华人物理学家张首晟：拓扑绝缘体材料将延续摩尔定律时效
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华人物理学家张首晟：拓扑绝缘体材料将延续摩尔定律时效
序言：未来的世界，是科技在改变生活；未来的中国，是科技在重塑增长。2017年伊始，网易科技联合“未来论坛”推出“十大顶级科学家预言未来”系列策划，独家专访了人工智能、生命科学、物理学、天文学、化学等近十大领域最顶尖的华人科学家，倾听他们对未来的预言。在这些预言的背后，他们凭借着自己的深厚学识，发出对人类未来的期盼之声。“十大顶级科学家预言未来”第九篇：专访斯坦福大学物理系、电子工程系和应用物理系终身教授，美国国家科学院院士, 中国科学院外籍院士，华裔科学家张首晟。他是谁？他是个“神通”，直接跳过高中，自学从初中进入复旦大学；他师从杨振宁，被认为获得诺奖只是时间问题；他开创了拓扑绝缘体这个全新领域，发现了“量子自旋霍尔效应”，包揽了物理界所有重量级奖项；他被聘为斯坦福大学物理教授，成为斯坦福大学最年轻的终身教授之一；他还极具商业头脑，创办了“丹华资本”。他就是华裔科学家张首晟。他的预言：1、拓扑绝缘体这个材料可能会真正走向工业化，现在还基本上在比较基础研究的阶段。2、锡烯是更革命性的突破。在科学上是更革命性的突破，但是科学最终能不能转成技术，它有很多各个不同的因素在里面，有一些商业的因素在里头，这是比较难预言的。3、人工智能的确是会彻底改变世界；不要只是把人工智能看成是取代工作，它也会创造工作；如果实现真正的人工智能的运算，一个手机将会抵得上是个或者一百个大脑。4、人工智能会彻底改变世界。
（扫码二维码查看网易科技“十大顶级科学家预言未来”系列采访全文，或点击文末链接）网易科学人为网易科技旗下深度原创栏目，稿件未经授权不得转载。策划：杨霞清、王真作者：崔玉贤内容产品：郭浩、王真与张首晟沟通过的人一定会感慨他惊人的语速，在你还没有问完问题的时候，张教授已经开始回答你的问题。而每次问到他研究的领域，都可以滔滔不绝。张教授全球首个提出“拓扑绝缘体”的理论，对于这理论，喜欢美剧《生活大爆炸》的一定不会陌生，谢耳朵代课时用一贯的傲气问到台下的同学，谁知道什么是拓扑绝缘体。没错，这一理论就是由华裔科学家张首晟教授首先提出来的。在张教授看来，“拓扑绝缘体”的提出可以让整个信息社会继续按照“摩尔定律”的规律往前推进，那么，手机形态将会彻底改变，续航问题将会被解决。谈到手机续航问题，在石墨烯有了重大突破进展的同时，张首晟教授他们发现了他的邻近兄弟——锡烯。张首晟教授认为，锡烯在科学上将是更具革命性的突破，不过，锡烯目前更多的是停留在实验室阶段。对于未来的期许，张首晟教授认为，拓扑绝缘体这个材料将会真正走向工业化，而目前人工智能已经有了很多的突破。作为丹华资本的发起人，张首晟教授对人工智能、大数据、网络技术、增强现实以及生物医疗、无人驾驶等领域进行了投资。张首晟教授认为，人工智能将会彻底改变世界。对于大家对未来人工智能以及机器人的发展可能会取代人类的恐慌，张首晟教授认为，人工智能确实会取代一部分工作，但同时还会创造一些工作。
在对科学的研究中，张首晟教授总是会提升到哲学高度，对于枯燥的科学研究，张教授是享受的，因为他在错综复杂的大自然中总结出了规律，而这些规律非常的简单，优美。张首晟教授经常说的一句话就是，大道至简，宇宙中最深奥、最普世的规律都非常的美妙。在小学生科普方面，张首晟教授用一句话总结道：你如果要教一个孩子怎么造船，你不要一开始给他很多图纸看，你一开始要给他一个大海的梦想。网易科技：我第一个问题想请您介绍一下，您现在当前正在进行研究的这个领域，这个研究到底是会给人们的生活还有社会带来怎样的改变。张首晟：现在我们整个信息社会按照所谓的摩尔定律往前推进，摩尔定律就是我们的计算能力每过18个月就翻一次倍，在过去一直按照摩尔定律进行。在元器件上衡量的话，也就是在同样面积上的三极管每过18个月翻一倍，所以集成度在极具的增长。但是每一个三极管工作原理并没有改变，所以它们所散发出来的热量也是差不多的，所以你如果把三极管每过18个月翻一倍的话，它们整个芯片要散发出来的热量也是每隔18个月翻一倍，这样集成下去的话，它就是没办法再继续集成的，因为再下去芯片会烧掉。所以这是我们信息社会面临的最大一个挑战。网易科技：您现在正在着手的这个研究是类似这个领域的是吗？张首晟：对。但是这个挑战也是一个机会，因为我们讲危机危机，是危也是机。就是之所以电子芯片会导致发热，用一个比喻就可以很好的解释：在赶集的集市，想象你是一辆跑车，它在赶集的时候始终在碰撞，如果不能散发热量就会受到阻碍。所以我的研究简单来讲，就是把电子芯片能够按照高速公路的车道运行，它能够各行其道，互不干扰。就相当于，在右边我们可以尾灯，这个车往前走，在左边的话我们是往前开，如果能把高速公路的运动模式实现在电子芯片层次的运动模式，我们真正意义上有一个新的工作原理，使得摩尔定律能够往前推进。网易科技：如果这个研究成功的话，可以给整个信息技术产业带来怎样的改变呢？张首晟：过去50年已经都是每过18个月计算能力都翻一次倍，但是如果没有这个技术，就是说最可怕是没有这个技术的话，整个信息社会就等于会停止发展；但是如果有这个技术的话，它就继续能够往前推进下去，现在的手机，就是等于几年前的超级计算机，我们现在已经觉得对着手机讲话，都能够翻译就能够翻出来，这些事情本来是要大型的计算机才能做出来的，现在小型的手机都能做。所以这个飞速的增长，是我们整个信息社会已经是把它看成是一个根本的定律，所以科学领域的研究，就是能够把这个信息社会继续按照摩尔定律的规律往前推进。我们具体能够达到这一点，是发现了一个特殊的神奇的一种材料，它叫拓扑绝缘体。
网易科技：这个可以改变我们目前来说这个手机的形态吗？因为其实目前智能手机已经处于一种瓶颈期了，目前的形态大家都没有任何突破，就连苹果都没有任何突破了。张首晟：对，比如说最明显的一点，比如说给智能手机充一次电，就能够打一星期。网易科技：您正在对锡烯有一些研究，但其实前一阵石墨烯技术有了一些新的消息，其形态在向前推进。所以我想问一下，您研究的锡烯和石墨烯的关系如何，未来两者的前景怎样？张首晟：石墨烯和锡烯，原子结构都是类似，就是都是由一个原子层产生。这个原子层从上面看上去就是一个蜂窝的状态，所以在原子结构来看起来是非常类似的。但是它们的电子行为是完全不一样，就是在石墨烯里面，电子还是杂乱无章，但是在锡烯的话，电子只在边缘运动，并且按照车道运动。就是原子的排列一样，但是电子的运动模式不一样。网易科技：这两种材料的未来的应用的前景，哪一个更广阔一些？张首晟：我想大家现在都在研究的状态，但是可以明显的讲，锡烯是更革命性的突破。在科学上是更革命性的突破，但是科学最终能不能转成技术，它有很多各个不同的因素在里面，有一些商业的因素在里头，这是比较难预言的。网易科技：因为前几年的时候，大家一直在说石墨烯会带来一个很革命性的改变，石墨烯会有很多的企业在支持，就是像锡烯这方面，您有一些更多的商业力量在推动吗？张首晟：是这样的，它们时间上有很大的差别，石墨烯是2005年发现的，但是锡烯是我们三年前在理论上预言的，是最近才刚刚做出来，所以这个时间相差很多，所以锡烯更多是在实验室里面，那个石墨烯当然由于时间比较长了，就是后来居上还是锡烯。石墨烯是2005年，所以它有一个技术上的积累，但是锡烯是更加革命性的，科学上的突破，但是它时间上是要晚十几年，晚差不多十年吧。网易科技：但是其实它俩的应用场景是重叠的？张首晟：不一样，锡烯是更革命性的突破。
网易科技：在未来五到十年，您所研究的领域到底是会发生哪些革命性的改变？张首晟：就是拓扑绝缘体这个材料可能会真正走向工业化，现在还基本上在比较基础研究的阶段。但是像我刚才讲的，如果手机充一次电打一个星期，也是一个很大的想象。另外就是能够想最好一个手机就是它的功能比一个人的大脑都来得大，现在人工智能已经有很多的突破，但是真正要做人工智能的运算，它要在大的机房里面才能够正式来，要大的数据中心，今后我们的技术成功之后，就基本上一个手机就是抵得上十个或者一百个大脑。网易科技：其实您除了在物理学有研究之外，还有丹华资本的创始人，对新材料、新能源还有可穿戴设备都是有一些研究的。您目前所投资的有哪些些项目？张首晟：主要在人工智能的领域。至于我们投的有人工智能、大数据、网络技术，增强现实、虚拟现实，有金融科技和生物医疗。网易科技：您能方便介绍一两个您投资的，在科研领域比较靠前的这些项目吗？它的一些进展或者什么的？张首晟：我们投资AutoX公司,在无人驾驶上面有重大突破性的技术。通常的无人驾驶需要非常精准的地图，甚至要三维的地图，另外它也需要有特殊的设备，就是比如说激光雷达，我们投的那个技术，它不需要那些特殊技术，也不需要特殊的设备，这个对人工智能的要求会来得更高。另外就是我们在增强现实上投了一家非常优秀的公司，叫META，就是你穿戴了这个设备之后，它就是能够把虚拟和现实全混在一起，就是比如说我有了这个设备之后，今后手机也不要了，电脑也不要了，戴上这个眼镜的话，面前就会显出一个手机在我的眼镜里面，然后我用的时候，用自己真正的手可以去拨号，所以这就是真实和虚拟的一种混合。这个手机是虚拟的手机，但是我的手指是真正的手指，但是我真正的手指其实可以拨这个虚拟的手机拨号。比如说我们两个之间在电话，我们要来下象棋，我们就在我现在的桌面上会显示出一副虚拟的象棋，也会显示出一个虚拟的你，虽然在中国，但是好像就坐在我对面，然后我用手下那个象棋的时候，我是用的真正的手，但是你是一个虚拟的你，象棋盘也是虚拟的象棋盘，象棋也是虚拟的。现在，我们可以进行非常好的互动了。所以这个现在世界上就是两家，一个是微软Hololens；另外一家就是我们投的公司叫META。所以大家如果看，这里你可以重点介绍一下，大家如果看计算机技术的发展，这在原先就是一个很大的一个体系，今后慢慢变成各类计算机，就会越来越个性化，越来越容易人机互动。就比如有个计算机，然后又变成一个手提的，随身可以带的计算机，然后又到了手机，接下来一步大家都认为一个人机互动的下一个亮点，就是所谓的增强型AR。我们投资的这公司在增强现实当中与微软最大的一个差别，就是我看东西的视角，我们的设备看出去是90度的视角，而微软的那个设备只有30度的视角。
网易科技：像增强现实这样的科学技术到底什么时候能够真正的落地应用。张首晟：我想它可能是一步一步的，现在我们最值得讨论的一件事情，就像人工智能看了很多会取代人的工作，但是同样人工智能和增强现实，它也能够创造很多工作。比如说我们现在比较需要技能的工作还是很多，但是很多教育程度不够高。比如说我戴了增强现实的眼镜的话，它最主要的，一开始可能很大一部分应用就是做那些，就是本来不需要很高技术的工作，现在可以不太有特别训练过的工人来做。比如我要修汽车的话，我戴上这个眼镜，本来哪个部件怎么弄，工人要学会都需要很长时间，但是现在你戴上眼镜的话，它每个部件都会给你注解清楚，你做了这一步，下一步应该怎么做，它自动也会提醒你。这样人机互动的话，就是很多需要高技能的工作，现在可以有一些比较低技能的工人来做，这样的话也会造成很多就业的机会。增强现实和人工智能最先应用的领域可能就是用来做培训。另外也是，在教育上面，比如说我要学医的话，人体这个也是非常复杂嘛，但是你戴上这个眼镜的话，你就是每个部分都可以，比如说我们人从来没有跑到我们自己身体里面去看过，但是你戴上这个眼镜的话，你好像就可以像一个小虫一样，跑到自己的身体里面，你的每个身体的器官，都可以把它非常生动的学清楚。我觉得这是会带来很大的一个改革的。这可能它是一些比较早期的应用。网易科技：您刚刚提到人工智能，其实国内对于人工智能的讨论很多，大家现在目前最担心的一个就是说，人工智能还有机器人如果发展，慢慢会不会把人类都取代了，这是一个大家很恐慌的问题。张首晟：对，它肯定会取代一些，但是也会创造一些。这个在人类历史上也是碰到过很多，比如说地球上本来90%的人都是农民，后来有了机械的耕种之后，农民的工作好像一下就取消了，但是我们也会创造出别的工作出来。所以我们现在最主要的就是不要只是把人工智能看成是取代工作，它也会创造工作。有些事情，比如你现在在采访我，但是我想非常生动的跟你讲清楚我的科学研究，我们电话上感觉总是不太好，但是如果真是有增强现实的话，我们戴上这个眼镜，你在那里看电子在芯片里面是怎么运动的等等，这个你的体验就完全不一样了。
网易科技：您曾经说过，诺奖代表了一个高度，但是个人最大的追求还是在于发现这些大自然未知的这些规律。您说这句话的时候，我首先想到的是，像这些大自然的这些规律，其实对于我们来说感觉是一个很枯燥的过程，但是您感觉好像是一个很享受的过程。张首晟：就是我们感到大自然一种美在这里头。比如说大自然很多现象看上去是非常错综复杂，但是你用错综复杂的规律能够用几个简单、优美的公式来代表的话，我们就觉得这是大自然的一种美。比如我们讲诗歌，诗词，本来也是人有错综复杂的心情，但是你如果用一两句诗句就能够表达出特别复杂的心情的话，我们就觉得这个诗句写得非常美吧。比如说举头望明月、低头思故乡，简单的，每个字都是非常简单，也是两句非常简单的句子，但是我们一读了之后，比如说在外面的话就想起家乡，感知就是会引起我们非常复杂的情感。但是大自然也是这样，大自然的奇妙就是看上去非常错综复杂，但是你用几个简单的公式就能够描写清楚，比如说E=MC2，可以小用到原子，大用到整个宇宙，这个的确是一个很伟大的，在我们看来是非常伟大，也是一个非常大自然的一种美妙。我今天能够发现拓扑绝缘体，跟以前发现材料的过程都不一样，以前大家都在实验室里面做试验，碰碰碰就会碰到一个偶然的发现，往往人类过去所有的材料都是这么发现的，但是这次我们用一个非常美丽的数学概念，叫拓扑学的概念，然后用理论的指导来发现了这些材料，这个对我们来讲是一个非常大的一个创新。网易科技：您讲了很多哲学上的东西，您认为哲学跟科学到底是一个怎样的关系。张首晟：自然会上升到哲学。比如说最简单来讲E=MC2，我们完全用科学的态度来看的话，我们应该做许许多多的实验来验证它，在原子层次去验证它，在宇宙层次去验证它。但是我们看到了这些这个原理之后，觉得这个简直不可思议，为什么那么简单的一个公式，能够小到原子，大到宇宙，为什么大自然会那么美妙。所以这个产生出来这种美感，就是一种哲学的一种程式的一种感受。我如果把大自然用两句话来总结的话，就是它又简单，又普世，或者说大道至简。宇宙当中最最深奥，最最普世的这些规律，都是非常的美妙。所以在这个层次当中，使得我们科学家更有兴趣，要追踪宇宙的真理，我们是可以寻美而求真的。所以比如说我们在做教育的时候，给青少年做教育的时候，我们只是简单的去灌注这些知识的话，他会觉得非常的枯燥，但是有的时候我在教书的时候，我反而教一点，但是在这个过程当中，让他真是给他一个梦想。所以我经常讲一句话，你如果要教一个孩子怎么造船，你不要一开始给他很多图纸看，你一开始要给他一个大海的梦想。网易科技：您感觉目前来说，中国在物理研究方面相比以前有了哪些进步，在国际上有什么样的地位？张首晟：这次我想在各个领域，总的来说中国还是科学研究还是比较落后的，但是在某些领域，通过跟国际紧密接轨，就是能够达到一种非常大的一个成就。就是在拓扑绝缘体这个领域，我2009年就成为了千人计划的访问教授，经常来清华访问。因为我自己是这个领域的奠基人，所以我很早就把这个领域引到中国，所以在这个过程当中，大家在交流过程当中，中国一下就在这个领域走到国际前列。这说明什么呢？中国的基础不差，中国的实验条件也是到了一定的程度，但是就是大家没有一种方向感。比如说有十种可以走的路，不知道到底走哪一种。我们经常讲起科学，就是讲我们集中力量来攻关，但是攻关你首先要有个目标呀，但是在科学的不确定性就是它有十个可以走的方向，你不知道到底要朝哪个方向走。所以一个大师在科学的贡献，就是他关键的时刻他会说这条路你不应该走，走这一条路。现在中国是需要有这样的科学家，就是能够比较有方向感，能够在一个错综复杂的环境下，他真正能够感知到应该朝哪个方向去走。就是大海航行靠舵手，就是要有个方向感。不能把科学看成是一个攻关的问题，因为攻关的话，有一个关就不是一个原创的科学。网易科技：目前您感觉中国的教育体制，对科学家的培养有这样的环境吗？张首晟：中国肯定是慢慢会起来，比如说我现在是千人计划的访问教授，但是我刚才数了一下，差不多有七八位学者已经回到国内做教授，这样的话他们慢慢也可以把我的一些理念带回来，把国际上的一些理念带回来，我觉得中国起来应该很快。
网易科技：其实您的导师杨振宁先生也说过对您的一个评价，他说您获得诺奖只是时间的问题，今年其实有三位学者获得了诺贝尔物理奖，大家的标题就是说，您是与诺贝尔奖擦肩而过。我不知道对于这样诺贝尔奖这些东西，您是怎么看待的？张首晟：今年给诺奖的，他们的工作是七十年代做的，总之因为它是科学里面最高的一个奖了，但是给诺奖总是一个时间的过程。爱因斯坦从他最早的科学发现是1905年，但是他得诺奖是1921年，所以一般来说总是要差不多要有十多年的一个过程吧。另外之所以诺奖含金量那么高，也就是这些科学的发现是真正通过时间考验的。当然大家有的时候会问为什么这些工作还没得诺奖等等，但是主要还是因为诺奖是科学最高奖，真正要看到它长期的影响，也要经过时间的考验。网易科技：2016年，哪些科研成果转化率给您留下的深刻印象。张首晟：科研成果转化，我想可能就是对癌症的免疫治疗。网易科技：原因呢？张首晟：我们对怎么样的科学是伟大的科学，它又要很简单，又要很普世。但是过去对付癌症的办法，就是每一种癌症我们在研究怎么来对付这一种癌症，比如说有肝癌，有肺癌，有各种各样的癌症。这样的话就是用复杂来对付复杂。这次癌症免疫治疗之所以我非常看好它，就是它非常符合我的哲学观念和方法论，它普适的方法对所有的癌症都是对的。怎么样呢？就是我们人身体上都有一些所谓的T细胞，照理说它是有能力把这些癌细胞出来的时候就能够杀死。但是这些T细胞身上都有个刹车，所以这个癌细胞非常狡猾，它看见这些T细胞来要消灭它的时候，它就故意发一些信号，使得这些T细胞，本来要攻癌症的这些T细胞踩了刹车，到时候就不起作用了。这次非常巧妙的治疗方法，就是把这个刹车又把它打开，这样的话就是等于用人自身的免疫能力就能够把癌症杀死，这个就是比较符合我对科学的方法论。因为它是非常简单，但是关键是它非常普普适，它不要对每一种癌症找一种新的治疗方法。预言者简介：1963年2月生于中国上海。1978年，15岁的张首晟在没有读高中的情况下，直接考入复旦大学物理系。之后，作为交流学生被送往德国柏林自由大学深造。1983年，获德国柏林自由大学硕士学位，赴美国纽约州立大学石溪分校，攻读博士学位。1987年，获物理学博士学位。1995年，年仅32岁的张首晟被聘为斯坦福大学物理系教授，成为斯坦福大学最年轻的终身教授之一。开创了全新领域：拓扑绝缘体；2006年理论预言“量子自旋霍尔效应”；2007年与德国科学家合作，进行实验验证研究，被评委2007年十大科学进展（Science杂志）；2008年理论预言“量子反常霍尔效应”；2010年张首晟教授获得欧洲物理奖(Europhysics Prize) ；2012年美国物理学会奥利弗·巴克利奖（Oliver Buckley奖）；国际理论物理狄拉克奖(Dirac Medal and Prize)；2013年物理前沿奖(Physics Frontier Prize)；2013年入选中国科学院外籍院士；2014年汤森路透“引文桂冠奖”（ Thompson-Reuter Citation Laureate）； 2015年度富兰克林奖章。未来论坛背景：未来论坛由科学界、教育界、互联网界、投资界领袖于2015年之初发起，商学跨界科学传播公益平台，是中国以民间资本激励科学突破的“推动人”。未来论坛至今已形成未来科学大奖、理解未来讲座、闭门耕研讨会和未来论坛年会等系列活动。微信号：Futureforum点击
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中科院外籍院士：新材料拓扑绝缘体将进入应用阶段
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【新民晚报·新民网】主宰电子信息产业飞速发展几十年的摩尔定律会失效吗？昨天下午，市科协第十四届学术年会暨第十一届上海工程师论坛上，斯坦福大学终身教授、美国科学院院士、中科院外籍院士张首晟在报告中预言，拥有“电子高速公路”的拓扑绝缘体将进入应用阶段，为人类带来新的半导体材料、能源材料，解决摩尔定律即将失效的难题。
原标题：中科院外籍院士：新材料拓扑绝缘体将进入应用阶段图说：新材料拓扑绝缘体将进入应用阶段。网络图【新民晚报·新民网】主宰电子信息产业飞速发展几十年的摩尔定律会失效吗？昨天下午，市科协第十四届学术年会暨第十一届上海工程师论坛上，斯坦福大学终身教授、美国科学院院士、中科院外籍院士张首晟在报告中预言，拥有“电子高速公路”的拓扑绝缘体将进入应用阶段，为人类带来新的半导体材料、能源材料，解决摩尔定律即将失效的难题。一枚邮票大小的芯片，几十年不变，肚子里盛下的三极管数量却是天文级数增长——集成电路上可容纳的元器件数目和性能，每隔18—24个月会提高1倍，这就是摩尔定律。不过，全球芯片研发遵循的这个黄金定律，却在渐进尾声。因为，“电子在芯片里的运动，犹如一辆辆疯狂在集市里东冲西撞，碰撞就会产生热量。”张首晟指出，正是散热问题，可能终结摩尔定律。如果能让“电子跑车”驶上高速公路，不就避免碰撞、少产生热量了吗？张首晟设想了“电子高速公路”方案。他于2006年提出“量子自旋霍尔效应”构想。利用这种特性，科技人员能让芯片电子在不同轨道上自旋，各行其道，避免了撞车，自然就解决了发热问题。2007年，这一理论预言被德国维尔茨堡大学实验小组证实。同年，量子自旋霍尔效应被《科学》杂志评为2007年“全球十大重要科学突破”之一。在此理论基础上，张首晟团队还预言了一系列名为“拓扑绝缘体”的新材料。“锡烯”是其中之一，堪称“石墨烯的堂弟”，具有很好的应用前景。“希望我们很快迎来拓扑绝缘体时代，研制出半导体新材料、能源新材料，投入应用。而且利用拓扑绝缘体还有望制造出量子计算机。”张首晟说。（新民晚报记者 马亚宁）
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播放数：5808920拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究_甜梦文库
拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究
中国科学技术大学 博士学位论文 拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究 姓名：汪忠 申请学位级别：博士 专业：理论物理 指导教师：完绍龙;张首晟
摘 要摘 要拓扑绝缘体是一大类新的物质相，它们的体态是有能隙的，但是由于非平 凡的能带拓扑，它们具有无能隙的表面态。量子霍尔系统、量子自旋霍尔系统、 三维拓扑绝缘体等都是拓扑绝缘体的例子。近年来，拓扑绝缘体的研究大大加 深了人们对凝聚态物理的理解，揭示了凝聚态物理和高能物理的联系。拓扑超 导体是拓扑绝缘体概念的延伸，拓扑超导体中的费米子能谱也是有能隙的，所 以可以进行拓扑分类，非平凡的拓扑超导体具有稳定的表面态。除了深刻的理 论意义外，拓扑绝缘体和拓扑超导体在自旋电子学、拓扑量子计算等领域有广 阔的应用前景。这篇博士论文除了介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导体的基本概念 外，主要包含以下三方面内容： (1) 对三维拓扑绝缘体，我们利用拓扑学中的数学工具，证明了拓扑能带理 论和拓扑场论的分类是等价的。在此之前，三维拓扑绝缘体有两种独立的描述： 拓扑场论描述和拓扑能带理论描述。拓扑场论描述可以直接给出物理响应，而 且对有电子-电子相互作用和无序的系统也有统一的描述。拓扑能带理论将所有 拓扑绝缘体当做晶格中的电子气来处理，完全忽略电子-电子相互作用，这是它 理论上的缺陷，但是它的优点是易于计算。我们在本文中证明，在无相互作用 的极限下，拓扑场论的描述和拓扑能带理论的描述是等价的，因此建立了两种 描述之间的明确关系。 (2) 对存在电子-电子相互作用和无序的绝缘体，我们采用格林函数定义 了一个拓扑不变量，这个拓扑不变量对应于拓扑场论中出现的量子化系数。 三维的时间反演不变的拓扑绝缘体用一个含有theta项的拓扑场论来描述，这 个theta项有一个量子化的系数，它是拓扑绝缘体的拓扑不变量。以前的文献中 给出了在没有电子-电子相互作用时这个不变量的表达式。在本文中，我们利用 对称性和拓扑工具，提出了用格林函数构造有相互作用的绝缘体的拓扑不变量， 其形式和粒子物理中出现的Wess-Zumino-Witten有效作用量类似，这也说明了 拓扑绝缘体和量子场论中的反常的联系。 (3) 对三维的拓扑超导体，我们建立了拓扑场论描述，并研究了它的物理响 应。超导体和绝缘体不同，它没有守恒电荷，所以没有 (1)拓扑场论描述。我I摘 要们在本文中采用引力有效理论来描述三维的拓扑超导体，包括He3 -B相。与一般 的Einstein-Hilbert作用量不同，我们得到的有效作用量包含一个拓扑theta项。这 个拓扑项的时间反演不变性和数学中的自旋流形存在紧密联系。这个拓扑场论 对应的物理响应是拓扑超导体表面的thermal Hall效应，更精确的说，我们说明 了，在三维时间反演不变的超导体的 分类中，偶数类的表面thermal Hall系数 可以为零，但奇数类的thermal Hall系数一定非零，这是引力有效场论的推论。 关 键 词 ： 拓扑绝缘体，拓扑超导体，拓扑不变量, 拓扑场论，反常，格林函数IIABSTRACTABSTRACTTopological insulators are new phases of matter. Their bulk states are gapped, but the surface states are gapless because of the nontrivial band topology. Quantum Hall systems, quantum spin Hall systems, three-dimensional topological insulators are famous examples of topological insulators. In recently years, the research in topological insulators has been deepening our understanding of condensed matter physics and its relation with high energy physics. Topological superconductors are natural generalization of topological insulators. With nonzero bulk gap, topological superconductors can be topologically classi?ed. Topological insulators and superconductors have great importance to both fundamental research and practical applications in spintronics, topological quantum computations, etc. In this thesis, after an introduction to basic concepts of topological insulators and superconductors, we shall focus mainly on the following three topics: (1) For three-dimensional topological insulators, using mathematical methods from topology, we proved that the topological ?eld theory description and topological band theory description are equivalent. Before this work, there are two independent descriptions of three dimensional topological insulators: topological ?eld theory and topological band theory. Topological ?eld theory can be easily used to calculate physical responses, furthermore, it is applicable to both interacting and disordered systems. Topological band theory treats the system as non-interacting fermion gas, which is a disadvantage. But the topological band theory has distinct advantage that it is easy to calculate. In this thesis, we shall prove that in the non-interacting limit, the topological ?eld theory is reduced to the topological band theory, and thus obtain an explicit relation between topological ?eld theory and topological band theory. (2) For interacting and disordered insulators, we de?ned a topological invariant using Green’s functions, which is related to the quantized coef?cient in topological ?eld theory. Three dimensional time-reversal invariant topological insulators are described by a topological ?eld theory with a theta term, with a quantized coef?cient.IIIABSTRACTThis quantized coef?cient is a topological invariant of the system. The explicit expression of this topological invariant in the non-interacting limit was known in literature before. In this thesis, using symmetry and topology methods, we proposed a topological invariant using Green’s functions, which is applicable to interacting and disordered systems. The explicit expression of this topological order parameter is similar to the Wess-Zumino-Witten effective action, which suggests deep relation between topological insulators and anomalies in quantum ?eld theory. (3) For three dimensional topological superconductors, we proposed a topological ?eld theory, and studied their physical responses. Topological superconductors are different from topological insulators in the fact that they has no conserved charge, and has no description using
(1) topological ?eld theory. In this thesis, we proposed a gravitational effective ?eld theory to describe them, including He3 -B phase. The resultant effective action is different form the classical Einstein-Hilbert action in that we have a topological theta term. The time reversal invariance of this theta term is closely related to spin manifolds. The physical response of topological superconductor are surface thermal Hall effect. To be more precise, for topological superconductors in the even classes, the surface thermal Hall coef? while for topological superconductors in the odd classes, the surface thermal Hall coef?cients are always nonzero. This is a inference of the gravitational topological ?eld theory. Keywords: Topological insulator, Topological superconductor, Topological invariant, Topological Field Theory, Anomaly, Green’s functionIV中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。作者签名： 年 月 日第1章拓扑绝缘体的基本概念第 1 章 拓扑绝缘体的基本概念本章中我们简单介绍拓扑绝缘体的基本概念和发展历史，特别是三维时间 反演不变的拓扑绝缘体。1.0.1 拓扑绝缘体的基本概念和发展历史寻找新的物质态一直是人类认识自然过程中的重要问题。在此方面，二 十世纪的重大进展是对称性和物态的分类的关系，总结为Landau的对称破缺理 论[Anderson,1997]。长期以来，这个理论非常成功，大量的物态可以用这个理 论很好的描述。直到二十世纪八十年代，量子霍尔系统被发现[Klitzing, 1980]， 这个理论的统治地位才被打破。量子霍尔系统是是二维电子气在强磁场下实现 的系统，它不破坏任何对称性，但是它的电磁响应是非平凡的。量子霍尔电导 由以下方程定义：
(1.1)这里 是方向的电流， 是 方向的电压。对于量子霍尔系统，霍尔电导非常 精确的量子化为：
2 ? (1.2)这里是一个整数，是电子电荷，?是普朗克常数。量子霍尔系统虽然在体内 是有能隙的，但是它存在无能隙的边缘态, 量子霍尔系统就是拓扑绝缘体的一个 例子。拓扑绝缘体将是本文的中心课题。 简单的说，拓扑绝缘体是这样的一大类材料，它们的体内是有能隙的，但 是存在稳定的无能隙表面态。拓扑这个名词出现在这里是因为拓扑绝缘体的表 面态的稳定性来源于能带的非平凡拓扑。用简单的例子来说，一个莫比乌斯带 不能平滑的转变成一个普通的环形带，莫比乌斯带和简单的环形带的区别就是 拓扑上的区别。莫比乌斯带有这样的一个性质，如果我们从一点出发，绕它走 一圈后，我们将处在带子的另一面。这是一个拓扑性质，对莫比乌斯带做简单 的形变不会改变这个性质。当然，如果我们剪开莫比乌斯带并重新粘贴回去， 拓扑性质是可以被改变的。同样的，拓扑绝缘体的表面态也有类似的稳定性，1第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.1 量子化的霍尔电导的发现。(引用自文献[Klitzing, 1980].)它们不能被破坏，除非我们让绝缘体的体内的能隙闭合。在能隙闭合时拓扑绝 缘体的能带拓扑发生变化，这类似于我们剪开莫比乌斯带。 前 面 提 到 的 量 子 霍 尔 态 是 拓 扑 绝 缘 体 的 一 个 例 子，最 早 由Klitzing et al[Klitzing, 1980]在强磁场下的二维电子气中发现。量子霍尔体系的体态是 有能隙的，但是存在无能隙的边缘态。如果在零温度下测量它们的电导，则电 导强烈依赖于探针和样品接触点的位置，如果接触点在体系边缘，我们得到有 限的电导，如果接触点在样品体内，则测得的电导为零，说明体态是有能隙的。 量子霍尔体系的输运性质可以由一维的边缘输运理论得到。量子霍尔态的研究 在凝聚态领域有很长的丰富的历史，从中人们发现了众多有趣的现象，发展了 强大的理论工具。 最近几年拓扑绝缘体的研究再一次成为重要领域，起因是时间反演不变的 拓扑绝缘体的发现。众所周知，到目前为止，量子霍尔态的实现需要强磁场， 这限制了它在实际生产中的应用。量子霍尔体系破坏时间反演不变性，例如，2第1章拓扑绝缘体的基本概念Regular insulatorTopological insulatorSphereTorus图 1.2 拓扑绝缘体和普通绝缘体的区别示意图。在量子霍尔态中，对边缘态来说，所有电子朝一个方向运动，这是破坏时间反 演对称性的，因为这个体系的时间反演是所有电子沿相反方向运动，这和原有 的体系不相同。时间反演不变的拓扑绝缘体则正好相反，它们是在具有时间反 演对称性的体系中实现的。在人们已经发现的拓扑绝缘体中，自旋轨道耦合起 着关键性的作用。自旋轨道耦合是一种相对论效应，它不破坏时间反演对称 性。 Zhang et al[Zhang and Hu, 2001]把量子霍尔效应推广到四维，这个体系具有 时间反演不变性。这个态的最初名称是“四维量子霍尔态”，但是用现代语言来 说，它的更合适的名称是四维Chern-Simons绝缘体。这个原始工作是从连续模 型来做的，它的晶格模型出现在文献[Qi et al 2008]中。我们将会讨论到，二维 的量子霍尔系统的拓扑不变量在数学上由第一陈数来描述，四维的时间反演不 变的Chern-Simons绝缘体的拓扑不变量由第二陈数描述。这还可以向更高维数 推广。数学上，因为陈数只在偶数维存在，所以在奇数维没有量子霍尔效应的 直接类比。当然，其他类型的拓扑绝缘体还是可以存在的，比如，在三维空间 中，我们最感兴趣的例子是具有时间反演对称性的拓扑绝缘体和拓扑超导体。 另外，从同伦理论还可以得到其它类型的拓扑绝缘体，比如文献[Moore et al,3第1章拓扑绝缘体的基本概念$7LQYDULDQW7EUHDNLQJ%7LQYDULDQW图 1.3 具有时间反演不变性的拓扑绝缘体的分类示意图。时间反演不变的区域(T-invariant) 和时间反演破缺(T-breaking)的区域在图中标记了出来。2008]中的破坏时间反演对称性的拓扑绝缘体(在这个例子中，能带的条数是固 定的，否则它是拓扑平凡的)。 对能带模型，时间反演不变性的定义是： ?
(? )(1.3)这里 是时间反演矩阵，它满足 ?
= ?1。现在设想如果两个具 有时间反演对称性的哈密顿量和 可以通过连续变形互相连接，但是这个连 接的路径可能穿过时间反演破缺的区域(比如图1.3中的连接和 的曲线)。如果 我们无法找到这样的连接和 的路径，它只通过时间反演不变的区域, 那么我 们就说和 属于时间反演不变的拓扑绝缘体的不同拓扑类。也就是说，如果 不破坏时间反演对称性，这两个哈密顿量不可能通过连续变形互相连接。但是， 如果破坏时间反演不变性，它们是可能通过连续变形互相连接的。 2005年，从 完 全 不 同 的 思 路 出 发， Kane和Mele提 出 了 在graphene中 实 现 二 维 的 时 间 反 演 不 变 的 拓 扑 绝 缘 体(或 者 称 为 量 子 自 旋 霍 尔 体 系)[Kane and Mele, 2005a]。 后 续 研 究 发 现, graphene的 自 旋 轨 道 耦 合 在Dirac点 附 近 远 小4第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.4 HgTe/CdTe量子阱中的量子自旋霍尔效应。摘自文献[Bernevig et al, 2006b]。于Kane和Mele的 估 计。 在 近 期 可 能 实 现 的 实 验 条 件 下， 这 个 效 应 其 实 是 观 测 不 到 的。 2006年， Bernevig, Hughes和Zhang[Bernevig et al, 2006b]提 出 了 在HgTe/CdTe量子阱中实现量子自旋霍尔效应，这个理论预言很快被实验证 实[Konig et al, 2007]。这是量子自旋霍尔效应的第一个实验例子。 Bernevig, Hughes和Zhang[Bernevig et al, 2006b]提 出 的 量 子 自 旋 霍 尔 效 应 的 模 型 参 见 图(1.4)，可以看到，随着量子阱中HgTe的厚度增大，能带发生了反转， 1能带 下降到 1以下，导致体系从平凡绝缘态相变到拓扑绝缘态。 在接下来的研究中，量子自旋霍尔系统被推广到三维拓扑绝缘体，我们将 在下一节详细介绍三维的拓扑绝缘体。5第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.5 二维的拓扑绝缘体和拓扑超导体示意图。摘自文献[Qi et al, 2009b]拓扑超导体(Topological superconductor)是拓扑绝缘体概念的自然延伸。在 超导体中，由于超导配对，费米子能谱存在能隙，这使得费米子的哈密顿量和 拓扑绝缘体类似，可以进行拓扑分类，虽然超导序参量存在Goldstone模式(拓扑 绝缘体中的无能隙玻色激发-声子也是存在的, 但是我们只考虑费米子哈密顿量 的拓扑分类)。拓扑非平凡的超导体存在稳定的表面态，这点也和拓扑绝缘体一 样。由于拓扑绝缘体和拓扑超导体的诸多相似性，这两者经常被放在一起统一 研究。 我们在前面介绍过，拓扑绝缘体和拓扑超导体的最明显特征是具有稳定 的表面态。我们先通过图(1.5)来简单介绍二维的拓扑绝缘体，特别强调它们 的边缘态。图(1.5)给出了四个二维的拓扑绝缘体和拓扑超导体的例子。这里 图(1.5)(b)是大家最熟悉的最简单的陈数为1的量子霍尔效应的例子，它有一支 沿边界传播的手征模式(在一维的情况下，手征的意思等价于电子传播方向： 左或右)。图(1.5)(a)是手征拓扑超导体，它有一支沿边界传播的Majorana模。 图(1.5)(c)是时间反演不变的拓扑超导体，它的分类是2 的[Schnyder et al, 2008; Qi et al, 2010a]， 它 有 两 支Majorana边 缘 模， 这 两 个 模 是 一 对 时 间 反 演 对。 图(1.5)(d)是量子自旋霍尔体系，它有两个沿边缘传播的模式，这两个模式6第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.6 量子霍尔效应的边缘态示意图。摘自[Hasan et al, 2010]也是一个时间反演对。时间反演不变的超导体和时间反演不变的绝缘体的区别 是，在前者中，边缘态是Majorana费米子，在后者中，边缘模式是电子态。在 自由电子的图像下，理解拓扑边缘态的最简单物理图像是畴壁费米子(domain wall fermion)，这点我们将在下一章介绍量子自旋霍尔效应时介绍。这四种二维 拓扑绝缘体(超导体)中有明确实验证据的是量子霍尔体系和量子自旋霍尔体系， 另外两种还有待实验去发现。 对量子霍尔体系，对边缘态的更清楚的图像可以从图(1.6)中看到。在系统 的边缘上，电子的回旋运动被阻碍，导致电子被边缘不断散射，但是电子的总 体运动方向是手征的，并携带电流。我们知道，在量子霍尔系统的体内，电子 的回旋运动不携带宏观电流。 为了更清楚起见，我们在图(1.7)给出了量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应 的类比。 在图(1.7)中，我们可以看到，量子霍尔体系可以这样来看: 一个自旋 极化(或者无自旋）的一维电子系统中存在向左运动的电子和向右运动的电子， 由于电子可以被向后散射(back-scattering)，这个系统的电导不是量子化的。如 果我们把向左运动的电子和向右运动的电子在空间上区分开来，也就是让它们 分别处在两个边缘上，则我们得到手征模式，也就是说在每个边缘上，电子朝 同一个方向运动，这样就没有向后散射发生。量子自旋霍尔效应与此类似，只 是这里我们处理的是有自旋的电子，在一维有自旋的电子系统中(假定存在时间 反演对称性） ，电子可以被向后散射，如果我们同样采取和量子霍尔效应类似 的空间分离方法，则由于时间反演对称性，向后散射也是禁止的。7第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.7 量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应的类比，摘自[Qi et al, 2010]1.0.2 三维时间反演不变的拓扑绝缘体本小节我们简单介绍三维的拓扑绝缘体。有趣的是，虽然量子霍尔体系 存在四维推广，却没有三维推广。在数学上，这是因为量子霍尔体系由陈 数(Chern number)定义，而陈数是复矢量丛的概念，复的矢量丛的维数转换到实 数维数时总是偶数。所以历史上把量子霍尔效应推广到三维的努力并没有获得 充分成功。我们知道，量子霍尔体系的分类是不对哈密顿量加任何对称性限制 的，如果我们对哈密顿量加上时间反演不变性(或者粒子-空穴对称性，我们这 里不讨论)，则我们会得到不同的分类。我们将会看到，加上时间反演对称性 后，三维空间中存在拓扑非平凡的绝缘体，它的分类是2 的。 三维的时间反演不变的拓扑绝缘体在理论上最先由几个研究组分别预言， 有Liang Fu, C. L. Kane 和E. Mele[Fu et al, 2007a], J. E. Moore和L. Balents[Moore et al, 2007] 和R. Roy[Roy, 2009]。其中Fu et al采用的三维拓扑绝缘体的判据是他 们提出的2 不变量。它的定义是 (?1) =8 8 ∏ =1(1.4)第1章拓扑绝缘体的基本概念这里√ det[ (Γ )]
= = ±1 Pf[ (Γ )]其中
(k) = ??k, OΘ, k,
? (1.5)这里 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8是八个时间反演不变动量，参见图2.6d。它的物理意义 我们将在下一章详细介绍。在体系具有中心对称性(inversion symmetry)时，这 个不变量被进一步简化为波函数宇称的乘积[Fu and Kane, 2007b]：(?1)= ∏ =12(1.6)注意这里每个时间反演对中只取一个，否则因为时间反演对的宇称总是一样的， 给出的结果总是+1。 J. E. Moore和L. Balents的方法是同伦理论。R. Roy的方法是能带接触(band touching)，也就是考虑量子相变，这和Bernevig, Hughes和Zhang的HgTe/CdTe量 子 阱 中 的 量 子 自 旋 霍 尔 效 应 的 思 路 有 类 似 之 处。这 三 种 能 带 方 法 殊 途 同 归，如果忽略所谓的弱拓扑绝缘体，这三种方法都可以得到三维拓扑绝缘 体的2 分类。这三种方法都是能带拓扑的方法，我们称这些方法为拓扑能 带 理 论(topological band theory)，以 区 别 于 我 们 在 后 续 章 节 中 介 绍 的 拓 扑 场 论(topological ?eld theory)方法。 在实验上，第一个被发现的三维拓扑绝缘体材料是1?
合金[Hsieh et al, 2008]，角分辨光电子谱(ARPES)测量到的表面态见图(1.8)。这个合金有五 个Dirac点，而且有无序存在。 在寻找拓扑绝缘体的材料方面，接下来的重要进展是2 3 系列材料的 发现。这些材料由Zhang et al[Zhang et al, 2009] 预言，在实验上由Princeton研究 组[Xia et al, 2009]和Stanford研究组[Chen et al, 2009]分别实现。理论上， Zhang et al通过数值计算得到能带结构和表面态，参见图(1.9)。这里计算的四种材 料，只有是拓扑平凡的，其他几种材料都是拓扑绝缘体，从图中可以看到 表面态形成Dirac点。从能带拓扑的角度来说，这里的拓扑绝缘体的形成也可 以用能带反转(band inversion)来理解，参见图(1.10)。2 3 的体态能隙达到大9第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.8 BiSb合金表面电子态的角分辨光电子谱测量结果。摘自[Hsieh et al, 2008]约0.3ev,使得它在室温下仍然是很好的拓扑绝缘体材料。这一系列的拓扑绝缘体 只有一个表面Dirac点，使得它们的研究相比1?
合金更加容易。 在接下来研究中，有许多拓扑绝缘体的新材料被发现，这里不再一一列 举，读者可以从综述性的参考文献[Qi and Zhang, 2010; Hasan and Kane, 2010]中 找到。 在本节最后，我们简单介绍一下三维拓扑绝缘体的表面态。三维拓扑绝缘 体的表面态很特别，一个最简单的模型哈密顿量是[Fu and Kane, 2008; Zhang et al, 2009]
? (1.7)这里?
作用在自旋自由度上，而不是像graphene 中那样作用在赝自旋自由度上。 所以，拓扑绝缘体的表面的电子自由度相当于graphene的四分之一。这意味着 在拓扑绝缘体的表面，电子没有简并度，这点对拓扑量子计算很重要。因为10第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.9 BiSe系列材料的能带结构数值计算结果。这里除了是拓扑平凡的，其他几种材 料都是拓扑绝缘体，从图中可以清楚地看到表面态形成Dirac点。摘自[Zhang et al, 2009]两个空间上相近的Majorana费米子放在一起就能构造一个电子算符，这样就 失去了作为非局域的q-bit的载体的能力。拓扑绝缘体的表面，如果加上一层 超导体，则在每一个超导涡旋中，正好有一个Majorana束缚态，这可以用来实 现Majorana费米子[Fu and Kane, 2008]。11第1章拓扑绝缘体的基本概念图 1.10 2 3 的能带随着自旋轨道耦合增强的改变。摘自[Zhang et al, 2009]12第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性第 2 章 拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性本章我们先回顾量子霍尔体系和拓扑绝缘体的各种不变量。对三维拓扑 绝缘体，从不同的方法出发，文献中得到了不同的拓扑不变量。其中之一是 从能带结构出发得到的Fu-Kane-Mele不变量，另外一种是从拓扑场论出发得到 的Qi-Hughes-Zhang 不变量。我们将在本章中证明这两个不变量是等价的[Wang et al, 2010a]。2.1 几何学和物理学中的拓扑不变量本小节我们简单介绍几何和物理中出现的拓扑不变量的例子。我们先介绍 几何中的拓扑不变量：欧拉示性数，然后再介绍物理中的拓扑量子化的例子： Dirac量子化条件和量子霍尔系统中出现的TKNN不变量。2.1.1 几何中的拓扑不变量在几何学中，如果我们只对局部(local)的几何形状感兴趣，则曲率(curvature)是 最重要的几何量。但是，如果我们希望研究整体的几何，则流形的拓扑就很重 要，而拓扑不变量(topological invariant)也成为最重要的工具。拓扑不变量是这 样的一种量，它在流形作连续变换下不改变。 通过球面和环面的例子，我们可以看到拓扑不变量的作用。我们这里考虑 欧拉示性数，这是最古老的拓扑不变量之一。对于一个多面体，点的个数+面 的个数-棱的个数就是欧拉示性数。对微分流形来说，它可以通过三角剖分计 算，对一个光滑的二维流形，我们取它的一个三角剖分，也就是说把它分解成 三角形。然后我们数这个形状中包含的点的个数，棱的个数和面的个数，点的 个数+面的个数-棱的个数就是欧拉示性数。这等价于说，光滑流形的欧拉示性 式等于它的一个剖分得到的多面体的欧拉示性数。重要的是，可以证明，欧拉 示性数的计算结果不依赖于三角剖分的方式。如果我们采取不同的三角剖分， 得到的结果总是一样的。其他许多拓扑不变量也有类似性质。 通过三角剖分，我们可以计算得到，球面的欧拉示性数是2，而环面的欧拉 示性数是0。我们前面已经介绍过，拓扑不变量在流形作连续变形下不会改变。13第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性SphereTorus图 2.1 欧拉示性数。球面和环面的欧拉示性数分别是2和0。如果我们假定一个球面可以连续变形到一个环面，则它们的欧拉示性数一定相 等，既然球面和换面的欧拉示性式不相等，那么球面不可能连续的变形到环面， 环面也不可能连续变形到球面。这点符合我们的直观，也就是球面和环面是拓 扑不等价的。我们通过拓扑不变量来论证这点，这似乎是一种复杂化。对球面 和环面来说，确实如此，因为这个例子太简单了。在更复杂的例子中，直观图 像很难告诉我们正确的结论，我们就会特别依赖于拓扑不变量这样的代数工 具。在拓扑绝缘体的研究中，我们通常遇到的正式这种情况。 欧拉示性式还有另外一种表达式，它是一个积分形式： ∫ 1
2 (2.1)Gauss-Bonnet定理告诉我们这个积分等于前面用三角剖分定义出来的欧拉示性 式。我们这里不介绍这个证明，只指出这个积分的一个重要特征。可以证明， 在度规的一个微小变分下， ∫
= = 0 1 2 ( ?
(2.2)这说明不依赖于度规的选取，因而是个拓扑不变量。2.1.2 物理中的拓扑量子化和拓扑不变量物理学中许多量子化条件来自于拓扑学，比如有名的Dirac量子化条件：
= 2 ?14(2.3)第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性这里是电子电荷， 是磁单极的磁荷。这个量子化条件来自于规范场的纤维丛 结构，是拓扑量子化的简单例子。另外一个简单的例子是量子霍尔效应中的霍 尔电导量子化：
2 ? (2.4)这里是电子电荷，?是普朗克常数。有趣的是，这两个例子中，拓扑量子化条 件涉及的几何概念都是第一陈数(the ?rst Chern number)，在Dirac量子化条件里， 我们遇到的是坐标空间(coordinate space)中的陈数，而在量子霍尔效应中，我们 遇到的是动量空间中的陈数。2.2 量子霍尔体系的TKNN不变量本节我们回顾量子霍尔系统的拓扑不变量，它其实是动量空间(布里渊 区)中的第一陈数。 Klitzing et al[Klitzing,1980]发现了二维电子气在强磁场中会表现出量子化的 霍尔电导，而且这个电导平台量子化得如此准确以至成为电阻的标准单位。 对量子霍尔系统，Thouless et al[Thouless,1982]提出了一个简单的拓扑不变 量来标识不同的量子霍尔态，这就是有名的TKNN不变量。它的定义是 ∫ 1
1 = 4 这里是反对称张量符号， = ?
是Berry曲率, ∑ ? O, ? ?(2.5) = ??, O(2.6)=是Berry联络. ,
(1, 2)是空间指标。我们这里采用的系数和原始文献不同， 我们这里的写法使得这个定义正好等于数学中出现的第一陈数(The ?rst Chern number). Thouless et al证明了物理上可观测的量子霍尔电导和这个第一陈数存在如 下关系
= 2 1 ? (2.7)15第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性这里是电子电荷，?是Planck常数。这可以直接通过Kubo线性响应公式计算出 来。 TKNN不变量是由波函数O, ?的联络来表示的，这一事实表明能谱 (, )包 含的信息不足以确定绝缘体的拓扑类，波函数包含更重要的信息。这点不仅对 量子霍尔态，对其他的拓扑绝缘体和拓扑超导体也是对的。 对存在无序和电子-电子相互作用的拓扑绝缘体， TKNN不变量有一个推 广，它是用扭曲边界条件来实现的，我们在下一章讨论有相互作用的绝缘体的 拓扑不变量时会对它作简要介绍。2.3 时间反演不变的拓扑绝缘体：能带结构的Fu-Kane-Mele 2 不 变量本节我们将要介绍时间反演不变的拓扑绝缘体的基本概念，特别是它们拓 扑不变量，和量子霍尔效应的TKNN不变量不同，我们这里将要遇到的拓扑不 变量是2 不变量。2 指的是，这些拓扑不变量的取值只有两个值(±1或者0, 1,选 其中哪种记号是约定问题)。二维的时间反演不变的拓扑绝缘体（量子自旋霍 尔系统）和三维的时间反演不变的拓扑绝缘体的拓扑不变量都是2 性质的。从 数学上来说， 2 不变量的定义比整数的拓扑不变量的定义复杂。从维数减除 （dimensional reduction）的角度来说， 2 的性质起源于从低维拓扑绝缘体向高 维作延拓时的不确定性(ambiguity)。例如，对一个三维的时间反演不变的拓扑 绝缘体，我们有多种方法将其延拓为四维的的Chern-Simons绝缘体，这些不同 的延拓能得到不同的四维动量空间中的陈数，它们可以相差一个偶数，这意味 着四维Chern-Simons绝缘体的陈数的奇偶性（奇偶性显然是2 的概念）给出三 维时间反演不变的拓扑绝缘体的2 分类.2.3.1 量子自旋霍尔效应和2 拓扑不变量本小节我们简要回顾量子自旋霍尔效应的研究历史，并说明这个效应的名 称中的“量子”的意义。这里的量子指的是这类态在拓扑上非平凡，而不是指量 子化的自旋输运。 对二维的拓扑绝缘体， Kane和Mele提出了一个2 拓扑不变量[Kane et al, 2005b]，后来Fu和Kane给出了这个不变量的另外一种形式[Fu et al, 2006]，这种 形式就是我们这里要采用的。16第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性首先，我们从自旋霍尔效应(spin Hall effect)开始讨论。自旋霍尔效应是自 旋电子学中的重要问题，以前有过很多研究。自旋霍尔效应是霍尔效应的自旋 类比，在霍尔效应中，电流的产生意味着横向的电势差。自旋霍尔效应中，如 果给样品通过电流，自旋向上和自旋向下的电子都会有横向电势差，但是自旋 向上电子和自旋向下的电子感受到的电势差正好相反，所以导致自旋在样品的 两端聚集(也可以说正是自旋的聚集导致自旋向上的电子和自旋向下的电子有不 同的横向电势差)。 我们知道，霍尔效应有一个量子版本叫量子霍尔效应(quantum Hall effect)， 在量子霍尔效应中，系统本身是一个绝缘体，电流输运发生在系统的边界上。 现在一个自然的问题是，自旋霍尔效应有没有一个量子版本？(量子自旋霍尔效 应？) 为 了 回 答 这 个 问 题， 我 们 从 简 单 的 模 型 开 始。 二 十 世 纪 八 十 年 代， Haldane提 出 了 一 个 量 子 霍 尔 效 应 的 模 型(现 在 这 个 模 型 中 的 现 象 被 称 为 反 常 量 子 霍 尔 效 应，这 是 指 它 的 实 现 不 需 要 外 加 磁 场)。这 个 模 型 采 用 六 角 晶格(参见图2.2)。时间反演不变性在这个模型中被虚数的跃迁矩阵元破坏。 Haldane发现，当模型中的参数处在一定范围内时候，此模型给出量子霍尔电 导： = 2 /?(2.8)这个模型说明了，为了实现量子霍尔效应，外磁场并不是本质要求。通常 的量子霍尔效应中，外磁场的最主要作用是破坏时间反演不变性，如果我们不 加外磁场，但是用其他方式(比如材料自身的磁性原子)来破坏时间反演不变性， 则也可能像Haldane模型一样实现量子霍尔效应。反常霍尔效应在最近几年有不 少相关研究[Liu et al, 2008; Nagaosa et al 2010]，特别是量子反常霍尔效应，对 实际应用具有很大价值。 Haldane模 型 是 针 对 无 自 旋 或 者 自 旋 完 全 极 化 到 一 个 方 向 的 费 米 子 的。 2005年， Kane和Mele把以上的Haldane模型推广到自旋霍尔效应，其想法很简 单，就是自旋向上的电子处于Haldane模型的晶格势中，而自旋向下的电子的在 晶格上的跃迁矩阵元是自旋向上的电子的跃迁矩阵元的复数共轭，这样的哈密 顿量可以由自旋轨道耦合提供。这样整个系统具有时间反演不变性。在这个最17第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性图 2.2 Haldane的量子反常霍尔效应中采用的六角晶格。摘自文献[Haldane, 1988]简单的模型的中， 方向的的自旋是守恒的，自旋向上的电子的霍尔电导是 ↑ = 自旋向下的电子的霍尔电导是 ↓ = ? 2 ? (2.10) 2 ? (2.9)相应的，自旋向上的电子对自旋霍尔系数贡献是 ↑ = ↑ 自旋向下的电子对自旋霍尔系数贡献 ↓ = ↓ 总的自旋霍尔系数是
2 (2.13) ??
= 2 4 (2.12) ?
= 2 4 (2.11)这就是量子自旋霍尔效应的一个简单模型。 以上讨论看上去很合理，但是有一个基本的问题还没有说明。在上面的模 型中，我们假定 方向的自旋是守恒的。我们知道，霍尔效应中，我们观测的18第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性是电荷的输运，电荷是守恒的，所以我们可以明确的说电流输运了电荷。但是 在一般的自旋霍尔效应中，自旋却并不守恒。我们知道，自旋轨道耦合会破坏 自旋守恒。那么，在自旋不守恒的情况(或者说无法定义一个守恒的自旋流)下， 量子自旋霍尔效应中的“量子”是什么意思呢？这时候，自旋霍尔系数并不是量 子化的，我们还能称这个模型为量子的自旋霍尔效应吗？ 在2005年的另外一篇文献中，Kane和Mele回答了这个问题。简单的说，如 果保持时间反演不变性，有一大类二维绝缘体的哈密顿量不能连续的变形成为 平凡的绝缘体，它们具有非平凡的边缘态。存在一个2 不变量保证这种拓扑非 平凡的态的稳定性。 具 体 的 说，对 无 电 子-电 子 相 互 作 用 的 系 统，我 们 能 通 过Bloch态 来 定 义Pfaf?an[Kane et al, 2005b]:Pf( ) = Pf[?, OΘO,
?](2.14)这里O, ?是占据态，Θ是时间反演算符，满足Θ2 = ?1。Pf( )的零点包含 了哈密顿量的拓扑信息。时间反演不变性保证了Pf( )的零点在 和? 成对出 现。另外， Pf( )的零点不可能出现在四个时间反演不变动量处。当哈密顿量 作连续形变时，这些零点可以湮灭。但是，如果只有一对零点，它们不可能湮 灭，因为如果湮灭的话，它们必须在四个时间反演不变动量中的一个处相遇， 但是这是不可能的，因为时间反演不变动量处不能可能是Pf( )的零点。这样， 具有奇数对零点的哈密顿量的和具有偶数对零点的哈密顿量在拓扑上是不同 的。具有偶数对零点的哈密顿量总可以连续形变到没有零点的哈密顿量，但是 具有奇数对零点的哈密顿量不管怎么形变，至少会留下一对零点无法消除。因 此，我们可以定义具有偶数对零点的哈密顿量的2 量子数为1, 奇数对零点的哈 密顿量的2 量子数为-1。这就是拓扑绝缘体研究中出现最早的2 拓扑不变量。 值得说明的是，这里2 拓扑不变量的定义本质上依赖于时间反演不变性，特别 是半整数自旋的费米子的时间反演不变性质Θ2 = ?1。如果我们把这个关系换 成Θ2 = 1，则我们就无法定义这样的一个2 分类。2.3.2 Bernevig-Hughes-Zhang的HgTe量子阱模型: 第一个实验上实现 的量子自旋霍尔态虽然Kane和Mele提出了采用石墨烯(graphene)作为量子自旋霍尔效应的材19第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性GRPDLQZDOOIHUPLRQm图 2.3 畴壁费米子(Domain wall fermion). 这里水平方向是2 方向，质量项的符号在2 等于 零附近改变符号，这就是质量项的domain wall. 在domain wall附近，会有无能隙的手征费米 子传播，这些费米子就是domain wall fermions.料，但是后来进一步的研究发现，石墨烯中的自旋轨道耦合在Dirac点附近太 小(比Kane和Mele在最初的文献中的简单估计小几个数量级)，在目前的实验条 件和精度下无法实现。 2006年，Bernevig, Hughes和Zhang提出用HgTe量子井(quantum well)来实现 量子自旋霍尔效应。这个模型非常在物理上非常简单，它和高能物理中的畴壁 费米子(domain wall fermion)有联系。在高能物理中，为了在晶格上定义手征费 米子，畴壁费米子的概念被提出来[Kaplan, 1992]。简单地说，如果我们要研究 四维空间的手征费米子，我们必须考虑一个五维时空(空间维数增加一维)。记 空间坐标为 ,
= 1, 2, 3, 4, 考虑质量为()的Dirac费米子，这里()依赖于空 间坐标，这点是至关重要的。我们考虑一个质量的畴壁 sgn(()) = sgn(4 )20(2.15)第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性也就是说，质量项在4 = 0处改变符号。这样，我们可以证明，Dirac方程的解 在domain wall附近存在零模式，这些零模式的波函数随着4 增大作指数衰减。 这种局域化的零模式的存在和Su-Schrieffer-Heeger模型中的孤立子解的来源相 同[Su et al, 1980]。这些domain wall上的零模式就是无能隙的手征费米子，从 低能观点来看，它们只有三个空间自由度，因为在4 方向上的波函数是局域 化，这个方向上的自由度被压制了。我们宇宙中的手征费米子是否起源于这 样的domain wall费米子还是个疑问，但是在Bernevig, Hughes和Zhang的模型中， domain wall费米子的概念抓住了本质的物理。我们现在更详细的讨论domain wall费米子在量子霍尔和量子自旋霍尔系统中的实现，我们用凝聚态物理中的 语言来讨论。首先，我们考虑量子霍尔效应，最简单的例子是如下的模型： ?( ) = sin( ) + sin( ) + ( + cos
+ cos ) (2.16)这里,, 是泡利矩阵。这里我们考虑的是自旋极化的费米子，所以没有自旋自 由度， 矩阵对应的是轨道自由度。这个模型其实是前面讨论过的Haldane模型 的变形。可以证明，当0 &
& 2时，我们有
= 2 ? (2.17)这 可 以 通 过TKNN不 变 量 来 计 算 得 到。现 在 我 们 取0 &
& 2而 且 ? 2， 在, → 0时，这个哈密顿量的低能极限(作, =
+ , 展开)是 ? ? ? ? +
? ?( ) = ? ? ?
(2.18)这 里 = 2 ?
& 0。可 以 看 到，这 个 模 型 在 低 能 下 成 为 一 个Dirac模 型。 从这个模型来看，质量 的物理意义很清楚，它就是两个能带之间的能隙，
& 0和 & 0的区别只不过是两个能带中的占据态和未占据态交换一下。现 在，如果 在2 = 0处改变符号，也就是说sgn( ()) = sgn(2 )(2.19)根据domain wall费米子的讨论，在2 = 0附近存在无能隙的费米子，这正 是量子霍尔系统的边缘态。所以量子霍尔系统可以从domain wall 费米子的角度 来简单理解。21第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性图 2.4 量子自旋霍尔效应。摘自文献[Konig et al, 2007]我们知道，量子自旋霍尔效应具有时间反演不变性，所以以上的模型需要 推广。最简单的推广正是Bernevig-Hughes-Zhang中所做的： ?
( ) = ? ? ? (2.20)?( ) 0?0 ? (? )这里?( )正是前面的量子霍尔效应模型中的哈密顿量。这里我们考虑最简 单的模型，其中 方向自旋是守恒的，自旋向上和向下的电子的哈密顿量是独立 的，分别是?( )和?? (? )。这样，如果质量项存在一个domain wall, 我们可以通 过domain wall费米子一样的思路解出边缘态。因为我们现在的哈密顿量是前面 的量子霍尔效应模型的两倍，所以现在有两条边缘态。根据时间反演对称性， 我们知道这两个手征边缘态的电子运动方向是相反的。量子自旋霍尔系统的边 缘态被称为helical liquid.2.3.3 2 拓扑不变量的另外一种定义我们前面介绍过了Kane和Mele的2 拓扑不变量，它是用Pfaf?an来定义的， 这里的Pfaf?an来自这样的矩阵，取 点的两个不同Bloch态的基向量，对其中一22第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性图 2.5 二维2 不变量的定义。摘自文献[Fu et al, 2006]个态做时间反演变换，然后作内积。后来Fu和Kane提出了另外一个定义，它仍 然是采用Pfaf?an,但是这里的Pfaf?an用的是 和? 处的内积。 Fu和Kane证明了 这个新定义和原来的定义是等价的。新的定义的好处是容易推广到三维(在三 维，Paf?an的零点的winding number不好定义，这和二维不同)。我们在这里称 这个新的拓扑不变量为Fu-Kane-Mele不变量，它的定义是(在二维)4 ∏ =1(?1) = 这里(2.21)√ det[ (Γ )] = ±1
= Pf[ (Γ )] 其中 (k) = ??k, OΘ, k,
? 这里 = 1, 2, 3, 4是四个时间反演不变动量，参见图2.5b。(2.22)二维的量子自旋霍尔效应(或者称为二维的时间反演不变的拓扑绝缘体)后 来被推广到三维[Fu et al, 2007a; Moore et al, 2007]。对三维时间反演不变的拓扑 绝缘体，2 拓扑不变量可以和二维时类似的定义，区别只在于在三维时有八个 时间反演不变动量，所以定义中的的 = 1, 2...8(参见图2.6d)。23第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性图 2.6 三维2 不变量的定义。摘自文献[Fu et al, 2007b]2.4 拓扑场论的Qi-Hughes-Zhang不变量在凝聚态系统中，我们积分掉高能自由度，得到低能自由度的有效理论， 这就是有效场论的思路。对于许多拓扑相，这样得到的低能有效场论中含有拓 扑项，这就是拓扑量子场论的内容。我们这里采取拓扑场论的广义定义，也就 是说把包含拓扑项的有效场论统称为拓扑场论(狭义的拓扑量子场论指的是有效 场论中只含有拓扑项, 例如纯的Chern-Simons理论)。拓扑量子场论的优点在于 它们可以描述有电子-电子相互作用和无序的凝聚态系统。在拓扑场论描述中， 我们遇到的拓扑项通常有一个量子化的系数，这个系数也可应看成是系统的拓 扑不变量。所以，拓扑场论的描述和通常的拓扑不变量的描述有着千丝万缕的 联系。 我 们 先 通 过 量 子 霍 尔 效 应 的 例 子 来 理 解 拓 扑 场 论。量 子 霍 尔 态 不 能 由Landau的对称破缺和序参量理论来描述，因为我们找不到合适的序参量。事 实上，整数量子霍尔体系由以下的Chern-Simons拓扑场论来描述： e? 1 = 4 ∫ 2
, (2.23)这个拓扑场论对自由电子系统和有电子-电子相互作用的系统都是成立的， 它描述了低能或者长波下的电磁响应。在无相互作用极限下，1 =
?/2 可24第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性以写为 1 这里
(k) = 2 1 = ? 2∫ ∫
(k) (2.24)? (k) ? (k) ? ? ? ∑ ?
(k) = ? ?kO Ok? ,
= , . ? ∈ occ是Berry曲率和Berry联络。 量子霍尔体系的所有低能响应都能通过这个拓扑场论得到。例如，对 取 微商，我们得到电流
= 其空间分量是
= 而时间分量是 0 = 1 1
2 2 (2.27) 1
2 (2.26) 1
2 (2.25)它们的物理意义是明显的。空间分量的意义是电场产生霍尔电流，时间分 量的意义是磁场导致电荷聚集，这些都是熟知的量子霍尔响应。实际上，对 量子霍尔系统， Maxwell项也存在，但是从量纲分析可以得知，它在低能下 是irrelevant的(Renormalization group意义下), 低能物理是由Chern-Simons项主导 的。 以上是量子霍尔体系的拓扑场论。现在我们转向三维时间反演不变的拓扑 绝缘体的拓扑场论。 Qi,Hughes和Zhang在文献[Qi,2008]中得到了theta term的有 效作用量如下： ∫ e? = Maxwell + topo = 1
16 32 23[] (2.28)这里最后一项是拓扑项。其中 = 2 /?是精细结构常数。对于一个周期性 边界条件的系统，将 替换为 + 2 不会影响物理。时间反演变换下，变成?，25第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性所以时间反演不变性只允许两个的取值： = 0 和 =
。因此，时间反演不变 的拓扑绝缘体被这个拓扑场论分为两类。在粒子物理理论中，这样的项也曾出 现过，因此拓扑绝缘体理论对粒子物理也有启发性。我们本节的主要目的是证 明拓扑场论描述和拓扑能带理论的不变量描述是等价的，所以这里不详细讨论 从这个拓扑场论得到的各种物理响应。我们将在最后一章专门讨论拓扑绝缘体 和拓扑超导体的拓扑场论和物理响应。 Qi, Hughes 和Zhang [Qi, 2008] 给出了 的一个显示的公式，写成布里渊区 的积分： 1
≡ 23 () = 8 这里
(k) = ? ?, kO ?∫2 3 k Tr{[ (k) ?
(k)} 3(2.29)是 非 阿 贝 尔 的Berry曲 率 和 联 络。 这 个参 数 在 物 理 上 可 以 解 释 为 磁 电 极 化(magneto-electric polarization)[Qi, 2008], 在实验上可以观测到。 为了深入理解三维的拓扑绝缘体的拓扑场论，我们需要理解其他维度的拓 扑绝缘体。时间反演不变的拓扑绝缘体形成一个四维，三维，二维的链条，链 条的开端是四维的时间反演不变的拓扑绝缘体[Zhang et al, 2001]，它是二维的 量子霍尔态的四维推广。和二维的量子霍尔体系一样，它的拓扑分类也是 , 它 与二维的量子霍尔体系的不同之处是它是时间反演不变的。四维的拓扑绝缘体 由以下的Chern-Simons拓扑场论描述： ∫ 2 e? = 4
24 2 在时间反演变换下 0 → 0 ,
→ ? (2.31)(2.30)由此我们看到，二维的Chern-Simons拓扑场论破坏时间反演不变性，但是四维 的Chern-Simons拓扑场论不破坏时间反演不变性。对无相互作用的电子系统， 这个Chern-Simons拓扑项的系数可以写成26第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性21 = 32 2∫4 ? tr [ ? ](2.32)由方程(2.30)描述的时间反演不变的拓扑绝缘体是二维的量子霍尔效应的 自然推广，在历史上它被称作四维量子霍尔态。三维和二维的时间反演不变 的拓扑绝缘体可以从它出发通过维度约化(dimensional reduction)得到[Qi et al, 2008]。 前面已经介绍过，三维拓扑绝缘体的拓扑不变量可以从能带理论得到[Fu et al, a, 2007b]。其定义为 (?1)0=8 ∏ =1(2.33)这里 定义在八个时间反演不变动量(TRIM) Γ 处, 其具体形式已经在前文给出。 因为弱拓扑绝缘体(weak topological insulator)在无序存在时会被破坏，我们这里 不考虑弱拓扑不变量(weak indices)[Fu et al 2007]。虽然是对三维拓扑绝缘体定 义的，但弱拓扑不变量在本质是二维的拓扑不变量，这也是我们这里不考虑弱 拓扑不变量的原因之一。 现在，我们看到，对三维时间反演不变的拓扑绝缘体，存在两种不同的拓 扑不变量。它们具有很不相同的数学形式，而且得到这两种拓扑不变量的物 理动机也很不相同。积分形式的Qi-Hughes-Zhang不变量是从拓扑场论出发得到 的，它在物理上可以通过磁电极化来测量。离散形式的Fu-Kane-Mele不变量是 从能带拓扑理论得到的，它的好处是容易计算，特别是对于具有空间反演对称 的系统。对时间反演不变的拓扑绝缘体来说，它们各自给出2 分类。现在的问 题是，这两个2 分类是一样的的吗？如果答案是否定的，则存在两种不同的时 间反演不变的拓扑绝缘体的分类。我们将会看到，事实上，这两种分类是一样 的。2.5 数学解释：一个简单的例子因为我们的方法要用到映射度(degree of map)的概念，我们在本节对映 射度作一个简单的介绍。我们这里的介绍强调直观理解而不是数学严格性， 虽然本节引用的数学定理本身是严格的。我们将用一个简单的一维例子来27第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性说明映射度的概念。如果读者需要了解更多的数学细节，可以参阅参考文 献[Dubrovin,1985]。 让我们来考虑一个具体的一维例子。考虑一个映射(map) :
, 这 里 和 都是一维圆周 1 (参见Fig.2.7)。 和 上的坐标我们分别写作和。
的映射度就是在映射 下 覆盖 的次数，通常也叫做环绕数(winding number)。 映射度有两种表达式。一种是积分形式的，另一种是离散形式的。在我们 这个一维例子中，积分形式的映射度定义是 ∫ ∫1 deg( ) = 2=2=01 () = 2=2=0
∈ Z (2.34)这 个 表 达 式 有 个 简 单 的 几 何 解 释。为 简 单 起 见，我 们 假 定 = 0 映 射 到 = 0。当 = 0 从0 增加到2 时， 从0 增加到2。这是积分形式的映射 度。事实上，映射度还有另外一种离散的表达式，我们通过这里的一维例子 来解释这个离散的表达式。我们任意选择像流形(image manifolds) 上的一个 像点(参见Fig.2.7)，然后数出映射到点的原像1 , 2 , 3 等。在计数时，每个 原像贡献+1 或者?1，这里的+1 或者?1的符号取法依赖于映射的方向(逆时针 取+1,顺时针取?1)。例如， 只有一个原像 ，而且映射在 点的走向是逆时针 的，所以deg( ) = 1。我们也可以选择其他点来计算映射度。比如，我们可以 取，它有三个原像，1 , 2 和3 。1 和3 以逆时针的方式映射到，但是2 以顺 时针的方式，所以映射度是deg( ) = +1 ? 1 + 1 = 1，可以看到，映射度(环绕 数)的值不依赖于像点的选取。从这个例子我们可以看到，映射度可以通过数出 映射到给定像点的原像个数来得到，这是映射度的离散表达式。 上述一维图像可以推广到高维。一般的，对于一个映射 :
，这 里 和 都是维可定向流形(orientable manifolds)，我们可以定义映射度为： ∫ deg( ) = ? ( )(2.35)这里 是 上的体积形式(volume form)，它是一个阶微分形式，满足如下关系 ∫ = 1(2.36)28第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性1 N M N M-1211p3 p ppqNMq(a)(b)(c)图 2.7
到 的映射。这里的箭头表示映射。对这里的图(a), (b)和(c)，环绕数(映射度)分别 是1,2和1。 ? ( ) 是 在映射 下从 到 的拉回(pullback)。在我们前面的一维例子中，我 们有
? ( ) = ()/2 = (/)/2 (2.38) (2.37)在我们的一维例子中，我们已经看到deg( )有一个离散形式的表达式，这 点也可以推广到高维。它的定义是[Dubrovin et al, 1985]: deg( ) =
?1 () & 0] ?
?1 () & 0] (2.39)这里 是映射的雅可比(Jacobian)， [ ?1 (),
?1 () & (&)0]代表映射到的雅可 比为正(负)的原像的个数。我们通过前面的一维例子来解释这个公式。在那个 例子里， ?1 () 就是映射的方向(顺时针或逆时针)。值得一提的是，我们不能选 取映射的奇异点，也就是雅可比为零的点，因为雅可比为零的点的集合的测度 为零，避开这种点总是可能的。 综上所述，映射度有两种不同的表达形式，积分形式和离散形式。在下 一节里，我们要利用这个事实去证明Fu-Kane-Mele不变量和Qi-Hughes-Zhang不 变 量 是 等 价 的，其 中Fu-Kane-Mele不 变 量 对 应 的 是 离 散 形 式，而Qi-HughesZhang对应的是积分形式。我们将要用到模2的映射度的(degree of map modulo 2)，简单记作deg2 ( )。29第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性2.6 拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性我们从时间反演的拓扑绝缘体的能带结构开始讨论。为了简化问题，我们 首先假定除了时间反演导致的Kramers简并以外，没有其他的简并。我们假定 有2 个填满的能带，这里填满的能带的个数是偶数，这是由于时间反演不变体 系的Kramers简并。我们这样定义 ( )矩阵： ∑O ? k, ? =?
(k)OΘ, k,
?(2.40)? Ok,
? 和Θ ? 是时间反演算符。Θ ? 2 = ?1 这个性质对时间反演不 这里OΘ, k,
? = Θ 变的费米子体系非常关键。通过直接计算，可以得到 ∑ ??k, OΘ, k,
(k)?Θ, k,
(k) (2.41)=
(k) 以及 (k) 的重要性质：
(?k) = ?k, OΘ, ?k,
OΘ, k, ? = ? (k)(2.42)? 2 = ?1 and ?OΘ,
? = ?? OΘ, ?这 两 个 公 式。因 此， 这 里 我 们 利 用 了Θ
(k)在八个时间反演不变动量处是反对称的。众所周知，对反对称矩阵，我 们可以定义Pfaf?an。它是矩阵元的多项式。Fu-Kane-Mele不变量定义为 (?1)0=8 ∏ =1√
=det[ (Γ )] = ±1 Pf[ (Γ )] 的Pfaf?an记作Pf[ ]. 尽管表面上开来这个公式中的所有物理量都定义在八个 时间反演不变的动量处，因而是局部的物理量，但是其实这个定义包含了整体 的拓扑信息，因为我们必须选好三维布里渊区( 3 ，三维环面)上的整体波函数 基，这个基的存在是由时间反演不变性保证的，我们将在这节的附录里说明它 的存在性。30第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 (k)是个酉矩阵，它定义了如下一个映射
(2 ) (2.43)因为我们假定了除Kramers简并外不存在其他的简并，这个映射能被简 化。我们把2 个填满的能带分解成 个时间反演对。因为具有不同能量值 的能量本征态是简并的，如果O ? k, ? 和Ok,
? 属于不同的时间反演对，我们 有 (k) = 0。因此， (k) 在不同的时间反演对之间的矩阵元为零。用显式的 公式写出来， (k) 有以下形式 ? ? ? ? ? ?
(k) = ? ? ? ? ? ? 2 (k) 3 (k) ...
(k) 这里每个 (k) 都是 (2) 矩阵. 因此，映射 分解成 个映射
= 1, 2, ? ? ? ,
(2.45) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 (k)(2.44)下 一 步 是 把 映 射 (2) 约 化 到 (2)。
(2)是 一 个 三 维 流 形， 而 我 们 面 对 的 布 里 渊 区 也 是 三 维 的，这 就 是 我 们 要 把 (2) 约 化 到 (2)的 原 因。 为 了 这 个 目 的，我 们 做 因 式 分 解 (k) = exp[ (k)] (k)，这 里 (k) 是 一个k的 (2)矩阵函数。因为exp[ (k)] (k) = ? exp[ (k)][? (k)]，而 且? (k) 也是 (2)矩阵，这个分解可以采取两种不同的方式，所以这种分解 有不确定性。为了避免这种不确定性，我们任意选择 3 中的一点k0 ，然后从两 种分解中任意选择一种分解 (k0 ) = exp[ (k0 )] (k0 )。其余的k点的分解可 以通过以下方程来确定：
(k0 ) ? 2 ∫kk0k?k ln(det[ (k)])(2.46)我们容易验证，通过这个方程定义的 ( )的行列式为1。因为从k0 到k存 在 拓 扑 不 同 的 路 径，为 了 使 上 述 方 程 中 的 积 分 有 确 定 意 义，我 们 必 须 要31第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性AOB图 2.8
3 中的闭合路径 。点是时间反演不变动量 = (0, 0, 0)。点 和 其实是同一 个点，这是因为布里渊区上的周期边界条件。 是一条同伦不平凡的路径，也就是说，
不能光滑的形变到一个点。∮ 求
k?k det[ (k)] = 0对 3 中的任意回路 成立。对可缩回路 ，这个条件显 然满足。对不可缩回路，我们考虑图2.8中的 为例。我们有 ∮∫ k?k ln(det[ (k)]) = = 0∫ k?k ln(det[ (k)]) +k?k ln(det[ (k)]) (2.47)这可以利用det[ (?k)] = det[ (k)]得到。因此，我们将 (2)分解成了 (2) ∮ 和 (1) 的乘积。通过这个分解，我们也能得到
(k) = 0 (对任意闭合路 径)。因此，我们能平滑的将 (1) 因子变成1。这样，我们消去了 (1)因子，于 是我们将原来的映射 :
(2) 变形成了 :
(2)。我们接下来要 给出三维拓扑绝缘体的拓扑不变量的几何解释。 首先，我们解释怎样把把方程(2.29)中的3 解释成一个映射度。我们从积分 形式的3 表达式开始：32第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性1 3 = 16 2∫2 3 k Tr{[ (k) ?
(k)} 3(2.48)这个方程对时间反演不变系统和时间反演破缺的系统都成立。对于时间反 演不变的系统，利用 (k)的表达式，我们可以通过计算得到
(?k) = ???k, O??k O ? k,
? ∑ ? ′ =
′ ?Θ, k, ′ O?k ( ′ OΘ, k,
= 也可以简写为? ?
′? ′ ′ ′
′ ?Θ, k,
O?k OΘ, k,
′ ? (k))?
′′ (∑′? ′ ?k
′ (2.49)(2.50)因此，Berry曲率满足以下方程： (?k) = ??k
(?k) ? ??k
(?k) + [ (?k),
(?k)]? = ? (k) (k) ? (k)(2.51)这个结果意味着?k点的非阿贝尔Berry联络和k点的非阿贝尔Berry联络可 以通过简单的规范变换联系起来。这样，我们得到 ∫ 1 2 3 k Tr{[ (?k) ?
(?k) (?k)] (?k)} 2 16 3 ∫ 1 2 ? 3 k Tr{[ (k) ?
(k) (k)] (k)}? 2 16 3 ∫
? ? 2 3 k Tr? (?
) 8 ∫ 1 ? 3 k Tr[(?
? )] 24 2 ∫ 1 ? ?3 ? 3 k Tr[(?
? )] 2 24 ∫ 1 ?3 ? 3 k Tr[(?
? )] 24 23 = == =(2.52)33第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性或者等价的写作 1 23 = ? 24 2 ∫ 3 k Tr[(?
? )] (2.53)上式的左边和右边都依赖于规范的选取，但是23 的奇偶性不依赖于规范 1 23 (mod 2) = ? 24 2 ∫3 k Tr[(?
? )] (mod 2)(2.54)这是刻画时间反演不变的拓扑绝缘体的重要拓扑不变量。 在我们前面的讨论中，我们把 ( )分解成了 (2) 矩阵( ,
= 1, 2, ? ? ? ,
)的 直积 23 (mod 2) = 这里 1
= ? 24 2 ∫? ? ? 3 k Tr[( ?
∑ =1(mod 2)(2.55)(2.56)我们注意到 正是如下的映射的积分形式的映射度
(2) 相应的模2的映射度是 (2.57)deg2 ( ) =
(mod 2) 因此我们有 23 (mod 2) = ∑ =1(2.58)deg2 ( )(2.59)以上是积分形式的映射度。我们在前一节中曾经说明，映射度有两种表达 式，一种是积分形式的，另一种是离散的，所以现在自然的问题是我们能否 为我们正在考虑的映射找到一个简单的离散的映射度的表达式。我们把k 在映34第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性射 下的像记作 (k)，它是一个 (2)矩阵。我们已经说明过， (Γ ) 在时 间反演不变动量Γ 处是反对称的。但是 (2)中只有以下两个矩阵是反对称的 ? ? ? ? 0 1 0 ?1 ?, ? 1 = ? 2 = ? ?1 0 1 0 我们容易验证Pf[1 ] = 1 和Pf[2 ] = ?1. 现在我们通过选择 (2)中的一个点来计算其原像的个数。原则上我们可 以任意选择 (2)中的任意点，但是，由于时间反演对称性，如果我们选择2 或者1 ，这个计数将最容易得到。现在我们计算映射到2 的原像的个数(模2) 。 首先，我们注意到如下重要事实，如果
(k) = 2 那么
(?k) = ? (k) = 2(2.60)(2.61)所以，如果k 映射到2 , 那么?k也映射到2 。因此，如果k不是八个时间反 演不变动量之一， k 和?k 是不同的点，那么他们不会对deg2 ( )有贡献，因 为deg2 ( )计算的是模2的映射度。可能对deg2 ( )有所贡献的只有时间反演不 变动量，因为在这些点k 和?k是相同的点。值得指出的是，模2映射度的计算 比普通的整数映射度容易，因为整数映射度需要考虑映射的雅可比的符号，但 是模2的映射度不需要，这是因为?1 = 1(mod 2)，这点大大简化了模2映射度的 计算。 因为我们已经将映射的像流形从 (2) 约化到 (2), det[ (Γ )] = 1, 我们 √ ∏ 有 = det[ (Γ )]/Pf[ (Γ )] = Pf[ (Γ )] =
Pf[ (Γ )]. 我们假定在映射 下，有 个时间反演不变动量映射到2 ，另外8 ?
个时间反演不变动量映射到1 。通过数映射到2 的点的个数(模2), 我们 有deg2 ( ) =
(mod 2), 因此得到∑(?1)23 = (?1)=1deg2 ( )=∏ (?1)(2.62)另外，Fu-Kane-Mele的离散拓扑不变量[Fu,2007b]由下式给出35第2章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性(?1)0 =∏Pf[ (Γ )] =∏,Pf[ (Γ )] =∏ (?1)(2.63)因此，我们证明了本节的的主要结论：对三维时间反演不变的拓扑绝缘体， 积分形式的Qi-Hughes-Zhang不变量和离散的Fu-Kane-Mele不变量是等价的，(?1)23 = (?1)0(2.64)在我们的上述证明中，我们假定了除了Kramers简并外，没有其他的意外简 并，这个假定一定程度上简化了我们的表述。我们的证明可以直接推广到不添 加这个假定的普遍情况。因为3 ( (2 )) = 3 ( (2))对任意整数 ≥ 1都成立， 我们总可以把映射 变形到 (2 )的一个 (2)子群，这样，我们前面的证明过程 仍然成立。2.7 小结本章中，我们复习了无相互作用绝缘体的几个拓扑不变量： TKNN不变 量，Fu-Kane-Mele不变量，Qi-Hughes-Zhang不变量。拓扑不变量是定量处理拓 扑绝缘体的重要工具。我们在本章中证明了在无相互作用极限下，Qi-HughesZhang从拓扑场论出发得到的不变量和Fu-Kane-Mele从拓扑能带理论得到的拓扑 不变量是等价的，因此说明了拓扑能带理论和拓扑场论之间的直接的联系。我 们的证明过程用到了映射度这个拓扑学概念，映射度有两种数学形式，第一种 是积分形式的，第二种是离散形式的，数学定理保证了这两种形式是等价的， 我们在本文中证明了拓扑场论不变量和拓扑能带理论不变量都对应同一个映射 度，因此是等价的。2.8 本章附录：布里渊区中波函数整体基的存在性本附录中我们讨论波函数的整体基。我们知道，在布里渊区中，如果我们 只选取一个拓扑平凡的小区域，则一定可以找到局部的波函数O, ?的一组基， 但是在整个布里渊区上，这个基是否能找到，答案并不明显。在这个附录里我 们说明波函数的整体基在布里渊区 3 上是存在的，而且它的}