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数学：(50页2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆圆的周长、弧长圆面积、弓形面积及简单组合图形的面积
资料类别: /
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资料类型：中考真题
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资料概述与简介
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析
120考点汇编☆圆的周长、弧长圆面积、弓形面积及简单组合图形的面积
一、选择题
1. （2011台湾，27，4分）如图为△ABC与圆O的重叠情形，其中BC为圆O之直径．若∠A＝70°，BC＝2，则图中灰色区域的面积为何？（　　）
考点：扇形面积的计算；三角形内角和定理。
专题：计算题。
分析：由∠A＝70°，则∠B＋∠C＝110°，从而得出∠ODB＋∠OEC＝110°，根据三角形的内角和定理得∠BOD＋∠COE＝140°，再由扇形的面积公式得出答案．
解答：解：∵∠A＝70°，
∴∠B＋∠C＝110°，
∴OB＝OC＝OD＝OE＝1，
∴∠ODB＋∠OEC＝110°，
∴∠BOD＋∠COE＝140°，
∴S阴影＝．
点评：本题考查了扇形面积的计算和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．
2.（2011o宜昌，9，3分）按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径04=3，圆心角∠AOB=120°，则的长为（　　）
考点：弧长的计算。
专题：常规题型。
分析：弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长
解答：解 =2π．
点评：本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．
3. （2011福建省三明市，9,4分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（　　）
考点：圆锥的计算。
分析：设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
解得r=3cm．
点评：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
4. （2006o浙江，8，3分）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
考点：弧长的计算；旋转的性质。
分析：因为斜边AB=4，∠B=60°，所以BC=2，点C运动的路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧CC′，那么弧CC′的长=．
解答：解：弧CC′的长=．
点评：解答本题的关键在于正确理解点C的运动路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧．
5. （2011o台湾27，4分）如图为一直棱柱，其中两底面为全等的梯形，其面积和为16；四个侧面均为长方形，其面积和为45．若此直棱柱的体积为24，则所有边的长度和为（　　）
考点：几何体的表面积。
专题：计算题。
分析：先根据直棱柱的底面积和体积求出直棱柱的高，再根据侧面面积和求出底面周长，加上4条高即可．
解答：解：直棱柱的底面积为16÷2=8，
直棱柱的高为24÷8=3，
底面周长为45÷3=15，
所有边的长度和为15×2+3×4=42．
点评：本题考查了几何体的表面积，可将底面周长看作一个整体，注意本题所有边的长度和=2个底面周长+4个高．
6. （2011o台湾18，4分）判断图中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比为何（　　）
考点：正多边形和圆。
专题：计算题。
分析：作EH∥CG 连接DH，将正三角形FCG等分为4个全等的等边三角形，将梯形等分为六个全等的等边三角形，从而求出其面积的比．
解答：解：如图：作EH∥CG 连接DH，
∴S正三角形FCG=4S△GED
S正六边形ABCDEF=6S△DEG
∴正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积的比为：3：2，
点评：本题考查了正多边形和圆的知识，可以设出正三角形的边长进而求出正六边形的面积和正三角形的面积即可．
7.（2011重庆綦江，7，4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（　　）
考点：弧长的计算；切线的性质。
专题：计算题。
分析：由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠P＝60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
而∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∠AOB所对弧的长度＝＝2π．
点评：此题主要考查了弧长的计算问题，也利用了切线的性质和四边形的内角和，题目简单．
8. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（　　）
考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。
专题：网格型。
分析：求弧AC的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．
解答：解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，
即∠AOC＝90°，
由勾股定理，得OA＝＝，
∴弧AC的长＝＝．
点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝．
9. （2011，台湾省，31,5分）如图，圆心角为120°的扇形AOB，C为的中点．若CB上有一点P，今将P点自C沿CB移向B点，其中AP的中点Q也随着移动，则关于扇形POQ的面积变化，下列叙述何者正确？（　　）
A、越来越大
B、越来越小
C、先变小再变大
D、先变大再变小
考点：扇形面积的计算。
专题：计算题。
分析：由∠AOB=120°，C为弧AB的中点，根据弧相等所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，然后讨论：当P在C点时，∠POQ=30；当P在B点时，∠BOQ=60°；再根据扇形的面积公式得到S随n的增大而增大．
解答：解：∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
①当P在C点时，会最小，
∴∠POQ=30°
②当P在B点时，会最大，
∴∠BOQ=60°，
而扇形的面积S=，
∴在半径不变的情况下，S随n的增大而增大．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=；也考查了弦，弧，圆心角之间的关系．
10. （2011天水，9，4）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（　　）
考点：圆锥的计算。
分析：用到的等量关系为：圆锥的弧长=底面周长．
解答：解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，
半圆的弧长=×2π×1=2πR，
点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式，弧长公式求解．
11. （2011广州，10，3分）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC//OA，则劣弧BC的弧长为（
【考点】弧长的计算；切线的性质；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】连OB，OC，由AB切⊙O于点B，根据切线的性质得到OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA=2，AB=3，利用三角函数求出∠BOA=60°，同时得到OB= OA= ，又根据平行线的性质得到∠BOA=∠CBO=60°，于是有∠BOC=60°，最后根据弧长公式计算出劣弧BC的长．
【解答】解：连OB，OC，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△OBA中，OA=2 ，AB=3，
sin∠BOA= == ，
∴∠BOA=60°，
∴OB= ,OA= ，
又∵弦BC∥OA，
∴∠BOA=∠CBO=60°，
∴△OBC为等边三角形，即∠BOC=60°，
∴劣弧BC的弧长= =．
【点评】本题考查了弧长公式：l=．也考查了切线的性质和特殊角的三角函数值．
． （2011贵州毕节，15，3分）、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CB＝16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是(
A、50π﹣48
B、25π﹣48
C、50π﹣24
考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形。专题：计算题。
分析：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可．
解答：解：设半圆与底边的交点是D，连接AD．∵AB是直径，∴AD⊥BC．又AB=AC，∴BD=CD=6．根据勾股定理，得AD= =6．∵阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积-三角形ABD的面积=以AC为直径的半圆的面积-三角形ACD的面积，
∴阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积-三角形ABC的面积=25π-×16×6=25π-48。故选B．
点评：本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．
12. （2011广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（　　）
考点：圆内接四边形的性质。
专题：计算题。
分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
解答：解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DEC=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
13.（2011年广西桂林，12，3分）如图，将边长为的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线上由图1的位置按顺时针方
向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的
考点：弧长的计算；正多边形和圆；旋转的性质．
分析：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3= a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，4，A3，A2为圆心，以a， a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
答案：解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C= a，A1C= a，
∴A1A5=A1A3= a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a， a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长= + + + +
点评：本题考查了弧长公式：l= ；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
14.（2011广西来宾，12，3分）如图，在△ABC中，已知∠A=90°AB=AC=2,O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E,则图中阴影部分的面积是（
考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形；切线的性质。
专题：计算题。
分析：连OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则四边形OEAD为正方形，而AB=AC=2，O为BC的中点，则OD=OE=1，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED，进行计算即可．
解答：解：连OD，OE，如图，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
而∠A=90°，OE=OD，
∴四边形OEAD为正方形，
∵AB=AC=2，O为BC的中点，
∴OD=OE=1，
∴S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了切线的性质定理．
15. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，
其中A、B、C为格点.作△ABC的外接圆⊙，则的长等于
考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理．
分析：求 的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC=90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．
答案：解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，
即∠AOC=90°，
由勾股定理，得OA= = ，
∴ 的长= = ．
点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长= ．
16. （2011浙江衢州，9，3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是（　　）
考点：函数的图象。
专题：数形结合；函数思想。
分析：根据题意可对每个选项逐一分析判断图象得正误．
解答：解：A，从图象上看小亮的路程走平路不变是不正确的，故不是．
B，从图象上看小亮走的路程随时间有一段更少了，不正确，故不是．
C，小亮走的路程应随时间的增大而增大，两次平路在一条直线上，此图象符合，故正确．
D，因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样，所以不应是直线，不正确，故不是．
点评：此题考查的知识点是函数的图象，关键是根据题意看图象是否符合已知要求．
17.（2011浙江衢州，10，3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）
B、（4﹣π）a2
考点：扇形面积的计算；直线与圆的位置关系。
专题：几何图形问题。
分析：这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是正方形的面积与圆的面积的差．
解答：解：正方形的面积是：a2；
圆的面积是：π×12=π．
则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是a2﹣π．
点评：本题主要考查了正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．
18. （2011浙江台州，8，4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（　　）
B．24rh+πrh
C．12rh+2πrh
D．24rh+2πrh
考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．
专题：计算题．
分析：截面的周长等于12个圆的直径和班级为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
19. （2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC中,∠B=90°, ∠A=30°,AC=4cm,将△ABC绕 顶点C顺时针方向旋转至的位置,且A、C、三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为(
【考点】旋转的性质；弧长的计算．
【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．
【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，A、C、B三点在同一条直线上，
∴∠ACA′=120°．
∴L =（cm）．
【点评】此题考查了性质的性质和弧长的计算，搞清楚点A的运动轨迹是关键．难度中等．
20. （2011山东烟台，12，4分） 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（
考点：弧长的计算
分析：利用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2011的长．
解答：解：l1==
按照这种规律可以得到：ln=
∴l2011=．故选B．
点评：本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出L2011的长．
二、填空题
1. （2011江苏淮安，15，3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的弧等于
考点：弧长的计算。
专题：常规题型。
分析：弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
解答：解：弧长为：=2π．
故答案是：2π．
点评：本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式计算求出弧长．
2. （2011o泰州，16，3分）如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△ABC的位置，且点A、C仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是　
平方单位（结果保留π）．
考点：旋转的性质；扇形面积的计算。
专题：网格型。
分析：在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，观察图形可知，线段AB扫过的图形为扇形，旋
转角为90°，根据扇形面积公式求解．
解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=，
由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，
∴线段AB扫过的图形面积==．
故答案为：．
点评：本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用．关键是理解题意，明确线段AB扫过的图形是90°的扇形．
3. （2011盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为　　
考点：弧长的计算；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质.
专题：计算题.
分析：先利用勾股定理求出AE的长，然后根据旋转的性质得到旋转角为∠DAB=90°，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长．
解答：解：∵AD=12，DE=5，∴AE==13，又∵将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，而AD=AB，∴旋转角为∠DAB=90°，∴点E所经过的路径长=
（cm）．故答案为．
点评：本题考查了弧长公式：l=；也考查了正方形的性质以及旋转的性质．
4. （2011江苏镇江常州，13，3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是　24　cm，面积是　240π　cm2．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算．
分析：根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，然后根据扇形的面积公式即可求解．
解答：解：设扇形的半径是r，则=20π
解得：r=24．
扇形的面积是：×20π×24=240π．
故答案是：24和240π．
点评：本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键．
5. （2011山西，17，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC． 把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2， 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____________（结果保留）
考点：扇形面积及三角形面积的组合．旋转．
专题：旋转．扇形面积及三角形面积的组合．
分析：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠ABC＝∠BAC＝45°． 因为AB＝2，则AC ＝ ＝ BC．由旋转变换知AC ＝AC’ ＝ ．∠BAC＝∠B’AC’＝45°．
点评：根据题意找到关系式:，在本题中找到这样的关系后，直接求出两个扇形的面积后直接相减即可．
6.（2011重庆江津区，19，4分）如图，点A、B、C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影部分的面积等于．（结果中保留π）．
考点：扇形面积的计算；圆周角定理。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：首先连接OB，OC，即可求得∠BOC＝90°，然后求得扇形OBC的面积与△OBC的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．
解答：解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝，
∴S扇形OBC＝＝，S△OBC＝××＝，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
故答案为：．
点评：此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用
7. （2010重庆，14，4分）在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于
考点：弧长的计算
分析：根据弧长公式l=把半径和圆心角代入进行计算即可．
解答：解：45°的圆心角所对的弧长==1．
故答案为1．
点评：本题考查了弧长公式：l=（n为圆心角的度数，R为半径）．
8. （2011黑龙江大庆，8，3分）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　）
A、10平方米
B、10π平方米　　　C、100平方米
D、100π平方米
考点：垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质。
专题：计算题。
分析：过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到OC为小圆的切线，于是有圆环的面积=πoOA2﹣πoOC2=π（OA2﹣OC2）=πoAC2，即可圆环的面积．
解答：解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴AC=BC，而AB=20，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的切线，
∴圆环的面积=πoOA2﹣πoOC2，
=π（OA2﹣OC2），
=πoAC2=100π（平方米）．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
9.2007o娄底）如图所示：用一个半径为60cm，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为　25　cm．
考点：弧长的计算。
分析：根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是50π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解．
解答：解：半径为60cm，圆心角为150°的扇形的弧长是
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是50π，
设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr=50π，
解得：r=25cm，
这个圆锥的底面半径为25cm．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
10. （2011o柳州）如图，⊙O的半径为5，直径AB⊥CD，以B为圆心，BC长为半径作，则与围成的新月形ACED（阴影部分）的面积为　25　．
考点：扇形面积的计算。
专题：计算题。
分析：连BC、BD，由直径AB⊥CD，根据圆周角定理和垂径定理得到△BCD为等腰直角三角形，则BC=CD=o10=5，新月形ACED（阴影部分）的面积=S半圆CD﹣S弓形CED，而S弓形CED=S扇形BCD﹣S△BCD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式进行计算即可．
解答：解：连BC、BD，如图，
∵直径AB⊥CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=CD=o10=5，
∴S弓形CED=S扇形BCD﹣S△BCD=﹣o10o5=﹣25，
∴新月形ACED（阴影部分）的面积=S半圆CD﹣S弓形CED=oπo52﹣（π﹣25）=25．
故答案为25．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数，R为半径）．也考查了圆周角定理和垂径定理以及等腰直角三角形的性质．
11. 、（2011o安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是　8﹣2π　．
考点：扇形面积的计算。
专题：计算题。
分析：由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=o4o4=8，然后代入即可得到答案．
解答：解：∵∠C=90°，CA=CB=4，
∴AC=2，S△ABC=o4o4=8，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
三个扇形的面积和==2π，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π．
故答案为8﹣2π．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了等腰直角三角形的性质．
12. （2011o西宁）如图，在6×6的方格中（共有36个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，将线段OA绕点O逆时针旋转得到线段OB（顶点均在格点上），则阴影部分面积等于π　．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求得OA，再由旋转的性质得出∠AOB=90°，根据扇形面积公式S扇形=得出答案即可．
解答：解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴S扇形===π．
故答案为π．
点评：本题考查了扇形面积的计算，解此题的关键是熟练掌握扇形面积公式．
13.（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是
m.（结果用π表示）
考点：弧长的计算。
分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．
解答：解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，则半圆形的弧长l==2π，∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．
点评：本题主要考查了弧长公式l=nπr180，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．
14. （2011云南保山6，3分）如图，⊙O的半径是2，∠ACB=30°，则的长是__________．（结果保留）
考点：弧长的计算；圆周角定理。
分析：首先根据圆周角定理求得圆周角，根据弧长的计算公式即可求解．
解答：解：∵∠ACD=30
∴∠AOB=60°
则的长是．
故答案是：．
点评：本题主要考查了圆周角定理与弧长的计算公式，正确记忆理解公式是解题的关键．
15. （2011o山西17，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（结果保留π）．
考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形；旋转的性质。
分析：根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=，再根据旋转的性质得到AC′=AC=，AB′=AB=2，，∠BAB′=45°，∠B′AC′=45°，而S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′，根据扇形的面积公式计算即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，CB=AC，AB=2，
∴AC=BC=，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴AC′=AC=，AB′=AB=2，，∠BAB′=45°，∠B′AC′=45°，
∴S阴影部分=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC﹣S扇形ACC′=S扇形ABB′﹣S扇形ACC′
故答案为．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了等腰直角三角形的性质．
16. （2011成都，14，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是．
考点：扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD
解答：解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴S扇形ABD＝
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝．
故答案为：．
点评：本题考查了扇形的面积公式：．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
17. （2011浙江台州，16，5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM．DM为直径作两个大小不同的
⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为　50π　（结果保留π）．
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：计算题．
分析：连接CA，DA，根据垂径定理得到AM=MB=10，根据圆周角定理得到∠CAD=90°，易证Rt△MAC∽Rt△MDA，则MA2=MCoMD=100；利用S阴影部分=S⊙O﹣S⊙1﹣S⊙2和圆的面积公式进行变形可得到阴影部分的面积=oCMoMDoπ，即可计算出阴影部分的面积．
解答：解：连接CA，DA，如图，
∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10，又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴Rt△MAC∽Rt△MDA，∴MA2=MCoMD=100；
S阴影部分=S⊙O﹣S⊙1﹣S⊙2=πoCD2﹣πoCM2﹣πoDM2=π[CD2﹣CM2﹣（CD﹣CM）2]=π（CMoCD﹣CM2）=oCMoMDoπ=50π．
故答案为：50π．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及圆的面积公式．
18. （2011四川达州，13，3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC=2，则图中阴影部分的面积为　2﹣（结果不取近似值）．
考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形。
专题：计算题。
分析：用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积．
解答：解：∵BC=AC，∠C=90°，AC=2，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=，
∴s阴影=s△ABC﹣s扇形EAD﹣s扇形FBD
=×2×2﹣×2，
故答案为：2﹣．
点评：本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：s=．
19. 2011福建龙岩，17，3分）如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为　
　．（结果保留π）
考点：扇形面积的计算；多边形内角与外角.
分析：根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：S=进行计算即可．
解答：解：S3===π；S4===π；…
S90===44π．
故答案为44π．
点评：本题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．
20. （2010福建泉州，17，4分）如图，如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，那么点B的对应点是点　G　，点E在整个旋转过程中，所经过的路径长为（结果保留π）．
考点旋转的性质；正多边形和圆；弧长的计算
分析根据图形旋转的性质接可求出点B的对应点，再连接AE，过F点向AE作垂线，利用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出AE的长，再利用弧长公式接可求出E在整个旋转过程中，所经过的路径长．
解答解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴此六边形的各内角是120°，
∵正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，
∴B点只能与G点重合，连接AE，过F点向AE作垂线，垂足为H，
∵EF=AF=1，HF⊥AE，∴AE=2EH，∵∠AFE=120°，∴∠EFH=60°，∴EH=EFosin60°=1×=，
∴AE=2×=，∴E点所经过的路线是以A为圆心，以AE为半径，圆心角为60度的一段弧，∴E在整个旋转过程中，所经过的路径长==π．故答案为：G、=π．
点评本题考查的是图形旋转的性质、正多边形和圆及弧长的计算、等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
21. （2011o云南临沧，6，3）如图，⊙O的半径是2，∠ACD=30°，则的长是　
　（结果保留π）．
考点：弧长的计算；圆周角定理。
分析：首先根据圆周角定理求得圆周角，根据弧长的计算公式即可求解．
解答：解：∵∠ACD=30°。
∴∠AOB=60°
则的长是．
故答案是：．
点评：本题主要考查了圆周角定理与弧长的计算公式，正确记忆理解公式是解题的关键．
22. （2011浙江绍兴，14，5分）一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为　1　．
考点：弧长的计算。
专题：常规题型。
分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径．
解答：解：设底面圆的半径为r，则：
2πr==2π．
故答案是：1．
点评：本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的关系求出底面圆的半径．
23.（2011清远，14，3分）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为　2π　（结果保留π）
考点：弧长的计算.
专题：计算题.
分析：已知扇形的圆心角为60°，半径为6，代入弧长公式计算．
解答：解：依题意，n＝60，r＝6，∴扇形的弧长．故答案为2π．
点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长．
24. （2005o宿迁，13，4分）已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为　　．
考点：弧长的计算。
分析：已知圆锥的母线长为30即展开所得扇形半径是30，弧长是=20π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是20π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解即可．
解答：解：弧长==20π，
根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长得
2πr=20π，
解得：r=10．
该圆锥的底面半径为10．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
25. （2011o黔南，16，5分）如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．若BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）
考点：弧长的计算；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：根据题意得到直角三角形在直线l上转动两次点A分别绕点B旋转60°和绕C旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵BC=1，AC=，
∴AB=2，∠CBA=60°，
∴弧AA′==π，
弧A′A′′==，
∴点A经过的路线的长是π＋．
故答案为：（＋．
点评：本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A是以那一点为圆心转动多大的角度．
26.（2011湖南益阳,11,5分）如图，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C，∠B=30°，则劣弧的长是π．（结果保留π）
考点：弧长的计算；切线的性质．
专题：几何图形问题．
分析：1切线的性质定理得出∠OAB=90°，进而求出∠AOB=60°，再利用弧长公式求出即可．
解答：解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB=90°，
∵半径OA=2，OB交⊙O于C，∠B=30°，
∴∠AOB=60°，
∴则劣弧的长是：=π，
故答案为：π．
点评：此题主要考查了弧长计算以及切线的性质，利用切线性质得出以及三角形内角和定理∠AOB=60°是解决问题的关键．
27.（2011辽宁阜新,16,3分）如图，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，且在第一象限，∠PAO=60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标为
考点：弧长的计算；坐标与图形性质。
专题：开放型。
分析：首先根据弧长公式求得弧OP的长，则点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标即为弧OP的长；点P第2次落在x轴上时，点P的横坐标即为圆周长加上弧OP的长，以此推广即可求解．
解答：解：根据弧长公式，得
弧OP的长=，圆周长是2π，
则点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标是，点P第2次落在x轴上时，点P的横坐标是2π+=，
推而广之，则点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标是nπ+=．
故答案为．
点评：此题考查了弧长公式以及规律的推广．
三、解答题
1. （2011江苏苏州，28，9分）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是?
请你解答上述两个问题．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
专题：几何图形问题．
分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，
②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出，即可得出旋转次数．
解答：解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆
弧，及、以及．
∴顶点O在此运动过程中经过的路程为：
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
正方形纸片OABC经过5旋转，顶点O经过的路程为：
问题②：∵正方形纸片OABC经过4旋转，顶点O经过的路程为：
∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．
点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
2. （2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。
专题：作图题；几何综合题。
分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．
解答：解：（1）作图如图；
（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S==+π+π+2=π+2．
点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．
3. （2011江苏扬州，26，10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90?，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2, 求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和π）
考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质。
分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；（2）过点D作DM⊥AB于M，由角平分线的性质可证得DM=CD，又由△BDM∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得CD：AC=：3，可得∠DOB=60°，则问题得解．
解答：解：（1）如图：连接OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直线BC与⊙O的切线，
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；
（2）过点D作DM⊥AB于M，
∴∠DMB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDM∽△BAC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=30°，∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形ODE==π，S△ODB=ODoBD=×2×2=2
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S△ODB﹣S扇形ODE=2﹣π．
点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4. （2011四川凉山，21，8分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为
（1）画出，并求出所在直线的解析式.
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积.
考点：作图－旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；扇形面积的计算．
分析：（1）利用待定系数法将A（－1，2），C（－2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据AC的长度，求出S＝S扇形＋S△ABC，就即可得出答案．
解答：（1）如图所示，即为所求.
设所在直线的解析式为
解得 ， ∴.
（2）如图所示，即为所求.
由图可知，，=.
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积等于
S＝S扇形＋S△ABC是解决问题的关键．
5. （2011o广东汕头）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）
考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算。
分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；
（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧与弦AB围成的图形的面积．
解答：解：（1）如图：
∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；
（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，
∴S扇形BP1A=，
S△AP1B=×2×2=2，
∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6.（2011o临沂，23，9分）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与OB相交于点D，且OD=BD，己知sinA=，AC=．
（1）求⊙O的半径：
（2）求图中阴影部分的面枳．
考点：切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形。
分析：（1）根据切线的性质得出CO⊥AB，再根据解直角三角形得出CO，AO的关系，进而得出它们的长度，即可得出半径长度；
（2）根据已知得出∠COD=60°，进而利用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
解答：解：（1）连接OA，
∵以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．
∴CO⊥AB，
∵sinA==，
∴假设CO=2x，AO=5x，
4x2+21=25x2，
解得：x=1，
∴⊙O的半径为2；
（2）∵⊙O的半径为2；
∴2CO=BO，
∴∠CBO=30°，∠COD=60°，
图中阴影部分的面枳为：S△OCB﹣S扇形COD=×2×2﹣=2﹣π．
点评：此题主要考查了扇形面积求法以及切线的性质和勾股定理的应用等知识，得出图中阴影部分的面枳为：S△OCB﹣S扇形COD是解决问题的关键．
7. （2011湖州，20，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部队的面积．
考点：扇形面积的计算；垂径定理.
分析：（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答：解：（1）在△OCE中，∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，∴OE=OC=1，
∴CE=OC=.∵OA⊥CD，∴CE=DE，∴CD=；
（2）∵S△ABC=ABoOC=×4×=2，∴．
点评：本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
8. （2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．
考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算
分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；
（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧与弦AB围成的图形的面积．
解答：解：（1）如图：
∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；
（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，
∴S扇形BP1A==π，
S△AP1B=×2×2=2，
∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
9. （2011o恩施,21，）如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．
考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算。
分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°．根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC．从而△OBD≌△OCD，得∠OCD=∠OBD=90°；
（2）阴影面积=S扇形OBC﹣S△OBC．根据切线长定理知△BCD为等边三角形，可求∠BOC的度数，运用相关公式计算．
解答：（1）证明：连接OC．
∵OD⊥BC，O为圆心，
∴OD平分BC．
∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵DB、DC为切线，B、C为切点，
又DB=BC=6，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．
∴OM=，OB=2．
∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC
=（cm2）．
点评：此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点，难度中等．
10. （2011o玉林，22，8分）如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为﹣，求⊙O的半径r．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算。
专题：计算题。
分析：（1）连OC，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到结论；
（2）由D为OA的中点，OD=OC=r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，∠AOC=60°，，AC=r，则∠AOB=120°，AB=2r，利用S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可．
解答：（1）证明：连OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，
∴OA=2OC=2r，
∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=r，
∴∠AOB=120°，AB=2r，
∴S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE=oOCoAB﹣=﹣，
∴oro2r﹣r2=﹣，
即⊙O的半径r为1．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式．
11. （2011福建莆田，21，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90?，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点。
（1）（4分）求证：BC与⊙O相切
（2）（4分）当AD=2，∠CAD=30?时，求的长。
考点：切线的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OD．欲证明BC与⊙O相切，只要证明BC⊥OD即可；
（2）连接DE，则根据直径所对的圆周角是直角知∠ADE=90°．利用（1）中的OD∥AC、∠OAD=∠ODA可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°；由三角形的内角和定理求得∠AOD=120°；然后在Rt△ADE中根据∠EAD的余弦三角函数的定义求得⊙O的直径AE的长度，从而解得⊙O的半径的长度；最后由弧长的计算公式求解即可．
解答： 解：（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=
∴⊙O的半径r=2，
点评：本题综合考查了解直角三角形、弧长的计算以及切线的判定与性质．在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线：连接圆心O与所求的线段和圆O的交点．
12. （2011福建福州，20，12分）如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB．AC边相切于D．E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）图中两部分阴影面积的和．
考点：切线的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．
分析：（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）设⊙O与BC交于M．N两点，由（1）得：四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据tanC＝，OE=3，求出EC＝，根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．
解答：解：（1）连接OE，
∵AB．AC分别切⊙O于D．E两点，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝，∴ tanC=．
（2）解：如图，设⊙O与BC交于M．N两点，
由（1）得：四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=，OE=3，
∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=＝π×＝π，
∴S阴影=S△BOD+S△COE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=－π，
答：图中两部分阴影面积的和为－π．
点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
13. （2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠DBC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD即可求解．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，∠DBC=90°
又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+ BC=15
∴此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OAocos30°=
S△AOD= ×3×= ．
点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
14. （2011o贵,22，）在?ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．
（1）圆心O到CD的距离是　5　．
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
考点：切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算。
分析：（1）连接OE，则OE的长就是所求的量；
（2）阴影部分的面积等于梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差．
解答：解（1）连接OE．
∵边CD切⊙O于点E．
则OE就是圆心O到CD的距离，则圆心O到CD的距离是×AB=5．
故答案是：5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边．
∴∠C=∠DAB=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠BOE=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°，
∴∠AOE=90°，
作EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°，
EC=BF=5﹣．
则DE=10﹣5+=5+，
则直角梯形OADE的面积是：（OA+DE）×OE=（5+5+）×5=5+．
扇形OAE的面积是：．
则阴影部分的面积是：5+﹣．
点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确作出辅助线，把阴影部分的面积转化为梯形OADE的面积与扇形OAE的面积的差是解题的关键．
15. （2011广东深圳，20，8分）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
考点：扇形面积的计算；勾股定理；圆周角定理．
专题：证明题；几何综合题．
分析：（1）连接CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CE平分∠AED，再根据CD=CA，得△ADE为等腰三角形，则CE⊥AD，从而证出AE是⊙O的直径；
（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．
解答：解：（1）连接CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，∴CE平分∠AED，
∵CD=CA，∴△ADE为等腰三角形，∴CE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径；
（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，∴，
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
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|（第17题）
（第12题图）
（第7题图）
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