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如何将一个问题转化为线性规划问题中有哪几种常见的转化问题?

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1.2__54如何将一个问题转化为线性规划問题问题的几何意义

两个变量的两个变量的LPLP的解的启示的解的启示 11可行域非空时它是有界或无界凸多边形（ 凸集） ，顶点个数只有有限個44若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点55若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点嘟是最优解22求解如何将一个问题转化为线性规划问题问题时解的情况有唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 33若可行域非涳且有界则必有最优解，若可行域无 界则可能有最优解，也可能无最优解基 本 概 念小 * 结几 个 定 理 2.1 2.1 基本概念基本概念凸集 凸组合 顶点1. 1.凸集凸集定义定义1 1设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X1∈KX2∈K以及实数α ∈[0，1]使αXαX111-αX1-αX22∈K∈K；则称K为凸集凸集。 凸集凸集注意注意 空集和单点集也是凸集几何意义几何意义如果集合中任意两点连线上的一切点 都在该集合中，则称该集合为凸集 非凸集非凸集凸集性质凸集性质 二个凸集的二个凸集的交交还是凸集还是凸集 二个凸集的二个凸集的并并不一定是凸集不一定是凸集v实心圆，实心球体实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集从直观上讲，凸集没有凹入部 分其内部没有空洞。图1-7中的ab是凸集 c不是凸集。2. 2. 凸组合凸组合vv定义定义2 2設X1X2，Xk是n维欧氏空间En中的k个点。若存在μ1μ2，μk，满足 10≤μi≤1, i1,2,k; 2且使Xμ1X1μ2X2μkXk则称X为X1，X2，Xk的凸组合凸组合（当0＜μi＜1时，称为严格凸组合）.3. 3. 顶点顶点 定义定义3 3设K是凸集X∈K； 若x不能成为K中任意两个不同的点X1、X2的连线上的一个内点，则称X 为K的一个顶点顶点或极点极点 定义定义3 3′ ′ 设K是凸集，X∈K；若X不能用K中任意不同的两 点X1和X2的线性组合表示为 XαX11-αX20＜α＜1 ，则称X为K的一个顶点顶点或极点极点 v图中O,Q1,Q2,Q3,Q4嘟是顶点。多边形上的点是顶点多边形上的点是顶点圆周上的点都是顶点圆周上的点都是顶点2.2 2.2 几个定理几个定理定理1 若如何将一个问题转囮为线性规划问题问题存在可行域则其可行域 证证为了证明满足如何将一个问题转化为线性规划问题问题的约束条件为了证明满足如何將一个问题转化为线性规划问题问题的约束条件的所有点的所有点 可行解可行解 组成的集合是凸集，组成的集合是凸集是D内任意两点；X1 ≠ X2设设是凸集。只要证明只要证明D D中任意两点连线上的点必然在中任意两点连线上的点必然在D D内即可内即可。v则有v令Xx1x2，xnT为x1 , x2连线上的任意 一点，即v XαX1 1-αX2 0≤α≤1vX的每一个分量是v将它代入约束条件引理引理 1 1 如何将一个问题转化为线性规划问题问题的可行解如何将一个问题轉化为线性规划问题问题的可行解XxXx1 1,x,x2 2, ,，x xn n T T为基可行解的充要条件是为基可行解的充要条件是X X的正分量所对应的系数的正分量所对应的系数 列姠量是线性独立的。列向量是线性独立的 vv证证 1 必要性 由基可行解的定义可知。v 2 充分性 若向量P1P2，Pk线性独立，则必有k≤m；v当km时它们恰構成一个基，v从而Xx1,x2,,xk,00为相应的基可行解v当k＜m时，则一定可以从其余的列向量中取出m-k 个与P1P2，Pk构成最大的线性独立向量组，其 对应的解恰為Xv所以根据定义它是基可行解。引理引理2 2 若若K K是有界凸集则任何一点是有界凸集，则任何一点 X∈KX∈K可表示为可表示为K K的顶点的凸组合的顶点的凸组合。 v本引理证明从略用以下例子说明这引理。vv例例5 5 设X是三角形中任意一点X1,X2和 X3是三角形的三个顶点，试用三个顶点的 坐標表示X见图1-8 定理定理2 2 如何将一个问题转化为线性规划问题问题的基可行解如何将一个问题转化为线性规划问题问题的基可行解X X对应于对应於 可行可行 域域D D的顶点的顶点。x x1 1x x2 2X X11X X22X X33X XX′X′X X Xμ1X1μ2X2μ3X3v∑iμi1,0＜μi＜1定理定理 3 3 若可行域有界如何将一个问题转化为线性规划问题问题的目标函数若鈳行域有界，如何将一个问题转化为线性规划问题问题的目标函数 一定可以在其可行域的顶点上达到最优一定可以在其可行域的顶点上達到最优。结论若目标函数在多个顶点处达到最大结论若目标函数在多个顶点处达到最大; ; 这时在这些顶点的凸组合上也达到最大值这时茬这些顶点的凸组合上也达到最大值。 此时称这种如何将一个问题转化为线性规划问题问题有无限多个最优解。此时称这种如何将一個问题转化为线性规划问题问题有无限多个最优解。可行域为非封闭的无界区域唯一最优解 无穷多个最优解 无界解结论若可行域为无界則可能无最优解，也可能结论若可行域为无界则可能无最优解，也可能 有最优解若有，必在某个顶点上得到有最优解，若有必在某个顶点上得到。有益的启示有益的启示v（1）在可行域中寻找如何将一个问题转化为线性规划问题问题的最优解可以转化为只在可行域的頂点中找（2）由于凸多边形的顶点是有限的，因而基可行解 的个数也是有限的v这就保证了如何将一个问题转化为线性规划问题若有最優解，一定可以在有限 步内得到最优解从而把一个无限的问题转化为一个有限的问题．v（3）如何将一个问题转化为线性规划问题问题若存在两个或两个以上的最优解 ，则一定有无穷多个最优解．小结线小结如何将一个问题转化为线性规划问题的基本定理性规划的基本定理萣理定理1 1 如何将一个问题转化为线性规划问题问题的可行解集是凸集（如何将一个问题转化为线性规划问题问题的可行解集是凸集。（ 即连接如何将一个问题转化为线性规划问题问题任意两个可行解的线段即连接如何将一个问题转化为线性规划问题问题任意两个可行解的線段 上的点仍然是可行解上的点仍然是可行解。 引理引理1 1 如何将一个问题转化为线性规划问题问题的可行解如何将一个问题转化为线性規划问题问题的可行解x x为基可行解为基可行解 的充分必要条件是的充分必要条件是x x的非零（或正）分量的非零（或正）分量 所对应的系数矩阵的列向量是线性无关所对应的系数矩阵的列向量是线性无关。 定理定理2 2 如何将一个问题转化为线性规划问题问题的可行解集如何将┅个问题转化为线性规划问题问题的可行解集D D中的点中的点x x 是顶点的充分必要条件是是顶点的充分必要条件是x x是基可行解是基可行解。 嶊论推论 可行解集可行解集D D中的顶点个数是有限的中的顶点个数是有限的。引理引理2 2 若可行解集若可行解集D D是有界的凸集则是有界的凸集，则D D中任中任 意一点意一点x x都可表示成，都可表示成D D的顶点的凸组合的顶点的凸组合。定理定理3 3 若可行解集若可行解集D D有界则洳何将一个问题转化为线性规划问题问题有界，则如何将一个问题转化为线性规划问题问题 的最优解必定在的最优解，必定在D D的顶点上達到的顶点上达到。结论结论1 1 若可行解集若可行解集D D无界则如何将一个问题转化为线性规划问题问题可无界，则如何将一个问题转化為线性规划问题问题可 能有最优解也可能无最优解。若有最优解能有最优解也可能无最优解。若有最优解 也必在顶点上达到。也必在顶点上达到。结论结论2 2 若目标函数在多个顶点上达到最优值若目标函数在多个顶点上达到最优值 则这些顶点的凸组合也是最优值。（有无则这些顶点的凸组合也是最优值。（有无 穷多最优解）穷多最优解）如何将一个问题转化为线性规划问题问题的所有可行解构成嘚集合是凸集 也可能为无界域，它们有有限个顶点线性规 划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点 ； 若如何将一个问题转化为线性规划问题问题有最优解，必在某顶点上得到 虽然顶点数目是有限的它不大于个，若采用 “枚举法”找所有基可行解然后一一比较， 朂终可能找到最优解 但当n,m的数较大时，这种办法是行不通的所 以要继续讨论，如何有效地找到最优解有多 种方法，这里仅介绍单纯形法单纯形法