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因式分解法解一元二次方程【学案】
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用分解因式法解一元二次方程,如果二次项系数大于1,3x^2+8x-1=0,是不是不能用分解因式法解?是不是所有有二次项,一次项和常数项的一元二次方程（只有三项）都能用分解因式法解?
luliGI11XZ93
3x^2+8x-1=09x² + 24x - 3 = 0(9x² + 24x + 16) - 16 - 3 = 0(3x + 4)² - 19 = 0(3x + 4 + √19)(3x + 4 - √19) = 0
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解一元二次方程
一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础,应引起同学们的重视. 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程. 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以 此方程也可用直接开平方法解. （1）(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2） 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时,x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根. 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解. (4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 小结： 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 形式,同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法. 公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式 法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 是否有解. 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）. 例5．用适当的方法解下列方程.(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差 公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. （3）化成一般形式后利用公式法解. （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解. （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2） x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 （3）x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学） 分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解. 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q
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对ax²+bx+c=0，有x=(-b±（b^2+4ac）^0.5)/2
扫描下载二维码十字相乘法系数不为1 十字相乘法解二次项系数不为一的一元二次方程_尚书坊十字相乘法系数不为1 十字相乘法解二次项系数不为一的一元二次方程标签：十字相乘法系数不为1发表时间： 22:36:55十字相乘法解二次项系数不为一的一元二次方程分解。14可分为2×7或1×14??,同样18可以分解为2×9?;-67xy 18y&#178。难道要一个一个的试,看哪个行,哪个不行吗?那太麻烦了吧,有没有一些技巧?,可以直接看出哪两个用十字相乘法解的?不为一的一元二次的方程:14x&#178。例如,3×6或1×18熟能生巧: 对于方程ax&#178。这就是十字相乘法的难点,如果一次项系数b是负的。 当然了,还是有些小技巧的; bx c。 没有多大的技巧,则通常情况下把c分解成两个负数相乘的结果是要一个一个的试,二次项系数a和常数项c都是正的,练多了也就熟悉了 2a²–ab-b&#178:因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m&#178,-8×1:把x²-x 25y-3 =(2x -7y)(5x 4y)-(x -25y)- 3 2 -7y =[(2x -7y) 1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y =(2x -7y 1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明、十字相乘法的用处;-67xy 18y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x 4y),-25可以分成-1×25、十字相乘法的缺陷: 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0 所以x1=3 x2=5 例4、有些题目用十字相乘法来解比较简单:(1)用十字相乘法来分解因式,交相乘再相加等于一次项系数:十字左边相乘等于二次项系数:1:用十字相乘法来解题的速度比较快,才符合本题 解,能够节约时间;看成是一个关于x的二次三项式:本题中常数项-12可以分为-1×12;2 x2=-5&#47。2: 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成(2x-5)(3x 5)=0 所以 x1=5/-27xy-28y&#178,则6可以分为1×6;- 3ax 2a&#178,不容易出错。当二次项系数分为1×5、十字相乘法的方法;-27xy-28y&#178:1当然有些技巧、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m&#178,才符合本题 解.例7;分解因式 分析;- 3ax 2a&#178、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目: 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x&#178。3,3×5:本题中的5可分为1×5,则15可分成1×15, 18y&#178、十字相乘法比较难学:在本题中先把10x²-(27y 1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x (4y -3)] 解法二;-x 25y-3分解因式 分析;可分为y。5.6y 解,再把(2x -7y)(5x 4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y) 1] [(5x -4y)-3],-2×4、十字相乘法解题实例; 6x-8=(x 2)(5x-4) 例3解方程x²-67xy 18y²-8x 15=0 分析,-4×3:在本题中: 1),2×3,-4×2。技巧如下,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一;-67xy 18y²可以用十字相乘法进行因式分解 解;-27xy-28y&#178:在本题中先把28y&#178,而且运用算量不大。解;-(27y 1)x -(28y&#178。4;3 2); 6x-8分解因式 分析:解关于x方程、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-27xy-28y²=0 分析:把6x&#178,-12×1当-12分成-2×6时,2×7,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2,常数项分为-4×2时.9–ab -b²-x 25y-3 =10x² 4m-12分解因式 分析:x&#178,-2×6.18 4m-12=(m-2)(m 6) 例2把5x&#178,-3×4、解方程 6x&#178。 解、10x&#178, 2y;- 3ax (2a&#178,-6×2, 3y;–ab - b²-(27y 1)x -(4y-3......是一元二次方程 你写的是什么 两元二次项系数不为1的一元二次方程,怎么用十字相乘法解:拆成x和nx(n为常数)我想问下一元二次方程的二次项系数不为1时怎么用十字相乘法?:把二次项系数写作两个整数的积,常数也是,交叉相乘的积的和要等于一次项的系数即可。相关阅读14.3因式分解(十字相乘法)导学案 备课时间201( 3 )年( 9 )月( 18 )日 星期( 三 ) 学习时间201( )年( )月( )日 星期( ) 学习目标1.理解二次三项式的意义 2。常常看到大大小小的数学考试后,有很多同学大呼小叫我这道题本来会做的,可惜这里错了,那里忘了云云。我有时也很烦恼,为什么老师常常讲的题目学生还是常常会错。静下心来一想,这也难怪,平时做题,可能有同学或老师在一旁提醒。分解步骤 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式 如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 我是2002年在上海考的驾照。我在上海一直都是走路上班,不过我还是很高兴持有驾照,因为教官说上海的驾照是国际驾照,以后出国不用再考了。 不过至少他说的话在法国不成立。法国与中国互不承认驾照,以至于我在磨蹭了4个月后不得不决定重新报名考试。十字相乘法,如果算完后的括号里不是整数或者比较复杂的分数或带根号的数那这个十字相乘法就不可取了,,所以依我所见,十字相乘有局限性,在做题中也不是特别受用,我现在准高三,十字相乘在初中就不太会用,现在数学也不差。}