如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
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直角三角形的性质及判定
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直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质
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等腰三角形的性质
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
等腰三角形的性质
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文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M 第十一讲& 等腰三角形的性质&&& 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关 系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．例题求解& 【例1】 如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢 管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管&&&& 根．(山东省聊城市中考题)思路点拨& 通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．&注&& 角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到 角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系．随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择．& 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（&&& ) & A．30°&&& D．32°&&& C 36°&&& D．40°(武汉市选拔赛试题)思路点拨& 图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程．
【例3】& 如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． && (安徽省竞赛题改编题)&& 思路点拨& 本例是探索条件的问题，可先假定结论成 立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如 何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．&
&【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE= BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．(北京市竞赛题)思路点拨& AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．&
注& 若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．&& 结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：&&& (1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明；&&& (2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论．【例5】如图，在△ABC中，已知∠C＝60°，AC&BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC&&& (1)证明：△C′BD≌△B′DC；&&& (2)证明：△AC′D≌△DB′A；&&& (3)对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论?&&& (江苏省竞赛题)&&& 思路点拨& (1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．学力训练1．如图，△ABC中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是&&&&&& ．&&& (济南市中考题) 2．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为&&&&&& ．3．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPF=&&&&&&&&&& 度．
4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是&&&&&& ．&&& (烟台市中考题)5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是(&&& )&&& A．140°&&& B．80°或100°&&& C ．100°或140°&& D．80°或140°6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S =& S ；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是(&&& )&& A．1个&&&& B．2个&&&& C．3个&& D． 4个&&& (苏州市中考题)7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，则∠ECF＝(&&& )A．60°&&& B．45°&&& C．30°&&& D．不确定&
8．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(&&& )&&& A．45°&&& D．55°&&& C．60°&&& D．75°&&& (菏泽市中考题)9．在△ABC中，已知AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求厶ABC各内角的度数．&&& (广州市中考题)10．如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点．&&& (1)请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；&&& (2)问FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论．(江西省中考题)&
11．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．(河南省中考题)
12．如图 ，O为等边三角形ABC内一点，BD＝DA，BE＝AB，∠DBE＝∠DBC，则∠BED的度数是&&&&&& ．(河南省竞赛题)&& 13．如图，AA′、BB′分别是∠EAO、∠DBC的平分线，若AA′=BB′＝AB，则∠BAC的度数为&&&&&& ．& (全国初中数学联 赛题)&
14．周长为100，边长为整数的等腰三角形共有&&&&&& 种．&&& ( “华杯赛”试题)15．已知等腰三角形的两边a、b满足 =0，则此等腰三角形的周长为&&&&&& ．&
16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C的大小是(&&& )A．20°&&& B．25°&&& C．30°&&&& D．45°17．如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为(&&& )A．∠AED&∠AGF&&& B．∠AED＝∠AGF&& C．∠AED&∠AGF&&& D．不能确定&&& （“学习报）公开赛试题）18．如图，直线 、 、 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(&&& )&&& A．一处&&& B．两处&& C．三处&&& D．四处(安徽省中考题)19．△ABC的三边为a、b、c，且满足 ，则△ABC是(&&& )A．直角三角形&&& B．等腰三角形& C．等边三角形&&& D．以上答案都不对&&& (河南省竞赛题)20．如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．& (1)求证：PD+PE=CF；& (2)若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明．
21．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE 延长线于G，求证：BG=AF+FG．&&& (重庆市竞赛题)&
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O为△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求 ∠BAO的度数．&&&& (天津市竞赛题)&
23．如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y．(1)用x的代数式表示y；(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合?&&& (福州市中考题)24．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120 °的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．&文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M
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等腰直角三角形的一个底角的度数是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
等腰直角三角形一个底角的度数=（180°-90°）÷2=45°．故答案是：45°．
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据魔方格专家权威分析，试题“等腰直角三角形的一个底角的度数是______．-数学-魔方格”主要考查你对&&直角三角形的性质及判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直角三角形的性质及判定
直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则&&& BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
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等腰直角三角形
等腰直角三角形的斜边等于它的直角边的平方根号下2倍：以c表示斜边，以a表示直角边，C=√2a。三角型的周长 定义：L=a+b+c 公式：L=2S/r(S是三角形的面积，r是三角形的内切圆的半径) 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为...
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