华师大版八年级数学初二上数学教案
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华师大版八年级数学初二上数学教案
初中二年级（八年级）数（上）学华东师大版第十二章数的开方212.1 平方根与立方根（1）设计者总第 1 课时 赵纳新 城关乡一中【教学目标】 以实际问题的需要出发， ： 引出平方根的概念， 理解平方根的意义，会求某些数的平方根。【教学重、难点】 ：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。难点：平方根的意义【教具应用】 ：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】 ：一、 提出问题，创设情境。 问题 1、要剪出一块面积为 25cm?的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题 2、已知圆的面积是 16π cm?，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第 2 页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25 的平方根只有 5 吗？为什么？ 4、会求 100 的平方根吗？试一试 5、－4 有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。 如 5?＝25， （－5）?＝25 ∴25 的平方根有两个：5 和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4 没有平方根。 ⑤ 0 的平方等于 0。所以 0 只有一个平方根为 0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数 a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 16 ① 49 ②1.69 ③ ④（－0.2）? 81 2、将下列各数开平方3①1②0.093 ③（－ ）? 5五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③4 1252、求未知数 x 的值 ①（3x）?＝16 ②（2x -1）?=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 3、平方和开平方运算有什么区别和联系？ 区别：①平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。而在开平方运 算中，已知的是指数和幂，求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的，在开 平方运算中，开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。 七、 布置作业 1、P 7 第 1 题 2、（选做）已知：x 是 49 的平方根，y 是 1 的平方根，求： ①2x+1 ②(x+y)?【教后反思】12.1平方根与立方根（2）设计者总第 2 课时 赵纳新 城关乡一中【教学目标】 1、引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根 ：概念的意义和平方根的表示方法基础上，讨论算术平方根的概念及其表示方 法。 2、会用计算器求一个非负数的算术平方根【教学重、难点】 重点：了解数的算术平方根的概念，会用“ ：一个数的平方根和算术平方根。 难点：对 a 的理解。特别是 a 的取值的理解。”表示【教具应用】 教师：计算器、小黑板 ：学生：计算器【教学过程】 ：4一、 提出问题，创设情境 1、在（－5）?，－5?，5?中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有 平方根？为什么？ 2、说出平方根的概念和性质。 3、0.49 的平方根怎样用符号表示呢？又有新的命名吗？带着这些问 题，走进我们今天的课堂。 二、 自学提纲 1、9 的平方根是 ，9 的正的平方根是 ， 9 ＝3 表示的意义是什么？ 2、 什么样的数存在平方根？什么样的平方根是这个数的算术平方根？分 别用什么符号表示？ 3、 a ”存在的条件是什么？ “ a ”的结果是正数、0、还是负数？ “ 4、 0 ＝0 正确吗？ 5、 a 2 有意义吗？ (? a ) 2 呢？ ? a 呢？ 6、－ 169 的意义是什么？它等于什么 三 、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，教师点拔 1、概括：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为 a ，读作“a 的算术平方根” 。另一个平方根是它的相反数，即－ a 。因此正数 a 的平方根可 以记作± a ，a 称为被开方数。 注意：①这里的 a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的平方根。 ②这里“ a ”中有双“正”字，即被开方数为正，结果的值 为正。 2、 的平方根也叫 0 的算术平方根， 0 因此 0 的算术平方根是 0。 即 0＝ 0。 从以上可知： a 是正数或 0 时， a 表示 a 的算术平方根， 当 其结果为非负数。 3、 a 2 总有意义， (? a ) 2 也总有意义，但 ? a 存在有条件限制，即 －a≥0，∴a≤0 四、知识应用 1、求 100 的算术平方根 2、求下列各数的平方根和算术平方根5①36②2.89③17 93、求下列各式的值 ① 625 ②± 4 ? 223 364、用计算器求下列各数的算术平方根（看第 4 页的按键顺序） ①529 ②1225 ③44.81 五、测评问题 1、下列各式中叫些有意义？哪些无意义？ - 0.3? 0.3? (0.3) 2(?0.3) 22、求下列各数的平方根和算术平方根 1 121 0.25 400 256 3、求下列各式的值，并说明它们各表示的意义10005、用计算器计算 ① 676- 144± 6250② 27.8784③ 4.225 （精确到 0.01）六、小结 ①如何表示一个正数的平方根？举例说明 ②什么叫做算术平方根？ ③式子 x ? 1 中的 x 应满足什么条件？ 七、布置作业 1、P 7 3（1） 42、 （选做）若某数的平方根为 2a+3 和 a-15，求这个数。 3、若 x ? 3 + y ? 4 =0，求（x-y） 2007【教后反思】612.1平方根与立方根（3）设计者总第 3 课时 赵纳新 城关乡一中【教学目标】 ：1、了解立方根和开立方的概念。 2、会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算。 3、培养学生用类比思想求立方根的运算能力。 4、会用计算器求一个数的立方根。 【教学重、难点】 ：重点：立方根的概念和性质 难点：会求一个数的立方根 【教具应用】 ：教师：计算器、小黑板 学生：计算器 【教学过程】 一、提出问题，创设情境导课 问题： 现有一只体积为 216cm?正方体纸盒， 它的每一条棱长是多少？ 二、自学提纲 1、 类比平方根的概念，这个实际问题，能抽象出什么数学概念？在数 学上提出怎样的计算问题？ 2、2 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是 8？ 3、－3 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是－27？ 4、27 的立方根是什么？－27 的立方根呢？0 的立方根呢？ 5、类比平方根的性质，你能总结出立方根的性质吗？ 6、什么叫开立方？开立方与 是互逆运算。 求一个数的立方根可以 通过 运算来求。 7、一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？ 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果，教师点拔 1、概括：如果一个数的立方根 a，那么这个数叫做 a 的立方根，记 作 3 a ，读作“三次根号 a”a 称为被开方数，3 称根指数。 2、立方根的性质：正数有一个立方根，是正数 负数有一个立方根，是负数 0 有一个立方根，是 0 3、平立根与立方根的区别和联系 联系：①0 的平方根、立方根都是 0 ②平方根、立方根都是开方的结果。 区别：①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同，正数 a 的平方根为± a ，a 的立方根 表示为 3 a7④被开方数的取值范围不同 四、知识应用 1、求下列各数的立方根 8 ① ②－125 ③－0.008 27 2、用计算器求下列各数的立方根（看 P 6 的按键顺序） ①1331 ②－343 3、求下列各式的值 ①3 ?8 ② 3 0.064 ③9.263 ③（ 3 9 ）?五、测评 1、求下列各数的立方根 ①512 ②－0.008 ③－64 1252、用计算器计算 ① 3 6859 ② 3 17.576 ③ 3 5.691 （精确到 0.01） ②1 的立方根是±1 ④64 的算术平方根是 83、判断正误 ①－4 没有立方根 ③－5 的立方根是－ 3 5六、小结：1、立方根的定义、性质 2、完成下表七、布置作业：1、P 723（2）2、立方根等于本身的数有 平方根等于本身的数有 － 64 的立方根是 3、x 为何值时， x ? 3 ＋ 3 ? x 有意义？ X 为何值时， 3 x ? 3 ＋ 3 3 ? x 有意义？【教后反思】8课题实数与数轴(1)总第_4_课时 学 校 :城 关 乡 一 中设计者:王希民教学目标： 1．了解无理数、实数的概念和实数的分类。 2．知道实数与数轴上的点一一对应。 教学重点： 了解无理数、实数的概念和实数的分类。 教学难点： 正确理解无理数的意义。 教具应用： 直尺、计算器。 教学过程： 一 教学导入 在小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数，圆周率 π，它约等于 3.14， 你还能说出它后面的数字吗？比比看谁记得多。它是一个怎样的数？ 二 1．自学提纲，看书 P8-P9 完成有理数的分类。 1 2 1 2．把下列分数化成小数， =___， =___， =___。 4 3 7 你再任意举三个分数化成小数，可以发现任何一个分数写成小数形式，必须是 ___小数或___小数。 3． 2 、π 是分数吗？为什么？ 4．什么是无理数？实数？ 5．你能完成 p9 中的“试一试”吗？ 6．如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 如果将所有的实数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 实数与数轴上的点是一一对应吗？ 三、 展示与指导 1．通过让学生们回答上面的问题，知道分数都可化为有限小数或无限不循环 小数，而 π、 2 是无限不循环小数，故不是分数。 2．在此基础上总结出无理数概念。 3．实数概念。 4．实数的分类。 整数 有理数 实数 分数无理数 5．实数与数轴上的点的关系。9四．测试 1、把下列各数分别填入相应的数集里。 1 22 - π ，， 7 ， 3 ? 27 ， 0..5, 3 13 - 0.4 , 16 ,0.? 实数集x 无理数集x 有理数集x 分数集x 负无理数集x 2、下列各说法正确吗？请说明理由。 ⑴3.14 是无理数； ⑶无理数都是无限小数； ⑸无理数都是开方开不尽的数；0.36 ,39 , 42 , 9?y ?y ?y ?y ?y ⑵无限小数都是无理数； ⑷带根号的数都是无理数； ⑹不循环小数都是无理数。五．小结 以上由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生。 小结： 1．无理数、实数的区别。 2．有理数、实数的区别。 3．实数与数轴的点是一 一 对应的关系。 六．作业 （一）判断正误。 1．有理数与数轴上的点是一 一 对应。 2．无理数与数轴上的点是一 一对应。 3．有理数包括整数和小数。 （二）提高题： π 22 ? 3 （1） ．在下列数：－0.5， 3 ，21， 5 ， 7 ， 7 ， 36 ，0， ?125 中有理数有：_______________；正数有：_______________； 无理数有：_______________；负数有：_______________． （2） ．在数轴上作出 ? 2 的对应点，如何作出 3 的对应点呢？教后反思10课题教学目标:实数与数轴（2）设计者：王希民总第 5 课时 学校：城关乡一中1．了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围 内仍然适用． 2．能利用运算法则进行简单四则运算．教学重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。利用运算法则进行简单四 则运算教学难点：熟练的运用法则进行四则运算。教学过程：一.情境导入： 前面学过的相反数，绝对值等概念以及运算律法则都是在有理数的范围内， 现在数的范围扩充到实数。这些仍然适用吗？ 二.预习提纲： 1. 用字母来表示有理数的乘法交换律，乘法的结合律，乘法的分配律。 2. 用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3. 有理数 a 的相反数是――，有理数 a 的倒数是――，有理数 a 的绝对值 是―― 4. 上述问题变成实数范围后仍然成立吗？ 5. 请你完成课本 10 页例 1，例 2 三.展示指导 1. 经过探究知道，有理数的相反数和绝对值等概念，大小比较，运算法则， 运算律对实数也同样适用. 2. 实数的大小比较和运算通常可取实数的近似值来运算。师生共同完成例 1，例 2. 四.练习：课本 13 页练习：2，3 题 五.测试： 1. 3 -2=―― 2. 2 的相反数是―― 3.比较大小;11(1)3 2 与 2 3 ；（2）-2 6 与-3 34.计算（1）（ 3 +1） 2 （2）（ 2 +1）（ 2 -1） 六.作业布置： 1.课本 13 页习题：1，2 题教后反思：课题教学目标：《数的开方》复习总第 6 课时 学校：城关乡一中设计者：王希民通过复习让学生对本章的知识有一个系统的了解和掌握。教学重点与难点：经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学 过的知识解决问题的方法。教学过程：一、 自学提纲： 1、 看书本 14 页本章知识结构图，并完成下列填空。 2、 若 x2 =a 则----是-----的平方根，a 的平方根记作-----，a 的算术平方根记作------3、 正数有------个平方根，它们的关系是---------，负数有平方根吗？若 没有说明原因。0 的平方根为---------。 -------叫开平方，它与-------互为逆运算。 4、 若 x 3 =a 则--------是-------的立方根，记作---------。正数的立方根是-------数 负数的立方根是-------数 0 的立方根是-------数 5、--------叫开立方，开立方与--------互为逆运算。126、-------是无理数。-------和------统称为实数，实数与数轴上的点是 ---------关系。 二、 知识应用： 1、 填空： 4 （1） 的平方根是-------， 81 的算术平方根是-------25 8 9 （2） ------的平方等于 ，的立方根是------27 16 （3） 平方根等于本身的数------立方根等于本身的数------算术平方根等于本身的数------（4）若x = 2 ，则 x= --------- 2 的相反数是-------- 2 2、 3、 4、 的绝对值是-------将下列各数按从小到大的顺序排列:3 ,- 2 ,1- 3 ,1+ 2一个立方体的体积为 285cm 3 ，求这个立方体的表面积。 （保留三个有效数字） 三、 小结： 四、 作业： 课本 25 页 1、2 题 补充题，已知(2x) 2 =16, y 是(-5) 2x x + 的值. z? y x? y的正的平方根，求代数式.教后反思第十二章 数的开方单元测试（一）（时间 45 分钟，分值 100 分） 盐镇一中:郝占规老师 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1、下列说法不正确的是（ ） ．．．13总第 7 课时高振锋老师A 如果一个数有两个平方根，那么它的平方根的和为 0 B 如果一个数只有一个平方根，那么它的平方根是 0 C 任何数的决对值都有平方根 D 任何数的绝对值的相反数都没有平方根 2、一个实数与它倒数之和是 2，则它的平方根是（ ） A 2 B ±2 C 1 D ±1 3、下列各数中没有平方根的是（ ） A-22 B 0 C ） C 1 16 D ± 1 2 1 2 D（-4）21 4、 的算术平方根是（ 4A1 2B -1 25、若 a2=(-5)2 b3=(-5)3 ,则 a + b 的值为（ ） A 0 B ±10 C 0 或 10 D 0 或-10 6、如果一个数的平方根是 a+3 及 15，那么这个数是（ ） A 12 B 18 C-12 D -18 7、如果一个数的平方根与立法根相同，那么这个数是（ ） A 0 B ±1 C 0和1 D 0 或±1 8、使式子 3x ? 2 有意义的实数 x 的取值范围是（ A x≥0 B x&2 3 C x ≥3 2 ） 2 3D x ≥-9、在3? 1 ，0， ? 0.4 ，22 ， 9 ，0.3，0.303003?（每相邻两个 3 之间依 7 ）个次多一个 0） ，1 中，无理数有（ ?A 0 B 1 C 2 D 3 10、与数轴上的点一一对应的是（ ） A 有理数 B 整数 C 无理数 D 实数 二、填空题（每题 2 分，共 30 分） 1.若 x2=9,则 x=_________ 2.25 的算术平方根是____________ 3.如果正数 x 的平方根为 a+2 与 3a-6,那么 x=________ 4.若 m 的平方根是±4，2n 的平方根是±5，则 m+2n=__________ 5.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________ 6.一个负数 a 的倒数等于它本身，则 a ? 2 =___________ 7.3 ?27 的相反数是_________148.当 b=-1 时， (b ? 1) 2 =________ 9.数轴上到原点的距离等于 10 的数是________ 10. 若 无 理 数 a 满 足不 等 式 1 ＜ a ＜ 4, 请你 写 出 两 个你 熟 悉 的无 理 数 ____ ___ 11.计算 (?1) 2 ? 3 (?3) 3 ? 3 8 ? 12.比较大小：- 3 2 ______-2 3 13.若实数 a、b 满足(a+b-2)2+ b ? 2a ? 3 ? 0 ,则 a-b=______ 14.当 m=-3 时， m 2 ? m ? 2m ? 15.已知 x ? 2 与 y ? 3 互为相反数，则 xy=_______ 三、解答题（共 40 分） 1.求出下列各式中 x 的值。 （每题 5 分，共 20 分） 2 （1）169x =100 (2)x2-289=0(3) 27(x-1)3=8(4)3x3+24=02.若 m、n 是实数，且 m ? 3 ? n ? 2 ? 0 , 求 m、n 的值（4 分）3.已知 x ? 1 ? ( y ? 1) 2 ? 0 求 3 x ? 2004 y 的值（6 分）4.先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题。 （10 分） 2 3 ? a ，求 a、b 的值。 （1）已知 a、b 是有理数，并且满足不等式 5- 3a =2b+ 315解：因为 5- 3a =2b+ 即 5- 3a =(2b-a)+ 所以 2b-a=5 2 -a= 3 2 解得: a=3 13 b= 62 3?a 32 3 3（2）设 x、y 是有理数，并且满足 x2+2y+ 2 y=17-4 2 ，求 x+y 的值。答案：第十二章 数的开方单元测试（一） 一、选择题： 1.D 2.D 3.A 4.A 6. D 7. A 8.D 9.D 二、填空题： 1、±3 2、 5 3、 9 4、41 6、 1 11、0 三、解答题 10 1、 （1）x=±13 2、m=-3 3、0 n=2 (2)x=±17 7、 3 12、＜ 8、 2 4 13、35.D 10.D 5、 0 或 1 10、 2 , ? 15、-69、± 10 14、 0 5 (3)x=3(4)x=24、由 x 2 ? 2 y ? 2 y ? 17 ? 4 2 得x 2 ? 2 y ? 17 y ? ?4x?5 y ? ?4 x ? ?5 y ? ?4解得或所以 x+y=5－4 或 x+y=－5－4 故 x+y=1 或 x+y=－9【测后小结】16第十二章数的开方单元测试（二）设计者: 盐镇一中 高会雅 高振锋总第 8 课时一、选择题。(每题 3 分，分值 100 分) 1、一个正数的平方根是 m,那么比这个数大 1 的数的平方根是（ A m2+1 B ± m2 ? 1 C）m2 ? 1D± m ? 1 ） D2、一个数的算术平方根是 3 ，这个数是（ A 9 B 3 C 233）3、已知 a 的平方根是±8，则 a 的立方根是（ A ±2 B ±4 C 2 D 4 4、下列各数，立方根一定是负数的是（ ） 2 2 A -a B Ca C Ca -1 5、已知 a ? 2 +｜b-1=0,那么(a+b)2007 的值为（ A -1 B 1 C 32007 D -32007 ）DCa2+1 ）6、若 ( x ? 1) 2 =1-x,则 x 的取值范围是（ A x≥1 B x≤1 C x1D x1 ）7、在A 22 ，22 ，2? ， 2 - 3 ，2. 中，无理数的个数为（ 7 3B 3 C 4 D 5 ）8、若 a0，则化简 a 2 ? a 的结果是（A 0 B -2a C 2a D 以上都不对 9、实数 a，b 在数轴上的位置如图，则有（ ） a 0 b A ba B ab
C -ab D Cba 10、下列命题中正确的个数是（ ） A 带根号的数是无理数 B 无理数是开方开不尽的数17C 无理数就是无限小数 D 绝对值最小的数不存在 二、填空题（每题 2 分，共 30 分） 1、若 x2=8,则 x=________ 2、 16 的平方根为_________ 3、如果 ? ( x 2 ? 2) 2 有意义，那么 x 的值是__________ 4、a 是 4 的一个平方根，且 a0,则 a 的值是_____________ 5、当 x=________时，式子 x ? 2 ? ? x ? 2 有意义。 6、若一个正数的平方根是 2a-1 和-a+2,则 a=_________ 7、 (3 ? ? ) 2 ? (4 ? ? ) 2 ? 8、如果 a 2 =4,那么 a=________________ 9、-8 的立方根与 81 的算术平方根的和为___________3 10、当 a2=64 时， a =___________11、若a = 3 , b =2,且 ab0，则 a+b=_________ 12、若 a,b 都是无理数，且 a+b=2,则 a,b 的值可以是__________(填上一组满足 条件的即可) 13、绝对值不大于 5 的非负数整数是___________ 14、请你写出一个比 2 大，但比 3 小的无理数____________ 15、已知 x ? 3 +｜y-1｜+(z+2)2=0,则(x+z)2008y=_____________ 三、解答题（共 40 分） 1、若 5x+19 的算术平方根是 8，求 3x-2 的平方根。 分） （42、计算（每题 3 分，共 6 分） （1） 25 +3?8（2） 3 (?3) 3 ? (?5) 2 ? (3 2 ) 33、求下列各式中 x 的值（每题 4 分，共 8 分） (1) (x-1)2=16 (2) 8(x+1)3-27=0184、将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列。 分） （42 26?3 20?3 25、著名的海伦公式 S= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 告诉我们一种求三角形面积的方 法，其中 p 表示三角形周长的一半，a、b、c 分别三角形的三边长，小明考试时， 知道了三角形三边长分别是 a=3cm,b=4cm,c=5cm,能帮助小明求出该三角形的面 积吗？（5 分）6、已知实数 a、b、c、d、m，若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值 是 2，求a ? b ? m2 ? 1 cd的平方根（7 分）1 1 7 、 已 知 实 数 a ， b 满 足 条 件 a ? 1 +(ab-2)2=0 , 试 求 + ab (a+1)(b+1) + 1 1 + ? + 的值。 分） （6 (a+2)(b+2) (a+2001)(b+2001)第 12 章 数的开方单元测试（二） 一、选择题 1、B 2、B 3、D 4、C 6、B 7、B 8、C 9、D 二、填空题 1、±2 2 6、-1 2、±2 7、1 3、± 2 8、±45、A 10、B4、-2 9、15、-2 10、± 21911、4- 3 1 14、 2 +5 三、解答题 1、±512、a= 2 +3 ,b=- 2 -1 15、113、0，1，22、 （1）3(2) 43、 （1）x=5 或 x=-3(2) x=1 23 3 4、2 2 ＞ 6 ＞ 0＞＞2 25、6cm2 6 、 解 ：由题意，得 a+b=0,cd=1,m2=4,所以，a ? b ? m2 ? 1 cd=0 ? 4 ?1 =5，故 1a ? b ? m2 ? 1 cd的平方根是± 57、解：由题意，得: 把 a=1 b=2 代入a ?1 ? 0 (ab ? 2) 2 ? 0即a ?1 ? 0 ab ? 2 ? 0解得:a ?1 b?21 1 1 1 + + + ? + ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2001)(b+2001)1 1 1 1 ? ? ? ? + 2002 ?
2 ? 3 3 ? 4 1 1 1 1 1 1 1 ? =1 ? ? ? ? ? + ? +
2 3 3 4 1 =1 ?
= 2003=【测后小结】20第 13 章整式的乘除§13.1第 1 课时 设计者：蔡润红幂的运算同底数幂的乘法学校：城关镇一中教学目标： 1、 探索并了解正整数幂的乘法性质并会运用性质进行计算。 2、 在推导同底数幂的乘法性质的过程中，培养学生初步运用“转化”思想能力，培养 学生观察概括与抽象的能力。 教学重、难点： [重点]：同底数幂的乘法法则推导。 [难点]：同底数幂乘法法则的运用，尤其是底数为多项式或指数为整数时。 教学过程： 学 教学过程 计算： 1、23= 2、24= 案 教 案 备注 学生活动 = = 教师指导 。 中一年级时我们学习了乘方， 。 请计算：引课引导自学1、23 ? 24 =(2 ? 2 ? 2) ? (2 ? 2 ? 2 ? 2)=2( ) 2、52 ? 53=( ) ?( ) =5( ) 3、a3?a4=( ) ?( ) ( ) =a m n 4、a ?a =( ) ?( ) ( ) =a m n 5、a ?a =a( ) 6、计算： （1）102 ? 104 （2）a?a3 （3）a?a3?a5211-5 小题探索 性质推导， 体 验转化思想， 以上是我们学过的乘方运算， 培 养 创 造 精 那么怎样计算 23 ? 24 呢？请 神。 同学们打开课本学习 18 页第 一课时同底数幂的乘法， 看谁 6 题 是 强 化 能独立解答自学提纲所提出 性质， 拓展应 的问题。 用，突破难 点。（4）30 ? 27 ? 81 （5）-(-a)2?(-a)5?(-a3) （6）(-a)2n+1?(-a)3n+2?(-a) （7）(b-a) ?(b-a)3?(a-b)2 1、 小组讨论。 2、 全班展示。 （5）-(-a)2?(-a)5?(-a3) =-(-a)2?(-a)5?(-a)3 =-(-a)2+5+3 =-(-a)10 =a10 （6）(-a)2n+1?(-a)3n+2?(-a) =(-a)2n+1+3n+2+1 =(-a)5n+4 （7）(b-a) ?(b-a)3?(a-b)2 =(b-a) (b-a)3?(b - a)2 = (b-a)1+3+2 = (b-a)6 练习以下习题，同桌对改。 1、102 ? 105 2、a3?a7 3、x?x5?x7 4、(a-b)3?(b-a)4 同底数幂相乘： 1、 底数不变，指数相加。 2、 am?an=am+n 3、 m、n 为正整数。 P23 习题 1交流展示教师密切关注学生口述、 演板 过程、方法、结论不规则者， 及时纠正、点拨。反馈测评试一试，看谁能得 100 分。查漏补缺， 为 小结作准备。归纳小结引导、回顾、总结。布置作业创新思考你知道(a+b-c)2?(c-a-b)2 的结果 吗？反思：22第 2 课时 设计者：蔡润红幂的乘方学校：城关镇一中教学目标： 1、 探索并了解正整数幂的乘法性质并会运用它进行计算，在推导性质的过程中培养学 生观察、概括和抽象的能力。 2、 在探索推导法则的过程中体验“转化”可以获得新的结论，体会探索的乐趣。 教学重、难点： [重点]：幂的乘方法则推导及运用。 [难点]：区别幂的乘方运算中指数的运算与同底数幂的乘法的运算中指数的运算的不同 之处。 教具应用：小黑板（抄自学提纲） 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 口答： 1、 x21?x3?x= 2、 y8?y3= 3、 (a+b)5?(a+b)3= 4、 (a-b)3?(b-a)4= 5、 (a-b)6?(b-a)5= 1、(24)3= =2( ) 2、(32)4= =2( ) 3、(a3)5= =2( ) m n 4、(a ) = =a( ) 5、 幂的乘方的计算法则是 用式子表示为 。 6、计算： ①(103)5 ②(b3)4 ③(-a2)2?(-a2)2 ④3(x4)2-(-x2)4 ⑤已知 xn=3,求 x3n 的值。 1、 小组讨论。 2、 全班展示。23教师指导引课以上是我们学习的同底数幂 的乘法，那么怎样计算(a5)6 呢？正是这一节我们在 19 页 要幂的乘方。， 那么怎样计算幂的乘方呢？ 请同学们独立自学， 看谁能正 确解答自学提纲中的问题。引导自学1-5 小题探索 性质推导， 体 验转化思想、 培养创造精 神。 6 小题强化 性质， 拓开应 用，突破难 点。交流展示教师密切关注学生口述、 演板 过程、方法、结论不规则者，及时纠正，点拨。 幂的乘方， 底数不变， 指数相乘。 m n mn 用式子表示：(a ) =a 解练习题 6、计算： ③ (-a2)2?(-a2)2 =(-a2)2+2 =(-a)2+2 =(-a)4 =a4 ④ 3(x4)2-(-x2)4 =3x8-x8 =2x8 n ⑤ ? x =3 ? x3n=(xn)3 =33 =27反馈测评计算： ①(22)2 ②(y2)5 ③(x4)3 ④(y3)2?(y2)3 ⑤同桌对改。 幂的乘方 1、 运算法则，底数不变，指数 相乘。 2、 式子表示：(am)n=amn （m、n 为正整数） P23 习题 2试一试，看谁得分最多？查漏补缺， 为 小结作准备。归纳小结布置作业创新思考若 2x+5y-3=0，那么，你能计算 4x、31y 的值吗？13.1 幂的运算设计者：李变珍 教学内容：积的乘方总第 3 课时学校：城关镇一中教学目标：1、理解掌握和运用积的乘方法则。2、经历探索积的乘方的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘 法的交换律以及同底数幂的运算法则而来的。 3、培养学生类比思想，通过对三个幂的运算法则的选择和区别，达 到领悟的目的，同时体会数学的应用价值。24教学重点：积的乘方法则的理解和应用。教学难点：积的乘方法则推导过程的理解。学案 教学过程 学生活动 教案 教师指导 一个正方形的边长是 acm,另一个正方形边长是 这个正方形的 3 倍，那么 第二个正方形的面积是多 少？第三个正方形的边长 是第一个正方形边长的几 倍， 第三个正方形的面积是多 少？ (3a) 2备注引课(na) 2它们是怎么算呢？这就是 本节所学的《积的乘方》 引导自学 看书然后完成下列问题 1.同底数幂的乘法法则。 2.幂的乘方法则。 3.计算： ( x 4 )3 a ? a 2 4.计算x 4 ? x31. am?an=am+n 2. (am)n=amn 3、4 做后学生总结 5. 5.(ab)n=anbn(n 为正整数)(ab) 2 (3a) 2(ab)3 (na) 2(ab) 4 (ab) n5.积的乘方法则 交流展示 1、同桌讨论上面的问题 2、计算：(2b)3 (2a3 )2( ? a )3(?3x)4强调：先确定符号。做后同桌互查步骤并指出错误所 在25反馈测评 1. 判断下列计算是否正确， 并说 明理由。 (xy3)2 ? xy6 (-2x)3=-2x3 2．计算： (3a)2 (-3a)3 (ab2)2 (-2 ? 103)3 归纳小结 计算 布置作业 1. (? xy 2 z 3 )2n 2. (a2 )3 (b3 )2 (?1 x2 y3 z)3 3 3. [( xy 2 )3 ]2 4. [( x ? y)( x ? y)2 ]3 5. (?1 a2 x4 )2 ? (2ax2 )4 3 6. ?a3 ? a4 ? a ? (a2 )4 ? (?2a4 )27 7. (?12 )2002 ? (12 )2003 7做后组长批改1、 积的乘方：(ab)n ? a nbn （ n 是正整数） ，使用范 围：底数是积的形式。 2、在运用幂的运算法则 时，注意知识拓展，底数 与指数可以是数，也可以 是整式。 3、 运算过程的每一步要有 依据，还应防止符号上的 错误。反思：13.1 幂的运算总第 4 课时学校：城关镇一中设计者：李变珍教学内容：同底数幂的除法 教学目标：1、使学生对同底数幂的除法法则能理解并应用。 2、 经历探索同底数幂的除法法则的探索过程，进一步体会幂的意义，26学会简单的整式除法运算。 3、培养有条理的思考表达能力，体会同底数幂的除法法则的算理， 体会数学内涵与价值。 教学重点：掌握同底数幂的除法法则。 教学难点：理解同底数幂的除法法则。 学案 教案 教学过程 学生活动 教师指导 备注 你会计算 a 5 ? a 2 引课 吗？有几种方 法？请同学们自 学 P24-25 1、 a m ? a n ? a m?n （ m 、 n 为正整数） 这是什么法则？ 2、 (am )n ? amn （ m 、 n 为正整数）这 是什么法则？ 3、 (ab)m ? am ? bm （ m 为正整数）这 是什么法则？ 4、计算： （1） 22 ? 23 （2） 103 ?104 （3） a3 ? a4 (a ? 0) 5.由上题问题 （1） 25 ? 22 （2） 25 ? 23 1. 看书后， 口 头 回 答。 2. 同底数幂 的除法法 则应注意 底数。引导自学（3） 107 ? 103 （4） 107 ? 104 （5） a 7 ? a3 （6） a 7 ? a 4由此你能得到什么规律？ 6，同底数幂的除法法则是什么？ 7.计算： (1)a8 ? a3 (2)(-a)10 ? (-a)3 (3)(2a)7 ? (2a)427交流展示 1、同桌讨论回答上面的问题 2、独立完成 a5( )=a9 ( )(-b)2=(-b)7 x6 ? ( )=x ( ) ? (-y)3=(-y)7 同桌互查 3. 计算 10 10 ? 102 (-x)9 ? (-x)3 M8 ? m2 ? m3 (a3)2 ? (a)6 反馈测评 1．计算： X12 ? x4 (-a)6 ? (-a)4 (p3)2 ? p5 a10 ? (-a2)3 2.计算： (a3)3 ? (a4)2 (x2y)5 ? (x2y)3 X2?(x2)3 ? x5 (x3)3 ? y3 ? (-y2)2 组长批改 归纳小结 布置作业 1、计算看清题目，哪个 题用同底数幂的 乘法法则，哪个 用同底数幂的除 法法则。组长批改后，各 小组选派代表上 去讲解。1、 同底数幂的除 法法则。 2、 法则的使用范 围 ：(m7 )2 ? m2a 6 ? a 2 ? a3m9 ? m2 ? m3 ? 2m8x9 ? x 2 ? ( x 2 ) 2a m ? a n ? a m ? n (m2 已 知 ： 10m ? 5 ， 10n ? 4 求 ≥n） 3、注意的问题： 102m?3n 的值 。 (1) 性质对三个 或三个以上的同 3. 已知 23x ?2 ? 32 求 X。 底幂的相除仍成 4. 已知 立。 （2） 底数与指数 am?n ? a2n?1 ? a11且bm?2 ? b4?n?m ? b10求m.n 可以是具体数， 的值。 也可以是整数 （均不为零）28§13.2 整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘学校：城关镇一中设计者：李晓利教学目标： [知识与技能]：能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂的不同底幂的因式，学会运 用单项式与单项式乘法运算规律，总结法则。 [过程与方法]：经历探索单项式乘法法则的探索，理解单项式乘法中，系数与指数的不 同计算法， 正确应用单项式乘法步骤进行计算， 能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加 减混合计算。 [情感态度与价值观]：培养学生自主、探究、类比、联想的思想，体会单项式相乘的运 算规律，认识数学思维的严密性。 教学重、难点： [重点]：对单项式运算法则的理解和应用。 [难点]：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。 教具准备：投影仪。 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 让学生动手自已做，然后 从中找出运算规律。 通过计算，启发学生归纳 得出： （1）系数相乘作为 积的系数； （2）相同字母 的因式，应用同底数幂的 运算法则，底数不变，指 数相同。 （3）只在一个单 项式里含有的字母，连同 它的指数作为积的一个因 式； （4）单项式与单项 式相乘积仍是单项式。 教师指导 引课：前面我们学习了幂的运算的 3 个法则：观察下面这道计算题： (4a2x5)?(-3a3b2x)(4a2x5)?(-3a3b2x) =4?(-3) ?a2?a3?b2?x5?x =[4?(-3)] ?(a2?a3)?b2?(x5?x) =-12a5b2x329自学提纲学生自己动手做题，不会 做的题小组讨论。一、 ① 3x2y?(-2xy3) ②(-5a2b3) ?(-4b2c) ③(-3a2)3?(-2a3)2 ④-3xy2z?(x2y)2 ⑤(-3 2 3 4 1 x yz ) ?(- xz3)?( xy2z) 2 3 3二、 卫星绕地球表面做圆周运动的速 度约为 7.9 ? 103 米/秒，则卫星运行 3 ? 102 秒所走的路程是多少？ 交流展示 学生展示讨论的结果 老师做补充点评。 测评练习： （一）P25 练习 1、2、3 反馈测评 学生自己做题、展示。 （二）①3 2 1 x yz (- xy2z2) 2 2②[(-a2b)3]3?(-ab2) ③(0.2x2y3)2 (-0.5xyz2)3 1、 本节内容是单项式乘以单项式， 重点是放在对运算法则的理解 和应用上，你能归纳出单项式乘 以单项式的运算法则吗？ 2、 在 应 用 运 算 法 则 时 应 注 意 什 么？ P28 习题 13.2 第 1、2 题 你知道 “单项式与单项式相乘” 的法 则是依据哪些知识得出的吗？这个 法则是整式乘法中的基础， 你一定要 掌握好！归纳小结学生回答提出的问题布置作业创新思考反思：2教学目标：单项式与多项式相乘学校：城关镇一中设计者：李晓利[知识与技能]：尝试、体验并总结出单项式与多项式的法则，并能正确运用，培养学生 实践、探索交流的能力。 [过程与方法]： 通过适当的尝试， 获得直接经验， 体验单项式与多项式相乘的运算规律，30根据乘法分配律，归纳单项式与多项式相乘的法则。 [情感态度与价值观]：尝试从不同角度解决问题的方法中，去联想、对比、发现规律， 培养“多思”的习惯。 教学重、难点： [重点]：理解和应用单项式与多项式相乘的法则。 [难点]：单项式乘多项式的每一项时，积符号的确定。 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 教师指导 引课：为了丰富学生的课余生活， 学校决定将原边长为 a 米的正方 形生活场地的一边增加 b 米，变 为长方形的场地，增加后的场地 长为 米，宽为 米，面积为 2 米 。 a ? (a+b)=a2+ab让学生回答右边的问题总结得出单项式乘以多项式 的运算规律。 单项式与多项式相乘， 就是用 单项式乘多项式的每一项， 再 把所得的积相加， 要特别强调 “用单项式” 去乘多项式的每 一项。自学提纲学生动手自己做题， 不会做的 题 小组讨论。自学提纲： ① 2a2?(3a2-5b) ② (-2a2)?(3ab2-5ab3) ③ (-3x2)?(1 xy-y2)-10x(x2y-xy2) 3④ (-2a)3?(1-2a+a2) 交流展示 反馈练习 学生展示讨论结果： 学生自已做题 ， 然后回答问题 。 老师做补充点评。 （1）P26 练习 1、2 （2）①(-4ab)(2a2-2ab-3b2) 2 2 2 ②x (x -x-1)-x(x -3x) 1、 单项式与多项式相乘法则： 单 项式与多项式相乘， 就是用单 项式去乘多项式的每一项， 再 把所得的积相加。 2、 单项式与多项式相乘， 应注意 （1） “不漏乘” （2）注意 ； “符号” 。归纳小结31布置作业 创新思考P28 习题 13.2 第 3、4、5 题 你知道单项式与多项式相乘时， 积的项数是多少吗？反思:3多项式与多项式相乘第七课时设计者：王相娜学校：城关镇一中教学目标： [知识与技能]：通过探索得出多项式与多项式相乘的法则，会用它进行简单的计算。 [过程与方法]：运用整体思想方法、转化的思想方法和抽象的方法推导出多项式乘以多 项式的法则。 教学重、难点： [重点]：多项式乘法法则的推导及运用。 [难点]：将多项式与多项式的乘法转化为单项式与多项式的乘法，防止漏乘、重复乘和 错符号。 教具应用：挂图 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 教师指导 挂图：为了扩大街心花园的绿地面 积，把一块原长为 a 米，宽为 m 米 的长方形绿地，长增了 b 米，宽增 加了 n 米，请问你能用几种方法求 扩大后的绿地面积？ n m引课32ma b 这两个式了有何不同， 你能得到它 们之间有何关系？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 运用单项式与多项式相乘的法则计 算(a+b)(m+n)把 a+b 或 m+n 看作一 个整式。 预习： P26-27 后完成下列问题 。 1、 多项式与多项式相乘的法 则是什么？ 2、 计算：(x+y)(a+b-c) 3、 计算：(x-3y)(x+7y) (2x+5y)(3x-2y) 4、 化简下列各式。 (2x2-1)(x-4)-(x2+3)(2x-5) [(3x+2)(3x-2)](9x2+4) 5、 正方形边长为 a，长方形的 长比正方形边长多 4，宽比 正方形边长少 3，那么长方 形的面积是多少？ 6、 若(x+m)(x+6)的积中不含有 x 的一次项，则 m 的值等于 什么？ 1、 小组讨论：小组对六个小题 的答案进行校正讨论、讲 解。 2、 每个小组把各自的答案写 在黑板上。 3、 各个小组进行展示。 1、 计算： ①(x+5)(x+6) ②(3x+4)(3x-4) ③(2x+1)(2x+3) ④(9x+4y)(9x-4y) 2、一块长 a 厘米，宽 b 厘米的 玻璃， 长宽各减少 c 厘米后恰好 能铺盖一张办公桌台面， 问台面 的面积是多少？ 密切关注学生，口述、演板过程、 方法、结论等各环节的不成熟，不 规范及缺失。及时指出，及时纠正， 适时总结，恰当点拨。引导自学交流展示反馈测评激励学生独立完成，注意符号。归纳小结 布置作业33多项式乘多项式利用乘法分配律转化式 ?将一个多项式视为单项?? ??????单项式乘多项式 ????? 单项乘法分配律式乘法，从而得多项式乘多项式法 转化 则，在实际解题时，就直接运用法 则，注意按顺序乘，防止漏乘或重 复乘，还要防止错符号。 作业：P28 练习 1、2 两多项式相乘的结果仍是多项式， 在没有合并同类项之前，为了检查 相乘后有无漏乘，你知道所得积的 项数如何计算吗？课后思考反思：§13.3乘法公式课题：两数和乘以这两数的差 第一课时 设计者：李明霞 学校：城关镇一中教学目标： [知识与技能]：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式 的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 [过程与方法]：由学生自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公 式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。 [情感态度与价值观]：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想 方法。 教学重、难点： [重点]：平方差公式的推导和运用。 [难点]：公式中字母的广泛含义。34教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 让学生认真思考，带着极大 兴趣回答右边的问题。 教师指导 1、 引课： 谁能不用笔算并且能够 很快地回答下列各题？ 63 ? 57= 101 ? 99= 8.2 ? 7.8= 74 ? 65= (a+b)(a-b)=a2-b2 2、 让学生自己推导出公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 你 能 用 几 种 方 法推导？ （1） 公式(a+b)(a-b)=a2-b2 有何 特征？ （2） 计算： (a+3)(a-3) (2a+3b)(2a-3b) (-2x-y)(2x-y) (-2x+y)(2x+y) 1998 ? 2002 计算： (2x+y-3)(2x-y+3) (2+1)(22+1)(24+1)+?+(264+1)+1 P30 1、2、3 ① 熟记公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ② 在公式中注意字母的意义。 ③ 特 别 注 意 类 似 式 子 (-2x-y)(2x-y)中相当于 a 和 b 的式子要找对。 P33 1 2（3） 如何运用(a+b)(a-b)=a2-b2 呢？ ① 先检查式子是否符合公式左 边特征。 ② 弄清式子中哪个代数式看作 “a” ，那个代数式看作“b” 。 ③ 在运用公式时，一定要写 ( )2 - ( )2 这一步，莫求 急，急中可能出错。学生经过认真思考，找出规 律： 结合 P29 图 13.3.1自学提纲学生自己动手做，不会做的 小组内部讨论。交流展示老师点拨后同学们互助合 作，最后展示。 找同学上黑板上做，其中 3 小组讨论，并找代表说出理 由。反馈测评归纳小结布置作业课后思考35反思：§13.3乘法公式课题：两数和的平方 第二课时 设计者：李明霞 学校：城关镇一中教学目标： [知识与技能]：会推导两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ，了解公式的几何背景， 并能运用公式进行简单的计算。 [过程与方法]：通过计算、观察，学生自己得出公式，再通过观察公式的几何背景、图 形，运用公式计算，理解两数和的平方公式，并形成一定的运用公式计算的能力。 [情感态度与价值观]：在推导和运用两数和的平方公式的过程中，体会数形结合的思想 方法，发展数学思维能力。 教学重、难点： [重点]：推导和运用两数和的平方公式。 [难点]：公式的结构特征及公式中字母的意义。 教学过程： 学 教学过程 案1、教案 备注学生活动教师指导 引课： 上节课我们学习了平方 差公式， 下面请同学们回忆一 下公式是什么？在应用这个 公 式 时 应 注 意 什 么 ？ (a+b)(a-b)=a2-b2学生回忆上节所学的平方 差公式。学生动手计算，然后找出规 律。接下来请同学们计算下列各题： ①(m+2)(m+2) ②(2a+3b) (2a+3b)让学生尝试得出： (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2 你 能 进 一 步 利 用 公 式36(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 吗？ 学生认真观察图 13.3.2，深 刻 理 解 公 式 2 2 2 (a+b) =a +2ab+b推导对于公式(a+b)2=a2+2ab+b2 的推导 你也可以利用 P31 图 13.3.2 ① 公式(a+b)2=a2+2ab+b2 有何特 征？ ② 计算：(2a+3b)2自学提纲学生自己动手做，不会做的 小组内部讨论。(2a+b 2 ) 2(2x-3y)2 (1 1 2 a- b) 2 3交流展示老师点拨后，同学们互助合 作，然后展示。 找同学演板。计算： 1. ? 0.52 (a+b+c)2 (a+b)2-(a-b)2 练习 P32 1、2、3、4 ①熟记公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 ②公式特征：左边是两数和（或 差）的平方，右边是一个三项式， 即“首平方，尾平方，首尾积的 2 倍放中央” 。 P332反馈测评归纳小结布置作业 课后思考 反思：2、3、4、5由 a +2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2 这两个公式，你会应用吗？§13.4第 1 课时 设计者：李妙贞整式的除法1．单项式除以单项式 学校：城关镇一中教学目标：371、 理解和掌握单项式除以单项式的运算法则。 2、 运用运算法则，熟练、准确地进行计算。 3、 通过总结法则，培养学生的概括能力。 4、 通过法则的应用，训练学生的综合解题能力和计算能力。 教学重、难点： [重点]：准确熟练地运用法则进行计算。 [难点]：根据乘、除的运算关系总结法则。 教具应用：投影仪或多媒体、自制胶片 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 1、 请同学们回答下列问题，看 谁既快又准。 (1) a10 ? a3 (2) y7 ? y6 (3) 105 ? 105 (4) -5a2b2c3? (1)及时表扬、鼓励，调动学 生学习的激情。 (2)学生回答，老师板书。 12a3b2x3 ? 3ab2= . 即本课所讲内容。 教师指导引课3 2 ab 52、思考问题。 ( ) ?3ab2=12a3b2x3这个过程能列算式吗？ 看书 P35-36。 1、 由引课问题 知： ? ?3ab2=12a3b2x3 . ? 12a3b2x3 ? 3ab2= 2、以上计算中，系数 4 和 3， 同底数幂 a2、a 及 x3、b2 分别是 怎样计算的？ 3、总结：单项式除以单项式的 法则。 单项式相除：把 分别 相除， 作为 的因式， 对于 只在 含有的字母， 则连同 它的指数作为商的一个因式。 一、P36 练习 1、2 二、计算下列各题： （1）28x4y2 ? 7x3y381、让学生展示自学内容，对 出现的问题进行指导和纠正。引导自学2、板书单项式除以单项式的 法则。交流展示1、针对演板出现的问题，认 真指导。 2、强调应注意的事项：（2）(6x2y3)3 ? (3xy2)25 （3）-a2x4y3 ? (- axy2) 6 （4）12(a-b)5 ? 3(a-b)2 （5）(1.9 ? 1027) ? (5.98 ? 1024) 三、已知(ambn)3 ? (ab2)n=a4b2 ，求 m、n 的值。 一、 判断下列计算是否正 确，若不正确，找出原因， 并改正。 (1)2x2y3 ? (-3xy)=（1）符号的确定。 （2）(a-b)要看作一个因式。 （3）科学计数法不必还原成 原数。 3、三大题要稍作提示。(2)10x2y3 ? 2x2y=5xy22 22 2 xy 31、当堂完成，给出分数，及 时肯定和鼓励。 （对于较差的 学生要帮助他找出原因并进 行鼓励）反馈测评1 (3)4x y ? xy2=2x 2 8 (4)15 ? 10 ? (-5 ? 104)=-3 ? 102二、计算： (1)-8a2b3 ? 6ab2 (2)(-0.5a2bx2) ? (-(3)(4x2y3)2 ? (-2xy2)2 (4)(4 ? 109) ? (-2 ? 103)2 2 ax ) 5归纳小结 布置作业小结：由学生完成 1、 单项式除以单项式的法则 及其运用。 2、 计算中应注意的事项。 作业：P38 习题 13.4 1教师进行引导或补充。课后思考反思：§13.4第 2 课时整式的除法2．多项式除以单项式39设计者：李妙贞学校：城关镇一中教学目标： 5、 理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 6、 会进行简单的多项式除以单项式的运算。 7、 合作交流，自主探索多项式除以单项式的一般规律。 8、 培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质。 教学重、难点： [重点]：运用多项式除以单项式法则进行有关计算。 [难点]：探求多项式除以单项式的规律。 教具应用：投影仪、多媒体课件 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 （1）单项式除以单项式的法则 是什么？ （2）计算： ①-12a5b3c ? (-4a2b) ②(-5a2b)2 ? 5a3b ③4(a+b)7 ? (a+b)3 ④(ax+bx) ? x ⑤(ma+mb+mc) ? m 教师指导引课教师要从④⑤两小题的计算 结果中找规律， 寻找多项式除 以单项式的规律。引导自学认真看书 P37，预习提纲。 1、 多项式除以单项式的法则 是什么？ 2、 例 3 计算 见 P37 （1） 在例题计算中哪个符号 用到了法则？ （2） 在计算过程中，要注意 什么事项？把学生提出的注意事项进行 总结： （1） 先定商的符号。 （2） 注意把除式后的 式子添括号。1、开始做题 时， 要求学生 写出每步变 形的依据。 2、养成检验 的习惯， 利用 乘除逆运算。交流展示1、 P38 练习 1、2 2、 化简： [(2x+y)2-y(y+4x)-8x] ? 2x401、 针 对 演 板 情 况 分 别 进行指导。 2、 要 注 意 括 号 内 进 行 化简再用法则进行3、 (-3 6 3 6 3 4 3 3 ax ? a x + ax ) 4 5 5 3 3 5 5 2 ? ax = a +2a x 5 4以上计算对吗？若不对， 找出错 误之处并纠正。 一、计算： （1）(6xy+5x) ? x （2）(12a3-6a2+3a) ? 3a （3）(21x4y3-35x3y2+7x2y2) ? (-7x2y) 二、化简： [(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)] ? 4y 三、应用 已知一个长方形面积为： 4(ab)2+6ab-2b2，宽为 2b，求长 方形的长是多少？ 小结： 1、 多项式除以单项式的法则 是什么？ 2、 运算该法则应注意的事项： a、不能丢项；b、符号。 作业： P38 1、 （4） （2） 2、 （4） （3） 3、 （2）计算。 3、 有两个错误：第一、 丢项，丢了最后一项 1；第二、第一项符 号应为“-” ，正确答 案为：-5 5 2 a +2a x+1 4反馈测评当堂测试，当堂打分，表扬优 等生，鼓励较差学生。归纳小结 布置作业课后思考 反思：§13.5第一课时因式分解提公因式法分解因式41设计者： 陈胜娟教学目标：学校：城关镇一中[知识与技能]：了解因式分解与整式乘法之间的关系，理解因式分解的过程，发现因式 分解的基本方法（提公因式法、公式法） ，会用提公因式法分解因式。 [过程与方法]：将因式分解与整式乘法进行类比，理解因式分解的意义和方法。 [情感态度与价值观]：在学习因式分解的意义和探究发现因式分解的方法的过程中体会 事物之间可以相互转化的辩证思想，培养学生逆向思维的能力。 教学重、难点： [重点]：因式分解的意义，用提公因式法将多项式因式分解。 [难点]：找准多项式各项的公因式，并将多项式分解彻底。 教学过程： 学 教学过程 案 提问： 1、 小 学 时 2 ? 3 ? 5 ? 30 它 叫做什么？（乘法） 2、 把 30 分解质因数： 30 ? 2 ? 3 ? 5 , 它 们 之 间 是什么关系？ 3、 m(a+b+c)=ma+mb+mc 它 叫做什么？ 4、 ma+mb+mc= 它 又叫做什么呢？（因式分 解） 这就是这一节课要学习的 内容？ 1、3 题强调：因式分解的概 念。 （1）必须是多项式？（2） 结果必须是积的形式， 而不能 有和差。 2、因式分解与整式乘法是相 反的。 教 案 备注 学生活动 教师指导创设情景学生边听边回答1、把一个 化为 的形 式，叫做多项式的因式分解。 2、因式分解与整式乘法有什么 关系？ 3、判断下面哪些是因式分解？ 引导自学 (1) ( ? ? 2)(? ? 2) ? ? ? 42(2) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) xa+xb+xc=x(a+b+c) (4) x2-4=(x+2)(x-2) (5) 24abxy=4ax?6by 4、多项式 ma+mb+mc 中每一项42都含有一个共同的因式 ，我 们称之为 ， ma+mb+mc= m(a+b+c) 这 种 因 式 分 解 的 方 法，叫做 。 5、将下列多项式分解因式，并 指出公因式。 (1) 3a2-9ab (2) -5a2+25a (3) 8a3b2-12ab3c (4) 2a(b+c)-3(b+c) 6、你知道如何检验因式分解是 否正确吗？ 7、计算： (1) 56?9- 2 (2) -5?3 +24?3 +63?3 交流展示 1、 小组交流。 2、 全班展示。 1、 因式分解： (1) a2+a (2) 4ab-2a2b (3) -3x+6y-3 (4) -8x3-48x2y (5) 6p(m+n)-4q(m+n) (6) 6a(x-y)+b(y-x)6、强调：要习惯检验。教师在小组交流后让各小组 派代表分别展示 1～7。其中， 5、7 题板演，其它口述。反馈测评每个题 20 分，共 120 分，并 即时鼓励、表扬。归纳小结1、 先让学生回忆本节所学内容 有哪些？ 2、 思考提公因式法分解因式的 方法。 3、 有哪些注意事项？1、 提公因式法分解因式 的 方法。 （1） 找各项系数的最大公 因数（找最大） 。 （2） 找各项公有字母的最 低次幂（找最底） 2、 注意事项 （1） 不能漏项：原多项式 有几项， 提公因式后， 括号里还有几项。 （2） 不能省“1” ：某些项 被全提出后，还应留 下系数“1” 。 （3） 不能再提：结果的括 号不能再有公因式。布置作业1、 分解因式 (1) 8a3b2-12ab3c (2) -4m3+16m2-26m (3) 3a2y-3ay+6y43可根据学生情况，选做。(4) Cx2+xy-xz (5) -3ma3+6ma2-12ma (6) 15a3-10a2 (7) 24a3m-18a2m2 (8) 14abx-8ab2x+20x (9) 5x(x-y)+10(x-y) (10) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) 2、 先分解因式，再求值。 2x(a-2)-y(2-a)，其中 a=0.5, x=1.5, y=-2 3 、 当 x2-2x-3=0 时 ， 代 数 式 x4-2x3-5x2+4x+5 的值是多少？ 提公因式法分解因式做起来不 太难，学生能够掌握，但因式分 解和整式乘法的关系，好多学生 弄不太懂， 有的先分解， 后又乘， 一定要强调因式分解的结果必 须是积的形式。课后思考反思：§13.5第二课时 设计者： 陈胜娟教学目标：因式分解运用公式法分解因式 学校：城关镇一中[知识与技能]：认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分 解因式。 [过程与方法]：观察多项式的结构，按照一提（公因式）二套（套乘法公式）三查（查 最简）的顺序将多项式分解因式，通过综合运用提高学生因式分解的能力。 [情感态度与价值观]：通过一些来自生活的数学题，让学生体会到数学的应用价值，激 发学生学习的兴趣，逐步培养良好的数学情操。 教学重、难点： [重点]：运用平方差公式、完全平方公式将多项式分解因式。44[难点]：综合运用多种方法把多项式因式分解。 教学过程： 学 教学过程 案 教 案 备注 学生活动 教师指导 将边长是 98 的正方形中心剪 捉一个边长为 2 的小正方形， 怎样求剩余部分的面积呢？ 有简便便吗？98 创设情景 边听、边思考，并解答问题。298 -2 =(98+2)(98-2)=100 ? 96 9600 它实际是把平方差公式倒过 来灵活运用，使运算简便。这 一节我们就来学习把平方差 公式和完全平方公式倒过来 运用，也就是利用公式法分解 因式。2 2引导自学1、平方差公式是 倒过来是 2 2 2 2、9x -4y =( ) -( =( )( 3、 分解因式： 2 (1) x -16 2 (2) 1-25b 2 2 (3) 36m -49y 2 2 (4) (x+y) -9z 4 题： 它们都是完全平方公式： 2 2 2 4、完全平方公式是 ， 其中(a ? b) =a ? 2ab+b 用于 倒过来是 。 整式乘法。 2 2 2 2 5、x -6x+9 而 a ? 2ab+b =(a ? b) 用于因 2 2 =( ) -2 ? ( )( )+ ( ) 式分解。 2 =( ) 6、分解因式： 2 (1) x -4x+4 2 2 (2) 9x +12xy+4y (3) 1-m+让学生阅读课本 P40-41，并解答 ， 问题。 。 2 ) 1 题：教师要说清：它们都是 ) 平 方 差 公 式 ， 其 中 2 2 (a+b)(a-b)=a -b 用 于 整 式 2 2 乘法。而 a -b =(a+b)(a-b)用 于因式分解。1 2 m 42(4) (a+b) +2(a+b)+1 7、先提公因式，再运用公式分45解因式。 2 (1)3x3-12xy 3 2 2 3 (2)4x y+4x y +xy 5 3 (3)x -x 2 2 (4)ax -2a x+a3 教师在小组交流后，派小组代 表分别展示 1～7。 其中， 6、 3、 7 题板演，其它口述。交流展示1、 小组交流。 2、 全班展示。 因式公解： 2 2 (1)25a -49b 2 (2)(x+y) -36 2 (3)a +8a+16 2 (4)1-6y+9y 3 (5)2ab -2ab 5 3 2 (6)x -x y 4 3 2 (7)4x -4x +x 5 3 2 4 (8)-x +2x y -xy反馈测评每小题 15 分，共 120 分，并 即时鼓励、表扬。归纳小结思考并回答问题： 1、 因式分解有几种方法？ 2、 如何进行因式分解？ 4 应注意哪些问题？强调： 1、因式分解的步骤： 一、提（提公因式） 二、用（用公式法） 三、查（查是否分解彻底） 2、特别注意：要分解彻底。1、 分解因式 2 2 (1)25a -49b (2)4 2 2 x -0.01y 92 2布置作业(3)-4x +9y 2 2 (4)(x+5) -(x-5) 2 (5)m -14m+49 2 2 (6)9x +12xy+4y 2 2 (7)2xy-x -y 2 2 (8)a -2a(b+c)+(b+c) 4 2 (9)8y -2y 5 3 (10)x -9x 2 3 (11)-a+2a -a 2 (12)4x (x+y)-9(x+y) 2、计算： 2 2 (1)758 -242 2 2 2 2 2 2 (2)100 -99 +98 -97 +?+2 -1 2 2 (3)31.3 -2 ? 1.3 ? 3.13+1.3 3、课本 P41 1 P45 1646课后思考教参将因式分解只安排了 2 课 时，但因式分解的知识点太多， 太难， 学生在 2 课时内根本掌握 不好。我的建议是：共安排 4 个课时。 第一课时 提公因式法； 第二课时 用公式法；第三课时 综合运用； 第四课时 巩固练 习。反思;第 13 章设计者：王相娜本章总结归纳 一、知识框架小结第十四课时 学校：城关镇一中am?an=am+n 幂的运算性质 (am)n=amn (ab)n=anbn 单项式乘单项式单项式乘多项式 提公因式法 多项式乘多项式 因式分解 公式法乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2二、重点难点突破471、幂的运算性质是整式乘法的基础。①在 am?an=am+n 中 a 可以是单项式也 可以是多项式，如(a+b)m?(a+b)n=(a+b)m+n；②注意区分(-2)m 与(-2m)，前者是-2 为底， 后者是 2 的 m 次方的相反数， 把(-2)m 化为 2 为底的幂时， (-2)可看作(-1) ? 2, 即(-2)m=[(-1) ? 2]m=(-1)m ? 2m，当 m 为奇数时，(-1)m=-1，m 为偶数时，(-1)m=1； ③(a-b)3?(b-a)4=(a-b)3?(a-b)4=(a-b)7 2、单项式乘多项式、多项式乘多项式，可检查计算中是否漏乘或重复乘， 为了防止漏乘或重复乘，应依据法则按序乘。 3、平方差公式与完全平方公式中，字母 a、b 可表示数、单项式，也可表示 多 项 式 。 如 (a+b-c)2=[(a+b)-c]2, (-3a-4)(3a-4)=- (3a+4)(3a-4)=16-9a2. 4、单项式除以单项式要注意系数除以系数，同底数幂相除，对于只在被除 式中含有的字母连同它的指数作为商的一个因式， 多项式除以单项式要注意商的 符号和杜绝漏项。 5、分解因式、提公因式应该“一找二提三查” 。一找公因式、二提公因式、 三查括号内各项是否与原多项式项数相同，再查括号各项是否还能分解因式，若 能用公式法， 基括号内有二项考虑平方差公式， 三项考虑是否能用完全平方公式， 四项考虑特殊方法。如： 4x2-4xz-9y2+z2=(4x2-4xz+z2) -9y2=(2x-z)2-(3y)2=(2x-z+3y)(2x-z-3y) 有的三项式可拆成四项。如： X2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)， 注意不是所有二 次三项式都能这样做。 三、拓展习题 1、计算：b2?(-b)3?(-b)4?b5 2、计算：[-3a2?(-ab)3]3 3、计算：(1 2 4 ab)( ab2-2ab+ b+1) 2 3 3(a+b) 相 当 于a,(-c) 相 当 于b ；4、计算：(2x+3)(x2-3x+1) 5、计算：49.82-39.8 ? 40.2 6、计算：(-5m-3n)(5m-3n) 7、先化简再求值。[5a4(a2-4a)-(-3a6)2 ? (a2)3] ? (-2a2)2，其中 a=-5488、把下列各式分解因式： (1) a3b-ab3 四、布置作业 P44反思:(2)1 2 x -2x+2 2(3) (x-2)(x-4)+11―9 题偶数小题。第十四章勾股定理49课题 14.1 勾股定理 边的关系（一)1.直角三角形三总第 设计者：李 明1课时学校： 宜阳县寻村镇一中【教学目标】1.知识与技能：掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法。 2.过程与方法： 通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理的活动，试图 让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展同学们数与形结合 的数学思想。 3.情感、 态度与价值观： 在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的良 好学习习惯，了解数学史，激发学生热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪 感。【教学重、难点】1.重点：掌握勾股定理，并能用它来解决一些简单的实际问题。 2.难点：勾股定理的发现。【教具应用】三角尺、多媒体【教学过程】一、创设情景，导入新课： 在 2002 年北京召开的国际数学家大会上，到处可以看到一个简洁优美的图 案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标。那是采用了 1700 多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。 （请同学们看图）为什么 称为弦图呢？我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为 股，斜边称为弦，所以这个图称为弦图，它标志着中国古代的数学成就。 （介绍 我国古代在勾股定理研究方面的贡献。 ） 在△ACB 中，∠C=90°，找一位学生答出图中的勾、股、弦各指哪边。 （老 师把图画在黑板上）如果 AC=3，BC=4，那么 AB 的长会是多少呢？下面我们就来 探讨直角三角形三边的关系。 二、自学提纲： 阅读课本 48――50 页的内容，完成以下问题：501.你从图 14.1.1 中得出什么结论？ 2.完成 49 页的填空。从中你发现了什么规律？ 3.用三角尺画出两直角边分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形， 并量出斜边的长 度。两直角边与斜边之间具有怎样的关系？ 4.猜想：两直角边分别为 6cm、8cm 的直角三角形的斜边长度会是多少？画 出图形，并量出斜边长度验证一下你的猜想。 5.我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边 的数量关系有什么发现？ 6.勾股定理的内容是什么？勾股定理揭示了 三、合作交流： 1.在图 14.1.2 中， 正方形 P、Q 的面积你是怎样得出的？正方形 R 的面积如 何计算？你有几种方法？ （把图形进行“割”和“补” ，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转 化成可以利用网格线直接计算面积的图形， 让学生体会将较难的问题转化为简单 问题的思想） 的关系。BRBRAPC APQCQ图1图22.图 3 和图 4 是两个直角三角形，完成下面的填空： 在图 3 中， （ 在图 4 中， （ ） +（ ）2+（2） =（ ）2=（2）2）2bc ca在图 3 中:若 a=3,b=4, 则 c=( )在图 4 中：若 a=13,b=5, 则 c=( )51ab图3图43.课本 51 页练习 1. 总结：在运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边。通过对勾股定理的基 本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求出第三边． ） 四、知识应用： 1.学习例 1. 2.完成 51 页的练习 2。 （可以让学生合作交流，老师指点。 ） 3.如图 5，要在一块长约 80 m、宽约 60 m 的长方形草坪中， 沿对角线修一条小路，请问小路长为多少？ 4.错例辨析：△ABC 的两边为 6 和 8，求第三边 解：由于三角形的两边为 3、42 2 2 所以它的第三边的 c 应满足 c ? 3 ? 4 ? 25c 即： ? 5图5辨析： 要用勾股定理解题， （1） 首先应具备直角三角形这个必不可少的条件， 可本题△ABC 并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。2 2 2 (2)若告诉△ABC 是直角三角形，第三边 C 也不一定是满足 a ? b ? c ，题目中并为交待 C 是斜边，综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得. 五、测评： 1.勾股定理的内容是： 2.一个正方形的面积是 25，则它的对角线长为 3.一个直角三角形的三边长分别是 6、8、x,则 x= 六、小结： 通过本节课的学习， 大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续 探索的问题？ 这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上，勾 股定理在我国古代早已被发现和运用，今天我们只不过做了粗略的探讨。通过本 节课的学习， 同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面要能用它来计算直 角三角形边的长度。 七、布置作业： 1. 课本 55 页 2、3 题。522.选做题：55 页 4 题。【教后反思】课题：14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系（二）设计者： 李 明 总第 2 课时 学校：宜阳县寻村镇一中【教学目标】1.知识与技能：进一步理解勾股定理的探究方法，掌握定理的简单应用。 2.过程与方法： 通过同学们非常熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理，学会 简单的合情推理与数学说理。 3.情感、态度与价值观：通过适当训练，培养学生参与的积极性，体验数学 说理的重要性，养成数学说理的习惯。【教学重、难点】1.重点：勾股定理的应用。 2.难点：用几何拼图进一步理解勾股定理。【教具应用】三角尺、四个全等的直角三角形纸片【教学过程】一、创设情景，导入新课： 1.勾股定理的内容是 如右图的直角三角形中，三边长 a、b、c 之间的关系表示为： 2. 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的 证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓， 也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更 容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本 名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明 方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种， 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 这是任何定理无法比拟53b ac的。下面我们就来学习几种勾股定理的证明方法。 二、自学提纲： 阅读教材 51――52 页的内容，解答下列问题： 1.在 图 14.1.6 中 ， 大 正 方 形 的 边 长 是 为 为 于是， = = ，即得出勾股定理的结论。 2.通过图14.1.7来完成勾股定理的证明（仿照上题的方法） 。 3.学习例2. 4.在 Rt△ABC 中， ?C ? 90? ，AB=41,AC=9，则 BC= 三、合作交流： 1.交流自学提纲的问题。 2. 等 腰 △ ABC 的 腰 长 AB ? 10cm ， 底 BC ? 16cm ， 则 底 边 上 的 高 为 。2 3．在 Rt△ABC 中，?C ? 90? ，BC ? 12cm ，S ?ABC ? 30cm ，则 AB ? _____ 。，面积表示；大正方形的面积还可以看成是由四个全等的直角三角形与一 。 ，化简得个边长为 c 的正方形面积的和，这样大正方形面积就可表示。4.53 页练习的 1、2. 四、测评： 1.求未知边 x 的长度：5x 12817 x16 20x2.一个矩形的周长是14，长为4，则它的对角线的长为 五、小结： 1.你学会了几种证明勾股定理的方法？。2.在运用勾股定理时，只能是在直角三角形中才可以 ，还要分清斜边和直54角边。 六、布置作业： 54页习题1. 62页复习题1. 选做：55页5.【教后反思】课题：14.1 勾股定理2.直角三角形的判定总第 3 课时 学校：寻村镇一中设计者：王巧武【教学目标】知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用。 过程与方法： 通过实验操作探索三角形的判定条件，理解勾股定理的逆定 理。 情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，培养敢于实践，大胆创新的精 神。【教学重点、难点】重点： 探索并掌握直角三角形的判定条件。 难点：直角三角形判定条件的灵活应用。【教具应用】三角板、量角器、圆规、打结的细绳子。【教学过程】一、 情景导入： 大约公元前 2700 年，文明古国埃及创造了世界闻名的七十多座大大小小的 金字塔，这些塔基都是正方形。我们知道，当时的生产工具很落后测量技术也不 是很高明。那时没有直角三角板，更没有任何先进的测量仪器。金字塔塔基的正 方形的每一个直角古埃及人是怎样确定的呢？这的确是个谜！你能解开这个谜 吗?55二、自学练习： 1.画出边长是下列各组数的三角形（单位：cm） （1）a=3 （2）a=4 （3）a=6 b=4 b=6 b=8 c=5 c=8 c=101.用量角器分别测量一下所画出的三角形的最大角的度数。 2.算一算：上述每个三角形最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。 3.猜一猜： 一个三角形的三边长满足什么关系时，这个三角形才可能是直角三角形？ 三、交流： 如果三角形的三条边满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形吗？ 这个结论与前面学过的勾股定理有什么关系？ 归纳：如果三角形的三条边 a、b、c 满足__________,那么，这个三角形是 直角三角形。 这个结论实际上是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是 否是直角三角形。 四、知识应用： 例 1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打成等距离的十三个结，然后 用木桩钉成一个三角形，如图：。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。你知道这个三角形是什么形状吗？ 说明理由。 分析：一根长绳打上等距离的 13 个结，由图可知三角形的判别方法，可判 定这个三角形是直角三角形。 解：这个三角形的边长分别是 3、4、5。 ∵ ∴ 32+42=52 由直角三角形的判别方法知道这个三角形是直角三角形。例 2、设三角形的三条边分别为下列各组数：试判定各三角形是否是直角三 角形561.7 、24、 252． 12、35、 37 3． 13、11、 9解：∵252=72+242 372=352+122 132≠112+92 所以，以一二两组数为边长的三角形是直角三角形，而第三组不是。 测评 1.判定如下以 a、b、c 为边长组成的三角形是否为直角三角形？如果是，那 么哪一条边所对的角是直角？ A B C D a=12 、 a=7 、 a=4、 b=16 、 c=20b=24 、 c=25 b=5 、 c=6a:b:c=3:4:5 b=17 c=8,求此三角形的面积。2.在三角形 ABC 中，a=15课堂小结：1.总结勾股定理及逆定理的区别 和联系 联系（1）都与直角三角形有关（2）都与三角形三边关系 a +b =c2 2 2有关区别：勾股定理以__________为条件，进而得到三边关系__________ 逆定理是直角三角形的判定方法，以__________为条件，进而得到这个三角 形 是作业： １、课本Ｐ55 页 6 题 2、 （选作） 一块试验田的形状如图所示: 已知∠ABC＝90°AB=4m AD=12m BC=3mA DCD=13m 求这块试验田的面积B C【教后反思】57课题：14.2 勾股定理的应用总第 设计者：王巧武 4 课时 学校:寻村镇一中【教学目标】知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题 过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件 情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习 热情。【教学重点难点】重点：勾股定理及逆定理的应用 难点：勾股定理的 正确使用【教具应用】三角板 圆规 圆柱的侧面展开图【教学过程】一、提出问题、创设情景 一圆柱体的底面积为 20cm，高为 4cm， BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从 A 点出发， 沿着圆柱的侧面爬行到 C 点，你能求出它 爬行的最短路程吗？ 二、自学练习： （动手试一试） （1）自制一个圆柱，尝试从 A 点到 C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那 条线 最短呢？ （2）沿 AB 点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。B58BCADCA从 A 点到 C 点的最短路线是什么？你画对了吗？ ( 3）蚂蚁从点 A 出发到 C 点，它沿圆柱侧面爬行的 最短路程是多少？教师点拨：引导学生动手操作。通过感性认识来突破学生空间想象的难点。 让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开 成长方形，1 此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决 问题。 三、合作交流： 沿 AB 将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则SABC 是__________ 三角形 AB=_________,BC=_________AC=___________ 四、应用： 1、见课本 58 页例 2. 学生交流，讨论解决本例： 厂门宽度足够， 卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小 于 CH ，O 为 AB 中点，OD=0.8 米 ，CD⊥AB ,与地面交于 H 处， OCD 是直角 .三角形，OC=1 米 ，运用勾股定理求出 CD ,进而求出 CH. 再和卡车高度 2.5 米比较 测评： 1. 从电线杆离地面 5 米处向地面拉一条 7 米长的钢缆，求地面钢缆固定点 A 到电线 杆底部 B 的距离。B A2.求出下图中字母所代表的A81225400 B14459小结： 由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充: 1.勾股定理及逆定理 2.定理的应用方法 3.本节所用到的教学思想方法C B D作业： P60 页 1 、3 题 选作： 有一块砖宽 AN=5cm ，长 ND=10cm ,CD 上的点 B.NA距地面 BD=8cm ，地面上 A 处的一只小虫子到 B 处吃食物，需爬行的最短路程是 多少？【教后反思】课题：14.2 勾股定理的应用（二）设计者：吕红强【教学目标】 。准确理解勾股定理及其逆定理。 ：1总第 5 课时学校：寻村镇第一初级中学2。掌握定理的应用方法，体会数学的数行结合思想和应用价值。 3。培养学数学的兴趣。【教学重点、难点】 ：1。正确选用勾股定理及其逆定理。2。从实际问题中找出可应用的直角三角形。【教具】 直尺、三角板、圆规。 ： 【教学过程】 ： 3. 问题引入：在一棵树的 10 米高的 D 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米 的池塘 A 处， 另一只爬到树顶后直接跃到池塘 A 处，如果两只猴子所经过的距离 相等，试问这棵树有多高？ 思考问题：如图 1，错误！未找到引用源。 、其中一只猴子从 D→B→A 共 走了 30 米，另一只猴子从 D→C→A 共走了 30 米。60错误！未找到引用源。 、树身垂直于地面，于是这个问题可转化为直角三 角形，用勾股定理解决。 错误！未找到引用源。 、可设 DC 为 X 米，则 BC 为(10+X)米,AC 为（30― 2 2 X）米，根据勾股定理 AB +BC =AC2 可得：202+(10+X)2 =(30―X)2。 解之得：X=5 所以这棵树高 BC=BD+DC=15 米。4. 快乐合作：1、如课本 P59 例 3， 5?5 的正方形网格中， 在 每个小正方形的边长都为 1， 请在给定网格中按下列要求画出图形： 错误！未找到引用源。 、从点 A 出发画一条线段 AB， 使它的另一个端点 B 在格点上，且长度为 2√2 错误！未找到引用源。 、画出所有的以错误！未找到 引用源。中的 AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在 格点上，且另两边的长度都是无理数。 错误！未找到引用源。 、交流方法：本题利用了勾股定理，关键看哪一个 以格点为顶点的矩形的对角线或直角三角形的斜边满足 要求。解（1） 图 14.2.6 中ＡＢ长度为 22． （2） 图 14.2.6 中△ＡＢＣ、 △ＡＢD 就是所要画的等腰 三角形 比一比（谁解说的更好） ：在 5?5 的正方形网格中，画出以格点为顶点的等腰三 角形，它的边长分别是多少？2、如课本 P59 例 4，已知 CD=6m,AD=8m, ∠ADC =90°，BC=24m,AB=26m, 求图中阴影部分的面积。 思考问题：错误！未找到引用源。 、图中阴影部 分的面积是一个不规则的图形面积，首先考虑如 何转化为规则图形面积的和、差的形式，即 S 阴影 =△ABC 的面积―△ADC 的面积。 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 由 ∠ ADC =900 ， 、 CD=6m,AD=8m， 易求出 Rt△ADC 的面积， 且根据勾股定理可求出 AC=10m。 错误！未找到引用源。 、知道了△ABC 的三边长，根据勾股定理的逆定 理，ＡＣ 2 ＋ＢＣ 2 ＝１０ 2 ＋２４ 2 ＝６７６＝ＡＢ 2 可以判断出它是 直角三角形，∠ACB 是直角，就可以求出△ABC 的面积。 所以 S 阴影=96m2 在 Rt△ADC 中，解AC 2 ＝ＡＤ 2 ＋ＣＤ 2 ＝６ 2 ＋８ 2 ＝１００（勾股定理） ， ∴ AC＝１０． ∵ ＡＣ 2 ＋ＢＣ 2 ＝１０ 2 ＋２４ 2 ＝６７６＝ＡＢ 2 ，61∴ △ACB 为直角三角形 （如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系： a 2 ＋b 2 ＝c 2 ， 那么这个三角形是直角三角形） ， ∴ S阴影部分 ? S?ACB - S?ACD ＝1/2?１０?２４－1/2?６?８＝９６（m 2 ） ． 总结：一、求不规则图形的方法是“将不规则转化为规则” ；二、已知三角形 的三边长求其面积，应先考虑其特殊性。 想一想：勾股定理与勾股定理的逆定理的书写格式有什么不同？三、练习：1、在△ＡＢＣ中，如果 AC=3，BC=4,AB=5,那么△ＡＢＣ一定是 三角 形，且∠ 是直角；如果仅使 AB 的长度增加到 5.1，那么原来的∠C 被“撑 成”的角是 角。 2、在△ＡＢＣ中，如果 a=10,b=24,c=26,则△ＡＢＣ的面积为 。 3、为了作出长为 10 的线段，可以作一个直角三角形，使其一条直角边的 长为 1，则另一条直角边的长为 。4. 利用勾股定理，分别画出长度为 3 厘米和 5 厘米的线段． 5、若直角三角形的三边长分别为 2、 4、 x，试求出 x 的所有可能值． 6、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面 1m,一阵风吹来,红莲吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为 2m,求这里的水深是多少米? （提 示:画出图形建立直角三角形） 7、如图，已知∠D = ∠ ACB = 90°， AD=3，AB=13，BC=12， 求、线段 AC 的长和四边形 ABCD 的面积。四、课堂小结学生谈本节课的收获五、布置作业课堂作业：A、书 P60 习题 14.2 4、5、6 或 B 练习 3、5、7、六、教后反思：62第 14 章勾股定理的小结与复习总第 6 课时 设计者：吕红强 学校：寻村镇一中教学目标:1、掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法．２、在让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展 同学们数与形结合的数学思想 ３、在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯重难点：１、勾股定理的简单计算。２、勾股定理的灵活运用。教学过程：一、知识回顾： 1、结构勾股定理 直角三角形 应用判定直角三角形的一种方法2、要点 错误！未找到引用源。 、勾股定理 在直角三角形中，两直角边的 等于斜边的 。 即如果直角三角形的两直角边长分别为 a, b, 斜边为 c，则有 。 注意：a、此定理只适用于直角三角形的三边之间的数量关系，常在“知二求一” 时应用。 b、在其它图形中则需先构造直角三角形，再应用勾股定理。 C、勾股定理是从“形”到“数”的转化，即有“形”知“数” 。 错误！未找到引用源。 、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足关系式 ，那么这个三角 形是 。 注意：a、应用时，先确定最大边，然后比较最大边的平方与两条较小边的平方 和的大小关系，如果它们相等，则可判断这个三角形是直角三角形，且最大边的 对角是直角；否则不是，没有直角。 b、勾股定理的逆定理是从“数” 到“形” 的转化，即有“数” 知“形” 。 错误！未找到引用源。 、勾股数 在三个正整数中， 如果一个数的平方等于另两个数的平方和，那么这样的一组数 就为勾股数。 注意：a、常用的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、6324、25 等。 b、如果 a、b、c 是一组勾股数，那么 na、nb、nc 也是一组勾股数，其中 n 为正 整数。 二．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想 及分类的思想。 例 1、已知 a，b，c 为SABC 三边，a =6，b=8，b&c，且 c 为整数，则 c= ．分析：此题并没有告诉你SABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理． 解：由 b&c，结合三角形三边关系得 8&c&6+8，即 8&c&14，又因 c 为整数， 故 c 边长为 9、10、11、12、13． 总结：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条 件中是否为直角三角形． 例 2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合， C 你能求出 CD 的长吗？D分析：因两直角边 AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定 理求得 AB=10 cm，设 CD=x，由题意知则 DE=x，AE=AC=6， BE=10-6=4 ， BD=8-x ． 在 Rt △ BDE 由 勾 股 定 理 得 ： 42+x2=(8-x)2，解得 x=3，故 CD 的长能求出且为 3．BEA总结： （1）使用勾股定理的前提是直角三角形； （2）在求解问题的过程中， 常列方程或方程组来求解； （3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清 哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．三、反馈练习：１、选择题： 错误！未找到引用源。 ．已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比 为（ ） ． A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1： 2：3 D．1：4：1错误！未找到引用源。 ．已知直角三角形一个锐角 60°，一直角边长为 2， 那么此直角三角形的周长是（ ） ． A．4+3 B．6+23C．2+23D．6+23、2+23错误！未找到引用源。 ．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 ）） ．错误！未找到引用源。 ．下列各命题的逆命题成立的是（A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是 45°，那么这两个角相等 错误！ 未找到引用源。若等边△ABC 的边长为 2cm， ． 那么△ABC 的面积为 （ A． 1 cm2 B 2 cm2 C． 3 cm264） ．D． 4 cm2错误！未找到引用源。 ．在 Rt△ABC 中，已知其两直角边长 a=1，b=3，那么 斜边 c 的长为（ ） ． A．9 B、10 C、11 D． 10错误！未找到引用源。 ．直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜 边上的高为（ ） 60 30 A．6cm B．8．5cm C． cm D． cm 13 13 错误！未找到引用源。 ．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距（ A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm ）2、填空： 错误！未找到引用源。 、有两棵树，一棵高 6 米，另一棵高 3 米，两树相距 4 米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米． 错误！未找到引用源。 ．一座桥横跨一江，桥长 12m，一般小船自桥北头出发， 向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头 5m，则小船实际 行驶＿＿＿m． 错误！未找到引用源。 ．一个三角形的三边的比为 5∶12∶13，它的周长为 60cm，则它的面积是＿＿＿． 错误！未找到引用源。 ．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，中线 BE＝13，另一条中 线 AD2＝331，则 AB＝＿＿＿． 错误！未找到引用源。 ．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门， 如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺．求竹竿高与门高． 错误！未找到引用源。 ．如图 3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处 断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长 16m，你能求出旗杆在离 底部什么位置断裂的吗？请你试一试．B B′8m 图3A′A 图4O错误！未找到引用源。 ．如图 4 所示，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙 根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7m．现将梯子的底端 A 向外移 动到 A′,使梯子的底端 A′到墙根 O 的距离为 3m， 同时梯子的顶端 B 下降到 B′， 那么 BB′也等于 1m 吗?复习小结：通过学习，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直 角三角形的条件，要创造直角三角形，在做辅助线的过程中，提高你的综合应用 能力。在不同的条件、不同环境中反复运用勾股定理定理及其逆定理，要达到熟 练使用，灵活运用的程度。作业：P62-P63、A、B、C 组中各选一道 复习反思：65第十五章平移与旋转66课题：§15.1 图形的平移总第 1 课时设计：李淑辉 学校：城关镇西街学校 [教学目标] 知识与技能： 理解图形平移的概念， 理解平移是由移动方向和距离所决定， 掌握图形平移的对应点、对应线段、对应角的识别。 过程与方法：经历观察、操作、欣赏认识图形平移的存在，体验感受图形 平移的主要因素是移动的方向和移动的距离，探索它的基本 性质。 情感态度与价值观：培养识图意识，感受变换的应用价值以及审美观。 [教学重、难点] 重点：理解平移是由移动方向和距离所决定。 难点：找到图形平移的方向和距离。 [教具应用] 多媒体演示课件或幻灯或挂图，三角板、直尺 [教学过程] 一、用多媒体或幻灯或挂图创设问题情景引入新课。 1、用多媒体课件播放课本 P65 图，同时插入声音：世界充满着运动，从 天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基中的是平移、旋转及对称 等运动。 （也可以出示投影或挂图，让一个学生朗读这段文字） 学生观察图形 教师问： 从图中你发现哪些运动形式是平移？那些运动形式是旋转？哪些 运动形式是对称？ 学生回答之后，教师稍作总结，最后教师讲：平移、旋转及对称等合成大 千世界许许多多千奇百怪的运动。本章将探究在平移与旋转这两种运动与变换 下图形发生的变化。 2、用多媒体课件播放课本 P66 图 5.1.1（或放投影或看书） 学生观察图形 教师问：滑雪运动员在平坦雪地上滑翔；大楼电梯上上下下迎送来客、火 车在平直的铁轨上飞驰而过；飞机起飞前在跑道上加速滑行，它们都是作什么67形式的运动？ 学生回答后，教师说明：平移与旋转是物体运动最简单的形式，这一节我 们开始研究： “图形的平移” （板书课题） 二、让学生自学课本 66―67 页内容，教师出示自学提纲 1、什么叫平移？它由什么决定？ 2、课本 P67 图 15.1.3 中，我们学过画平行线用直尺和三角板如何操作， 这种运动形式是什么？这里的 AB 与 A′B′位置关系怎样？什么叫对应点？什 么对应线段？什么叫对应角？A 点、B 点、C 点的移动方向有何关系？移动距离 呢 ？ △ ABC 平 移 的 方 向 就 是 是 ，△ABC 平移后形状大小有无变化？ 3、课本 P66 图 15.1.2，图案是由哪些基本图形通过什么运动形式而得到 的？向什么方向移动？移动了多少距离？ 三、通过合作、交流、补充完善 以上各个问题分小组回答，其他小组补充，教师也可适时强调补充，教师 带领学生亲自操作推平行线的过程，教师说明画 AB 的平行线 A′B′就是三角 尺 ABC 平移的一个例证。让学生观察对应点、对应线段、对应角的关系。学生 互相交流形成共识，教师总结： 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定距离，这样 的图形运动称为平移。平移由移动方向和距离决定（板书） 2.平移不改变图形的形状和大小。 3.通俗地说，平移就是一个图形运动方向不变的运动，或者说图形上各点 移动方向相同，移动距离相同，图形上各点的移动方向就是这个图形的平移方 向，图形上各点移动的距离就是这个图形的平移距离。 四、知识应用。 1、教师问： （1）传送带上的电视机作什么运动？ （2）传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生变化？ （3）传送带上的电视机的某一按键向前移动了 80cm，那么电视机的其他 部位向什么方向移动，移动了多少距离？ 平移的距离就68学生交流 2、回答课本 P67 试一试。 3、举出现实生活中平移的一些实例。 五、当堂测评 课本 P67―68 的 2、3 题 六、小结： 1、教师提问：平移的定义是什么？平移的两个决定因素是什么？ 2、教师小结：平移不改变图形的形状和大小。 “将一个图形沿着某个方向 移动一定的距离”这表明“图形上每个点”都沿着同一方向移动了相同的距离。 七、布置作业： 1、课本 P71 的 1、2 题 2、选作题： 如图所示，四边形 ABCD 沿着 AA＇方向，平移到四边形 A＇B＇C＇D＇ ，则 点 A 的对应点是点 段 形 ；点 B 的对应点是点 ；线段 AB 的对应线段是线；∠DAB 的对应角是 ；四边形 ABB＇A＇沿着；四边形 ADD＇A＇沿着 D＇C＇平移到四边 方向，平移到 。A D C A’ D’ C’ B[教后反思]B’课题：2、平移的特征总第 2 课时设计：李淑辉 学校：城关镇西街学校 [教学目标] 知识与技能：理解并掌握平移的基本性质和特征，能根据所给条件作简单 的平面图形平移后的图形。 [教学重、难点] 重点：平移的特征和平移的基本性质69难点：准确理解平移的特征和平移的基本性质 [教具应用] 三角板、直尺、小黑板、幻灯 [教学过程] 一、创设问题情境，导入新课 上节课我们认识了物体运动的一种基本形式――平移， 并初步探讨了平移 的性质和特征，教师提问：1、什么叫平移？平移由什么决定？学生答后，教师 讲：本节我们进一步探究平移的特征和基本性质，并运用这些知识画图和解决 问题。 二、让学生自学课本 68―69 页内容，并回答自学思考题（教师出示小黑板自学 思考题） 1、平移的基本性质和特征是什么？ 2、怎样应用平移的基本性质和特征把一个图形按要求平移？ 三、通作合作、交流、补充完善 待学生思考后，教师提问第一个问题，其他同学补充，待学生交流后，教 师把直尺和三角板放在倾斜的位置上，反复演示推 AB 平行 线的过程并画出课本上图 15.1.5，启发学生看到，不管怎样 总可以推得 A＇B＇∥AB，A＇B＇=AB， ∠B＇=∠B.同时也有 A＇C＇∥AC，A＇C＇=AC，∠C＇= ∠C 且有 B＇C＇与 BC 在同一直线上，∠A＇=∠A. 师生共同总结出：Q C’ C B’ P B AA’平移的基本性质：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行（有时在一 条直线上）且相等，对应角相等。 （板书） 平移的特征：图形的形状与大小都没有发生变化（板书）然后教师再连结 AA＇,让学生观察对应点所连线段 AA＇ 、BB＇ 、CC＇的关系并观察课本图 15.1.6 中对应点所连线段 AA＇ 、BB＇ 、CC＇的关系，得到 AA＇∥BB＇∥}