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1.75亿学生的选择
小学的应用题题目类型有哪些?
曾经霸气1aU
应用 （一）整数和小数的应用 1 简单应用题
（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系,或用一步运算解答的应用题,通常叫做简单应用题.
（2） 解题步骤：
a 审题理解题意：了解应用题的内容,知道应用题的条件和问题.读题时,不丢字不添字边读边思考,弄明白题中每句话的意思.也可以复述条件和问题,帮助理解题意.
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作.从题目中告诉什么,要求什么着手,逐步根据所给的条件和问题,联系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单位名称.
C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确,是否符合题意.如果发现错误,马上改正. 2 复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题.
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题.
求比两个数的和多（少）几个数的应用题.
比较两数差与倍数关系的应用题.
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题.
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数,求两个数的和（或差）.
已知两数之和与其中一个数,求两个数相差多少（或倍数关系）.
（4）解答连乘连除应用题.
（5）解答三步计算的应用题.
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题,他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同,只是在已知数或未知数中间含有小数.d答案：根据计算的结果,先口答,逐步过渡到笔答.
( 3 ) 解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少,乙数是多少,求甲乙两数的和是多少.
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多少.
解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分,求剩下的部分.
-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少,求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少.
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少,乙数比甲数少多少,求乙数是多少.
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数,求总数.
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少,另一个数是它的几倍,求另一个数是多少.
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份,求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的,求每一份是多少.
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少,求可以分成几份.
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少,求较大数是较小数的几倍.
d已知一个数的几倍是多少,求这个数的应用题.
（7）常见的数量关系：
总价= 单价×数量
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
3典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题.
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展.
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数.
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少.数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数.
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数,求总平均数是多少.
数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数.
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数.
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数
最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数.
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地,又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地.求这辆车的平均速度.
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式.此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”,则汽车行驶的总路程为“ 2 ”,从甲地到乙地的速度为 100 ,所用的时间为
,汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ,所用的时间是
,汽车共行的时间为
, 汽车的平均速度为 2 ÷
=75 （千米）2） 归一问题：已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题.
根据求“单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题,两次归一问题.
根据球痴单一量之后,解题采用乘法还是除法,归一问题可以分为正归一问题,反归一问题.
一次归一问题,用一步运算就能求出“单一量”的归一问题.又称“单归一.”
两次归一问题,用两步运算就能求出“单一量”的归一问题.又称“双归一.”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计算结果的归一问题.
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计算结果的归一问题.
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量）,然后以它为标准,根据题目的要求算出结果.数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例一个织布工人,在七月份织布 4774 米 , 照这样计算,织布 6930 米 ,需要多少天?
分析：必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量. 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量（或单位数量的个数）,通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）.
特点：两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通.
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量
单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量.
例 修一条水渠,原计划每天修 800 米 , 6 天修完.实际 4 天修完,每天修了多少米?
分析：因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度.所以也把这类应用题叫做“归总问题”.不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量. 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4） 和差问题：已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题.
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和）,然后再求另一个数.
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数
大数－差=小数
（和－差）÷2=小数
和－小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少 12 人,求原来甲班和乙班各有多少人?
分析：从乙班调 46 人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成 2 个乙班,即 9 4 － 12 ,由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人）,乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人）,甲班为 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题.
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数.求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少.根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系,再去求另一个数（或几个数）的数量.
解题规律：和÷倍数和=标准数
标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆,大货车比小货车的 5 倍多 7 辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆,这 7 辆也在总数 115 辆内,为了使总数与（ 5+1 ）倍对应,总车辆数应（ 115-7 ）辆 .
列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）, 18 × 5+7=97 （辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题.
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数
标准数×倍数=另一个数.
例 甲乙两根绳子,甲绳长 63 米 ,乙绳长 29 米 ,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍,甲乙两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米?
分析：两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍,实比乙绳多（ 3-1 ）倍,以乙绳的长度为标准数.列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度, 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度, 29-17=12 （米）…剪去的长度. （7）行程问题：关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题.解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答.
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间.
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前,快的在后）：追及时间=路程速度差.同时同地同向而行（速度慢的在后,快的在前）：路程=速度差×时间. 例 甲在乙的后面 28 千米 ,两人同时同向而行,甲每小时行 16 千米 ,乙每小时行 9 千米 ,甲几小时追上乙?
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米,也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米,这是速度差.
已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）, 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米,也就是追击所需要的时间.列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时） （8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题.它是行程问题中比较特殊的一种类型,它也是一种和差问题.它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用.
船速：船在静水中航行的速度.
水速：水流动的速度.
顺水速度：船顺流航行的速度.
逆水速度：船逆流航行的速度.
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和,逆流速度是船速与水速的差,所以流水问题当作和差问题解答. 解题时要以水流为线索.
解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行 28 千米 ,到乙地后,又逆水 航行,回到甲地.逆水比顺水多行 2 小时,已知水速每小时 4 千米.求甲乙两地相距多少千米?
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间.已知顺水速度和水流 速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用 2 小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路程.列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）.
（9） 还原问题：已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题.
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系.
解题规律：从最后结果 出发,采用与原题中相反的运算（逆运算）方法,逐步推导出原数.
根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数.
解答还原问题时注意观察运算的顺序.若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号.
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人,如果四班调 3 人到三班,三班调 6 人到二班,二班调 6 人到一班,一班调 2 人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人?
分析：当四个班人数相等时,应为 168 ÷ 4 ,以四班为例,它调给三班 3 人,又从一班调入 2 人,所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数.四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）.
（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容.凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题.
解题关键：解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算.
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根,每相邻的两根的间距是 50 米 .后来全部改装,只埋了201 根.求改装后每相邻两根的间距.
分析：本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一.列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的. 他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足（或两次都有余）,或两次都不足）,已知所余和不足的数量,求物品适量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题.
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额）,用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数.
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余,第二次不足,总差额=多余+ 不足
第一次正好,第二次多余或不足 ,总差额=多余或不足 第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余
第一次不足,第二次也不足, 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组 10 人,则多 25 支,如果小组有 12 人,色笔多余 5 支.求每人 分得几支?共有多少支色铅笔?
分析：每个同学分到的色笔相等.这个活动小组有 12 人,比 10 人多 2 人,而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 , 2 个人多出 20 支,一个人分得 10 支.列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）.
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”.
解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点.
例 父亲 48 岁,儿子 21 岁.问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）.由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍,可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍.这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍.列式为： 21-（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数.求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题.通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数.
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2 如果假设全是兔子,可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头, 170 条腿.问鸡兔各有多少只?
兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
鸡的只数 50-35=15 （只）
（二）分数和百分数的应用
分数加减法应用题：
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数.
2分数乘法应用题：
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题.
特征：已知单位“1”量和分率,求与分率所对应的实际数量.
解题关键：准确判断单位“1”的量.找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式.
3 分数除法应用题：
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少.
特征：已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几.“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量.求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系.
解题关键：从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数.
甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙.
甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）.关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 . 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数.
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量.
解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 5
工程问题：
是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系.它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题.
解题关键：把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式.
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家.
缴纳的税款叫应纳税款.
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率.
存入银行的钱叫做本金.
取款时银行多支付的钱叫做利息.
利息与本金的比值叫做利率.
利息=本金×利率×时间
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3典型应用题
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（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
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数学探索规律题
在新教材中出现了一类题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。为了帮助教师和学生在教学中能更好地解决此类问题，本人对此类问题作了一些探讨，和老师同学们共同学习。一、“探索规律题”的分类在现行的新教材中，“探索规律题”一般可以分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形型；第四类是数字与图形结合型；第五类是杂题型。而在教材中所出现的以前几种为主，下面主要对前几种类型进行解法探讨。二、“探索规律题”的解法探讨第一类：文字型题例：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出只球，将每只球各变成只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：操作次数…取出球数…盒中剩球数…放回的球数…盒中增加球数…总球数…在上表中，若能把、、、这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是为、为。因此对所要求的的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：、、、、……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A、A、A、A、A、A、A、A、A、A。则A与其它9个人握9次手；A则与剩下的8个人握8次手；A则与剩下的7个人握7次手；……A与A握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。第二类：数字型题例：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的个数。你能说出第个数、第个数、第个数吗？①2，-2，2，-2，2，-2，……②-1，3，-5，7，-9，11，……③，，-，，-……分析：①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1），故，接下来的三个数为，-，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。例：研究下列算式，你会发现什么规律？××××请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁这个公式是否对全体整数适用？分析：在第一个式子中去寻找“”；在第二个式子中去寻找“”；……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、&……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）。因此，找出的规律用公式表达为：N（N+2）+1=N+2N+1=（N+1）。例5：观察下列各式：=9=（1+2）（）（）……=？分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：=（1+2+3+……+N）。因此，=（1+2+3+4+……+99+100）。（用不完全归纳法来证明第式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）第三类：几何图形型　　例：用火柴棒按图中的方式搭图：　　(1)填写下表：图形编号①②③④⑤⑥火柴棒根数　　(2)第个图形需要多少根火柴？分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。显然，第一个图形中有根火柴棒；第二个图形中有根火柴棒；第三个图形中有根火柴棒；第四个图形中有根火柴棒；……而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有条线段，若再标上一个点时，此时图中共有条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有个三角形（如图）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有个三角形（如图）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？说明：（）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后个复合、再个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。（2）道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：自然数列……偶数数列……奇数数列……自然数的平方……前个自然数的和（）（）（）…………（）前个奇数的和（）（）（）…………（）（）前个偶数的和（）（）（）…………（）　　为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：1）观察下列各式，你会发现什么规律？××……×将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。2）观察下列各式：××××……（1）根据以上规律，猜测计算（2）当时，你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出根细面条？）如图，正方形的棱长都是，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第层，请填表：小正方体排列层数…最低层小正方体的个数…数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。一、有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。例如、观察下列数表：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为&.（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2n-1。还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。二、找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖&&&&&&块，第个图形中需要黑色瓷砖&&&&&&块（用含的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））这一题的关键是求第个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m=（用含&n&的代数式表示）.”三、“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。”解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号：&1，2，3，&4，&5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：①&13＝12；&②&13＋23＝32；&③&13＋23＋33＝62；&④&13＋23＋33＋43＝102&；……&……由此规律知，第⑤个等式是．”这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。四、要善于寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球&&&&&&&&个。”这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。五、要抓住题目中隐藏的不变量有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：。”在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。六、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是。”这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。所以，原数列第10项是34x9。“条条道路通罗马”。解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结。有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径。
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