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期权定价模型分类及其实际应用
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期权定价数学模型的研究
第 28 卷 第 3 期 2 006 年6 月沈阳 工业大学学报Vol128 No13 Jun. 2 0 0 6Journal of Shenyang Univers
ity of T echnology文章编号: ( 31- 04期权定价数学模型的研究宫 华a, 陈大亨b( 沈阳理工大学 a. 理学院, b. 后勤集团, 沈阳 110168)摘要: Black Scholes 模型成功地解决了有效市场下的欧式期权定价问题. 然而, 在现实的 证券市 -场中, 投资 者将面临数 量可观、 不容忽 视的交易成 本. 随 着期权以及 期权理论 的不断发展, 期权 定 价问题引 起了越来越多的研究者和投资 商的不 断关注. 基于 股票价 格的对 数正态 分布假 设, 运 用 Black Scholes 模型和无套利原理, 创建了能够反映无交易成本和有交易成本 的期权定价 模型, 从而 得到欧式看涨期权和看跌期权的定价模型. 关 键 词: 交易成本; Black Scholes 模型; 期权定价; 无套利原理; 模型研究 文献标识码: A 中图分类号: F 713. 35Study on option pricing mathematical modelGONG Hua a, CHEN Da heng b ( a. School of Science, b. Group of Logistics, Shenyang Lig ong University, Shenyang 110168, China)Abstract: Black Scholes model has solved t he problem of Euro -option pricing in ef ficient market successf ully . But t he invest ors have t o face considerable and in neglect able transact ion cost s in real f inancial market. T he option pricing problem has at t ract ed much at tent ion of researches and invest ors w it h t he development of option and opt ion t heories. Based on t he hypot hesis of lognorm al distribut ion of stock prices and t he principle of non arbitrage, t he Black Scholes model is used to set up opt ion pricing model w hich reflects t he situat ions w ith no t ransact ion cost s and t ransact ion cost s. Pricing models f or Euro -options are derived for t he calls and puts. Key words: Black S non
model study 期权是一种选择权, 投资者在支付了一定金 额的权利金后, 就拥有在预先规定的时间或该时 间之前按预先规定价格购买或出售一定数量基础 资产的权利. 传统的标准期权通常是按照期权的 权利种类和行使权利的时间来划分的: 根据赋予 权利的不同, 可分为看涨期权( 购买权) 和看跌期 权( 出售权) ; 根据执行时间的不同, 可分为欧式期 权、 美式期权和亚式期权. 哲学家赛尔斯利用天文知识预测第二年橄榄的收 成, 再以极低的价格取得第二年当地的橄榄榨机 使用权以牟利的史实. 在西方, 大量使用期权形式 的是 17 世纪的荷兰郁金香球茎的交易. 但是由于 当时这种期权交易是没有任何保障机制的, 因此, 当郁金香球茎价格暴跌, 卖权的买方向卖权的卖 方交割郁金香时, 卖权的卖方拒绝交割, 郁金香交 易发生了崩盘事件, 这几乎导致荷兰经济崩溃. 在以后相当长的时间内, 期权交易一直被人 们视同赌博. 18 世纪在伦敦开始了有组织的期权 交易, 但在历史上也曾几次被禁止而中断. 期权的 快速发展到 20 世纪 50 年代以后才开始, 真正标 准化的场内期权交易还只有不到 30 年的历史.1期权及期权定价的发展期权的概念在古希腊时代就已经形成. 在哲学家亚里士多德的5政治学6书中就记载了古希腊收稿日期: .基金项目: 辽宁省教育厅高等学校人文社科研究资助项目( ) . 作者简介: 宫 华( 1976- ) , 女, 辽宁沈阳人, 讲师, 博士生, 主要从事数学建模方面的研究.332沈阳工业大 学学报第 28 卷由于期权具有良好的规避风险、 风险投资和 价值发现等功能, 且其表现出灵活性和多样性的 特点, 因此近 20 年来, 特别是 20 世纪 90 年代以 来, 期权成为最有活力的衍生金融产品, 得到了迅 速的发展和广泛的应用. 期权的快速发展得益于 期权理论的不断深化. 期权定价是一个古老的问 题, 最早的期权定价模型应该归功于法国的 L ouis Bachelier, 早在 1900 年他所发表的学位论文在期 权理论和整个金融经济学史上都占有先驱地位. 他的论文首次利用随机游动的思想给出了股票价 格的随机模型, 他假设股票价格是一个没有飘移 和每时间单位具有方差的绝对布朗运动, 并由此 出发给 出看涨 期权 的预期 价格. 1973 年, Black Scholes 发表了关于期权定价的开创性论文 . 文 中利用套利推理证明了欧式看涨期权定价公式, 该定价公式是期权定价发展史上的里程碑, 它为 期权乃至其他未定权 益的定价打下 了坚实的基 础, 使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据. 在期权定价研究方面, 20 世纪 80 年代以前的研 究一般都假定期权所依赖的基础资产的价格为连 续随机过程, 市场也是/ 完善0的, 在这些比较理想 化假设条件下, 指导出各种期权的定价模型. 近十 多年来, 得益于计算机技术的快速发展, 期权定价 理论研究在以下两个方面得到深化, 取得了大量 研究成果: 一是研究在不完善市场条件下如何确 定期权价格问题; 二是认为期权所依赖的基础资 产的价格是连续随机过程. 假设条件过于理想化, 可将这个假设条件改 进为基础资产 的价格服从 / 跳 ) 扩散过程0, 研究期权的定价问题.[ 1]首先作出以下假设: ? 证券市场是一个弱性 有效市场; ? 所有投资者都处于一个风险中性的 环境 中, 所 有 的 证 券收 益 率 均 为 无风 险 利 率; ? 无交易费用或税收; ? 随 时可以 按无 风险利 率贷入或贷出资金; ? 在衍生品有效期内不支付 股利[ 3].交易时间内的股价 S 被看作是随时间 t 变化 的连续时间变量, 并且服从对数正态分布( 也称几 何布朗运动) : dS = L d t + R dZ S S ( 1) 式中: L 为预期收益率; R 为标准正态分布的标准 差; dZ 是一个 Wiener 过程. 根据 IT O 定理, 不付 股利股票的任意一种衍生品( 记为 V ( S , t ) 将遵 循式( 2) 的随机过程[ 3]1 2 2 92 V 9V 9V d V = ( L 9S + 2 R S S 2 + 9t ) dt + 9S 9V dZ ( 2) 9S 接着构造一个包含 V ( S , t ) 和 S 在内的组合证券 RS ( 记为 0) 0 = V - $S ( 2) , 0 的变化量为 d0 = R ( S 9V 9V - $) dZ + ( L S + 9S 9S ( 3) 在经历微小时 间段 d t ( d t y 0) 后, 结合式 ( 1) 、1 2 2 92 V 9V RS - L$S ) dt ( 4) 2 + 2 9t 9S 选择恰当的股票头寸 $, 就可消去式( 4) 中的随 机项 dZ, 令 $= 9V 9S ( 5)2无交易成本的期权定价模型由于有交易成本与无交易成本有着密切的联将式( 5) 代入式( 4) , 利用无套利原理可得 9V 1 2 2 92 V 9V + rS + RS = rV 9S 2 9t 9S 2 ( 6)系, 因此首先应溯根求源, 在充分理解无交易成本 定价模型的基础上, 逐渐凸现出有交易成本的定 价模型. Black Scholes 模型正是解决 无交易成本 的最有效的手段之一. 该模型由美国的金融学家 Black Scholes 在其著 名论文5期 权定价与公司债 务6( 1973) 中首次 提出, 其后, Merton、 、 Cox Ross 与 Ingersoll 又对其进行了深入的改进与研究, 并 将其推广到诸如股票期权、 股指期权、 货币期权等 众多衍生品的定价之中. 它首先假定股票价格服 从对数正态分布, 然后综合运用了有效市场理论、 无套利原理、 O 定理, 最终得到了基于股价的任 IT 意一种衍生品价格的偏微分方程 如下:[ 2]式中: r 为无风险利率, 方程( 6) 即为 Black Scholes 模型, 属于二阶线性抛物型偏微分方程. 对应于不 同种类的衍生品, 该方程有不同的解. 以欧式看涨 期权 C ( S , t ) 为例, 其边界条件为 C( 0, t ) = 0 C( S , T ) = max ( S - E, 0) 进而可得到 C( S , t ) 的解析解 C ( S , t ) = SN ( d 1 ) - E e2 r ( T- t)( 7) ( 8) N ( d 2 ) ( 9)式中: d 1 =ln( S/ E) + ( r + R / 2) ( T - t ) , d2 = R T- td 1 - R T - t , N (#) 是累计标准正态分布函数. 相同条件下的看跌期权( 记为 P ( S , t ) ) 可由其与 看涨期权的平价关系得. 其推导过程第3期 P( S, t ) = C( S, t ) - S + EeEe- r(T- t)宫r(T - t)华, 等: 期权定价数学模型的研究 = ( 10) 结合式( 11) , 并忽略式( 15) 的高阶项, 有333N (- d 2 ) - SN(- d 1)从上 述求 解过 程来 看需要 把握 以下 2 点: ? Black Scholes 模 型以无套利理论作为基础, 求 解过程中使用了大量的偏微分方程理论, 这些方 法对研究金融衍生品定价具有很强的指导意义; ? 该模型仅涉及股价 S 与时间 t 两个独立变量.92 V 92 V R & Dt ( 18) S 2 ( S, t ) U 9S 9S 2 结合式( 12) , 就可得到 K X S 的数学期望 X U DS 2 92 V KR 2 S Dt ( 19) 2 P 9S 将式( 14) 代入式( 13) , 进一步可得到 D0 的 数学期望 E( K X S) = E ( D0 ) = ( 9V 1 2 2 92 V + RS 9t 2 9S 223有交易成本的期权定价模型在非有效市场条件下, 为调整组合证券头寸而进行连续的交易保值, 其成本是昂贵的. 因此, 有必要在界定交易成本的基础上, 重新分析式( 3) 构造的组合证券头寸 0. 首先, 应在现实中的离散 交易时间下对 0 加以调整. 若调整时间间隔记为 Dt , 股价变化相应修正为 ( 11) DS = L SDt + R & Dt S 式中: & 满足标准正态分布, 其概率密度分布函数为 f ( &) = 1 e 2P1 &2 22 9 V ) Dt ( 20) P Dt 9S 2 这时可运用无套利原理, 最终得到关于有交易成 本的股票衍生品定价模型 KR 2 S 9V 1 2 2 9 V 2 2 9 V S 9t + 2 R S 9S 2 - K R P Dt 9S 2 + 9V = rV ( 21) rS 9S 方程( 21) 是二阶非线性抛物型偏微分方程.2 2( 12)但当应用于欧式期权定价时, 上述方程可化为线 性方程, 从而使求解过程得到简化. 有交易成本的 欧式期权多头的定价方程可化为 9V 1 2 + ( R - 2K R 9t 2 rS 2 92 V ) S2 + P Dt 9S 2接下来, 将交易成本看作是因投资者买卖金 融资产而发生的直接费用, 以交易额的固定比例来 表示( 记为 K ) . 若股票头寸发生了 X 份额的变化, 即购买( X & 0) 或出售( X & 0) 了价值为 X S 的 股票头寸, 则产生了交易成本为 K X S . 结合式 ( 11) , 经历 Dt 时段后, 0 的变化量为 9V D0 = R ( 9S - $) & S 9V Dt + ( L 9S + S9V = rV ( 22) 9S 方程( 22) 说明仍可用 Black Scholes 模型来对 有交易成本的欧式期权多头定价, 但要对方差按 下式进行修正 ^R = R2 - 2K R 2 P Dt ( 23)1 2 2 92 V 9V RS - L )Dt DS 2 + 2 9t 9S KS X ) ( 13) 沿用式( 5) 的保值策略, 令 $ = 9V ( S , t ) 9S ( 14)同样, 有 交 易 成 本 的 欧 式 期 权 空 头 也 可 用 Black Scholes 模型来定价, 方差作如下修正 2 ( 24) P Dt 当 K = 0 时, 又 回 到 无 交 易 成 本 的 ^R = R2 + 2K R Black Scholes 模型. 式( 23) 、24) 对欧式看涨期权 ( 和看跌期权都适用. 随着 R增大, 期权价格也随之 上升. 所以, 与无交易成本的欧式期权价格相比, 交易成本使期权多头价格下降, 而使期权空头价 格上升.但经历 Dt 时段后, 由于 Dt 没有极限为零(Dt y 0) 的条件, 所以 $ 因子的变化不能忽略. 其变化量 被描述为 9V $ = 9S ( S + DS , t + Dt ) ( 15) , 可得到应交易的 X 份额为 9V 9V X= ( S + DS , t + Dt ) ( S , t) 9S 9S 利用 T alor 定理, 将式( 15) 展开2( 15)为保持 $ 中性, 这时需采取保值策略, 由式( 14) 、( 16)4结论9V 9V 9 V S 9S ( S + D , t + Dt ) = 9S ( S, t ) + DS 9S 2 ( S, t ) + D S 9 V ( S , t ) + ,, ( 17) 9S9t2本文在股票价格的对数正态分布假设的基础 上, 运用 Black Scholes 模型和无套利原理, 创建了 能够反映无交易成本和有交易成本的两种期权定 价模型, 从而得到欧式看涨期权和看跌期权的定334沈阳工业大 学学报第 28 卷价模型. 在一定程度上克服了传统定价方法的缺 陷, 是对股票定价模型的充实与丰富, 更重要的是 一种定价思维方式的转变, 在实际应用过程中可 以对两种定价方法进行相互对照和修正. 对于可 转债中的期权类型, 一般认为是美式期权, 但我国 实际可转债的转换一般都是到转换期末时转换, 所以在实践中可以把其中所含的期权类型当作欧 式期权. 这个模型是可以比较好地适用于我国可 转债的期权定价的.参考文献: [ 1] Black F, Scholes M . 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2.主要研究内容和预期目标本文主要研究 Black―Scholes 模型的波动率及其估计,首先我们先简单介绍一些 与论文相关的数学理论知识,期权等金融相关知识以及期权定价模型的...对期权定价模型的理解和结合实例分析斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪?布莱克(Fischer Black)在 70 年代初合作研究 出了一个期权定价的复杂公式(看涨和看跌) 。...本学位论文主要致力于金融学中若干奇异期权定价问题的研究, 建立 在布朗运动环境下的期权定价数学模型,所做创新工作为:一、推导出在 布朗运动环境中双障碍幂型期权...期权定价模型分类及其实际应用_金融/投资_经管营销_专业资料。摘要随着社会的进步...中尝试将数学知识运用于股票、期权、期货等投机性很强的证券交 易, 研究其价格...(三) 、建立数学模型 通过对期权定价的一些研究,进而推出它的一些反问题。例 如期权的有效期限,执行价格,无风险利率等等。 1.采取的主 搜集相关书籍、期刊等文献...期权定价的数学模型和方法. 北京:高等教育出版社, 2003, [2] Kowk Y. K. ...基于GARC H模型的股票期权定价方法研究. 金融理 论与实践, 2008 [5] 王健 ...期权定价数学模型_数学_自然科学_专业资料。期权定价问题的数学模型今日...期权研究系列之一:期权... 15页 1下载券 第十一章 期权定价模型 20页 免费...期权定价的数学模型和方法,姜礼尚著,高等教育出版社。 金融衍生产品定价的数学...年提出这一期权定价模型 , 1973 年在《政治经济学报》上得以发表他们的研究...数学模型应用于金融市场的重 大突破是证券组合投资模型和资本资产定价模型的出现,...这方 面的研究主要集中在对金融衍生工具,特别是期权工具的定 价上 1973 年,...期权定价最终稿_数学_自然科学_专业资料。期权定价文献总素2011 级 学专 院: ...二叉树方法实际上 是 B-S-M 模型的离散版本和简化版。随着研究的深入,二叉树...
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copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。期权定价问题的数学模型；白秀琴杨宝玉；（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南平顶山46；摘要：介绍了资产定价理论近十年来的发展状况和历史；基本假设的直观模型；关键词：期权；套利；数学模型；MathematicalModelofOPric；BAIXiu-qin,YangBao-yu；(PingdingshangIndustrial；Abstract:Intro
期权定价问题的数学模型
（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南 平顶山 467001）
摘要：介绍了资产定价理论近十年来的发展状况和历史背景，阐述了期权定价的基本概念和
基本假设的直观模型。
关键词：期权；套利；数学模型
Mathematical
BAI Xiu-qin,Yang
(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001)
Introducing
historical
background
development
.Expounding
assumptions
mathematicai
金融数学是研究经济运行规律的一门新兴学科，是数学与金融学的交叉，建立数学模型是对金融理论和实践进行数量分析和研究的主要方法。金融数学的几个主要理论是投资组合选择理论，资本资产定价理论，期权定价理论。本文主要探讨期权定价理论的数学模型及应用。
一 、期权定价理论的基本思想及其发展
期权是一种选择权，是其购买者在支付一定数额的期权费后，即拥有在某一特定时间内以某一确定的价格买卖某种特定商品契约的权利，但又无实施这种权利（即必须买进或卖出）的义务。它按交易性质可分为看涨期权和看跌期权，前者赋予期权拥有者在未来按履约价格购买期权标的物权利，又称买入期权；后者赋予期权拥有者在未来履约价格售出期权标的物权利，又称为卖出期权。期权按权利行使时间的不同，还可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只有在权利到期日才能履约交易，美式期权则在期权有效期内的任何时间都可以行使权利。
期权的交易由来已久，但金融期权到20世纪70年代才创立，并在80年代得到广泛应用。日美国率先成立了芝加哥期权交易所，使期权合约在交割数额，交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。在标准化的期权合约中，只有期权的价格是唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的。而其余项目都是事先规定的。因此，我们的问题就是如何确定期权的合理价格。目前两个经典的期权定价模型是Black-Scholes期权定价模型和Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价公式。尽管它们是针对不同状态而言的，但二者在本质上是完全一致的。
在讨论期权定价模型之前，我们先对金融价格行为进行分析。
二、金融价格行为
资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用。资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程，称其为几何布朗运动，即
dS(t)??S(t)dt??S(t)dB(t)
其中，S(t)为t时刻的资产价格，?为飘移率，?为资产价格的波动率，B(t)遵循一标准的维纳过程。为说明问题的方便，下面我们引入It?引理：
设F(S,t)是关于S两次连续可微，关于t一次可微的函数，S(t)是满足随机微分方程（1）的扩散过程，则有以下随机变量函数的It?微分公式 2
dF(S,t)?Ftdt?FSdS?2?FSSdt
Black-Scholes期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即F(S,t)?lnS(t)。将该式与（1）式同时代入（2）式，有 2
dlnS(t)?(??2?)dt??dB(t)
Rt?ln(S(t))????Zt
（4） S(t?1)
iid2?其中????1，Rt为资产在t期的收益率，Zt?B(t)?B(t?1)~N(0,1)。在此过程下，Rt~N(?,?2)，且对不同的时间是独立的。令S(0)为0时刻的资产价格，有
ln(S(t))??t??Zt~N(?t,?2t)
（5） S(0)
此刻Zt~N(0,t)。
三、 Black-Scholes模型
任何金融资产的合理价格是其预期价值，同样的原理适用于期权。下面我们首先介绍Black-Scholes模型的基本假设：
（1） 没有交易费用和税负；
（2） 无风险利率是常数；
（3） 市场连续运作；
（4） 股价是连续的，即不存在股价跳空；
（5） 股票不派发现金股息；
（6） 期权为欧式期权；
（7） 股票可以卖空且不受惩罚，而且卖空者得到交易中的全部利益；
（8） 市场不存在无风险套利机会。
在上述假设条件下，Black和Scholes推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产。
对看涨期权而言，其在到期日的价值为
,ST?X?0(T?X,0)??
（6） ?ST?X,ST?X
其中ST代表对应资产到期日的价格，X代表期权的交割价格。
?0?f(ST)dST??(ST?X)f(ST)dSTX?
?XSTf(ST)dST?X?f(ST)dST ?A?XB
ST)，可知Y~N(?t,?2t),ST?S0eY，从而有 S0
A??STf(ST)dST??X??Xln()S0S0eYf(Y)(
dY?ST?1)?S0eYdY?Y??
???Xln()S0?S0eYS0e?1e2?t?(Y??t)22?tXln()S0?t?1?2t21e2?t??(Y??t??2t)22?tY??t??2tdY
(令??)?t ?S0e?t?1?2t??ln(X)??t??2tS0
?1?1?2ed?2?
?S0ertN(d1)
2其中r???2?，d1?{ln(S02。 )?(r?1
X)S0B???Xf(ST)dST??ln(f(Y)dY
ln(X)??tS0
?Prob{Y?ln(XY??t)}?Prob{?S0?t
??X)??tS0?t} ?Prob{Y??t
?t?t}?N(d2)
其中d2?{ln(S02)?(r?2?)t}t。从而有期权的预期价值为 X
E(CT)?A?XB?S0ertN(d1)?XN(d2)
将其贴现为现值即得期权的合理价格
C?E(CT)e?rt?S0N(d1)?Xe?rtN(d2)
2?需要说明的是，r不仅是??的简单表达式，它实际上是连续的复合零风险2
利率。这并不奇怪，因为期权价值的确定并不依赖于投资者的偏好，即风险中性。
而风险中性的本质含义就是要求资产的终值要以该项资产的收益率为折现率计算现值。因此以何种利率推导期权定价模型是无关紧要的，这里之所以选择无风
ST(??1?2)t2?ert，即险利率是因为较方便而已。这样，自然要求有E()?eS0
四、 期权定价模型与无套利定价
期权定价均衡模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。
作者简介：白秀琴（1965-），女，河南淇县人，平顶山工业职业技术学院副教授，主要从事金融数学的研究。
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[4]阎达五?社会会计[M].北京:中国财政经济出版社,1989.
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