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6[1].3.1曲面方程
基本要求1. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的 方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2. 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解 空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.上页下页第六章第6.3节 空间曲面与空间曲
线6.3.1 空间曲面6.3.2 空间曲线下页6.3.1 空间曲面一、空间曲面的方程 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、二次曲面上页下页一 空间曲面的方程1．空间曲面方程的概念 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM ? BM , 即( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 3) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 4) 2 化简得 2 x ? 6 y ? 2 z ? 7 ? 0.说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.上页下页定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.F ( x, y, z ) ? 0zSo两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).xy上页下页例1. 求到定点 （称为球面, 定点 即的距离为 R 的点的轨迹称为球心, R称为半径）方程. 依题意解: 设轨迹上动点为( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2 ? R故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2 ? R 2 zx2 ? y2 ? z 2 ? R2表示上(下)球面 .M0Mo x上页y下页例2. 研究方程的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1,? 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )表示怎样都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚球面. 称为球面的一般方程. (有何特点?)上页 下页球面的一般方程x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2a1 x ? 2a2 y ? 2a3 z ? a4 ? 0.的特点:1. 平方项前面的系数相等;2. 没有交叉项.例3. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 的四面体的球面方程.解: 设球心为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且 x0 ? y 0 ? z 0 ? 1 ? x0 ? y0 ? z0 ? R(半径) z 12 ? 12 ? 12? x0 ? y0 ? z0 ? 1, ? 1 ? 3 x0 ? 3 x0从而 因此所求球面方程为x oM0y上页下页z ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1的图形是怎样的？ 例4 方程解 根据题意有 z ? ?1用平面z ? c 去截图形得圆：z( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ? c (c ? ?1)当平面z ? c 上下移动时， 得到一系列圆coxy圆心在(1,2, c )，半径为 1 ? c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．2. 空间曲面的参数方程： 曲面 方程 除了用三元方程F( x, y, z ) = 0(称为曲面的一般方程)表示外，有时还要用到参数方程.如: 地球表面上一点的位置可用经度和纬度来刻画, 由此可得球心在坐标原点的球面的参数方程：zPR分别称为纬度和经度. 是 x? P 1 P在xoy面上方时取正,下方时取负; 逆时针取正, 顺时针取负. ? 是x 轴到 (另一种形式见书P92.) 其中上页o?y下页空间曲面参数方程的一般形式为：I u , I v 为两个区间.空间曲面除可看成由点生成的外，还可以看 成满足某种条件的动曲线的轨迹.上页下页二柱面zM引例. 分析方程表示怎样的曲面 .解:在 xoy 面上，C o 表示圆C, M在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 ? y 2 ? R 2 .1yl故过曲线C上的点平行于 z 轴的一切直线上的点都 在该曲面上, 该曲面是由平行于z 轴与圆C 相交的直线 生成的,是一圆柱面. 故在空间 x 2 ? y 2 ? R 2表示圆柱面.上页 下页定义2. 由平行于某一定方向并与空间一定曲线 相交的一族平行直线所生成的曲面称为柱面. 这族平行直线中的每一条直线都称为母线. 定方向称为母线方向，定曲线称为准线, 1 母线平行于坐标轴的柱面方程： 例1、设一柱面的母线平行于z 轴, 准线 C? F1 ( x, y, z ) ? 0, 方程为 ? : ? ? F2 ( x, y, z ) ? 0.求该柱面的方程.z?x上页y下页解: 过准线上任一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为 1x1 ? x, y1 ? y, z1 ? z ? t. 又 x1 , y1 , z1 满足(1)zP( x, y, z)? F1 ( x1 , y1 , z1 ) ? 0, (2) ? ? F2 ( x1 , y1 , z1 ) ? 0. x ? F1 ( x, y, z ? t ) ? 0, 将(1) 代入(2) 得 ? ? F2 ( x, y, z ? t ) ? 0.?yP ( x1 , y1 , z1 ) 1消去t (同时也消去了z)得所求柱面方程为F ( x, y) ? 0.上页 下页同理可知: 母线平行于x 轴的柱面方程具有形式 G( y, z ) ? 0. 母线平行于y 轴的柱面方程具有形式 H ( x, z ) ? 0. 注: ? F1 ( x, y , z ) ? 0, 由上可知, 求以 ? 为准线, 母线平行于? F2 ( x, y , z ) ? 0.z 轴 (x轴，y 轴) 的柱面方程只要从准线方程中消去变量z (变量x，变量y)就可以了.上页 下页? F1 ( x, y , z ) ? 0, ? ? F2 ( x, y , z ) ? 0.特别:?F ?x, y ? ? 0, 为准线, (1) 以?： ? ? z?0z°母线平行于z 轴的柱面方程为F ?x, y ? ? 0.xy?G? y, z ? ? 0, 为准线, (2) 以?： ? ? x?0母线平行于x 轴的柱面方程为?z? ΓG? y, z ? ? 0.ox上页y下页?H ?z, x ? ? 0, (3) 以?： 为准线, ? ? ? y?0母线平行于y 轴的柱面方程为zoyH ? z, x ? ? 0.x总之, 以坐标平面内的曲线为准线,母线平行于另一 坐标轴的柱面方程即为它的准线在该坐标面内的方程.2 一个三元方程中若不含变量z (不含变量x, 不含 变量y)， 则它通常表示一个母线平行于z 轴 (x轴, y 轴)的柱面.上页 下页? F ( x, y ) ? 0, 定理 方程 F ( x, y) ? 0表示一个以 ? : ? z ? 0. ? 为准线, 母线平行于z 轴的柱面.证明 令S 代表 F ( x, y) ? 0 表示的曲面， 在 ?上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作平行zM ( x, y, z )z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 F ( x, y) ? 0. 故过曲线 ?上的点平行于 z 轴的一切直线上的点都在曲面S上, 该曲面是由x?yM1 ( x1 , y1 ,0)平行于z 轴且与 ? 相交的直线生成的.上页 下页同理可知,方程 G ( y, z ) ? 0表示柱面, 母线 平行于 x 轴; 准线是xoy 面上的曲线zl 2y柱面, 方程 H ( z, x) ? 0表示 母线 平行于 y 轴; 准线是xoz 面上的曲线?G( y, z ) ? 0, l2 : ? x ? 0. ?xzl3? H ( x, z ) ? 0, l3 : ? y ? 0. ?xy上页下页总之,在空间直角坐标系中,不含某一变量的方程 总表示母线平行于相应坐标轴的柱面. 例如：z?表示抛物柱面,母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.o xzyx y ? 2 ? 2 ? 1表示母线平行于 a b22ox上页z 轴的椭圆柱面.y下页x z ? 2 ? 2 ? 1 表示母线平行于y 轴的双曲柱面. a b椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面统称为二次柱面.z22oyx上页 下页画简图：x ? 2y2y? xz? ?zx ? 2y2平面oyoyx抛物柱面xy? x上页下页特别地，圆柱面还可以看成到定直线的距离等于 定长的点的轨迹. (或与定直线平行的动直线的轨迹）其中定直线称为圆柱面的轴，定长称为圆柱面的半径.圆柱面的方程: 设圆柱面的半径为R，轴l 过 方向为 求其方程. ， 轴的解：点 P( x, y, z ) 在该圆柱面上 ?点P 到轴的距离为R . 即| ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) ? (l , m, n) | l ?m ?n2 2 2?R化简即得圆柱面方程 .上页 下页例2求与两球面均相切的圆柱面方程.解: 由题意,所求圆柱面半径为1, 轴为两球心连线, z x y z ? ? , 故圆柱面方程为 即 ?1 1 1 C | ( x, y, z ) ? (?1,1,1) | o ? 1, 1 y 2 2 2(?1) ? 1 ? 1即x上页下页三 锥面定义在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面， 这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。准线母线说明：锥面的准线不是惟一的， 和一切母线都相交的每一条曲线 都可以作为它的准线。顶点特别：圆锥面过直线l上一点 P0 且与该直线交于定角的动直线的轨迹 称为(直)圆柱面.直线l称为轴,点 P0 称为顶点,定锐角称为半 顶角,动直线中的每一条都称为母线,与轴垂直的平面截圆 锥面所得交线为圆.圆锥面的方程:设圆锥顶点为 , 轴的方向为半顶角为求其方程.???? ? | cos ?(P P, v ) |? cos? . 0 ???? ? | P0 P ? v | 即 ???? ? ? cos ? . 所以, 圆锥面方程为 | P0 P || v |解： ( x, y, z )在圆锥面上的充要条件为 P[l ( x ? x0 ) ? m( y ? y0 ) ? n( z ? z0 )] ?2cos2 ? (l 2 ? m2 ? n2 )[( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ].上页 下页例4. 求以直线为轴, 且通过直线 的圆锥面方程.? v ? (1,1,1), 半顶角 ? 即为两已知直线所成锐角.设 P( x, y, z ) 为圆锥面上任一点，则解 显然圆锥面的顶点为原点, 轴的方向向量为??? ? ? | OP ? v | 1 ??? ? ? cos ? ? ? . | OP || v | 3即 xy ? yz ? zx ? 0 为所求圆锥面方程. 直角坐标系中关于x, y, z 的n 次齐次方程表示顶 点在原点的锥面.上页 下页四 旋转曲面定义4 一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的 曲面叫做旋转曲面. 定直线称为旋转轴 . 这条曲线叫 旋转曲面的母线． 例如 :上页下页生活中见过旋 转曲面吗？
旋转曲面的有关概念Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线 说明： 纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线
任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。 lM纬圆经线和母线 一样吗？?旋转曲面也可看作经 线绕轴旋转生成S经线满足什么条件 母线就是经线？?经线纬圆（纬线）特殊情形:f ( y, z ) ? 0 曲线 C ? ? ?x ? 0绕 z轴zCoy旋转面的方程f ( y, z ) ? 0 曲线 C ? ? ?x ? 0绕 z轴z.Coyx旋转面的方程f ( y, z ) ? 0 曲线 C ? ? ?x ? 0旋转一周得旋转曲面 S绕 z轴P MzN (0, y1 , z1 ).? M(x,y,z) ? Sf (y1, z1)=0z1 ? z| y1 |? MP ?x ?y2 2Szz1Coy1y.x旋转面的方程? f ( y, z ) ? 0 曲线 C ? ?x ? 0旋转一周得旋转曲面 S绕 z轴P MzN (0, y1 , z1 ).? M(x,y,z) ? Sf f (y11,, z11)=0 z )=0z1 ? z| y1 |? MP ?.S2zz1Cx ?y2oy1y.S：f ( ? x 2 ? y 2 , z ) ? 0.x思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？zC : f ( y, z ) ? 0o xyf ( y , ? x 2 ? z 2 ) ? 0.上页下页一般结论: 坐标平面内的曲线绕此坐标面内的一个坐标轴旋转，所得旋转曲面方程可按下列方 式给出： 对于曲线在坐标面内的方程，保留与旋转轴同名 的坐标， 而以其他两个坐标平方和的平方根代替方 程中的另一个坐标.上页下页例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程． 2 x z2 1. xoz面上的双曲线 2 ? 2 ? 1 x a c 绕 x轴旋转一周得x y ?z ? ?1 2 2 a c2 2 2x y z 即 ? 2 ? 2 ?1 2 a c c旋转双叶双曲面222o yz上页下页x2 z2 （1）xOz 面上双曲线 2 ? 2 ? 1 绕 z 轴旋转得 a c 2 2 2 2 2 2 x y z x ?y z ? 2 ? 1 即 2 ? 2 ? 2 ? 1 旋转单叶双曲面 2 a c a a c z zy yoxox上页下页zzoayx y z ? 2 ? 2 ? ?1 2 a b cO222yx y z ? 2 ? 2 ?1 2 a b c上页 下页222xxy2 z2 ? 2 ?1 （2）yOz 面上椭圆 a 2 cz(a&c)绕 y 轴和 z 轴旋转；（ 长 形 或 扁 形 ） 旋 转 椭 球 面绕 y 轴旋转得Oyy2 x2 ? z2 ? ?1 2 2 a c绕 z 轴旋转得xzx ?y z ? 2 ?1 2 a c2 2 2o x上页y下页（3）xoy 面上抛物线 y2? 2 px 绕 x 轴旋转得旋转抛物面xy ? z ? 2 px2 2xz o y oz y( p ? 0)上页 下页xoy面上的圆 x ? R) 2 ? y 2 ? r 2 ( R ? r ? 0) （ （4） 绕 y 轴旋转所成曲面yroRx上页下页xoy面上的圆 x ? R) 2 ? y 2 ? r 2 ( R ? r ? 0) （ （4） 绕 y 轴旋转所成曲面yoxz上页 下页xoy面上的圆 x ? R) 2 ? y 2 ? r 2 ( R ? r ? 0) （ （4）绕 y 轴旋转所成曲面.环面( ? x 2 ? z 2 ? R) 2 ? y 2 ? r 2或 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 ? r 2 ) 2 ? 4R 2 ( x 2 ? z 2 )上页 下页练习：下列曲面是否为旋转曲面，若是，指出其轴和母线.(a ) ( x ? y ) ? 2( x ? y ) ? 0,2 2(b) 4 x ? 3 y ? 4 z ? 2,2 2 2(c) x ? y ? z ? ?3,2 2 2(d ) x 2 ? y 2 ? 3z 2 ? 2 z ? 1 ? 0.(e) x ? y ? z ? 1.2 2 2答：(b) 旋转椭球面, (c) 旋转双叶双曲面,(d) 旋转曲面, (e) 旋转曲面(球面).上页 下页五 二次曲面三元二次方程Ax 2 ? By 2 ? Cz 2 ? Dxy ? Eyx ? Fzx ? Gx ? Hy ? Iz ? J ? 0(二次项系数不全为 0 )的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、双曲面、抛物面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法上页下页1. 椭球面x2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c(1)范围：zx ? a,y ? b,z ?cxy(2)与坐标面的交线：椭圆? x2 y2 ? ? ?1, 2 2 ?a b ? z?0 ?? y2 z2 ? ? ?1 , ?b2 c2 ? x?0 ?? x2 z 2 ? ? ?1 ?a 2 c 2 ? y?0 ?上页下页x2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c(3) 截痕:与 z ? z1 ( z1 ? c)的交线为椭圆：xa c222 2(c 2 ? z1 )?yb c222 2z(c 2 ? z1 )?1z ? z1同样 y ? y1 ( y1 ? b ) 及 的截痕也为椭圆.(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.上页下页2. 双曲面 (1)单叶双曲面zx2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z ? z1 上的截痕为 椭圆.平面 y ? y1上的截痕情况:yx1) y1 ? b 时, 截痕为双曲线:y12 x2 z 2 ? 2 ? 1? 2 2 a c b y ? y1(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）上页下页2) y1 ? b 时, 截痕为相交直线: x z ? ?0 a c y ? b (或 ? b) 3) y1 ? b时, 截痕为双曲线:x z ? 2 ? 1? 2 a c b y ? y12 2zxyy12 2z?0(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）xy上页下页(2) 双叶双曲面zx2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? ?1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y ? y1 上的截痕为 双曲线.平面 x ? x1 上的截痕为 双曲线.平面 z ? z1 ( z1 ? c)上的截痕为 椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:o xyx2 a2?y2 b2?z2 c2?1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面图形上页下页z3. 抛物面(1) 椭圆抛物面x y ? 2 ? ?z 2 a b(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）22xy特别,当 a = b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.zx y ? 2 ? 2 ? ?z a bx上页22y下页参数方程：x2 y2 z 2 x2 y 2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 2 ? 1 的参数方程分别为 2 a b c a b c上页下页x2 y 2 z 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? ?1与 2 ? 2 ? 2 z 的参数方程分别为 2 a b a b c? x ? a (u ? v), ? ? y ? b(u ? v), ? z ? 2uv. ?上页下页内容小结1. 空间曲面 ? 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) ? 02 2 2 2 ? 球面 ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ( z ? z0 ) ? R? f ( y, z ) ? 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 ? ?x?0f (? x ? y , z ) ? 02 2? 柱面 如,曲面F ( x , y ) ? 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .上页 下页2. 二次曲面? 椭球面 ? 抛物面:三元二次方程椭圆抛物面双曲抛物面x y ? ?z 2 p 2q? 双曲面:单叶双曲面22( p, q 同号)双叶双曲面2x y ? 2 2 a b2x y ?1 2 ? 2 a b22? ?1上页 下页思考与练习1. 指出下列方程的图形:方 程平面解析几何中空间解析几何中x?5x ? y ?92 2平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面y ? x ?1上页下页练习P102 10； 14作业P102 1(2)(3); 2 ; 6; 7.上页
曲面x2+2y2+3z2=6,在点(1,1,1)处的法线方程为( )。正确答案及相关解析
正确答案 C
解析 [解析] F(x,y,z)=x2+2y2+3z2,曲面的法向量n={2...[关键词]二次曲面;分类;化简;应用 关键词] 1 引言 对于给定的二次曲面方程,...a2 b2 c 2 它表示虚二次锥面 由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5....二次曲面标准方程小结_理学_高等教育_教育专区。介绍二次曲面的几种标准方程二次曲面标准方程小结 序号 1 标准方程 曲面名称 椭球面 x2 y2 z2 + + =1 a2 ...常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。...例如, x + y + z = 1 (图 8-6(a)), x = 0 (图 8-6(b))均...z ) ≡ a x + a y + a z + a = 0 13 0 23 0 33 0 34 3 0 0 0 (6.2-1) 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有...曲面x2+2y2+3t2=6在点(-1,1,-1)处的切平面方程为( )。 A.x+2y+3z-6=0 B.x+2y+3z+6=0C.2x-y-3=0
D.x-2y+3z-6=0 ...§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 空间曲线的方程 §3.1 平面...2. 双叶双曲面的图形(如图 4-6): (1) 曲面的对称性: 双叶双曲面关于三...6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请...微分几何 第三章 曲面的局部理论 第三章§3.1 曲面的概念 1 曲面的方程 ①向...1.含有未知数的式子叫做方程.() 2.4x+5 、6x=8 都是方程.() 3.18x=6 的解是 x=3.() 4.等式不一定是方程,方程一定是等式.()三、选择题: 1.下面的...(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面方程。 (2) 已知坐标 x, y, ...试建立顶点 在原点 O ,旋转轴为 z 轴,半顶角为 α 的圆锥面的方程(图 6...
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