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求高等数学解微分方程dy/dx=(1-y^2)y(0)=2.
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微分方程练习题及答案
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微分方程练习题及答案
官方公共微信微分方程yX+y&tan&x&=cos&x&的通解
14-06-27 &匿名提问微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
范文一：微分方程的基本概念专业
174第十二章
微分方程§12-1
微分方程的基本概念一、（20分）判断题1.y=ce2x(c的任意常数)是y′=2x的特解。
)32.y=(y′′)是二阶微分方程。
)3.微分方程的通解包含了所有特解。
)4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
）二、（20分）填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。2. 积分曲线y=(c1+c2x)e242x中满足y2x=0=0, y′x=0=1的曲线是 3. 微分方程xy'''+(y')+y=0的阶是4. 若y=(Ax+B)e是微分方程y''-2y'=xe的一个特解，则A=
，B=三、（20分）选择题1．下列方程中是常微分方程。 xxdarctanx?2a?2ay+(e)=0 (C) 2+2=0 （D）y′′=x2+y2
（A）x+y=a
(B) dx?x?y2222.下列方程中（A）（y′′）+ xy′+x2=0；(B) (y′) 2+3x2y=x3 ；(C) y′′′+3y′′+y=0； (D)y′-y =sinx
22d2y2+wy=0的通解是其中c，c1，c2均为任意常数。 3.微分方程dx2（A）y=ccoswx
(B)y=c sinwx
(C)y=c1coswx+c2sinwx
(D)y=c coswx+c sinwx4．C是任意常数，则微分方程y′=3y的一个特解是（A）y=(x+2)3
(C) y=(x+c)3
(D)y=c(x+1)3四、（20分）微分方程的通解为(x-C1)+(y-C2)=1（其中C1,C2为任意常数），求该微分方程。五、（20分）用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比, 与温度的平方成反比. 222312-2 可分离变量的微分方程一、（15分）判断题1．所有可分离变量的微分方程都是一阶线性齐次方程。
）2．方程dy=f(x)+g(y)是可分离变量的微分方程。
） dxdyy1y2y2作变换=u，可化为可分离变量的微分方程。（
） 3．对方程=+tanxdx2x2yx二、（20分）填空题1．微分方程sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解是2．微分方程1dy=1dx,y =e满足所给初始条件的特解是
。x=ylnysinx23．已知ξ?y(ξ)dξ=x+y(x)，则y(x)＝
。 0∫x4．曲线上任一点(x,y)的切线都与该点的向径垂直,则曲线的方程是三、（10分）选择题1．满足方程（A）Cx1-nn1∫0f(tx)dt=nf(x)，（n为大于1的自然数）的可导函数f(x)为（
(B)C(C为常数)；
(C)Csinx；
（D）Ccosx。x+y2．微分方程(e（A）e(C) ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0通解是（
）。 -ex+ey=C；
(B) (ex-1)(ey+1)=C；
x+y-ex-ey=C；
（D）(ex+1)(ey+1)=C。四、（15分）求下列微分方程的通解1.(y+1)22. tanydx-sinxdy=0dy3+x=0 dx3. 求微分方程y′-ex-y+ex=0通解。五、（20分）求下列微分方程满足所给初始条件的特解1. cos x sin ydy=cos y sin xdx, y|x=0=.2. 求微分方程xy′-y=y满足初始条件y2π; 4x=1=1的解。六、（20分）小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线.原文地址：
范文二：1.1微分方程的基本概念§第1章 常微分方程本章导读：在科学研究和生产实践中，为了深入了解自然规律，常常需要寻求与问题有关的表示客观事物的变量间的函数关系。在大量实际问题中，往往不能直接得到所求的函数关系，但我们可以利用已有的数学知识和基本科学原理，构建出含有求知函数及其变化率之间的关系式，即所谓的微分方程，然后再从中解出所求函数。因此，微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。本章我们首先介绍微分方程的一些基本概念，然后讨论常见的微分方程的类型与解法，最后结合实例来说明其应用。不同类型的微分方程有不同的求解方法。学习本章时要注意不同类型的微分方程之间的区别和联系。首先应弄清方程所属的类型，然后再选择正确的求解方法。本章重点是一阶微分方程和二阶常系数的齐次线性微分方程的求解，难点是可降阶的二阶微分方程和二阶常系数的非齐次线性微分方程的求解。1．1 微分方程的基本概念1．1．1两个具体实例为了给出微分方程的概念，我们先看下面的例子： 一、求曲线方程问题例1．1．1：已知一条曲线过点(1,2)，且在该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求该曲线方程。解：设所求曲线方程为 y?y(x)，据导数的几何意义，知y?y(x)应满足下式：dy?2x
或 dy?2xdx dx这是一个含有所求未知函数y的导数或微分的方程。要求出y(x)，只须对上式两端积分，得：y??2xdx即
（C为任意常数） 由于曲线过点(1,2)，因此，还应满足条件：当x?1时，y?2；或 记为 yx?1?2将该条件代入
y?x2?C即得所求曲线的方程为：y?x2?1。二、确定运动规律问题例1．1．2：列车在平直轨道上以20m/s的速度行驶，当制动时，列车加速度为?0.4m/s2,求制动后列车的运动规律。解：设列车制动后t秒内行驶了S米。按题意，求制动后列车的运动规律，即 S?S(t)d2S据二阶导数的物理意义，得：2??0.4dt这是一个含有所求未知函数S的二阶导数或微分的方程。要求出S(t)，只须对上式两端进行两次积分，分别得：dS??0.4t?C1，S??0.2t2?C1t?C2 dt由于，制动开始时的速度为20m/s,即满足条件：
当 t?0时，v?20 或 记为 S?t?0?20 假定路程S是从开始制动算起，即满足条件：
当 t?0时，S?0
或 记为 St?0?0将要满足的两个条件代入
S??0.2t2?C1t?C2 得
C1?20，C2?0于是制动后列车的运动规律为：S??0.2t2?20t。1．1．2 微分方程的基本概念d2Sdy?2x和2??0.4方程中都含有未知函数的导数或微分，
由以上两例可以看出：像dxdt这样的方程就称为微分方程。于是我们定义如下：定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。d2Sdydy?dy??2x，???x
如?y?0是一阶常微分方程或简称一阶微分方程，2??0.4，dxdtdxdx??d2ydy?2T?2T?2T?b?cy?f(x)是二阶常微分方程或称二阶微分方程；而2?2?2?0，dxdx2?x?y?z?2T?2T?42是二阶偏微分方程。 ?x2?t2本章只讨论常微分方程，我们以后把常微分方程简称为“微分方程”，甚至更简便地称为“方程”。n阶常微分方程的一般形式可表示为 F(x,y,y?,...,y(n))?0。这里x为自变量，y是x的未知函数，而y?，y??，…，y(n)依次是未知函数的一阶、二阶、…、n阶导数。满足一个微分方程的函数称为该微分方程的解。即是说，将一个函数代入微分方程中，使之化为一恒等式，该函数式便是微分方程的解。注意：微分方程的解既可以是显函数y?f(x)形式，也可以为F(x,y)?0所确定的隐函数形式。sinx为方程 xy??y?cosx的解。 xsinxxcosx?sinx解：由于y?，y??，代入方程xy??y?cosx的左端， 2xxxcosx?sinxsinx?即有
左=x?=cosx=右。xx2sinxsinx函数式y?满足微分方程xy??y?cosx，故y?为方程xy??y?cosx的解。xx例1．1．3：验证y?如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同时，这样的解称为微分方程的通解。如例1.1.1 中，y?x2?C就是方程d2S就是方程2??0.4的通解。dtdy?2x的通解，例1.1.2中，S??0.2t2?C1t?C2dx注意：通解中的任意常数必须实质上是任意的。例如，在y?(C1?C2)x中，C1，C2实质上不是任意的两个常数，因C1?C2可合并成一个常数C。对于微分方程的求解，有时我们会给出某些具体条件，然后再求解。当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件。
如例1.1.1中，当x?1时，y?2或y或S?t?0?20，当t?0时，S?0或St?0x?1?2为初始条件；例1.1.2中，当t?0时，v?20?0均为初始条件。满足给定的初始条件的解，称为微分方程满足该初始条件的特解。
例如，y?x2?1是方程dy?2x满足初始条件ydxt?0x?1?2的特解，而S??0.2t2?20t是方程d2S??0.4满足初始条件Sdt2?0，S?t?0?20的特解。微分方程的特解y?f(x)的几何图形，称为该方程的一条积分曲线。而通解的图形在几何上则表示积分曲线。习 题1.11、下列方程中哪些是微分方程？1）y???3y??2y?x
2）y2?3y?2?0 3）y??2x?6
4）y?2x?6d2y5）dy?(2x?6)dx
6）2?sinxdx2、指出下列微分方程的阶数？?y2dy?0
2）y???3y??2y?x2 1）?dx?x2?d3y?4x??y?e3）?
4）y?x4y??y2?y??? ?dx3???23、在下列各题中，验证所给函数或二元方程所确定的函数是相应微分方程的解。 1）yy??x?2x3，y?x?x2 2）(x?y)dx?xdy?0，y?x(C?lnx)3）y??1?y21?x2，y?1?x1?x4、给定一阶微分方程dydx?2x 1）未出其通解； 2）求过点(1,4)的特解；3）求出与直线y?2x?3相切的解；4）求出满足条件?10ydx?2的解；5）给出2）、3）、4）中的解的图形；阅读详情：
范文三：微分方程的基本概念第一节 微分方程的基本概念1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例1：dy?2x为一阶微分方程。 dxd2ydy例2：x2?x2?4x?3x3为二阶微分方程。dxdx注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数。注：微分方程的通解必包含任意常数C，因为它是求不定积分，而不是定积分。例1：解微分方程dy?2x。 dx移项，得：dy?2xdx等号两边分别求不定积分，得：?dy??2xdx， 即有y?x2?C，其中C为任意常数 于是，微分方程dy?2x的通解为y?x2?C，其中C为任意常数 dxd2y例2：解微分方程2?2x。dx等号两边分别求不定积分，得：dy??2xdx?x2?C1，其中C1为任意常数 dx移项，得：dy??x2?C1?dxx3等号两边分别求不定积分，得：y???x?C1?dx??C1x?C2，其中C1,C2为任32意常数（要注意到C1,C2为两个不相关的常数，不能都写为C）d2yx3于是，微分方程2?2x的通解为y??C1x?C2，其中C1,C2为任意常数dx3注：例2中的微分方程是二阶的，所以通解包含两个常数C1,C2，而且需要注意到C1与C2是两个不相关的常数。3．具有初始条件的微分方程：此类微分方程的特点是给定了某些函数值，如?都是给定的数（称为初值）?等，其中y0，y0yx?x?y0，y?x?x?y0。此时所求出的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数C。注1：微分方程的特解不包含任意常数C，因为此时可利用初始条件将常数C变为确定的数。注2：一般来说，初始条件中所含的等式个数等于微分方程的阶数，比如，一阶微分方程的初始条件包含一个等式（函数值）；二阶微分方程的初始条件包含两个等式（函数值以及导数值）。dy?2x，初始条件为yx?0?1。
dxdy前面已求得y?x2?C是微分方程?2x的通解，其中C为任意常数dx例1：解微分方程现将初始条件yx?0?1代入通解y?x2?C，得：1?02?C，从而有C?1 于是，该微分方程的特解为y?x2?1注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需理会初始条件）；代入初始条件求得特解。d2y例2：解微分方程2?2x，初始条件为yx?1?2，y?x?1?3。dxd2yx3前面已求得y??C1x?C2是微分方程2?2x的通解，其中C1,C2为任意常数3dxx3对于通解y??C1x?C2求导，得：y??x2?C13先将初始条件y?x?1?3代入y??x2?C1，得：3?12?C1，从而有C1?2x3x3于是有y??C1x?C2??2x?C233x3131再将初始条件yx?1?2代入y??2x?C2，得：2??2?1?C2，从而有C2??333x31于是，该微分方程的特解为y??2x?33阅读详情：
范文四：6-1常微分方程的基本概念第六章微分方程已知 y ′ = f ( x) , 求 y — 积分问题推广已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y— 微分方程问题§6.1微分方程的基本概念表示未知函数及其导数与自变量的关系的方程 称为微分方程 . 分类 常微分方程 (本章内容) 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 例如：y' = yy' ' '+ xy"- y = edy = y dxxdy = ydx 一阶微分方程三阶微分方程 一阶微分方程( y')3+ 2 y = xex微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. （微分方程的绝大部分解） 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):y( x0 ) = y0 , ′ , ", y′( x0 ) = y0 y ( n-1) ( x0 ) = y0d 2s dt2( n -1 )引例1 通解: 特解:dy dx= 2xx =1 = 2y2引例2= - 0.4=0,2st =0d s d t t =0= 20y = x +C y = x2 +1通解 s = -0.2 t + C1 t + C 2特解 s = -0.2 t 2 + 20 t例1. 验证函数 x = C1 cos k t + C2 sin k t (C1 , C2为常数)d2 x 是微分方程 2 + k 2 x = 0 的解, 并求满足初始条件 dt dx x t =0 = A , = 0 的特解 . ( k ≠ 0 ) dt t = 0d2 x 2 2 解: = -C1k cos kt - C2 k sin kt 2 dt= -k 2 ( C1 cos k t + C2 sin k t ) = - k 2 x这说明 x = C1 cos k t + C2 sin k t 是方程的解 . C1 , C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 利用初始条件易得: C1 = A , C2 = 0 , 故所求特解为x = A cos k t例2. 一条曲线经过点（1,-1），并且该曲线上任一点处的切线斜率等于其横坐标平方的倒数，求曲线的方程。1 dy 设所求方程为 y = y ( x ), 解： 则应有 = 2. dx x于是 y = ∫ 1 dx = - +C. 2 x x由初始条件 y(1) ＝－ 1, 可知 C = 0.1 则所求的函数方程为 y = - . x内容小结微分方程的基本概念：微分方程、 微分方程的通解、特解、初始条件。例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为1 Y - y = - ( X - x) y′令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标y PX = x + y y′ ∴ x + y y′ = - x ,即 y y′ + 2 x = 0Q ox x阅读详情：
范文五：第一节微分方程的基本概念第十二章 微分方程一、 学时分配：讲课学时：14
习题学时：2
共 16 学时二、 基本内容：1．2．3．4．5．6．7．8．9． 微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 全微分方程 可降阶的高阶微分方程 高阶线性微分方程 一阶常系数齐次线性微分方程 一阶常系数非齐次线性微分方程三、 教学要求：1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程
的通解、特解及微分方程的初始条件等．2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法．3．熟练掌握齐次微分方程的解法4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子6．掌握y(n)?f(x)、y//?f(x,y/)、y//?f(y,y/)三种高阶微分方程的解法，即降阶法，理解降阶法的思想7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式?x?x９．掌握自由项为f(x)?Pm(x)e和f(x)?[Pm(x)cos?x?Qm(x)sin?x]e的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法四、重点难点：1．重点：2．难点：第一节
微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程
的通解、特解及微分方程的初始条件等．教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、 两个实例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。解：设曲线方程为y?y(x).由导数的几何意义可知函数y?y(x)满足dy?2x
（1） dx同时还满足以下条件：x?1时，y?2
（2）把（1）式两端积分，得y??2xdx
（3）其中C是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得C?1，由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程：y?x2?1
（4）2．列车在平直线路上以20m/s的速度行驶；当制动时列车获得加速度?0.4m/s.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数2s?s(t)满足：d2s??0.4
（5） 2dt此外，还满足条件：t?0时，s?0,v?(5)式两端积分一次得： ds?20
（6） dtv?再积分一次得 ds??0.4t?C1
（7） dts??0.2t2?C1t?C2
（8）其中C1,C2都是任意常数。把条件“t?0时v?20”和“t?0时s?0”分别代入（7）式和（8）式，得C1?20,
C2?0把C1,C2的值代入（7）及（8）式得v??0.4t?20,
（9）s??0.2t2?20t
（10）在（9）式中令v?0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：t?20?50(s)。 0.4再把t?5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程s??0.2?502?20?50?500(m).上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。二、 微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程y?4??4y????10y???12y??5y?sin2x是四阶微分方程。一般地，n阶微分方程的形式是F(x,y,y?,?,y(n))?0,
（11）其中F是个n?2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y(n)是必须出现的，而 x,y,y?,?,y(n?1)等变量则可以不出现。例如n阶微分方程y(n)?1?0中，除y(n)外，其他变量都没有出现。如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程y(n)?f(x,y,y',?,y(n?1)).
（12）以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f在所讨论的范围内连续。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F[x,?(x),?'(x),?,??n?(x)]?0,那么函数y??(x)就叫做微分方程（11）在区间I上的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为y?y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x?x0时，y?y0，或写成
y|x?x0?y0其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x?x0时，y?y0，y'?y'0或写成
y|x?x0?y0，y'|x?x0?y'0其中x0，y0和y'0都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程y??f(x,y)满足初始条件y|x?x0?y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作?y??f(x,y),
（13） ?y|?y.0?x?x0微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点(x0,y0)的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题??y???f(x,y,y?), ?????y|x?x0?y0,y|x?x0?y0?的那条积分曲线。 的几何意义是求微分方程的通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y0例3
验证：函数x?C1coskt?C2sinkt
（14）是微分方程d2x2?kx?0
（15） 2dt的解。解
求出所给函数（14）的导数dx??kC1sinkt?kC2coskt,
dtd2x222??kCcoskt?kCsinkt??k(C1coskt?C2sinkt) 122dtd2x把
及 x 的表达式代入方程（15）得 2dt?k2(C1coskt?C2sinkt)+k2(C1coskt?C2sinkt)?0函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。例4 已知函数（14）当 k?0 时是微分方程（15）的通解，求满足初始条件x|t?0?A,
dx?0 dtt?0的特解。解
将条件“t?0 时，x?A”代入（14）式得C1?A。将条件“t?0 时，dx?0”代入（16）式，得 dtC2?0。把C1,C2的值代入（14）式，就得所求的特解为 x?Acoskt。小结与思考：本节讲述了微分方程的基本概念及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题微分方程的通解是否就是该方程的全部的解？作业：作业见作业本阅读详情：
范文六：§1常微分方程的基本概念第十三章
常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。§1
常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1
两个实例例1.1
设某一平面曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点(1,2)，求该曲线的方程。解
平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为y?f(x)，根据导数的几何意义，由题意得
（这是一个含未知函数y?f(x)的导数的方程）。另外，由题意，曲线通过点(1,2)，所以，所求函数y?f(x)还满足y|x?1?2。dy?2xì?dy?=2x，
??y|x=1=2。(1.1)(1.2)为了解出y?f(x)，我们只要将(1.1)的两端积分，得x2y??2xdx?2?C?x2?C，2我们说 y?x2?C对于任意常数C都满足方程(1.1)。再由条件(1.2)，将y|x?1?2代入y?x2?C，即2?12?C?C?1。 故所求曲线的方程为y?x2?1。再看一个例子：例1.2
设质点以匀加速度a作直线运动，且t?0时s?0,v?v0。求质点运 动的位移与时间t的关系。解
这是一个物理上的运动问题。 设质点运动的位移与时间的关系为s?s(t)。2ds?a，这是一个含有二阶导数的方程。 则由二阶导数的物理意义，知2dtì?s|t=0=0再由题意?，因此，S?S(t)应满足问题 í???v|t=0=v0ì?2=a，?
(1.3)?2ídt??
(1.4)???s|t=0=0，v|t=0=v0。要解这个问题，我们可以将(1.3)两边连续积分两次，即ds?at?C1，
(1.5) dtt2s?a?tdt??C1dt?C2，即 s?a?C1t?C2，
(1.6)其中C1,C2为任意常数。由条件(1.4)，因为s|t?0?0，代入(1.6)，得C2?0；再由v|t?0?v0，代入(1.5)，得C1?v0。at2?v0t 为所求。 故得 s?
下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。 1.2
微分方程的基本概念总结所给出的两个具体的例子，我们看到：(1)
例1.1的(1)式和例1.2 的(1)式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）；(2)
通过积分可以解出满足这等式的函数；(3)
所求函数除满足等式外，还满足约束条件（例1中的(2)式和例2 中的(2)式）（初始条件：例1有一个初始条件，例2有两个初始条件）。由此，我们得到如下的概念。 1
微分方程的概念定义1.1
含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。注 (1) 方程中强调含有未知函数的导数。因此，它是反映未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程在微分方程中未知函数几自变量可以不单独出现，但必须出现未知函数的导数。(2)
微分方程中的自变量由问题而定。如的自变量是t，dx?x?y的自变量是y。 dydyds?2x的自变量是x，?at2dxdt(3)
微分方程中只含一个自变量的叫常微分方程。例如，x3y????x2y???xy??3x2是常微分方程；y?xex不是微分方程；?2u?2u?2u。 ??2?0是偏微分方程（本章不研究）2?x?y?z2
微分方程的阶定义1.2
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。例如，dy?2x是一阶微分方程； dxd2s?a是二阶微分方程； dt2x3y????x2y???xy??3x2是三阶微分方程； y??xn是一阶微分方程；一般地，F(x,y,y?)?0是一阶微分方程的一般形式是F(x,y,y?,?,y(n))?0，
(1.7)其中F是个n?2变量的函数。这里必须指出，在方程(1.7)中，y(n)是必须出现的，而x,y,y?,?,y(n?1)等变量则可以不出现。例如n阶微分方程y(n)?1?0中，除y(n)外，其他变量都没有出现。如果能从方程(1.7)中解出最高阶导数，得微分方程y(n)=f(x,y,y?,L,y(n-1))。
(1.8)以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且(1.8)式右端的函数f在所讨论的范围内连续。3
微分方程的解定义1.3
如果把某函数y??(x)代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么称此函数为微分方程的解。确切地说，设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F[x,j(x),j?(x),L,j方程(1.7)在区间I上的解。例如
① y?x2?C是dy?2x的解； dxdy?2x的解； ② y?x2?1也是dxdst2③ s?a?C1t?C2是?at2的解；dt2dsat2?v0t也是?at2的解。 ④ s?dt2(n)(x)]?0，那么函数y??(x)就叫做微分定义1.4(通解、特解)
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。确定了通解中任意常数，就得到了微分方程的特解。如 ①，③是通解。②，④是特解。注
微分方程的解有三种形式：显式解 y?f(x)或x?g(y)；隐式解ì?x=j(t)由方程?(x,y)?0确定的函数关系（通积分）；参数方程形式的解 ?。
í???y=y(t)(2)
微分方程的通解：是指含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的解。(3)
微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。如y?2?y2?1?0的通解为y?sin(x?C)，但y??1也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因为无论C取何值都得不到y??1。4
微分方程的初始条件在例1.1中，当x?1时y?2，通常记为y|x?1?2或f(1)?2；
在例1.2中，当t?0时s?0 即s|t?0?0，当t?0时这些用来确定任意常数的条件为初始条件。一般来说，一阶微分方程F(x,y,y?)?0有一个初始条件y|x?x0?y0； 二阶微分方程F(x,y,y?,y??)?0有两个初始条件y|x?x0?y0与y?|x?x0?y1；
,,,,,,,,ds?v0即s?|t?0?v0 dtn二阶微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0有n个初始条件。 5
初值问题求微分方程满足初始条件的特解，称为初值问题。 如例1.1中的⑴、⑵；例1.2中的⑴、⑵。 一般一阶微分方程的初值问题记作ìF(x,y,y?)=0??；
í?y|=y0??x=x0二阶微分方程的初值问题记作ì?F(x,y,yⅱ,y?)=0???。
íy|x=x0=y0???????y|x=x0=y16
微分方程解的几何意义常微分方程的特解的图形为一条曲线，叫做微分方程的积分曲线；
微分方程的通解的图形是以C为参数的曲线族，且同一自变量x对应的曲线上的点处处切线的斜率相同。初值问题(1.9)的解的几何意义是微分方程通过点(x0,y0)的那条积分曲线。 初值问题(1.10)的解的几何意义是微分方程通过点(x0,y0)且在该点的斜率为y1的那条积分曲线。例1.3
验证：函数x?C1coskt?C2sinkt
(1.11)是微分方程d2x?k2x?0
(1.12) 2dt的解。解
求出所给函数(1.10)的导数dx??kC1sinkt?kC2coskt,
(1.13)dtd2x222??kCcoskt?kCsinkt??k(C1coskt?C2sinkt) 122dtd2x把 2 及 x 的表达式代入方程(1.11)得dt?k2(C1coskt?C2sinkt)+k2(C1coskt?C2sinkt)?0函数(1.10)及其导数代入方程(1.11)后成为一个恒等式，因此函数(1.10)是微分方程(1.11)的解。例1.4
已知函数(1.10)当 k?0 时是微分方程(1.11)的通解，求满足初始条件x|t?0?A,dx?0 dtt?0的特解。解
将条件“t?0 时，x?A”代入(1.10)式得C1?A。将条件“t?0 时，dx?0”代入(1.12)式，得 dtC2?0。把C1,C2的值代入(1.10)式，就得所求的特解为x?Acoskt。练习13.11．选择题：d2ydy（1）微分方程2?2?y?ex是____________。dxdx（A）齐次的； （B）线性的； （C）常系数的； （D）二阶的。d2y（2）微分方程2?y?0的通解是______________。dx（A）y?Asinx；
（B）y?Bcosx； （C）y?sinx?Bcosx；
（D）y?Asinx?Bcosx。 （3）下列方程中是一阶微分方程的有___________。（A）x(y?)2?2yy??x?0；
（B）(y??)2?5(y?)4?y5?x7?0 （C）(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?0； （D）xy???y??y?0。 （4）下列等式中是微分方程的有___________。（A）u?v?uv??(uv)?；
（B）y??ex?sinx；dyd(y?ex)x（C）?e?；
（D）y???3y??4y?0。dxdx2．填空题：（1）方程(y?)2?3y?6?9是__________阶微分方程。 （2）方程xy??ylny的通解是_____________________。 （3）方程y???3y??4y?8的通解是____________________。 （4）方程y???x?sinx的通解是_________________________。（5）设y1?ex，y2?ex?x是线性微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解， 则该方程的通解为____________________。（6）函数y1?e2x，y2?xe2x________。3．指出下列微分方程的阶数：所满足的二阶常系数齐次线性微分方程为（1）x(y?)2?2yy??x?0；
（2） (y??)3?5(y?)4?y5?x6?0； （3） xy????2y???x2y?0；
（4） (x2?y2)dx?(x2?y2)dy?0。 4．验证微分方程后所列的函数是否为微分方程的解，是否是通解． （1） xy??2y，y?5x2；
（2） (y?)2?y??xy??y?0，y?cx；
（3） y???y?0，y?3sinx?4cosx；
（4） y???2y??y?0，y?xex；
（5） (x?2y)y??2x?y,x2?xy?y2?c。5．列车在平直线路上以20m/s的速度行驶；当制动时列车获得加速度?0.4m/s2。问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？6．确定函数关系式y=(C1+C2x)e2x中所含的参数，使其满足初始条件y(0)=0，y?(0)=1。7．设曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，试确定该曲线满足的微分方程。阅读详情：
范文七：常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy=2xdx
两边积分有：ln|y|=x2+c y2y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1特解为y= ex.2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2dx=-(x+1)dy
1dydy=-dx x?1y22两边积分: -11=-ln|x+1|+ln|c|
y= ln|c(x?1)|y另外y=0,x=-1也是原方程的解
x=0,y=1时 c=e特解：y=1 ln|c(x?1)|dy1?y23．= 3dxxy?xydy1?y21
解：原方程为：= 3dxyx?x11?y2dy=dx
x?x3y两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： x?11?ydy=-dx xy两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dyx?y=- dxx?yydydu=u
则=u+x 代入有： dxdxxu?11-2du=dx xu?1令ln(u2+1)x2=c-2arctgu即 ln(y2+x2)=c-2arctg6. xdy-y+x2?y2=0 dxdyy|x|y=+-?()2 dxxxxy. 2x
解：原方程为：则令ydydu=u
=u+ x dxdxx1?u2arcsin du=sgnx 1dx xy=sgnx ln|x|+c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：dydx= tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1c=
另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c. dyey?3x8 +=0 dxydyey3x
解：原方程为：=e dxy222 e-3e3x?y2=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dyyy=ln dxxxydydu令=u ,则=u+ x dxdxxu+ xdu=ulnu dxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln10. y=cy. xdy=ex?y dxdy=exe?y dx
解：原方程为：ey=cex 11 dy=(x+y)2 dx解：令x+y=u,则du-1=u2 dx1du=dx 1?u2dydu=-1 dxdxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dy1= 2dx(x?y)解：令x+y=u,则du1-1=2 dxudydu=-1 dxdxu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dy2x?y?1= dxx?2y?1解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=c 14: dyx?y?5= dxx?y?2解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(121y+2y)-d(x2+5x)=0 22y2+4y+x2+10x-2xy=c. dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy?1 dxdy
解：原方程为：=（x+4y）2+3 dxdy1du1令x+4y=u 则=- dx4dx41du1-=u2+3 4dx4du=4 u2+13 dx3u=tg(6x+c)-1 22tg(6x+c)=(x+4y+1). 315:16:证明方程xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程： ydx1）y(1+x2y2)dx=xdyxdy2?x2 y2 2）= 22ydx2-xydydu+y= dxdxdy1duu
则=-，有： dxxdxx2xdu
=f(u)+1 udx
证明： 令xy=u,则x11du=dx xu(f(u)?1)所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u
则dy1duu=-
(1) dxxdxx2dyy原方程可化为：=[1+（xy）2]
(2) dxx1duuu将1代入2式有：-2=(1+u2) xdxxxu=u2?2+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y
则与x轴，y轴交点分别为：x= x0 - y0
y= y0 - x0 y’ y'y0
所以 xy=c y'
x=2 x0 = x0 -18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中? =解：由题意得：y’=y11
dy= dx xxy? 。 4ln|y|=ln|xc|
y=x. 419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx2 +c 即为所求。阅读详情：
范文八：48微分方程模型与基本概念算术代数“鸡兔同笼”问题列车制动问题微分方程建模通解和特解积分曲线解的近似几何描述数学建模马尔萨斯人口增长模型马尔萨斯人口增长模型?dx?kx,??dt??x(t0)?x0.马尔萨斯人口增长模型?dx?kx,??dt??x(t0)?x0.密度制约模型湖南长沙马王堆汉墓考古【建模与求解】【建模与求解】?定义1（）常微分方程微分方程微分方程的阶一阶微分方程二阶微分方程阶微分方程隐式表达式阶线性微分方程定义2（）解例如定义3（）通解?例如，思考：是通解吗？定义3（）特解例如,（）初始条件初值问题柯西问题一阶微分方程的初值问题：显式解与隐式解(,)=0隐式解隐式通解显示通解注:（）例如，显式解:隐式解:隐式通解:积分曲线斜率积分曲线族第48讲微分方程模型与基本概念——积分曲线通解特解（）（）第48讲微分方程模型与基本概念——积分曲线例1（）注1：注2：第48讲微分方程模型与基本概念——积分曲线线素线素场第48讲微分方程模型与基本概念——解的近似几何描述向量场.第48讲微分方程模型与基本概念——解的近似几何描述阅读详情：
范文九：第一章积分方程的来源及基本概念第一篇
积分方程第一章 方程的导出和基本概念§1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。例1：弹性弦负荷问题一根轻且软的弹性弦,长为l,两端固定,如图所示,静止时与x轴重合,弦内张力为T0.今在其上加以强度为?(x)的负荷.设在任一点M(横坐标为x)弦的位移y(x)已知.试确定?(x),且设T0???(x).解：在任一点x??处取微小的一段弦d?,则作用于其上的重力为?(?)d?,记之为P0,则这一重力P0必引起弦的形变,记?处位移为S,则：T0sin?1?T0sin?2?P0,因为T0???(x),所以?1,?2??1SS?sin?1?tan?1?,sin?2?. ?l??SS?P0, 得 所以T0??T0??l??P(l??)S??. T0?l记P0引起的x处位移为y*(x),则0?x??时, y?S由?得x?P(l??)y(x)?x???x; ?T0?l*Sy?S当??x?l? , l?xl??P(l?x)???; ? y(x)?T0?l?l???x,0?x???Tl?0记：G(x,?)???l?x??,??x?l.??T0l则 y?(x)?G(x,?)P0,y?(x)?G(x,?)?(?)d?，对?从0到l求积分,?y(x)??G(x,?)?(?)d?. 0l这就是负荷?(x)满足的方程,是一个积分方程.例2 商场库存配送问题.商场销售某商品时,必须保持一定的库存总量A,商场进货进入该商品后所进货物在时刻t尚未售出概率为k(t).问商场应以什么样的速度?(t)进货以保持稳定的库存量A.解 开始营业时,库存为A,随后以速度?(t)进货,考虑时刻t时的库存在任一小区间??,??d?]?[0,t],d?时刻内进货为?(?)d?.到时刻t为止,这些货还剩k(t??)?(?)d?.所以时刻t时,商品还剩：Ak(t)??k(t??)?(?)d?.
0t故A?Ak(t)??k(t??)?(?)d?. 0t例3 Abel问题(等时线问题)一质点在重力作用下,在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑,定此曲线的形状,以使此点从任一高度h开始下滑到达x轴所用的时间为已知值f(h).图1.2解 设此点落到任一高度y，12则mv?mg(h?y). 2?v?记?为过y点的曲线的切线与x轴夹角.dy???sin?.dtdy. ?dt?1记?(y)?. sin??(y)?dt?dy.从0?h积分??h?(y)0?f(h).显然,定出曲线上任一点切线与x轴的夹角即相当于定出曲线.上式可看成求曲线方程的积分方程.例4 人口问题.设初始时人口总数为n0.f(t)为生存函数,表示t?0时出生的人到时刻t时的生存率,如图1.3所示.由于小孩出生,人口增加,设小孩出生率为?(t).此出生率与当时总人口数n(t)成正比,即?(t)?k?n(t).取[0,t]任一微元区间[?,d???].则在此时段出生小孩为k?n(?)?d?.到时刻t时,还存在的为f(t??)?[k?n(?)?d?].故由于出生,到t时为止增加的人口为：?t0f(t??)?k?n(?)?d?.t?0时人口n0到时刻t还存在的为f(t)?n0,得n(t)?n0f(t)?k?f(t??)?n(?)d?.0t例5 偏微分方程的边值问题在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条件包含在积分方程内，把解边值问题化为求解积分方程问题。例如，偏微分方程222?u?u?u?2?2??u?0,(x,y,z)?? 2?x?y?z及其边界条件u|???0.可以转化为等价的积分方程u?????G(P,Q)u(Q)d?，?其中d?为体积微元，G(P,Q)是Green函数。§1.2.基本概念.积分方程的分类定义1.1 在积分号下出现未知函数的方程称为积分方程.（或者含有未知函数的积分的等式，称为积分方程）通常,含未知函数的积分方程一般形式为：a(x)?(x)???K(x,t)F(?(t))dt?f(x),abx?[a,b]，
(1.1)K(x其中f(x),a(x),为t已知函数,?(x)为未知函数,a,b为积分上、下限,f(x)称为自由项,K(x,t)称为积分核,?为参数,F为?的已知函数.若F为线性的,称(1.1)为线性积分方程,否则称为非线性方程.本课程主要研究线性方程,其一般形式为：a(x)?(x)???K(x,t)?(t)dt?f(x), abx?[a,b],
(1.2)按方程形式分,可分为第一类和第二类.如未知函数?(x)仅出现在积分号内,称为第一类方程,例如??K(x,t)?(t)dt?f(x)?0 ； ab否则称为第二类积分方程，例如?(x)???K(x,t)?(t)dt?f(x). ab如积分上、下限均为常数,称为Fredholm方程,否则称之为Volterra方程，例如，当式（1.1）中的f(x)?0时,称为齐次方程.§1.3 常微分方程转化成积分方程通常,常微分方程的初值问题可以转化为Volterra方程,边值问题可以转化成为Fredholm方程.例 一阶常微分方程 ?dy(x)?f(x,y),?dx?
??y(0)?c0.对(1.3.1)两边积分,得y(x)?c0??f(s,y(s))ds. 0x若f关于y为线性,则为线性Volterra方程,否则为非线性Volterra方程.类似地,n阶常微分方程 (n)(n?1)???y?f(x,y,y,???,y),?(n?1)??y(x0)?c0,y?(x0)?c1,???,y(x0)?cn?1.可化为等价的Volterra方程. 下面我们具体来将n阶线性常微分方程化为Volterra方程. ??????an(x)y?F(x),?y?a1(x)y?(n?1)???y(0)?c0,y(0)?c1,???,y(0)?cn?1.
(1.3.2) 首先证明公式： (n)(n?1)?xx0dtn?1?tn?1x0dtn?2????dt1?f(t)dt x0x0t2t1x1n?1?(x?t)f(t)dt. ?n?1!x0用归纳法,当n?1时，显然成立；设n?k时，成立；则n?k?1时,?xx0dtk?dtk?1????dt1?f(t)dtx0x0x0tkt2t1tk1k?1??dtk(t?t)f(t)dt. k?x0(k?1)!x0x积分区域如图所示,交换积分顺序,得 右边xx1k?1?dt?(tk?t)f(t)dtk ?(k?1)!x0t1x??(x?t)kf(t)dt. k!x0证毕.利用分部积分法?xx0dt1?f(t)dtx0t1??(?x?t1)?(?f(t)dt)dt1x0x0xt1?[(?x?t1)?f(t)dt]x0xx0t1t1?xt1?x0??(?x?t1)f(t1)dt1??(x?t1)f(t1)dt1x0xx??(x?t)f(t)dt，x0利用分部积分法，可得定理 1 设f(x),g(x)?Cn[a,b], 且f(i)(a)?0,g(i)(b)?0,i?1,2,?,n?1, 则有?baf(n)(x)g(x)dxn?(?1)?baf(x)g(x)dx，(n)特别地n(n)ng(x)?(b?x),g(x)?(?1)n!,?babf(n)(x)g(x)dx?n!?f(x)dx，ab?a1bn(n)f(x)dx??(b?x)f(x)dx.n!a定理2 设f(x)?C[a,b],则有?xadx2?f(x1)dx1axax2??(x?x2)f(x2)dx2,?xadx3?dx2?f(x1)dx1aax3x21x2??(x?x3)f(x3)dx3, 2!a???xadxn?dxn?1??f(x1)dx1aaxnx2x1n?1?(x?x)f(xn)dxn. n?(n?1)!a事实上，令 F(xn)??dxn?1??f(x1)dx1，aaF(n?1)xnx2(xn)?f(xn)，x2利用定理1 ，得?xadxn?dxn?1??f(x1)dx1aaxaxn??F(xn)dxnx1n?1(n?1)?(x?xn)F(xn)dxn?(n?1)!ax1n?1?(x?x)f(xn)dxn 。 n?(n?1)!a或直接利用泰勒公式的积分余项表示公式即得.利用上述公式,我们来具体将两个常微分方程转化成积分方程. 例1.3.1?y???a1(x)y??a2(x)y?F(x)??y(0)?c0,y?(0)?c1.解：设y????(x)?y????(t)dt?c1 ,x再积分之得，y(x)??dt1??(t)dt?c1x?c0??(x?t)?(t)dt?c1x?c0.xt10x代回方程容易得到等价的Volterra方程.?(x)??K(x,t)?(t)dt?f(x),x其中K(x,t)??[a1(x)?a2x(x?t)]， f(x)?F(x)?c1a1(x)?c1xa2(x)?c0a2(x).?y????2xy?0,?例1.3.2 ? 1y(0)?,y?(0)?y??(0)?1.?2?解：记y?????(x).?y???(t)dt?1, y???(x?t)?(t)dt?x?1,21xx12y??(x?t)?(t)dt??x?.2022''x0x??(x)??x(x?t)?(t)dt?x?2x?x.x232常微分方程的边值问题可以转化成Fredholm方程.?y???f(x,y),例1.3.3 ??y(0)?y0,y?(0)?y1.解：对方程两端从0到x积分两次得到y(x)?c1x?c2??d??f(t,y(t))dt?c1x?c2??(x?t)f(t,y(t))dt00xx?其中c1,c2是任意常数，它们可由初始条件或其它条件确定，现在由初始条件，可得c2?y0,c1?y1。故得积分方程y(x)?y0?y1x??(x?t)f(t,y(t))dt.x?y???y?0,例1.3.4 ??y(0)?y(1)?0.解：令
y????(x), ?y????(t)dt?c1,0xxt1y??dt1??(t)dt?c1x?c2??(x?t)?(t)dt?c1x?c2,0xy(0)?0?c2?0，y(1)?0??(1?t)?(t)dt?c1?0,所以c1???(1?t)?(t)dt001x11?y??(x?t)?(t)dt??x(1?t)?(t)dt=-?t(1?x)?(t)dt??x(1?t)?(t)dt,xx1令?t(1?x),0?t?xG(x,t)???x(1?t),x?t?1??(x)??G(x,t)?(t)dt.01例1.3.5 弦受迫振动方程?y????y?f(x),??y(0)?y(l)?0.解 记?(x)?y??,
?y????(t)dt?c1,y??dt1??(t)dt?c1x?c2,0xt1xx所以y??(x?t)?(t)dt?c1x?c2.由y(0)?0?c2?0,y(l)?0??(l?t)?(t)dt??c1?l,0l1l所以c1???(l?t)?(t)dt,得l0x1ly(x)??(x?t)?(t)dt??x(l?t)?(t)dt,0l0所以?(x)???[?(x?t)?(t)dtx1l?x(l?t)?(t)dt?f(x). ?l0习题11.验证：?(x)?1?x是方程?xex?t?(t)dt?x之解.xx?t0x?12.验证：方程?(x)??t?(t)dt除零解外,具有?(x)?cx解. 3.化下列方程为积分方程.?y???y?cosx①?
?y(0)?0,y?(0)?1.?y???(1?x2)y?cosx②? ?y(0)?0,y?(0)?2?y???4y?x?③?
?y(0)?0,y()?1?2??y????xy???(x?x)y?e ④??y(0)?y?(0)?1,y??(0)?02x?xx0dt2?dt1?f(t)dtx0x0t2t1??dt2?F(t1)dt1x0x0xt2??(x?t2)F(t2)dt2x0xx12??[?(x?t2)]?F(t2)dt2 x021x2??(x?t2)F?(t2)dt2 2x01x2??(x?t2)f(t2)dt2 2x0其中F(t1)??f(t)dt.x0t1阅读详情：
范文十：微积分基本概念习题一、基本概念二、 x2?7x?6(x?1)(x?6)(x?6)5解：lim2?lim??lim??? x?1x?7x?8x?1x?1(x?1)(x?8)(x?8)9?1?x?解：limx?02?1x?limx?0x(x?2)?lim(x?2)?2 x?0x解：limsinxcosx?lim?1 x?0ln(x?1)x?01x?1y?sinx1?cosx解： (sinx)'(1?cosx)?sinx(1?cosx)'cosx(1?cosx)?sinx(?sinx)cosx?11y'????(1?cosx)2(1?cosx)2(1?cosx)21?cosxx2?y2?xy?1求Y’
解：2x?2y.y??(y?xy?)?0?2x?2y.y??y?xy??0?(x?2y)y??2x?y?y??三、1．(x2x?y x?2y???3?1)dx?x2?ln|x|??2?x?c x2x2xxx2．?t
x?1?t2?x?2t1??dx(?2x1)?dt?2 tdtX由2?5?52t2?122tdt
X由1?2?1?t?21t2??222 ?2tdt?2?1(t?1)dt?2(t3?t)|1?2?(?23?2)?(?13?1)??2(?2??1)?t33333?3?1x1x． ?
解：dxdx?d(1?x)?(1?x)?ln(1?x2)?C 2222???01?x01?x01?x201?x24． 1?1e1?lnxxe??? dx
解：??(1?lnx)d(1?lnx)?(1?lnx)2|1??(1?lne)?(l?ln1)?(1?1)?1?????12222x?12?1?2x25． ?|1?2x|dx
解：|1?2x|??
102x?1?x?2?2 2|1?2x|dx??(1?2x)dx??(2x?1)dx?(x?x)|?(x2?x)|2?(?)?0?(2?2)?(?)???4?2???四、生产某产口的固定成本为300万元，每生产一个产品成本增加5万元，产品价格P=10-0.01Q，求①成本、收益、利润②当Q为何值时，利润最大？并求最大利润。解：C(Q)?C0?C1(Q)?300?5QR(Q)?PQ?(10?0.01Q)Q?10Q?0.01Q2L(Q)?R(Q)?(Q)?10Q?0.01Q2?(300?5Q)?5Q?0.01Q2?300L?(Q)?5?0.02QL?(Q)?0?5?0.02Q?0?Q?250令L??(Q)??0.02L??(250)??0.02?0∴当Q=250 时利润最大
L(250)?5?250?0.01?（万元）练习题：x2?7x?6(x?1)(x?6)(x?6)51． lim2?lim??lim??? x?1x?7x?8x?1x?1(x?1)(x?8)(x?8)92． xy?y3?2求y? 解：(y?xy?)?3y?y??0?xy??3y?y???y?y?(x?3y)??y?y???222y 2x?3y3．6222?dx?t?x?2?t?x?t?2?dx?(t?2)dt?2tdtX由3?6时?1?T由1?2时?2） ?12t2?2t?2 2tdt?2?(t2?2)dt?2(t3?2t)|1?2?(.23?22)?(.13?21)??2(?4??2)??x?13?1?2x24． ?|1?2x|dx
解：|1?2x|?? 0?2x?1x?12?120|1?2x|dx??(1?2x)dx??(2x?1)dx?(x?x)|?(x2?x)|31???0?(32?3)?(2?)???6???? 阅读详情：}