x ? 的极值点?例 2 设 y ? y ( x) 由方程 2 y3 ? 2 y 2 ? 2xy ? x2 ? 1 确定, 求 y ? y ( x) 的极值点和极值.例 3 求函数 f ? x ? ? ? ( x 2 ? t )e?t dt 的单调区间与极值.2x2123 四 最大值和最小值 1 闭区间 ?a, b? 上最值 (1) 求出 f ?x ? 在 ?a, b ? 内所有驻点，和不可导点 x1 ,?, xk ； (2) 计算 f ?x1 ?,?, f ?xk ?, f ?a ?, f ?b?； (3) 比较上面的值，最大者就是最大值 M ；其中最小者就是最小值 m . 2 开区间 ? a, b ? 上最值 (1) 求出驻点,利用图表法划分单调区间; (2) 作出草图, 求出最值. 例 4 求函数 f ? x ? ? ? (2 ? t )e ? t dt 的最大值与最小值.0 x2五 凹凸性与拐点 1 若 f ''( x) ? 0 称 f ( x) 是凸的，若 f ''( x) ? 0 则称 f ( x) 是凹的. 曲线上凹与凸的分 界点，称为曲线的拐点. 2 必要条件： f ??( x) ? 0 或 f ??(x) 不存在。 充分条件：去心邻域二阶可导， f ??(x) 在 x ? x0 左右变号。 题型二：判断凹凸性和拐点 例5 设 f ?x ? 有二阶连续导数且 f ? ? 0? ? 0 ，又 limx ?0f &? x ? ? 1 , 则( ) | x|(A) f ? 0 ? 是 f ?x ? 的极大值 (C)(B) f ? 0 ? 是 f ?x ? 的极小值?0, f ?0?? 是曲线 y ? f ?x?的拐点 ?0, f ?0?? 不是曲线 y ? f ?x?的拐点(D) f ? 0 ? 不是 f ?x ? 的极值,24 例 6 设 f ?x ? 在 ? ??, ??? 连续, 且在 ? ??,0) ? (0, ??? 内有二阶连续导数, f ' ? x ? 的图形如右, 则 y ? f ? x ? 的驻点、极值点、拐点的个数为( ) (A) 4，4,4 (B) 4,4,3 (C) 4，3,4 (D) 5,4,4六渐进线x ?c ? x ?c ?1 垂直渐近线 x ? c ： lim f ( x) ? ? 或 lim f ( x) ? ? . 2 有斜率的渐近线： lim ( f ( x) ? ax ? b) ? 0 或 lim ( f ( x) ? ax ? b) ? 0 ,x ??? x ???f ( x) f ( x) , b ? lim ( f ( x) ? ax) 或 a ? lim , b ? lim ( f ( x) ? ax) x ??? x ??? x ??? x ??? x x 题型三 求渐近线方程 1 垂直渐进线： 先求可能点(定义域的端点)+ 定义判断 2 有斜率的渐近线：先求 x ??? 的情形, 再求 x ??? 的情形其中 a ? lim( x 2 ? 2 x ? 3)e x 例 7 设 f ( x) ? 2 ， 求 f ( x) 的渐近线. ( x ? 1) arctan x125 例 8 设 f ( x) ? arc tan x ? (A) 1x ，则 f ( x) 具有渐近性的条数为 ( 1 ? ex (B) 2 (C) 3 (D) 4)题型四 方程根的讨论 1 写出方程对应的函数 f ( x) . 2 求 f ( x) 的驻点,利用图表法将函数分解成几个小的单调区间. 3 作 f ( x) 草图, 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数 例 9 试讨论方程 ln x ?x ? 1 的实根个数. e例10 试确定方程 x ? ae x (a ? 0) 的实根个数.题型四 中值定理的等式证明 情形一： 一个中值点、一阶导数 1 参数放在等式右边，左边为f (b ) ? f ( a ) f (b) ? f (a ) 或 的形式，直接利用拉格 b?a g (b) ? g (a )朗日或者柯西中值定理. 2 辅助函数法 注：特别要注意变上限函数的情形.26 例 11 证明： ?? ? (a, b) 使得, aeb ? bea ? (1 ? ? )e? (a ? b)例 12 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导，证明： ?? ? (a, b) 使得ab [bf (a) ? af (b)] ? ? 2 [ f (? ) ? f '(? )] . b?a例13 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导， f (1) ? 3? e1? x f ( x)dx ，证明21 30?? ? (0,1) 使得 f '(? ) ? 2? f (? )1 例14 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导，且满足 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1 ，证明 2 1 1）存在? ? ( ,1), f (? ) ? ? ； 22） ?? , 存在 ? ， f '(? ) ? ? ( f (? ) ? ? ) ? 1.例 15 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导, 且 ? f ( x)dx ? 0 ，证明：0127 ?? ? (0,1) 使得 ? f ( x)dx ? ?? f (? )0?情形二 k 阶导数一个中值点 方法：多次利用洛尔定理. 例 16 f ( x) 在 [0,1] 上有三阶连续导数， f (0) ? f (1) ? 0, F ( x) ? x3 f ( x) ， 证明： ?? ? (0,1) 使得 f '''(? ) ? 0 .情形三 1 阶导数 2 个中值点 1 三个点，用二次 Lagrange 中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的. 2 将两个参变量分离在等式的两边，与形式 定 g ( x), h( x) ，利用柯西中值定理即得. 例 17 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导，证明:f '(? ) f '(? ) h(b) ? h(a) ? 作对比，确 g '(? ) h '(? ) g (b) ? g (a)?? ,? ? ? a, b? 使得 f '(? ) ?a?b f '(? ) . 2?例 18 设 f ( x) 在 [a, b] 连续，在 ? a, b ? 可导， f '( x) ? 0, 证明f '(? ) eb ? ea ?? ? e . ?? ,? ? ? a, b? 使得 f '(? ) b ? a28 例 19 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，在 ? 0,1? 可导，且满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1, ，证明 (1)存在 ? ? (0,1), f (? ) ? 1 ? ? ； (2)存在不同的点 ?1 , ?2 ? (0,1), f '(?1 ) f '(?2 ) ? 1.题型五 不等式的证明 情形一： 不含中值点 方法 1 参数放在等式右边，左边为f (b) ? f ( a ) f (b) ? f (a ) 或 的形式， b?a g (b) ? g (a )直接利用拉格朗日或柯西中值定理. 例20 若 0 ? ? ? ? ??2，证明：? ?? ? tan ? ? tan ? . cos 2 ?例21 设 e ? a ? b ? e2 ，证明： ln 2 b ? ln 2 a ?4 (b ? a ) . e2方法 2：辅助函数法 1 设置一个自变量,构造自变量的函数； 2 对函数求导，通过研究导数求最值, (1) 具体而言，要么求出 f '( x) ? 0 的根设法证明其中一个根为最值点; 要么证明 f '( x) ? 0 或 f '( x) ? 0 ,得到单调性. (2) 如果无法把 f '( x) 研究清楚, 就通过研究 f &( x) 得到 f '( x) 的性质.29 3 将最值和要证明的值做比较 例 22 若 x ? 0 ，证明 ( x2 ?1)ln x ? ( x ?1)2 .例 23 若 x ? ?1 ，证明 (1 ? x)n ? 1 ? nx 。例 24 证明：当 0 ? x ??2时,tan x x ? . x sin x情形二： 含中值点或者 max f ( n) ( x) 核心点：Lagrange 中值定理和泰勒定理, 在导数和高阶导数信息最多的点展开. 例 25 若 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导， f '(a) ? f '(b) ? 0 ，证明：?? ?? a, b? 使得 | f &(? ) |?4 | f (b) ? f (a) | . (b ? a)2例 26 若 f ( x) 在 [0,1] 上二阶连续可导，且 f (0) ? f (1) ? 0 , min f ( x) ? ?1 ，证明：0 ? x ?1?? ?? a, b? 使得 max f &( x) ? 8. .0 ? x ?130 三 积分及其应用 §1 不定积分一 不定积分的基本概念 1 定义：F ??x? ? f ?x? 在区间 I 上成立，则称 F ?x ? 为 f ?x ? 在区间 I 的原函数. f ?x ? 在区间 I 中的全体原函数称为 f ?x ? 在区间 I 的不定积分， 记为 ? f ?x ?dx ? F ?x ? ? C . 2 充分条件：若 f ?x ? 连续则必有原函数. 注：sin x 2 ,cos x 2 ,sin x cos x 1 ? x2 , , , e 等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示. x x ln x3 不定积分的性质? f ?x ?dx ? F ?x ? ? C(2) ? ? f ? x ? dx ? ' ? f ? x ? ? ? (4) ? ? f ?x ? ? g ?x ??dx ? ? f ? x ?dx ? ? g ?x ?dx(1) ? F ?? x ?dx ? F ? x ? ? C (3) ? kf ? x ? dx ? k ? f ? x ? dx(k ? 0) 二 第一类类换元法? 1 公式： ? f ?u ?du ? F ?u ? ? C ， ? ?x ? 可导， ? f ?? ? x ?? ?? x ?dx ? ? f ?? ? x ??d? ? x ? . 设 又 则2 常用的凑微分 1 (1) dx ? d (ax ? b) a (2) sin xdx ? ?d cos x,cos xdx ? d sin x1 da x ln a(3) sec2 xdx ? d tan x,sec x tan xdx ? d sec x (4) e x dx ? de x , a x dx ? (5)1 1? x?2dx ? d arcsin x,1 dx ? d arctan x 1 ? x2? 1 dx? ?1 , ? ? ?1 1 ? (6) x dx ? ?? ? 1 , 特别的 ? ? 1, ? , ?2 要记处. 2 ? d ln | x |, ? ? ?1 ?1 dx , 例 求? 2 a ? x2?sin x21 x dx31 练习： ?1 a ? x22dx注： ?1 1 dx 和 ? dx 很有用要记住. 2 a ?x a2 ? x22二 第二类类换元法 1 公式：若 ? (t ) 可导、单调且 ? '(t ) ? 0 则 ? f ( x)dx 2 常见代换模式 (1) (2) (3)x ?? ( t )? ? f ?? ?t ??? '(t )dt . ? ?a 2 ? x 2 ，令 x ? a sin t , a 2 ? x 2 , 令 x ? a tan t , x2 ? a2 ，令 x ? a sect ,t ? [?? ?, ] 2 2t ? [?? ?, ] 2 2t ? [0, ) ? t ? ( , ? ] 2 2??(4) f ( x, n ax ? b ) 或 f ( x, nax ? b ax ? b ) ，令 t ? n ax ? b 或 t ? n cx ? d cx ? d3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式, 其他类型的复杂 函数也可尝试此法. 例 求?1 x x2 ?1 dx .三 分部积分法 1 公式：设 u?x ? ， v?x ? 均有连续的导数，则 ? u ?x ?dv ?x ? ? u ? x ?v? x ? ? ? v?x ?du ?x ? 。 2 在选用分部积分法时，选取 v 的顺序为三角、指、幂、有理、反对数、反三角. 例 求 ? ? arccos x ? dx .232 四 特殊函数的积分 1 有理函数积分 (1) 特型方法：除、拆. (2) 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法.x3n?1 1 dx 和 ? 例 求? 2 dx 1 ? x2n x ( x ? 1)( x ? 2)2 三角函数的积分t ? tan(1)万能公式法： ? f (sin x, cos x) dx ?x 2?f(2t 1 ? t 2 2 , ) dt 1? t2 1? t2 1? t2(2)一般情形下，式子比较简单才会用万能公式,其他用凑微分. sin x dx 。 例 求? sin x ? cos x题型一 求解不定积分 例 1 求I ??xearctan x (1 ? x )3 2 2dx例 2 求I ??arctan e x dx . e2 x33 例 3 计算不定积分 ? ln(1 ?1? x )dx( x ? 0) x例 4 设 ? xf ? x ?dx ? arcsin x ? C ，则 ?dx ? _________; f ? x?例 5 求解 ?dx dx 和? 8 x?x sin x cos 4 x题型二 求分段函数的不定积分 1 在各段先求出不定积分 2 分界点的连续性(少数时候用到可导性)，得到一系列方程并求解.?sin 2 x, x ? 0, ? 例 6 设 f ? x? ? ? 求 f ? x ? 的原函数 F ? x ? . ?ln ? 2 x ? 1? , x ? 0, ?34 §2 不定积分一 定积分的基本概念 1 定义： ? f ( x)dx ? lima d ?0 b? f (? )?x .n i ?1 i i特别的： ? f ( x)dx ?01n n 1 1 1 i 1 1 i ?1 f ( ) 或 ? f ( x)dx ? lim? f ( ). lim? n n 0 n n?? i ?1 n n?? i ?1 n n2 充分条件：函数在 [a, b] 连续或函数在 [a, b] 有界且仅有有限个间断点. 必要条件：函数有界 3 定积分的重要性质 (1) (2)? [ Af ( x) ? Bg ( x)]dx ? A?abbaf ( x)dx ? B ? g ( x)dx .ac b a cb?baf ( x)dx ? ?? f ( x)dx,ba?baf ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .b b a a(3) 若 f ( x) ? g ( x), x ? [a, b], 则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .特别的： 又有 f ( x), g ( x)连续， 但两个函数不全相等，则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .a a b b(4)中值定理. 设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则存在 ? ? (a, b) 使得? f ?x?dx ? f ?? ??b ? a ? .b a(5) 定积分是一个数 题型一 定积分的概念和基本性质 例 1 lim sinn ????? cos nk ?1n2k? ? _________ . n例 2 设 f ? x ? 为连续函数，且 f ? x ? ? x ? 2? f ? t ?dt ，求 f ? x ? .1 035 二 微积分基本定理 1 设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则 推广:???2 ? x ??1 ? x ?f ? t ? dt ' ? f ??2 ? x ? ? ?2? ? x ? ? f ??1 ? x ? ? ?1? ? x ? 。 ? ? ? ????xaf ? t ?dt ' ? f ? x ? .?注: 我们只能计算被积函数为 f (t ) 的变上限函数的导数， 若为 f (t , x) 必须通过 提取 x 或变量代换将积分函数化成只和 t 有关的函数。 2 (N―L) f ?x ? 在 ?a, b? 上可积，F ?x ? 为一原函数， ? f ?x ?dx ? F ?x ? ? F ?b? ? F ?a ? . 则b ab a3 不定积分与定积分的转换 (1) (2)?baf (? ( x))? '( x)dx ??? (b ) ? (a)?f (u )du 。?baf ?x ?dx ? ? f ?? ?t ??? ??t ?dt?( x ? ? ?t ? 在 ?? , ? ? 单调，? ?? ? ? a ，? ?? ? ? b )；b b b （3） ? u?x ?v??x ?dx ? u?x ?v?x ? ? ? v?x ?u ??x ?dx 。 a a a注: 无论是哪一种换元在计算中一定要变换积分限。 题型二 关于变上限函数的求导 例3 设 f ( x) 在 ? ??, ??? 连续且 Φ( x) ? ? s n?1 f ( x n ? sn )ds ，求 Φ?(x) ．x 0例 4 设 f ( x) 在 ? ??, ??? 连续，又 Φ ( x) ?1 x ( x ? t ) 2 f (t )dt ，求 Φ ?( x)， Φ ??( x) ． 2 ?0例5设 Φ( x) ? ? ( ?0xy20sint 2 dt )dy ，求 Φ??(x) ． 1? t 236 三 反常积分 1 无穷区间上的广义积分 (1)定义： ??? af ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dx . 若极限存在，则称广义积分 ?b b??? a?? a??af ?x ?dx 是收敛的， 它的值就是极限值； 若极限不存在， 则称广义积分 ? (2) 其他类型：f ?x ?dx 是发散的.?b?? ??f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dxb a ??? a c ?? ?? c? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ?????f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dx ? lim ? f ?x ?dxc b a??? a b??? c（3）一个结论：?x11p? 收敛, p ? 1 dx ? ? ?发散，p ? 12 无界区间上的广义积分（瑕积分） (1)定义：设 f ?x ? 在 ?a, b ? 内连续，且 lim f ? x ? ? ? ，则称 b 为 f ?x ? 的瑕点。定义 ?x ?b? f ?x?dx ? lim ?b ab ????0? af ?x ?dx . 若极限存在，则称广义积分 ? f ?x ?dx 收敛，且它的b a b a值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分 ? f ?x ?dx 发散。 (2) 其他类型：? f ? x ? dx ? ?lim ?b ab?0? a ??f ? x ? dx ， b 为 f ?x ? 的瑕点b ?2 ?0 c ??2?baf ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? lim? ?c b a c ?1 ?01c ??1af ?x?dx ? lim? ?f ?x?dx , c ? (a, b) 为 f ?x ? 的瑕点（3）一个结论： ?0?收敛, 0 ? p ? 1 1 dx ? ? p x ? 发散，p ? 1三 关于积分的其他 1 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.? n ?1 n ? 3 1 ? ? n n ? 1 ? 2 2 , n为偶数 ? n n 2 公式： I ? ? sin xdx ? ? cos xdx ? ? 0 0 ? n ? 1 n ? 3 ? 2 ，n为奇数 ? n n ?1 3 ?? ?2 2题型二 定积分和反常积分的计算 1 对称性和周期性37 (1)对称性： ?a?a? a ?2 f ( x)dx, f ( x)偶 f ( x)dx ? ? ? , 0 ? 0， f ( x)奇 ?a ? nT(2)周期性： f ( x) 是周期为 T 的函数.??ab ?Tf ( x)dx ? n?bf ( x)dx .例 6 设M ? ? 2?? ? sin x 4 cos xdx N ? ? 2? ? sin3 x ? cos4 x ?dx, P ? ? 2? ? x2 sin3 x ? cos4 x ? ，则( ) ? 1 ? x2 ? ? 2 2 2（A） N ? P ? M ； （C） N ? M ? P ； 例 7 设函数 S ? x ? ? ? cos t dt ，x 0（B） M ? P ? N ； （D） P ? M ? N .（1）当 n 为正整数，且 n? ? x ? ? n ? 1? ? 时，证明： 2n ? S ? x ? ? 2 ? n ?1? ； （2）求 limS ? x? . xx ???x ? 2?练习：设 F ( x) ? A 为正常数?xesin t sin tdt , 则F ( x)C 恒为 0 D 不为常数B 为负常数2 N ? L 公式：三大积分方法 例8 求积分 ?0 1x 2 arcsin x 1 ? x2dx ..38 例 9 求???0?1 ? e? x ?xe? x2dx .3 特殊技巧 1）对直接不好积分的函数, 采用积分变量替换的方法， 一般情形下做替换时要注意积分区间不变. 常用的 替换为： t ?1 , t ? a ? b ? x 等等. x2) 直接求解或者配对相加求解. 例 10 求 I ? ? 20?f ?sin x ? dx . f ?sin x ? ? f ?cos x ?例 11 求 I ? ??1 dx (1 ? x )(1 ? x? ) 02题型三 特殊函数定积分的计算 1 变上限函数 方法：变上限函数为 U ( x ) 分布积分法或二重积分交换积分次序的办法(推荐)。39 例 12 f '( x) ?sin x , f (0) ? 0, 求 ? f ( x)dx 。 ? ?x 0?练习：2 ?t ? x f ( x)dx, 其中 f ( x) ? ? e dt 。21x012 分段函数 (1) 设分段函数 f ( x) ，若要计算 f ( g ( x)) 的积分，先进行变量代换 u ? g ( x) 变成f (u ) 相关函数的积分。(2) 分析分段函数各段的定义域，划分区域分段积分相加. 注: 本类问题中一个特例是绝对值函数和最值函数，对于这种情况先把它写成 分段函数然后用上述方法求解。? x, 0 ? x ? 1 x ? 例 13 设f ( x) ? ?2 ? x,1 ? x ? 2, 求 ? f (t ? 2)dt 。 0 ? 0, 其他 ?例 14 求 ? min ?1, x 2 ? dx .3 ?240 题型四 定积分的等式证明 1 积分的换元法：应用于不含中值点且被积函数不含导数的等式证明. (1) 将等式的一边变量为 x , 另一半为 u . 若一端为 f ( x) , 另一端为 f (? (u)) 则令 x ? ? (u ) . (2) 若函数无法得到换元，则比较被积函数的积分区间. 1 注：两个常见的代换： t ? a ? b ? x, t ? . x 例 15 证明 ? e0 x xt ? t 2dt ?ex2 x 4?e0?t2 4dt练习：证明 ?11 1 dt ? ? dt 2 1? t 1? u2 x 11 x例 16 设 f ? x ? ， g ? x ? 在区间 ? ?a, a? ? a ? 0? 上连续， g ? x ? 为偶函数，且 f ? x ? 满足 条件 f ? x ? ? f ? ?x ? ? A （ A 为常数）. （1）证明： ? f ? x ?g ? x ? dx ? A? g ? x ?dx ；a a ?a 0（2）能利用（1）的结论计算2 分部积分法：不含中值点, 被积函数含导数.41 从含高阶导数的积分式开始用分部积分法，直到化到令一端. 例 17 若 f ( x) 在 ? a, b? 有二阶连续导数，证明：f ( x) ? f (a) ? f '(a)( x ? a) ? ? f ''(t )( x ? t )dt 。ax练习：设 f ( x) 在 ? a, b? 有二阶连续导数， f (a) ? f ?(a) ? 0 ，证明：?baf ( x)dx ?1 b f ??( x)( x ? b) 2 dx 2 ?a3 微分方法：不含中值点, 两边积分均可看做函数. 先证明导数相等，后证明值也相等. 4 中值定理：微分中值、积分中值和泰勒定理. 例 18 f ( x) 在 [?a, a] 上二阶连续可导数且 f (0) ? 0, 证明： (1)写出 f ( x) 的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林展开式； (2) ?? ? [?a, a] 使得 ? f ( x)dx ??a aa3 f ''(? ) . 3例 19 f ( x) 在 [0, ? ] 连续, 且 ? f ( x) ? 0 ,? xf ( x) ? 0 ，证明 ?? ,? (? ? ? ) 使得a abb42 f (? ) ? f (? ) ? 0 .题型五 定积分的不等式证明 1 积分的性质：比较性. 应用于比较简单的不等式证明,积分的上下限相同, 即 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .a a b b例 20 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续, 且 ? f (t )dt ? ? g (t )dt ? a ? x ? b ? , ? f (t )dt ? ? g (t )dt ,a a a axxbb试证明： ? tf (t )dt ? ? tg (t )dt .a abb例 21 比较 ? | ln t | [ln(1 ? t )] dt 与 ? | ln t | t n dt 的大小.n 0 0112 辅助函数法：容易设置辅助函数, 辅助函数容易求导.. (1) 选择某个字母为自变量, 设置辅助函数 (2) 求导，确定最值或者单调性 (3) 比较取值范围和要证明的值的大小43 例 22 当 x ? 0 时，证明 f ? x ? ? ? ? t ? t 2 ? sin 2n tdt （ n 为自然数）的最大值不超过x 0? 2n ? 2?? 2n ? 3?1.例 24 设 f ( x), g ( x) 在 ?a, b? 上连续，证明? b f ( x) g ( x)dx? ? b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ?a ?a ? ?a ? ? ?2练习： f ( x) 在 [a, b] ? a ? 0? 连续且 f ( x) 单调递增，证明：1 ? xf ( x)dx ? 2 (b? f ( x)dx ? a? f ( x)dx) . a 0 0bba3 中值定理：微分、积分中值和泰勒定理 应用在：含中值点、 max f '( x) 的问题等.a ? x ?b例 25 设 f ( x) 在 ? a, b? 有一阶连续导数且 f (a) ? f (b) , 证明：4 max f '( x) ? a ? x ?b (b ? a)2?abf ( x) dx .44 例 26 设 f (x) 在 ? a, b? 上有连续的二阶导数，且 f (a) ? f (b) ? 0 ， f &( x) ? 0 试证明：?baf ? x ? dx ?(b ? a)3 min f &( x) . 4 a ? x ?b补例：设 f (x) 在 ?0,1? 上有连续的一阶导数，且 f (0) ? f (1) ，试证：M ? f ?x ? dx ? 4 ，其中 M ? max1 00 ? x ?1f ?( x) .第三部分 定积分的应用1 微元法： 要求 U ,先考虑一个微小的区间 [ x, x ? dx] ， 将部分量 ?U ? f ( x)?x , 则U ? ? c f ( x )dx 。2 积分的几何应用 (1) 面积 A ? ? f ( x)dxa b(2) 体积 V ? ? ? f 2 ( x) V ? ? 2? xf ( x)dxa abb45 (3) 弧长 s ? ? 1 ? ? f '( x) ? dx (数学一、二)2 ab旋转面的面积 A ? 2? ? f ( x) 1 ? ? f '( x) ? dx (数学一二)2 ab3 积分的物理应用(略) 例 1 求由 x2 ? y 2 ? 2 x 与 y ? x 确定的平面图形绕直线 x ? 2 旋转而成的旋转体的 体积.例 2 已知抛物线 y ? px 2 ? qx（其中 p ? 0, q ? 0 ） 在第一象限内与直线 x ? y ? 5 相 切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S ， （1）问 p 和 q 何值时， S 达最大值? （2）求出此最大值.例 3 求曲线 r ? a sin 3?3的全长.(数学一、二)46 四 空间解析几何(数学一) §1 基本概念一 向量? 1 定义：既有大小，又有方向的量, 称为向量。在本章中，向量一般写作 a 。2 对于平面(或空间)中任一向量，它与平面(或空间)的点一一对应，因此可用点 ? ? 表示向量，即 a ? (a1, a2 , a3 ) 也写作 a ? a1i ? a2 j ? a3k ，其中 i ? (1,0,0), j ? (0,1,0), k ? (0,0,1) . 3 向量的基本属性? (1) 向量的长度称为模长， 显然它就等于点 (a1 , a2 ) 与原点的距离即 a ? a12 ? a22 。(2) 向量与 x 轴所称的角称为与 x 的方向角，它的余弦值称为与 x 方向余弦。其 他类同。 ? ? (3)长度为 1 的向量称为单位向量，故而 a 就是 a 的单位向量。 ?a注：单位向量的元素就是方向余弦 二 向量的运算 1 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 ? a 2 向量加减法： a ? b ? c ,平行四边形法则。a ? b ? c 即 a ? (?b) ? c 。? ? ? ? ?? b 3 数量积: a? ? a b cos ? , a? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 。 b? ? ?? ? ? a? b 位置： a? ? 0 ? a ? b ，意义: cos ? ? ? ? 。 b | a || b |? ? ? ? 4 向量积: a ? b ? a b sin ? , 方向符合右手法则, a × b = a1? i? j a2 b2? k a3 。 b3b1? ? ? ? ? ? ? ? 位置: a ? b ? 0 ? a / /b ，意义: a ? b 表示 a, b 构成平行四边形的面积。5 混合积:?a1 ? ? ? a ? b ? c ? b1?a2 b2 c2a3 b3 。 c3c1?? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ??? 位置: (a ? b)?c ? 0 ? a, b, c 共面， 意义: (a ? b) ? c 表示 a, b, c 构成平行六面体的体积。三 平面方程和直线方程47 1 直线方程:x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , 其中 (a, b, c) 为方向向量。 a b c平面方程: a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? c( z ? z0 ) ? 0 。 2 位置关系的判断 (1) 设 ?1 : A1 x ? B1 y ? C1z ? D1 ? 0, ?2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0, 则 (a) ?1 // ?2 ?A1 B1 C1 D1 ? ? ? ; (法向量共线但两平面不重合) A2 B2 C2 D2(b) ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? 0; (c) ?1 , ?2 的夹角 ? , cos ? ?n1 ?n2 A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 ? n1 n2 A12 ? B12 ? C12 A2 2 ? B2 2 ? C2 2(2) 设 L1 :x ? x1 y ? y1 z ? z1 x ? x2 y ? y2 z ? z2 ? ? , L2 : ? ? ,则 l1 m1 n1 l2 m2 n2 l1 m1 n1 ? ? 且 ( x1 , y1 , z1 ) 不满足 L2 的方程； l2 m2 n2(a) L1 // L2 ? S1 // S2 , 即(b) L1 ? L2 ? S1 ? S2 ? l1l2 ? m1m2 ? n1n2 ? 0; (c) L1 , L2 的夹角 ? , cos ? ? 3 距离? ? a?b (1) 点线距: d ? ? a ? ? ? ( a ? b) ? c (3) 异面直线： d ? ? ? a?bS1 ?S2 S1 S2 ? l1l2 ? m1m2 ? n1n2 l12 ? m12 ? n12 l2 2 ? m2 2 ? n2 2(2) 点面距： d ?Ax0 ? By0 ? Cz0 ? d A2 ? B 2 ? C 2。四 曲面方程和空间曲线方程 1 曲面：一般方程 F ( x, y, z ) ? 0 ；参数方程? x ? x (u , v ) ? ? y ? y (u , v ) . ? z ? z (u , v ) ? ? x ? x (t ), ? ? y ? y (t ), 。 ? z ? z (t ). ?2 曲线:一般方程? F1 ( x, y , z ) ? 0, ；参数方程 ? ? F2 ( x, y , z ) ? 0.48 3 常用二次曲面的方程及其图形 (1) 椭球面x2 y 2 z 2 ? ? ? 1. a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 和双叶双曲面 a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 ? ? ? ?1 (双曲面)。 a 2 b2 c 2(2)单叶双曲面(3)椭圆抛物面x2 y 2 ? ? ? z 和双曲抛物面 a 2 b2x2 y 2 ? ? ? z (抛物面). a 2 b2五 旋转和投影 1 旋转面的方程求解。 (1) 设一般点 ( x, y, z ) ,得到平面上的点的坐标。 (2) 通过旋转面的特性(同一圆上的点到中心线距离相等)，得到一般点 ( x, y, z ) 与平面点的关系， 2 平面上的投影? F ( x, y, z ) ? 0, 设曲线 C : ? 1 消去z 关于 xy 平面的投影柱面 F ( x, y) ? 0 ，则 C 在 xy 平 ?????? ? ? F2 ( x, y, z ) ? 0? F ( x, y) ? 0, 面上的投影曲线为 ? 同理，可得 C 关于其他两个平面的投影曲线. ? z ? 0.§2 基本题型一 向量的相关习题 重点考核数量积、矢量积和混合积的直接计算公式和坐标计算公式。 例 1 设（ a × b ） c ＝2，则［ a ＋ b ）×（ b ＋ c ）? c ＋ a ）＝________． ? （ ］（二 直线和平面的相关问题 求直线和平面方程先要求向量(方向或法)再找一个点，用点向式求解。 求直线和平面的位置关系， 用矢量积判断是否垂直，或两个向量对应成比例判断 求直线和平面的距离用相关公式求解. x ? 2 y ?1 z x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? ? ? 的平面方 例 2 过直线 L1： 且平行于直线 L2： 1 0 ?1 2 1 1 程是________．49 ?2 x ? 3 y ? 9 z ? 4 ? 0 ? 例 3 证明下列三个平面 ? 3 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 相交于一条线.。 ? 2x ? y ? z ? 0 ?题型三 求旋转面和投影?3x 2 ? 2 y 2 ? 12 例 4 求由曲线 ? 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面 ?z ? 0?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 例 5 求曲线 C： ? 在 xy 平面上的投影曲线的方程． x ? y ? z ?1 ?五 常微分方程和差分方程一 一阶微分方程 1 可分离：dy ? p ? x?Q ? y? ， dx则?dy ? p( x)dx ? C . Q( y ) ? du dx ? ? ? C ? ln x ? C . f (u ) ? u x2 齐次：y dy ? y? ? f ? ? ，令 ? u , x dx ?x?则?3 一阶线性方程 (1) 解的结构： y1 ? x ? ? 0 为齐次线性方程的特解，则线性组合 y ? Cy1 ? x ? 齐次线 性通解. 若 y ?x ? 非齐次的特解， y ? y ? x ? ? Cy1 ? x ? 是此非齐次线性方程的通解。 则? p ( x ) dx p ( x ) dx dy ? P? x ? y ? Q? x ? 则 y ? e ? [ ? Q( x)e ? dx ? C ] dx dy ? P ? x ? y ? Q ? x ? y? ?? ? 0,1? (数学一) 4 伯努利方程 dx(2) 解的表述：50 求解方法：令 y1?? ? z , 方程转化为一阶线性方程 5 全微分方程 P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? 0 (1) 定义：?Q ?P . ? ?x ?y( x, y ) ( x0 , y0 )1 dz ? P( x) z ? Q( x) . 1 ? ? dx(数学一)(2) 解法： u( x, y) ? ?P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? C .dy ? f ( x, y ) ,看其是否是可分离、 齐次或者一阶线性. dx题型一： 求解一阶方程 (1) 定类型： 将方程表示成 (2) 是否全微分：验证?Q ?P ? 是否成立. ?x ?y(3) 若(1),(2)无法求解, 考虑置换应变量与自变量. 注：(3)一般用在分母复杂、分子简单的方程.? y ? y 2 ? x 2 dx ? xdy ? 0 ? , x ? 0 的解. 例 1 求初值问题 ? ? y |x ?1 ? 0 ???例 2 设 y ? e x 是 xy ? ? p?x ?y ? x 的解，求此微分方程满足 yx ? ln 2? 0 的特解.例 3 求解方程 (2 xe y ? 3x2 )dx ? ( x2e y ? 2 y ? 1)dy ? 051 例4(1) 求微分方程dy y 的通解. ? dx x ? y 4dy x ? ? tan y dx cos y(2) 求微分方程例 5 已知函数 y ( x) 在任意点 x 处的增量 ?y ??x 较高阶的无穷小， y (0) ? ? ，则 y(1) ? （y?x ?? ， 且当 ?x ? 0 时，? 是比 1 ? x2）π（A）2 ? ．（B） ? ．π（C） e 4 ．（D） πe 4 ．例 6 设 F ?x? ? f ?x?g ?x? ， 其中 f ?x ? ， ?x ? 在 ?? ?,??? 内满足以下条件 f ??x ? ? g ?x ? ， gg ??x ? ? f ?x ?，且 f ?0? ? 0 ， f ?x ? ? g ?x? ? 2e x（1）求 F ?x ? 所满足的一阶微分方程 （2）求出 F ?x ? 的表达式52 二 二阶微分方程 1 二阶线性微分方程 (1) 二阶线性齐次微分方程： y &? P( x) y '? q( x) y ? 0 二阶线性非齐次微分方程： y &? P( x) y '? q( x) y ? f ( x) (2) 解的结构. (a) y1 ? x ? ， y 2 ? x ?为齐次线性方程的两特解，则 C1 y1 ?x? ? C2 y2 ?x? 也是解. 特别地, y1 ? x ? 与 y 2 ? x ?线性无关时，则方程的通解为 y ? C1 y1 ?x? ? C2 y2 ?x ? . (b) y1 ? x ? ， y 2 ? x ?为非齐次的解, 则 y1 ? x ? ? y2 ? x ? 是齐次方程的解. (c) 若 y ?x ? 非齐次的特解， y1 ? x ? 与 y 2 ? x ?为齐次方程线性无关的两个解, 则 y ? y ? x ? ? C1 y1 ? C2 y2 是此非齐次线性方程的通解。 (d）叠加原理：若 y1 是方程 y &? P( x) y '? q( x) y ? f1 ( x) 的一个解， y2 是方程 则 y &? P( x) y '? q( x) y ? f 2 ( x) 的一个解， y1 ? y2 是 y &? P( x) y '? q( x) y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的一个解. 注： 叠加原理就是将复杂的方程分解成一些列简单方程组. 2 常系数微分方程 (1) 齐次线性微分方程 特征根 实根 ?1 ? ?2 实根 ?1 ? ?2 复根 ? ? i? (?＞0) (2）非齐次线性微分方程：f ( x)线性无关二解e ?1x， e ?2 xe?1x， xe?1xe? x cos ? x, e? x sin ? xr 与 ?1 ， ?2 的关系 r≠ ?1 ，r≠ ?2 r= ?1 ，r≠ ?2 r= ?1 ，r= ?2特解 y*的形式Qm ( x)erxxQm ( x)erxPm ( x)erxx 2Qm ( x)erxerx (M cos?x ? N sin ?x)r ? i? 不是特征根r ? i? 是特征根erx ( A cos?x ? B sin ?x) xerx ( A cos?x ? B sin ?x)53 3 可降阶的高阶微分方程（数学一、二） 方程类型 解法及解的表达式y ( n ) ? f ?x ?y?? ? f ?x, y??通解 y ? ? ? ? f ? x ??dx ? ? C1 x n ?1 ? C 2 x n ? 2 ? ? ? C n ?1 x ? C n ?n n次令 y ? ? p ，则 y ?? ? p? ，原方程 ? p? ? f ?x, p ?一阶方程y?? ? f ? y, y??令 y ? ? p ，把 p 看作 y 的函数，则 y ?? ?dp dp dy dp ? ? ?p 把 dx dy dx dyy ?, y ?? 的表达式代入原方程，得dp 1 ? f ? y, p ? 一阶方程， dy p题型二： 求解二阶方程 (1) 定类型：常系数、可将阶(2) 分类型求解.例 7 微分方程 y?? ? y ? x 2 ? 1 ? sin x 的特解形式可设为 (A) y* ? ax2 ? bx ? c ? x( A sin x ? B cos x). (C) (B) y* ? x(ax2 ? bx ? c ? A sin x ? B cos x). (D) y* ? ax2 ? bx ? c ? A cos x.y* ? ax2 ? bx ? c ? A sin x.例 8 求解方程 y ''? 4 y ? e2 x ? xe2 x .例 9 求方程 xy &? 3 y ' ? 0 的通解.例 10 方程 y '' ? 3 y , 满足 y |x?0 ? 1, y ' |x?0 ? 2 的特解.54 例 11 设 y ? y?x ? 具有二阶导数，且 y '( x) ? 0 ， x ? x? y ? 是 y ? y?x ? 的反函数.? dx ? d 2x (1) 将 x ? x? y ? 满足的方程 2 ? ? y ? sin x ?? ? ? 0 变换为 y ? y?x ? 满足的方程； ? dy ? dy ? ?3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y?0? ? 0 ， y ??0? ?3 的解. 2练习：利用变量代换 x ? cos t (0 ? t ? ? ) 化简微分方程 (1 ? x2 ) y ''? xy '? y ? 0 并求满足 y |x?0 ? 1, y ' |x?0 ? 2 的特解. 题型三：求解其他类型的方程 1 积分或微分积分方程：直接求导变成微分方程. 2 函数方程：直接求导或者导数定义变成微分方程. 例 12 设 f ( x) ? sin x ? ? ( x ? t ) f (t )dt ，其中 f ( x) 连续．求 f ( x) ．0 x例 13 设 f ( x ? y) ? f ( x)e y ? f ( y)e x , 且 f '(0) ? 1 ，求 f ( x) .55 题型四：与解的结构相关的两类问题 (1) 抽象方程求解 (2) 已知解求方程. 例 14 函数 y ? C1ex ? C2e?2 x ? xex 满足的一个二阶线性微分方程是___________.练习： y1 ? xex ? e2 x , y1 ? xex ? e? x , y2 ? xex ? e2 x ? e? x 是二阶常线性微分方程的三 设 个解，求此微分方程.例 15 设线性无关的函数 y1 , y2 , y3 是微分方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? f ( x) 的解,其中p ( x) , q( x) , f ( x) 是连续的，且 C1 和 C2 是任意常数，则此方程的通解( )．(A) C1 y1 ? C2 y2 ? y3 (C) C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3(B) C1 y1 ? C2 y2 ? (C1 ? C2 ) y3 (D) C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3题型五：微分方程的实际应用 1 微分方程在几何问题方面的应用 (1) 面积、体积 (2) 切线的斜率 (3) 弧长、曲率 2 物理应用（略） 例 16 求通过 ?3,0? 的曲线方程，使曲线上任意点处切线与 y 轴之交点与切点的距 离等于此交点与原点的距离。56 例 17 设函数 f ?x ? 在 ?1,??? 上连续，若曲线 y ? f ?x ? ，直线 x ? 1 ， x ? t ?t ? 1? 与 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V ?t ? ???t 32f ?t ? ? f ?1? ，试求?y ? f ?x ?所满足的微分方程，并求 yx?2?2 的解。 9题型六：差分方程(数学三) 例 18 求解差分方程 yt ?1 ? 2 yt ? t 和 yt ?1 ? 2 yt ? t 2t .六 多元微分学及其应用 §1 多元微分学一 极限 1 2( x , y ) ?( x0 , y0 )limf ( x, y ) ? A : ?? ? 0 , ?? ? 0 ，当 0 ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? 时，有 | f ( x, y) ? A |? ? .f ( x, y ) ? A ? ( x, y )以任意路径趋向( x0 , y0 ), f ( x, y ) ? A? x , y ??? x0 , y0 ?( x , y ) ?( x0 , y0 )lim推论：若 ( x, y ) 按两路径趋向于 ? x0 , y0 ? 所得极限不同，则 lim 3( x , y ) ?( x0 , y0 )f ? x, y ? 不存在.limf ( x, y ) ? 0 ? ?? ? 0, 当 0 ?? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ?22? ? , 有 f ( x, y) ? 0 .57 二 连续函数和初等函数 1 定义： 2 运算:( x , y ) ?( x0 , y0 )limf ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ) .连续的函数的和、差、积及商（分母不为零） ，仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续.3 闭区域上连续函数的性质：. 设 f ?x, y ? 在闭区域 D 上连续, 则 (1)（有界性定理） f ?x, y ? 在 D 上一定有界. (2)（最值定理）f ?x, y ? 在 D 上一定有最大值和最小值.(3) 介值定理） 设 M 为最大值， 为最小值， m ? c ? M ， （ 若 则存在 ?x0 , y0 ? ? D ， m 使得 f ?x0 , y0 ? ? C . 4 由基本初等函数(可能是不同的自变量)有限次四则运算和复合得到的函数称 为初等函数. 性质：初等函数在其定义域内连续. 题型一：二元函数的极限 (1)利用夹逼准则、 等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限. 例1 求sin xy x5 ? y 5 . 和 lim . ( x , y ) ?? 0,0 ? e xy ? 1 ( x , y )?? 0,0 ? x 4 ? y 4 lim(2)选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在. 例 2 请说明x2 y x2 ? y 2 是否存在. 和 lim ( x , y ) ?? 0,0 ? x 4 ? y 2 ( x , y ) ?? 0,0 ? xy ? ( x ? y ) 2 lim注：一般情形下，分子的次数大于分母次数，极限往往为 0, 利用方法(1); 其他情形下，一般极限不存在利用方法(2). 三 偏导数58 1 多元函数偏导数定义.z ? f ?x, y ? ,?z f ?x ? ?x, y ? ? f ?x, y ? ?z f ?x, y ? ?y ? ? f ?x, y ? ? f x??x, y ? ? lim , ? f y? ?x, y ? ? lim ?x ?0 ?y ?0 ?x ?x ?y ?y? xy , ( x, y) ? (0, 0) ? 例 f ( x, y) ? ? x 2 ? y 2 在 (0, 0) 处( ) ? 0, ( x, y) ? (0, 0) ?A 连续，偏导数存在 C 不连续，偏导数存在 B 连续，偏导数不存在 D 不连续，偏导数不存在注： f ( x, y) 偏导存在是 f ( x, y) 连续的即非充分又非必要条件. 2 偏导的链氏法则和二阶偏导数 (1) 设 z ? f (u, v) , u ? u( x, y) , v ? v( x, y) 则?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? ； ? ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y(2)?2z ? ? ?z ? ?? ? f xx ?x, y ? ? ? ? ， 2 ?x ? ?x ? ?x?2 z ? ? ?z ? ?? ? f xy ?x, y ? ? ? ? ， ?x?y ?y ? ?x ??2 z ? ? ?z ? ?? ? f yx ?x, y ? ? ? ? ， ?y?x ?x ? ?y ? ? ??2 z ? ? ?z ? ?? ? f yy ?x, y ? ? ? ? 2 ?y ? ?y ? ?y ? ??? ?? (3) 当二阶偏导数连续时， f xy ( x, y) ? f yx ( x, y)3 全微分 (1) ?z ? A?x ? B?y ? o? ? ???x ?2 ? ??y ?2 ? ??当 ?x ? 0, ?y ? 0 时则称 z ? f ?x, y ? 可微，而全微分 dz ? Adx ? Bdy . (2) z ? f ?x, y ? 可微 ? f x '( x, y), f y '( x, y) 存在且 A ? f x '( x, y), B ? f y '( x, y)z ? f ?x, y ? 可微 ? z ? f ?x, y ? 可微连续f x '( x, y), f y '( x, y) 连续 ? z ? f ?x, y ? 可微?? ? ?? ? ?? f 可微 ? ? 注： f x ', f y ' 连续 ?? ? ? ?? ? ?? ??f 连续 ???? f x ', f y ' 存在59 推论： z ? f ?x, y ? 可微 ?( ?x , ?y ) ?(0,0)limf ( x ? ?x, y ? ?y ) ? f ( x, y ) ? f x ' ?x ? f y ' ?y (?x) 2 ? (?y ) 2?0.(4) 微分形式不变性 z ? f (u， v) 可微， 不论 u , v 是中间变量还是自变量，微分形式是一样的即 dz ? 注：利用微分形式不变性可用来求微分和求偏导数. 例 求 g ( x, y) ? f ( x ? y, xy) 的全微分.?f ?f du + dv . ?u ?v题型二 求显函数偏导数和全微分 (1) 定义法： 分段函数的分界点或判断是否可导、可微 例3 设 f ( x, y ) ? ex2 ? y 4, 则 f ( x, y) 在原点偏导数有()(A) x 偏导存在， y 偏导不存在 (C) x 偏导不存在, y 偏导存在(B) x 偏导不存在， y 偏导也不存在 (D) x 偏导存在， y 偏导也存在例 4 讨论二元函数? x2 ? y2 ， x， y ) ? (0， )， ( 0 ? xy f ( x， y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 0， ( x， y ) ? (0， )， 0 ?在 (0, 0) 处的连续性、偏导、是否可微分.例 5 设函数 f ( x, y) ?| x ? y | ? ( x, y) 且 ? ( x, y ) 在 (0, 0) 连续, 问 (1) ? ( x, y ) 在 (0, 0) 为何值时, f x '(0,0), f y '(0,0) 存在. (2) 在(1)的条件下, 问 f ( x, y) 在 (0, 0) 是否可微.60 (2) 求导法则和微分形式的不变性. 例6 (1) 设 f ( x, y, z) ? zx yy , 求 f x ', f y ', f z ', df . z(2) 设 u( x, y, z) ? z 2exy ， 求 du .?x? (3) 设 u ? ? ? ， 求 df |(1,1,1) . ? y?z例 7 设 f ?u, v ? 具有二阶连续偏导数，且满足?2 f ?2 f ? ?1， ?u 2 ?v 2?2 g ?2 g ? 1 ? g ?x, y ? ? f ? xy, x 2 ? y 2 ? ，求 2 ? 2 . ?x ?y ? 2 ???x y ?2 z 练习： z ? f ( xy, ) ? g ( ), 其中 f 有二阶连续偏导数, f 有二阶导数， 设 求 . y x ?x ?yx? y例 8 设函数 u ( x, y ) ? ? ( x ? y ) ? ? ( x ? y ) ?x? y? ? (t )dt ,其中 ? 有二阶导数, ? 有一阶导数, 求? 2u ?x ?y61 例 9 函数 f (u , v) 由关系式 f ( xg ( y), y) ? x ? g ( y) 确定, 其中 g ( y ) 可微且 g ( y ) ? 0 , 则?2 f . ?u ?v例 10 设?2 z ? 1 , z (0, y) ? sin y, z ( x, 0) ? sin x , 则 z ( x, y ) ? _________. ?x?y例 11 设 u 有二阶连续偏导数, 若方程 6?? ? x ? 2 y ? 2u ? 2u ? 2u ? ? 2 ? 0 经变换 ? 2 ?x ?x?y ?y ?? ? x ? ay可变为? 2u ?0 , 求a. ?????四 隐函数存在的微分法 1 y ? y ( x) 由方程 F ( x, y) ? 0 ，F '( x, y) dy . ?? x dx Fy '( x, y)2 z ? z ( x, y ) 由方程 F ( x, y, z ) ? 0 ，Fy '( x, y, z ) F '( x, y, z ) ?z ?z . ?? x , ?? ?x Fz '( x, y, z ) ?y Fz '( x, y, z )? F ( x, y, z ) ? 0 3 方程组的情形, 由 ? 确定了隐函数 z ? u ( x) 和 z ? v( y) ，则有 ?G( x, y, z ) ? 062 ? ? ? du ? dv ? Fx ? Fu dx ? Fv dx ? 0 ? ，克莱默法则求解即得. ? ?G ? ? G ? du ? G ? dv ? 0 u v ? x dx dx ?题型三 隐函数的全微分和偏导数：直接求导法和微分形式的不变性. 例 12 设 u ? f ?x, y, z ? 有连续的一阶偏导数，又函数 y ? y?x ? 及 z ? z ?x ? 分别由下 列两式确定 e xy ? xy ? 2 和 e x ? ?x? z 0sin t du dt ，求 . t dxy z ?z ?z 例 13 设方程 F ( , ) ? 0 确定了函数 z ? z ( x, y ) , 则 x ? y ? _______. x x ?x ?y(A) x(B) ?x(C) z(D) ?z? x ? ?u 2 ? v ? z ?u ?v ?u 例 14 设方程 ? 确定了函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) ，求 , , ?x ?x ?z ? y ? u ? vz第二节 偏导数的应用1 曲线的切向量及切线和法平面方程(数学一)? x ? x(t ) ? (1) 曲线方程 ? y ? y (t ) . t ? t0 的切向量为 ? ? {x?(t0 ), y?(t0 ), z?(t0 )} ? z ? z (t ) ?切线：x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , 法平面： x?(t0 )(x ? x0 ) ? y?(t0 )( y ? y0 ) ? z?(t0 )(z ? z0 ) ? 0 . x?(t0 ) y?(t0 ) z?(t0 )63 ?F ( x, y, z) ? 0 (2) 曲线方程 ? ， P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量 ?G( x, y, z) ? 0? ?F ?F ?F ?F ?F ?F ? ? ?y ?z ? ? ?z ?x ?x ?y ? ? ?? , , ? ? {l , m, n} . ?G ?G ?G ?G ?G ?G ? ? ? ?y ?z ?z ?x ?x ?y ? ? ?P0切线:x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? ? ，法平面: l ( x ? x0 ) ? m( y ? y0 ) ? n( z ? z0 ) ? 0 . l m n2 曲面的法向量及切平面和法线方程(数学一) (1)曲面方程 F ( x, y, z) ? 0 , ( x0 , y0 , z0 ) 处的法向量 n ? {Fx? ( x0 , y0 , z0 ), Fy? ( x0 , y0 , z0 ), Fz? ( x0 , y0 , z0 )} 切平面： Fx?( x0， y0， z0 )(x ? x0 ) ? Fy?( x0， y0， z0 )( y ? y0 ) ? Fz?( x0， y0， z0 )(z ? z0 ) ? 0 法线：x ? x0 y ? y0 z ? z0 . ? ? Fx?( x0， y0， z0 ) Fy? ( x0， y0， z0 ) Fz?( x0， y0， z0 )(2)特别的：若曲面方程为 z ? z ( x, y ) ，写成 F ( x, y, z) ? z ? z( x, y) ? 0 之后，其法 向量 n ? {??z ?z , ? ,1}，此 n 指向与 z 轴正向夹角为锐角. ?x ?y题型一： 几何应用 例 1 函数 z ? f ( x, y) 在 (0, 0) 附近有定义且 f x?(0， ) ? 3， f y?(0， ) ? 1 则 0 0 ． （A） dz ( 0, 0 ) ? 3dx ? dy （B）曲面 z ? f ( x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的法向量为 (3,1,1) .? z ? f ( x， y) （C）曲线 ? 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 (1, 0,3) . y?0 ? ? z ? f ( x， y) （D）曲线 ? 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为 (3, 0,1) . ?y ? 0例 2 求椭球面 x2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1 的与平面 x ? y ? 2 z ? 0 平行的切平面方程.64 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 6 例 3 求? 在点 (1, ?2,1) 的切线和法平面方程？ ?x ? y ? z ? 03 二元函数的二阶泰勒公式(数学一)1 ?? ?? ?? f ( x0 ? h, y0 ? k ) ? f ( x0 , y0 ) ? f x?( x0 , y0 )h ? f y?( x0 , y0 )k ? (h2 f xx ( x0 , y0 ) ? 2hkf xy ( x0 , y0 ) ? k 2 f yy ( x0 , y0 )) 2! 1 2 23 ??? ( ??? ??? ??? ? (h3 f xxx ? ? , ? )h kf3 ? ? ? hk f)2 ?3? k ?k( f yyy (? )? ，) ( , xyy , , ) xxy 3!注：在泰勒公式（4）中，令 a ? 0, b ? 0 ，就得到二元函数 f ( x, y) 的麦克劳林公 式. 4 无条件极值 (1)定义： z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 某邻域内有定义,存在某邻域使 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) (或f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ),则称函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处取得极大值（或极小值）.(2)必要条件：若函数 f ( x, y) 在 P ( x0 , y0 ) 处偏导数都存在，且取得极值，则 0? f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,其中 ( x0 , y0 ) 称为驻点. ? ? ? f y ( x0 , y0 ) ? 0(3)充分条件： z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 某邻域内连续,且有二阶连续偏导数,? A ? f &xx ( x0 , y0 ) ? f x?( x0 , y0 ) ? 0 ? 又? , 记 ? B ? f &xy ( x0 , y0 ) , 则 ?( x0 , y0 ) ? 0 ? fy ?C ? f & ( x , y ) yy 0 0 ?(a) AC ? B 2 , f ( x0 , y0 ) 为极值; 若 A ? 0, AC ? B2 , f ( x0 , y0 ) 为极小值; 若 A ? 0, AC ? B2 , f ( x0 , y0 ) 为极大值. (b) AC ? B 2 , f ( x0 , y0 ) 不为极值;65 (c) AC ? B 2 , 无法判断. 题型二 无条件极值? zx ' ? 0 (1)具体问题：先求出驻点 ? , 再用二阶偏导判断. ?zy ' ? 0(2) 抽象问题：定义. 例 4 已知函数 f ( x, y) 在点 （0， 的某邻域内连续， lim 0） 且x ?0 y ?0f ( x, y) ? xy 问 ? 1， （0,0） ( x 2 ? y 2 )2是不是 f ( x, y) 的极值点？例 5 求 f ( x, y) ? x3 ? y3 ? 3x2 ? 3 y 2 ? 9x 的极值点.例 6 求方程 x2 ? 6xy ? 10 y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 所确定的隐函数的极值.5 条件极值 (1) 目标函数 u ? f ( x, y, z ) 在约束 ? ( x, y, z ) ? 0 下的极值称为条件极值. (2)拉格郎日乘子法. u ? f ?x1 ,?, xn ?? ? 1 ? x1 , ? , x n ? ? 0 ? ? 在约束条件 ? ?? ? x , ? , x ? ? 0 n ? m 1m?m ? n ? 极值，令 F ? F ?x1 ,?, xn , ?1 ,?, ?m ? ? f ?x1 ,?, xn ? ? ? ?i? i ?x1 ,?, xn ?i ?166 ? Fx?1 ? 0 ? ?? ? Fx? ? 0 ? n k 求出 x1k ,?, xn ? F??1 ? ? 1 ? x1 , ? , x n ? ? 0 ? ?? ? ? F??m ? ? m ? x1 , ? , x n ? ? 0 ??? ?k ? 1,2,?, l ? 是有可能的条件极值点.注：考研中不要求条件极值，只要求条件最值. 题型三 条件极值、最值 (1) 从约束条件解出某些变量, 代入目标函数中变成无条件最值. (2) 拉格朗日乘子法求出可能的条件极值，最大的为条件最值.? z ? x2 ? y2 例 7 求函数 u ? x ? y ? z 在约束条件 ? 下的最大值与最小值． ?x ? y ? z ? 42 2 2题型四 求闭区域 D0 的最值. 方法: 1 求出 f ( x, y) 在 D0 内部的极值； 2 求出 f ( x, y) 在 D0 边界的极值； 3 比较以上函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值. 例 8 已知函数 z ? f ?x, y ? 的全微分 dz ? 2 xdx ? 2 ydy ，并且 f ?1,1? ? 2 。求 f ?x, y ? 在? ? y2 ? 1? 上的最大值和最小值。 椭圆域 D ? ?? x, y ? x 2 ? 4 ? ?例 9 求 f ( x, y) ? x2 ? 2 y 2 ? x2 y 2 在区域 D ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 4, y ? 0} 上的最大值和最小值.67 七 多元积分学(一)――二重积分一 二重积分的基本概念 (1) 定义：??Df ( x, y)dxdy ? lim ? f (?i ,?i )?si .? ?0i ?1n特别的： ?? d? 表示 D 的面积.D(2) 若 f ( x, y) 在 D 上连续或 f ( x, y) 在 D 上分块连续有界，则 f ( x, y) 在 D 上可积． (3) 二重积分的主要性质 (a) ?? ( Af ( x， y) ? Bg( x， y))d? ?A?? f ( x， y)d? ? B?? g ( x， y)d?．.D D D(b)?? f ( x， y)d? ? ?? f ( x， y)d? ? ?? f ( x， y)d? ,D D1 D2其中 D ? D1 ? D2 , D1 ? D2 ? ? . 特别的：(c) 若 f ( x, y) ? g ( x, y), 则 ?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D又有 f ( x, y), g ( x, y)连续， 但两函数不全相等，则 ?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D(d) 中值定理： f ? x, y ? 在 D 上连续， 设 则存在 ? ? D 使得 ?? f ( x, y)d? ? f ?? ,? ? s( D) .D(e) 二重积分是一个数. 题型一：积分的基本性质 例 1 lim ??n ?? i ?1 nn 等于( ) 2 2 j ?1 ( n ? i )(n ? j )xn1 ( A ) ? dx ? dy (1 ? x)(1 ? y 2 ) 0 0( C )1( B )? dx? (1 ? x)(1 ? y) dy0 01x1? dx?0111 dy (1 ? x)(1 ? y) 0( D )? dx?0111 dy (1 ? x)(1 ? y 2 ) 068 例 2 求 lim xr ?02? y 2 ?r 2??ex2? y2cos( x 2 ? y 2 )dxdy r2.例 3 设 I1 ? ?? cos x 2 ? y 2 d? , I 2 ? ?? cos( x 2 ? y 2 )d? ， I3 ? ?? cos( x2 ? y 2 )2 d? ，其D D中 D ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 ，则判断 I1 , I 2 , I3 的大小.??D二 二重积分的计算 1 平面坐标系重积分的计算 (1) 基本公式?? f ? x, y ? dxdy ? ? dx? ? ? f ? x, y ? dyb a D?2 ? x ??1 x?? f ? x, y ? dxdy ? ?Ddcdy ??2 ? y ??1? y ?f ? x, y ? dx(先固定 x 得到 y 范围再确定 x 可移动范围) 可移动范围) (2) 平移变换(先固定 y 得到 x 范围再确定 y?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (u ? a, v ? b)dudv ,D D?x ? u ? a 其中 ? . ?y ? v?b2 极坐标系重积分的计算 (1) 极坐标二重积分的计算?? f ? x, y ? d? ? ?? f ? r cos? , r sin ? ? rdrd?D D69 ?? f ? x, y ? d? ? ? d? ? ? ? f ?? cos? , ? sin ? ? ? d??D??2 ?? ??1 ??? f ( x, y) d? ? ? dr ??a Db?2 ( r )1(r )f (r ,? ) rd?(先固定 ? 得到 r 范围再确定 ? 范围) (先固定 r 得到 ? 范围再确定 r 范围) 注：考研中极坐标情形最常用的是是先积 r 后 ? .? x ? x0 ? r cos ? (2) 一般情形下,若 D 是圆或圆的一部分, 设 ( x0 , y0 ) 为圆心可令 ? ? x ? y0 ? r sin ?例 1 计算 I ? ?? e ? ( xD2? y 2 ?? )sin( x 2 ? y 2 )dxdy 其中积分区域 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? ? } .3 无界区域上的二重积分(数学三) (1) 设函数 f ( x, y) 在无界区域 D 上有定义，且在区域 D 的任何有界部分上的二 重 积分存在，则函数 f ( x, y) 在无界区域 D 上的二重积分?? f ( x, y)d? ?DDT ? Dlim?? f ( x, y)d? .DT其中区域 DT 是由曲线 T 从 D 中分割出来的有界区域，且当 T 移动时有界区域 DT 趋向于无界区域 D ． (2)平面坐标： DT 一般取为 D ? { y ? b} 或 D ?{x ? b}, b ? ?? . 极坐标： DT 一般取为 D ?{x2 ? y 2 ? r 2}, r ? ?? . 题型二：二重积分的计算 1 二重积分的对称性 (1) D 关于 y 轴对称??D?0 ? f ( x, y)dxdy ? ?2 ? ?D ?? x ? 0???f ( x, y)dxdyf ( ? x , y ) ? ? f ( x, y ) f ( ? x , y ) ? f ( x, y )(2) D 关于 x 轴对称70 ??D?0 ? f ( x, y )dxdy ? ?2 ? ?D ?? y ? 0???f ( x, y )dxdyf ( x, ? y ) ? ? f ( x , y ) f ( x, ? y ) ? f ( x , y )(3) D 关于 y ? x 轴对称?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy .D D若还有 f ( x, y) ? f ( y, x) , 则 ?? f ( x, y )dxdy ? 2DD ?( y ? x )??f ( y, x)dxdy例 4 设区域 D ? ( x，y) x 2 ? y 2 ? 4，x ? 0，y ? 0? 且f ( x) 为 D 上的正值连续 函数， a , b 为常数，求 I ? ??D?a f ( x) ? b f ( y ) f ( x) ? f ( y)d? ？例 5 计算 I ? ?? y (1 ? xe xD2? y2)d? , D 由 y ? ?1, y ? x3 , x ? 1 围成.练习：设 D 为平面上以 A?1,1? , B ? ?1,1? , C ? ?1, ?1? 为顶点的三角形, D1 是 D 在第 一象限的部分,求 I ? ?? ? xy ? cos x sin y ? d? ？D2 二重积分的常规计算 (1) 画出积分区域, 看是否可以用对称性; (2) 选择适当的坐标系. 一般来说，区域为圆形、扇形、环型或被积函数形如f ( x2 ? y 2 ), f ( y / x), f ( x / y) ;用极坐标系， 其余用直角坐标系.(3) 选择积分顺序.第一个积分可以求出，顺带考虑使划分的区域越少越好. 注：函数sin x e x ? x2 1 1 1 , , e , e x ,sin , 的原函数不是初等函数. x x x ln x71 例 6 求 I ? ?? x 2 e ? y d? ，其中 D 由 (0, 0), (1,1), (0,1) 所围成的三角区域.2D例 7 设 D 为圆域 x2 ? y 2 ? R2 , 求 ?? (Dx2 y 2 ? )d? ? a 2 b22 例 8 求 I ? ?? ( x - y ? 3)d? ，其中 D 为 ( x ? 2）? ( y ?1)2 ? 1 .D例 9 求 I ? ?? yd? ， 其中 D 由直线 x ? ?2, y ? 0, y ? 2 以及曲线 x ? ? 2 y ? y 2 围成．D例 10 设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) ? xy ? ?? f (u, v)dudv ，其中 D 是由Dy ? 0, y ? x2 , x ? 1 所围成区域，求 f ( x, y) ?例 11 f ( x) 在区间 [0,1] 连续，设 ? f (t )dt ? A ，求 ? f ( x)dx ? f ( y)dy .0 0 x11172 题型三：分段函数的二重积分 方法：写函数，划分区域，分段积分相加. 例 12 计算 I ? ?? emax( xD2, y2 )?0 ? x ? 1 . dxdy, D : ? ?0 ? y ? 1例 13 计算x ?1 0? y ? 2??y ? x 2 dxdy .题型四：交换积分次序. 方法：先写成二重积分和积分区域, 然后交换积分次序. 例 13??20d? ?1 0cos?0f (r cos ? , r sin ? )rdr ? _________ ．y? y（A） ? dy ?1 001f ( x， y)dx（B） ? dy ?011? y 20x ? x2f ( x， y)dx f ( x, y)dy（C） ? dy ? f ( x， y)dx0（D） ? dx ?010例 14 交换 ? dx?02a2 ax 2 ax ? x 2f ?x, y ?dy 的积分顺序.73 补例：设函数 f ( x) 连续, F (t ) ? ? dy ? f ? x ? dx , 求 F '(t ) .t t 1 y题型五 无界区域上的二重积分 例 15 求 I ? ?? xe? y d? ，其中 D 是由曲线 y ? 4x2 , y ? 9x2 在第一象限围成的区域．2D?( x 例 16 求 I ? ?? e R? R2? y2 )d? .题型六 综合题 例 17 设 f ( x, y) 在单位圆 x2 ? y 2 ? 1有连续的偏导数，且在其边界上取值为 0，1 ? ? 0 ? 2?f (0,0) ? 2010 ，试求极限 lim? ? x ? y ?12 2 2??xf x '? yf y ' x2 ? y 2dxdy .例 18 设 f ( x) 在 [0, ??) 上连续且 f (t ) ? e4? t ?2x 2 ? y 2 ? 4t 2??f(1 2 x ? y 2 )dxdy ,求 f ( x ). 2八 无穷级数(数学一、数学三) §1 常数项级数74 一 常数项级数 1?un ?1?n? u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n ? ? 称为数项级数, un 称为第 n 项或通项.n ?2 S n ? ? u k ? u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n , 若 lim S n（存在）? S ， 则称级数 ? u n 收敛，k ?1n??n ?1其和为 S ，记作 ? u n ? S ；若极限不存在，称级数 ? u n 发散.n ?1 n ?1??3 收敛的基本性质 (1) 则 则 ? un 和 ? v n 皆收敛， ? un ? vn 收敛; ? un 收敛，? v n 发散， ? un ? vnn ?1 n ?1n ?1??????n ?1n ?1n ?1发散；?un ?1??n发散， ? v n 发散， ? un ? vn 情况不明.n ?1n ?1??(2) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变. (3)? un 与 ? cun (c ? 0) 收敛性相同.n ?1n ?1?(4) 对收敛级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变. 但是发 散级数任意加括号，不一定发散它可能收敛. (5) 级数 ? u n 收敛的必要条件是 lim u n ? 0 .n ?1n ???注：若 lim un ? 0 , 则级数 ? u n 发散.n ???n ?1二 正项级数 1 若 u n ? 0?n ? 1,2,3,??则 ? u n 称为正项级数.n ?1 ??un ?1 ??n收敛 ? S n 有上界2 比较判别法 一般: vn ? un ? 0 成立, ? v n 收敛,则 ? u n 收敛;若 ? u n 发散,则 ? v n 发散。n ?1 ???n ?1n ?1n ?1极限: 设 u n ? 0 ， vn ? 0 ， 若 lim? ?un ?A n?? v n?1）当 0 ? A ? ?? 时， ? u n 与 ? v n 同时收敛或发散。2）当 A ? 0 时，若 ? v n 收n ?1 n ?1 n ?175 敛，则 ? u n 收敛。 3）当 A ? ?? 时，若 ? u n 收敛，则 ? v n 收敛.n ?1 n ?1 n ?1???3 比值判别法（达朗倍尔） 设 u n ? 0 ，而 lim?u n ?1 ?? n ?? u n1）当 ? ? 1 时，则 ? u n 收敛; 2）当 ? ? 1 时（包括n ?1?? ? ?? ） ，则 ? u n 发散; 3）当 ? ? 1时，此判别法无效.n ?1注：对于多项式形式或者对数多项式的级数，本方法必定不能判断. 4 根值判别法（柯西） （数学一） 设 u n ? 0 ，而 lim n u n ? ?n ??1）当 ? ? 1 时，则 ? u n 收敛;n ?1?2）当 ? ? 1 时（包括 ? ? ?? ） ，则 ? u n 发散;n ?1?3）当 ? ? 1时，此判别法无效.注: 比值判别法和根值判别法在很大程度上是等价的， 根据所给级数的形状有不 同的选择。含阶层的通项往往用比值判别法，含指数为 n 的通项往往用根植判别 法. 题型一 正项级数的收敛性判断 判断程序: 必要条件,比较极限(等价代换),比值根值,比较. 例 1 讨论级数 ?1 (a ? 0) 的收敛性. n n ?1 1 ? a?例2? 1 1 讨论 ? ? ln(1 ? ) 的收敛性. n n ?1 n例 3 讨论级数 ? a n ! 的收敛性. n n ?1 nn?76 例4讨论 ??n?21 ( p ? 1) 的收敛性. n ln np三 交错级数及其莱布尼兹判别法 1 定义： 若 u n ? 0 ， ? ?? 1?n ?1 ? n ?1u n 称为交错级数。2 莱布尼兹判别法. 设交错级数 ? ?? 1?n ?1 ? n ?1u n 满足： 1） un?1 ? un ?n ? 1,2,3,?? 2） lim u n ? 0 ，n ??则 ? ?? 1?n ?1?n ?1u n 收敛，且 0 ? ? ?? 1? u n ? u1 .n ?1 n ?1??例 讨论级数 ? sin n2 ? 1π 的收敛性.n ?1四 绝对收敛与条件收敛 (1) 定义： 若 ? u n 收敛, 称 ? u n 绝对收敛； ? u n 收敛， u n 发散， ? u n 若 称 ?n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ? ? ?为条件收敛。 (2) 关系：若 ? u n 收敛，则 ? u n 一定收敛；反之不然。n ?1 n ?1 ? ?(3) 绝对收敛级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不 变. 题型二 判断或证明抽象的收敛性 方法 1：定义和收敛的性质. 方法 2：比较判别法 例 5 设 pn ?an ? an 2?， qn ?an ? an 2?， n ? 1,2,? ，则下列命题正确的是?(A) 若 ? an 条件收敛，则 ? p n 与 ? qn 都收敛.n ?1 n ?1 n ?177 (B) 若 ? an 绝对收敛，则 ? p n 与 ? qn 都收敛.n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ????(C) 若 ? an 条件收敛，则 ? p n 与 ? qn 敛散性都不定.n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ?(D) 若 ? an 绝对收敛，则 ? p n 与 ? qn 敛散性都不定.n ?1 n ?1 n ?1练习：设 an ? 0, n ? 1,2,?, 若 ? an 发散， ? (?1) n?1 a n 收敛，则下列结论正确的是n ?1n ?1??(A)?an ?1 ? n ?1?2 n ?1收敛， ? a 2 n 发散 .n ?1?（B）?an ?1 ? n ?1?2n收敛， ? a 2 n ?1 发散.n ?1?(C)? (a2n?1 ? a2n ) 收敛.?(D)?? (a2 n ?1? a 2 n ) 收敛.例 6 设级数 ? a n ?a n ? 0? 收敛，则 ?n ?1an n收敛.n ?1例 7 设数列 ?nan ?收敛，级数 ? n?an ? an?1 ? 收敛，证明 ? an 收敛.n ?1 n ?0??题型三 综合题 例8 设 a n ? ? 4 tan n xdx0?(1)求 ?an ? an?2 的值. n n ?1?(2)证明：对任意正常数 ? ? 0 ， ?an 收敛. ? n ?1 n?78 1 1 例 9 设 a1 ? 2 , an ?1 ? (an ? ) , n ? 1 ， 证明： 2 an(1) lim an 存在;n ??? ? a ? (2) 级数 ? ? n ? 1? 收敛. n ?1 ? an ?1 ?§2 幂级数一 幂级数 1 定义:? a ?x ? x ?n ?0 n 0?n称为 ?x ? x0 ? 的幂级数.?2 (Abel 定理) 若幂级数 ? an xn 在点 x1≠0 处收敛(发散)，则在 (? x1 , x1 ) 之n ?0内绝对收敛(之外发散). 推论：条件收敛点必定为收敛域的端点.n 3 收敛半径与收敛区间： lim u ?1 ?1 n?? nu收敛域：收敛区间+可能端点. 题型一：求收敛半径和收敛域 例 1 求下列幂级数的收敛域.1 (1) ? n ( x ? 1)2 n n n ?1 3 ? 2?2n x n (2) ? n ?1 (2n ? 1)!?79 例 2 设幂级数为 ? an ( x ? 2)n ,求满足下列条件的收敛半径n ?1?(1) 在 x ? 0 点收敛，在 x ? ?4 点发散. (2) 在 x ? 3 点条件收敛.二 幂级数的分析性质 设幂级数 ? a n x n 收敛半径 R ? 0 ， S ?x ? ? ? an x n 为和函数，则有下列重要性质：n ?0 n?0 ? ?(1) S ?x ? 在其收敛域内连续.? ? ? ? ?? n? (2) S ?x ? 在 ?? R, R? 内可导，则 S ??x ? ? ? ? a n x ? ? ? a n x n ? ? nan x n?1 , n ?1 ? n ?0 ? n ?0? ?新的级数与原来的级数有相同的收敛半径. (3) S ?x ? 在收敛域内可积，则 ? S ?t ?dt ? ? ? an t n dt ? ?x x 0 n ?0 0 ?an n?1 x n ?0 n ? 1?且新幂级数的收敛半径也不变. 三 泰勒级数 1 泰勒级数: 级数 ?n ?0 ?f ? n ? ? x0 ? ?x ? x0 ?n . n!?当 x0 ? 0 ，则级数 ?n ?0f ?n ? ?0? n x 称为 f ?x ? 的麦克劳林级数。 n!2 收敛条件：在 a 的条件下，泰勒级数收敛于 f ( x) (或说 f ( x) 可展开成幂级数)f ? ? (? ) n ?1 的充要条件是 lim Rn ( x) ? 0, Rn ? x ? ? ? x ? x0 ? . n ?? ? n ? 1?!n ?13 常见的几个泰勒(麦克劳林)级数 (1)? 1 ? ? xn 1 ? x n ?0x ?1x 2n?1 ， x ? ?? ? 2n ? 1?!(2) e x ? ?n ?0?xn n!? nx ? ??x2n ， x ? ?? ? 2n ?!(3) sin x ? ? ? ?1?n ?0?n(4) cos x ? ? ? ?1?n ?080 (5) ln ?1 ? x ? ? ? ? ?1?n ?0?nxn?1 ， ?? 1 ? x ? 1? n ?1(6)?1 ? x ? ? 1 ? ??? ?? ? 1???? ? n ? 1? n x ， n! n ?1??1 ? x ? 1 注：利用泰勒级数可以用来求高阶导数.例 求 f (1000) (0) , 其中 f ( x) ? x2ex .2题型二 幂级数收敛的求和 1 将幂级数变换为几个常见幂级数的和或差等. 例3?n ?1?n ?1 n x . n!2 逐项积分或微分. 1) 求出级数的收敛域。 2) 在收敛区间内， 通过逐项积分或求导将原来}
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