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怎么判断广义积分收敛还是发散!
卖萌自粽0042
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首先被积函数需为有界函数.其次极限趋近于0,那么收敛.否则,发散.
能再详细一点吗比如举个例子
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广义积分的收敛判别法
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广义积分的收敛判别法
官方公共微信导读：定理2对于瑕积分弃一,(x)d、,设vxe(a,b],r(x))0,.是瑕点,且，(b一x)人f(x)~d,也有同1)、2)的判别结果，上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x)=x一奉或(x一a，在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结，因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d，具体做习题时,在
安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔
2)若、‘1,。&d、+co,则犷一,(,)dX发散;
定理2对于瑕积分弃一,(x)d、,设vxe(a,b],r(x))0,.是瑕点,且l五m(x一a护f(x)
~d(0(d成+co)
l)若入&l,0(d&+co,则
2)若入)l,0&d镇+oo,则
当b是瑕点时,对极限lim
犷’f(?)d益收敛;
犷一“?,d?发散,
(b一x)人f(x)~d,也有同1)、2)的判别结果。需注意的是定理中
被积函数f(x)是非负的。
上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x)=x一奉或(x一a)一盖作为 比较对象,利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X一a,(a&0)的敛散性推导得出的。这在分析教材
中都有介绍。
在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结
论―收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取 入后;还要结合考虑x性(x)的极限,当入,d符合判别法条件l)或幻后,才有相应的结论。对入、d
用“尝试法洲对号入座”,一般不易掌握,但是考虑判别法的特点,还是有一定规律可循的。 我们通过对下述例题的讨论,看怎样选取入与d。
例‘讨论几兴dx的敛散性
解一”是被积分函数‘(x,一兴的瑕点?”0&?&,时,in?&”,叮&”,
考虑极限31imx了
、反二一1im一Inx~1sm4x寺一。‘一。十x一皿一。十
。___3___.,~~,、,,‘,_
送里入~丁丈1,d~U,砍原积分收双。悦
分析讨论:能否取入一告呢?‘
由极限lim、奋
V下~lim(一inx)~一co,不满足O&入&1,O簇d&十、的条件。x一O+
怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘
侧丁~1jm,要使该极限值为有限,而O&久&l,x~。+x专一‘
故可选取、任(告,,)的值,从而上述极限值为。,符合判断法条件.‘
例2讨论介黔d?的敛散性解x一0为被积函数的瑕点。
考虑极限limx‘一InsinX
x./10x~。+x一入+9/10
~~_一,_.9/。d,_,9,,.、一一.,~__,、I_翻.~.~、小。策了月又入俩足一入十下下盏之U,肚目入岌下万,田叹火)工、们U~十co,1旦入&、l,故刊别法大义又。1UtU
安峨师专学报(自然科学版11995年第4期
从而对任意。任R,r(a)收敛。于是对。的范围就会得出错误的结论。
3、不要以被积函数的分母在积分区间取零值,就判定它是无界函数的瑕点。
如:只恶‘一,.’黑恶存在丫一,不是瑕朴但一0是瑕点?
又如犷一竺粤鸟一当0&减,时,一o不是瑕点。二概竺架蜂一蚀笋?警
4、对判别法极限形式本质的认识
,)、要判另,犷一f(x)}‘?的敛散性,由极限式:竺乳}f(?)./赤,需考虑一+一时,f(?)一” 的速度:当它超过赤一。的速度,而、&1时,该,分收。;当它不超过赤一。的速度,而入、1 时,该积分发散,于是讨论f(x)一O的阶就成为判断积分是否收敛的关键。
讨论犷一合?的敛散性考虑lim
l+x.~lim一x一十的X1一(轰+一,+x.一一x,可取入二n一m,就有】jmx一.一+的X.l+x. 当、-。一&l时,厂一品dX收熟当、-。一。时,犷一湍dX发散?
有时候不知道需要进行比较的六的次“、,可以利用泰勒公式看出.
例4积”方一万君清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥
厄一厂万二要不蕊弃
虑石子一x‘海石不;可取、一音
*1‘_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二=~1im
―=VZ一‘/-./,r一-;x~+,x了xVx一Vx一星这里、一合,d一吓,故原积分发散,2,、要判另”瑕积分丈,“?,‘d?(a是瑕点,的敛散性,由极限黑}f(x)}I
,需考虑当x~a干
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、&;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少 例5判别积分
、/丁一。x
dx,,‘,~,.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
一、‘~_一~二9,‘.,一,.、~、,“00.一,_~_、.~、,_...一~班远取入俩足一入十1下又U,从阅气育,六刀一二二~型。田歹必堵活州月得:二tI、月J
lim一Insinx
”贝丫‘详./l0’’t~O宁品,1imx,.+,“’二L厂犷、’_、工气一人州卜;下,X一川1Ulim:二导.9‘~,人-吧尸二lU吕InX(**)
从而应选取入
若取、一斋&。,即、&斋?由(**)式有d一+co,而、&;.故判另,法失效.
、一斋&。?即。斋?由(**)式得到d一。,若取、):,判另,法也失效.
一。~~~9_._.一~_
卞足只能取下万吸人吸I.列取入,1U或等,由判别法可知,原积分绝对收敛。19一20 注:,、如果结合标准积分卫
从而考虑选取、在斋与;之、;
又户补,‘a是瑕点),当‘&,时收敛,就可初步判断有晶&l,
2、在使用判别法时,如果遇到取久(l(或)l)得d二O,取入&l,得d~+co,说明判别法失 效,应当改用其它方法。
如对积分犷一摇汤,(a&。),由极限:呱一忌万-x入一1:二军益(Inx).+co,入&10,O&入提l,不能 确定积分的敛散性?但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
InA+co,0&a(1
于是,当a&1时,原积分收敛,当O&a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函 数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d 就可能出现负值的情况。对变号函数的广义积分,会遇到条件收敛情况,可应用狄利克雷判别 法或阿贝尔判别法:
2、对所给广义积分必须找出它的全部奇点,如果所讨论的广义积分在其定义区间的两端 点是无穷限或瑕点,或瑕点在区间内,则应把所讨论的广义积分分拆成几个广义积分之和,使 每个广义积分都只在它的一个端点出现无穷限或瑕点,然后分别用判别法予以讨论。。 如对积”方一器‘一有两个奇“”“+一必须考虑且器‘?与厂一器‘:然””
另由狄利克雷判别法可知积分收敛。
事实上,.几一、dx}-:siox一’sinA’‘’,而六在(0,十二)单调,且Iim十一。+。Vx人0 又如oamma函数:P(a)=x~’e一xdx,+oo是奇点脚&1时,x=。是奇点,故必须分
|日勺心!门
别讨论只一‘与丁广-一xdx,从而得出a&。时,r(a)w敛。但如果用狄利克雷判别法,有.知一‘卜,价.言一如一)!&M(常数),而:蚁告一。,卜(。,+一)单调,
广义积分敛散性判别法的应用
本文讨论的广义积分指无穷积分与瑕积分,即函数在无穷
区间上的积分与无界函数的积分。它们是借助于可变上(或下)限
的黎曼积分的极限来定义的。要判别它们的敛散性,可考虑函数在
其任一内闭子区间上的黎曼可积性,借助积分性质以及积分方法:
换元法、分部积分法等直接计算,对于被积函数是单调函数或含有
周期函数因子的无穷积分,可利用广义积分与级数的关系讨论其
收敛性,即转化为级数的敛散性问题。但是在大多数的情况下.都
是通过使用判别方法、准则来确定,如柯西收敛准则,绝对收敛的
比较判别法、柯西判别法、积分判别法以及条件收敛的阿贝尔判别
法,狄利克雷判别法等来判别确定广义积分的敛散性。
现就常用的柯西判别法的极限形式判别广义积分的敛散性作
一些探讨,并予以推广。
一、对判别法的应用
为行文方便起见,给出柯西判别法的极限形式如下:
定理,对于无穷积分犷一f(?)d一设v?。[a,十一),f(?)
)仃,a&0,且一smx入f(x)=d(0镇d镇+co)
,)若、&,,0、d&+co,贝。犷一“?)d?收敛;
安,师守攀报(自鹅科攀压》1995年筑4期
limx!一工一。+一
,去一一。.这里、一告,d一。,故「:弓些-收敛;
由一im(l一x)
11见万下=干甲x~1一VXlnX二l,这里入~l,d=l,
故e.二些一发散.从而原积分发散.d玄VxInx
有时候不知道(x一a)一‘的次数入,也可以通过泰勒公式看出。
“6积分且丙攀两是否收敛
解x~O是瑕点
由于俨x(扩一毛一‘):
=访x[Zx+o(xZ)]~x圣访2+o(‘),
一一?~~_2川省出胜联入=下Q
从而:im、圣二二冬二一去:~o+Vx(e“一e一‘)VZ
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2017高数核心考点之广义积分收敛性判别法
辅导课程：&&
来源：中公考研&&发布时间： 15:53:32
[摘要]2017考研进入冲刺阶段，同学们对与高数的复习应该从宏观着手，下面是中公考师为同学们总结的2017高数核心考点之广义积分收敛性判别法，希望同学们可以作为复习参考。
　　2017考研奋进群:
　　下面是中公考研为同学整理的2017高数核心考点之无穷区间上广义积分收敛性判别法，希望可以对同学们有所帮助。
　　考研是自己选择的希望去走的道路，因此不管前面会遇到什么，考研的决心一旦作出就要义无反顾、勇往直前。为了帮助考生更好地复习，中公考研为广大学子推出2017考研、等系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了 解咨询。同时，中公考研一直为大家推出，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力!
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