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1.75亿学生的选择
我们老师说除了3,所有质数都是3K+1或者3K-1,可是当K等于7,不就是20和22了,变合数了吗?
除了3,所有质数都是可以写成3K+1或者3K-1的形式.并不是说3K+1或者3K-1一定就是质数.比如小孩是人,但是人就是小孩吗?还有成人,老人
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1.75亿学生的选择
求出所有自然数n使n,n+8正解如下：
求出所有的自然数n，使三个整数n，n+8，n+16都为质数.解
现将所有自然数n按模为3的剩余类分成三类：n=3k，3k+1，3k+2.当n=3k时，只有k=1时，三个整数（3，11，19）都是质数；当n=3k+1时，n+8=3k+1+8=3（k+3）不是质数；当n=3k+2时，n+16=3k+2+16=3（k+6）不是质数.所以满足题设的自然数只有一个3.那么请问为什么一定要以3为模来分类，不是其他数呢？另问：求证最多存在4个正整数，使得其中任意三个数的和是质数
因为8=3*2+2,16=3*5+1，以3为模来分类，可使n,n+8,n+16属于不同的类，易于得到结论。下面证明最多存在4个正整数，使得其中任意三个数的和是质数。1）存在四个正整数1,3,7,9，其中任意三个数的和11,13,17,19是质数.2）任意5个整数中都存在三个数的和是3的倍数。事实上，把这5个整数按被3 除的余数分类：3k,3k+1,3k+2....
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第9讲 数论之质数合数 教师版
2010年暑假第9讲教师版8本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。1．质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数也叫做素数和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个除了2其余的质数都是奇数除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或要大家注意.2．质因数与分解质因数质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如30235???、3、5叫做30的质因数1222323?????，2、3都叫做12的质因知识点拨教学目标第九讲数论之质数合数2010年暑假第9讲教师版8数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式为这样可以帮助我们分析数字的特征.3．唯一分解定理任何一个大于1的自然数312123knpppp?????2kaaa???且这种表示是唯一的n的质因子分解式.例如三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析∵2102357，∴可知这三个数是5、6和7.4.部分特殊数的分解0171113???????????????????????????.5.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q均为整数，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么例如149很接近1441212??，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.【系列一质数合数的基本概念的应用】【例1】下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗美少年华朋会友，幼长相亲同切磋杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多九天九霄志凌云，九七共庆手相握聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】按要求编号排序，并画出质数号码美少年华朋会友，幼长相亲同切磋1121314例题精讲2010年暑假第9讲教师版8杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多2728九天九霄志凌云，九七共庆手相握4142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．5556将质数对应的汉字依次写出就是少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山．【【巩巩固固】】2008年南京市青少年科学小博士思维训练炎黄骄子菲尔兹奖被誉为数学界的诺贝尔奖，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数素数，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理对任何正整数k，存在无穷多组含有素数的数组．例如，3k?时，3，5，7是间隔为2的3个质数5，11，17是间隔为6的3个质数而，，是间隔为12的3个质数由小到大排列，只写一组3个质数即可．【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打√5√√√【例2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74【【巩巩固固】】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少【解析】最小的合数是4，其平方为16．我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是231166???．【【巩巩固固】】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易2010年暑假第9讲教师版8记住，因为它的形式为其中，而且是质数a和b是两个数字．具有这种形式的数共有多少个【解析】若两位数为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有，，，共8个数．【例3】祖冲之杯小学数学邀请赛九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人原有多少辆大巴【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人????个．【【巩巩固固】】全国小学数学奥林匹克从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少【解析】由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有相邻两数之和是质数，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到最大的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是．数字排列如右图．【例4】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数请列举和最小的一组【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。【【巩巩固固】】我爱数学少年数学夏令营用0，1，2，，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【解析】除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．年暑假第9讲教师版8【例5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。【【巩巩固固】】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数质数的有2，3，13，23，31.【例6】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、么【解析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数，因此这7个质数中必有一个是是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以2g?个数从大到小依次是17、13、11、7、5、d?.【【巩巩固固】】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值【【解解析析】】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中?????一个，三个数的和最小是55515???，最大是???，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。【【巩巩固固】】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A（）（）（）（）（）（）（）（）【【解解析析】】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A529，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。【例7】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少【解析】最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又即8个7与2个2的和为60，故其中最大的质数是7．2010年暑假第9讲教师版8【【巩巩固固】】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少【解析】若要求最大的质数尽可能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩余的数为32，不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2，1个3，那么第10个数为31【【巩巩固固】】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小【解析】枚举法有些学生会问，老师什么时候用枚举法类比较少能用排列组合等方法271117共有10种不同的拆法，其中3529435最小【系列二分解质因数】【例8】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少【解析】111555分解质因数7??????3337???567?333335??，所以和为668且要注意一些技巧，例如本题中的111337??。【【巩巩固固】】把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。【解析】34025??，244211??，24553??，26373??，65513??，782313???，299311??，105357???，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看11,13，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后看7，第一组应有40，99，65，63．【例9】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少【解析】将360分解质因数得??????，它是6个质因数的乘积有该合数必至少为633??个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.【【巩巩固固】】将1～9九个自然数分成三组，每组三个数8，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少2010年暑假第9讲教师版8【解析】分解质因数45335???，4822223?????，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8舍去，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是37818???.【例10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少【解析】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac09．acabacb209，而2091119．当a11时，cb19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则cb217;当a19时，cb11，则cb29，不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为．【【巩巩固固】】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米【解析】7，为三个连续自然数的乘积，而343434最接近3的约数中接近或等于34的有35、34、33，有．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为2长宽宽高高长36934平方厘米．方法二7，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为333435．长方体的表面积为平方厘米．【【巩巩固固】】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米2010年暑假第9讲教师版8【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．，37是质数，不能再分解，所以2333对应的两个数应越接近越好．有233369时，即时，这三个自然数最接近．它们的和为693752厘米．【例11】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大【解析】个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数中为167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。【例12】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数【【解解析析】】将6384分解质因数，???????，则其中必有一个数是19或19的倍数经试算，1951427????，??????，恰好???，所以这三个数即为14，19，24是从最大的那个质因数去分析9不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．【【巩巩固固】】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少【【解解析析】】，有ab为4875的约数，且这两个数的和为64．发现3这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为394。【【巩巩固固】】2004720??的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少【【解解析析】】首先分解质因数，57167??????????，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165351???，166283??，?????，1691313??，所以??，??，??都没有4个2，不满足题意67不可行341672??，335567??，??????，????????????，包括了2004720??中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为年暑假第9讲教师版8【例13】3个质数的倒数之和是，则这3个质数之和为多少．【【解解析析】】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为，求和得到的分数为果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积6611986，分母???，所以一定是2a?，3b?，331c?，检验满足个质数的和为???．【【巩巩固固】】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少【【解解析析】】有1402257，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．,?????????????，倒数第三小的是285。【【巩巩固固】】一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法⑴分子和分母各加一个相同的一位数⑵分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少．【【解解析析】】因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于??以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481???，但4811337??，不是质数若是后者则原来分数分子是6974487???，而487是质数．所以原来分数分子为487．【例14】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少【【解解析析】】口口口口，其中某个口为8，一一验证只有727824满足．当为时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是．当为时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是．所以原来的积为．【【巩巩固固】】某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同2010年暑假第9讲教师版08且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元【【解解析析】】这个学校最少有名师生，最多有名师生，并且师生总人数能整除133，在455～665之间的约数只有5133665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款元．【例15】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是0脱靶，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少【【解解析析】】应对应为5个小于10的自然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况7722977但是发现其中任何两组的和的差均不是环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况77．所以总的情况对应的和依次为37，1667727，l497728．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28。【【巩巩固固】】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少【【解解析析】】基本思路与上题一样，重点还是在1这个因数的使用上，所以分解因数得到225?????，五个人的年龄和为125岁。【系列三质数合数综合型题目】【例16】P是质数，10P?，14P?，210P?都是质数．求P是多少【【解解析析】】由题意知P是一个奇数，因为10331??L，14342??L，所以P是3的倍数，所以3P?【【巩巩固固】】已知P是质数，21P?也是质数，求51997P?是多少【【解解析析】】P是质数，2P必定是合数，而且大于1．又由于21P?是质数，2P大于1，21P?一定是奇质数，则2P一定是偶数．所以P必定是偶质数，即2P?．P???29?2010年暑假第9讲教师版18【例17】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．【【解解析析】】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。【【巩巩固固】】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少【【解解析析】】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为21的条件下数量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有819个，则大于21的那个数为842112，但112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为1123，仍然不是质数，则可以做微调939，即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3，5，7，11，13，19，89，最大的一个是89。【【巩巩固固】】求1成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少【【解解析析】】考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4?合数?合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4?2?n＋合数即8n?合数其中n＞1即可当该数被8整除时，该数可表示为4?2n?8，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4?2n?9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4?2n?10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4?2n?27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4?2n?4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示2010年暑假第9讲教师版28当该数被8除余5时，该数可表示为4?2n?21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4?2n?6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4?2n?15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835??经检验，35的确无论如何也不能表示成合数合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35【例18】已知P,且???，则【【解解析析】】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能，解出P199,PQ398。【【巩巩固固】】将1到9这9个数字在算式????????????1??的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数【【解解析析】】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，?????1，即有1??那么很容易发现只有3571。符合原式的填法为3515273??。【例19】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数【【解解析析】】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如617?????????有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373??，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍想想为什么3倍就不是两位数了.把九个三位数分解111373??、????、33379??、????、5553715??、????、7773721??、????、9993727??.2010年暑假第9讲教师版38把两个因数相加，只有743?77?和3718?55?的两位数字相同4和3，37和18.【【巩巩固固】】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是整除，那么它等于多少【【解解析析】】注意936中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有1372?，2636?，3924?，5218?，7812?这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同们所抄错的算式可能是1372?，1852?，1372?，1278?，2636?，2439?或5218?，1278?人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是1352?或1872?，后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是1352676??得出236??种可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题意76即为所求.【例20】如果某整数同时具备如下三条性质①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【解析】由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2p所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2p此2p3，37，61或73。再由条件③知2p所得的余数应为4，于是2p可能是13，从而这个幸运数只能是2p14。【【巩巩固固】】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些（★★）【【解解析析】】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有，，，，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11?101??l?年暑假第9讲教师版48【【巩巩固固】】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数试写出所有这样的四位数。【【解解析析】】设这2个两位质数分别是a和b，则这个四位数是100，根据条件可知1002ab?,即|2002，设2002??，则2002abk??（），化简得200k?a?2k?b，因此2002?,其中k是整数，a和b均为两位质数，设200k,2k，则两式相加得198m?，注意到a和b都是质数即也是奇数，所以是198的约数.???，由于a、b都是两位不同的质数，因为????中的偶数，所以66【例21】有人说任何7个连续整数中一定有质数．请你举一个例子，说明这句话是错的．【【解解析析】】例如连续的7个整数842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到n12，n13，n14，，n1n1这、3、4、、n1整除，它们是连续的中n表示从1一直乘到123n．【【巩巩固固】】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【【解解析析】】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【【巩巩固固】】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数找200个连续的自然数它们个个都是合数．【【解解析析】】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数LL第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m?，m?3，L，m?11是11个连续整数，故只要，3，L，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设，3，4，L，11这10个数的最小公倍数．m?2，m?3，m?4，L，m?11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数LL11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4L11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4L11，得出十个连续自然数2，，他们分别是2，3，4L11的倍数，均为合数．2010年暑假第9讲教师版58说明我们还可以写出112,113,1141111????L其中n?1?2?3?L?n这10个连续合数来．同样，m12,m13,,m1m1L是么200个连续的自然数可以是,,201201???L练习1.如果a，3741，则______.【解析】根据题意a,b中必然有一个偶质数2，，当2a?时，5b?，当2b?时不符合题意，所以257???.练习2.2003年祖冲之杯邀请赛大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在，426，中，哪些是质数．【解析】注意到，415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．练习3.第五届华杯赛口试第15题图中圆圈内依次写出了前25个质数甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中乙顺次计算相邻二质数之积
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