为什么书中不讲外错角和同旁外角
初中数学只考虑小于平角的几何，高中会讲
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常规教学中数学开放题的设计策略
作者：唐　麒
　　在常规教学下的数学开放题的编制目前有：弱化陈题的条件，使其结论多样化；隐去陈题的结论，使其多样化；在既定的条件或关系下，探讨多种结论；给出结论，寻找使结论成立的充分条件；比较某些对象的异同点等方法。在教学实践中该如何设计数学开放题？教学中又如何实施开放题教学呢？下面我们探讨一下常规教学下开放题的设计策略。
　　一、 要选择好恰当的切入点
　　笔者认为实施开放题教学的关键就要讲究教学的切入点。教学的切入点把握好就能事半功倍。那么怎样寻找到教学的切入点呢？当然教学的切入点的把握根源在于对教学设计的切入点的研究。笔者将以下面的案例来谈自己的思考。案例：三线八角之间的关系。三根木条如下的图示进行摆放，转动木条后启发学生研究角的关系。
　　如果转动木条让∠1=∠5可以推出什么结论？学生普遍发现：其余三对同位角相等；两对内错角相等；两对外错角相等；两对同旁内角或同旁外角互补。其次启发学生由上面的角的关系能更进一步提出什么问题？经过一定的思考后有学生提出：如果已知一对内错角相等问题又该如何？另有学生能够迅速发现：此时四对同位角相等；剩下的一对内错角相等；两对同旁内角互补；两对外错角相等；两对同旁外角互补等等。有的学生又由此受到启发后提出：如果一对同旁内角互补，问题又会如何呢？这时大部分学生都能分析下去。教师启发学生再进一步思考：从上面一对角的关系的分析后还可以提出什么问题？有学生提出，要是一对同旁内角由互补而变成相等了，问题又该如何呢？学生们又发现同位角，内错角，外错角等由相等就变成互补，或者同旁外角由互补变成相等，这时会出现什么情况？最后教师再次启发学生得出三线八角共12对角的关系的等价性。有了对三线八角共12对角之间的关系的开放研究，在教学平行线的判定和平行线的性质时进行得十分顺利。讨论平行线的判定时教师启发学生回忆小学画平行线的方法，引导学生回忆后再反思提炼成为平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果截得的同位角相等，那么这两条直线平行。接着大部分学生能探索到：如果截得的内错角相等；或截得的同旁内角互补；或外错角相等；或同旁外角互补等，那么这两条直线平行。笔者让学生分析自己的想法时学生们用三线八角共12对角的关系之间的等价性来分析问题的。教学平行线的性质时，学生得出比较多的结论，并且不用一个课时就可以完成教学任务。对于平行线这一章的教学进行非常顺利和有效的主要原因就是因为讲究知识的切入点的教学。所谓知识的切入点就是核心的知识点。在这一章的备课中笔者研究到三线八角共12对关系的等价性是这一章的核心知识，所以抓住这个核心的知识点即为教学的切入点，抓住这个核心的知识点并把它设计成一道开放题，引导学生从多角度、多方面甚至多层次地探究它，通过这样的教学学生能比较透彻地理解这一核心知识点，由此学生对这一章内容的理解和应用就比较顺利，教学效率提高。
　　二、 设计的问题入口要宽
　　开放题的设计，一定要注意入口要宽。所谓入口宽，就是起点要低，给学生讨论的问题在开始时应该设计或构思得比较简单，这样才能使学习有困难的学生能够都参与进来。笔者在初中二年级平面几何等腰三角形这一个单元备课中注意到教材的习题在等边三角形这一部分有两道常规的几何问题：第一题：已知△ABC是一个等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且AD=BE=CF。求证：△DEF是一个等边三角形。第二题：已知点B是线段CE上的一点，以BC和BE为边作等边三角形，连结CD和AE，求证：CD=AE。笔者又查阅到：《数学奥林匹克竞赛词典》中有一道前苏联八年级的数学竞赛题：在两个分离的等边三角形△ABC和△A1B1C1，连结AA1，BB1，CC1，并设A1B1C1为其中点。求证：△A2B2C2为等边三角形。紧接着笔者又查阅到由上海教育出版社出版的，由沈康身所撰写的《历史数学名题赏析》中所介绍的Echois定理，该定理为：“两个正三角形对应顶点两两连线中点是另一正三角形顶点”。
　　笔者由上面的问题得到启发，于是就思考到：可以在教材中的这两道题的基础上设计出一个开放的问题，并且让开始出现的问题要简单、容易，然后再把问题逐步展开。设计用两节课来进行教学，第一节课让学生利用几何画板在一个等边三角形中探究构造等边三角形的方法。第二节课让学生利用几何画板在上面的第二个图的两个等边三角形之间探究等边三角形。在实际教学中学生的参与面比较大，课堂探究气氛很活跃，学生的情绪相互感染，取得很好的教学效果。笔者在课后分析和反思这节课时，可以得出这节课效果好的最根本的原因就是：设计的问题入口宽，起点低，适合中下学习能力的学生的实际。
　　三、 应注意留下悬念以引发学生的问题意识
　　在开放题的教学中，培养学生逐步学会发现问题、提出问题是一个重要的目的。因此在开放题的设计中要注意设计一些悬念以引发学生的问题意识，同时给学生留下提问题的时间、空间和机会。案例：笔者在备课中发现在教材的思考题中有这样一道问题：一条小船顺流而下，但5分钟后发现有一样贵重的物品掉到河水中，小船立即调动船头去追击它。假设水流的速度为2米/秒，小船的速度是5米/秒。物品的重量可忽略不计。问可以用几分钟追上物品？
　　第一步：当问题给出后，教师鼓励学生：想知道小船是用几分钟追上那个贵重物品的吗？学生可能表示他们很想知道。教师注意观察学生的反应，经过一系列的讨论和分析之后学生将可能求解出小船需要花5分钟的时间去追击物品。第二步：教师进一步启发，当我们解出上面的问题之后同学们有什么问题和新的思考。假如学生还没有发现，可以多一点停留，启发学生检查条件和结论，学生能够发现答案和已知之间有某种关系。教师可以抓住时机问到：能描述你所感觉到的联系吗？可能有学生将回答道：问题的答案和结论都是5分钟，这是一次巧合吗？教师可以乘机鼓励学生思考：是不是巧合？我们该用什么理由去说服他人和自己呢？教师可以鼓励学生：要是改成8分钟或10分钟才发现物品掉出，那么要用多少分钟才能追上它？当学生完成上面的计算之后，教师可继续启发学生思考：还会有什么想法？可以得出什么结论？要是还不能得出结论我们又该做什么工作？第三步：教师对于学生的表现注意及时评价，为激励学生继续思考并提出问题。假如学生不能提出问题，可以引导学生回顾该问题的条件中小船是作什么方向航行的？学生观察了条件之后回答道：顺流航行。教师又进一步要学生思考，看有什么问题，能提出什么问题？经过一些时间之后可启发学生提出：小船如果不是顺流航行而是逆流航行，上面的结论是否还会成立？问题的条件如何？当作逆流航行时可以如何去研究它？启发学生从特殊的问题开始研究，可以取5或8或10或20等分钟，再逐步过度到用字母来代表任意的量。最后再来引导学生思考和总结上面的研究问题的方法。第四步：教师注意调整评价学生的表现的方式、方法。然后再一次启发学生思考：从该问题的分析中同学们有什么想法？有什么感想？这里可以给学生留下提问题的时间和空间。可能学生会感受到问题本身很有规律性。教师启发学生说出自己所感受到的规律性。可以启发学生分析这个问题与哪些量有关系？与哪些量没有关系？教师可以启发学生思考：要研究下去该采取什么方法等？第五步：教师对于学生积极探究的态度给予及时的肯定后，启发学生总结和回顾该问题。
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整理者：绝情谷&&2009年3月“三线八角”指的是什么？ -- ::数学::基础课::
“三线八角”指的是什么？
我们看右下角的图，可以归纳如下（注：表示∠1，∠2， ……时，数字1，2，……可以写在角的顶点与弧之间，也可以写在弧的外侧，右图中数学都写在弧的外侧）：
（1）∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角。
（2）∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角。
（3）∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角。
我们可以看出，同位角有4对，内错角、同旁内角分别有2对，似乎话没有说完。对了，请让我再补充以下五条：
（4）∠1和∠7，∠2和∠8都叫做外错角，它们也有2对。
（5）∠1和∠8，∠2和∠7都叫做同旁外角，它们也有2对。
（6）以上（1）―（5）中的三条直线和八个角统称“三线八角”。注意：即使AB与CD不平行，也有三线八角。
（7）如果AB平行CD，那么同位角相等；内错角相等，外错角也相等；同旁内角互补，同旁外角也互补。
（8）两条直线被第三条直线所截，只要“同位角相等”，“内错角相等”，“外错角相等”，“同旁内角互补”，“同旁外角互补”中有一个命题成立，那么这两条直线平行
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练习题及答案
平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作an，并且规定a1=0，那么：①a2=（    ）；②a3-a2=（    ）；③an-an-1=（    ）。（n≥2，用含n的代数式表示）。
题型：填空题难度：中档来源：广东省中考真题
所属题型：填空题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
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初中一年级数学试题“平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作an，并且”旨在考查同学们对
探索规律、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
相交线性质：
&1和&2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(&1和&2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
&1和&3有一个公共顶点O，并且&1的两边分别是&3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
&1与&2互补，&3与&2互补，由&同角的补角相等&，可以得出&1=&3.类似地,&2=&4.这样，
我们得到了对顶角的性质：对顶角相等。
平行线 - 定理：
1、两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
2、两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。
3、两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
判定方法的逆应用：
1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等。
2、两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补 。
3、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等。 两个角的数量关系两直线的位置关系 ：垂直于同一直线的两条直线互相平行 。平行线间的距离，处处相等 。如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 。
平行线的角度关系：
平面上，用一条直线截另外两条直线线时，会截出两个交点，构成八个角，称为三线八角。这八个角中有对顶角、同位角、同旁内角、同旁外角、内错角和外错角这几种关系。当所截的两条直线平行时，这些角有相等或互为补角（相加等于180&度）的关系。这些角度关系对解决平面几何问题十分有用。
考点名称：
探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列参数，要求我们根据这些已知的量找出规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。
探索规律题题型和解题思路:
1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
探索结论型题的一般解题思路是：
（1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
（2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
（3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
存在型问题的解题步骤是：
①假设存在；
②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。
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