lz大一。金融专业。可恨的微积分就跟着我来了。明天考微积分。lz很忧伤啊~感觉不会再爱了。好难受。是不是选错了专业。我高中理科的，数学本来就不好。难受难受。感觉会挂'　　求力量！！并且吐槽。一起来吧~~　　lz大一。金融专业。可恨的微积分就跟着我来了。明天考微积分。lz很忧伤啊~感觉不会再爱了。好难受。是不是选错了专业。我高中理科的，数学本来就不好。难受难受。感觉会挂'求力量！！并且吐槽。一起来吧~~　　lz大一。金融专业。可恨的微积分就跟着我来了。明天考微积分。lz很忧伤啊~感觉不会再爱了。好难受。是不是选错了专业。我高中理科的，数学本来就不好。难受难受。感觉会挂'求力量！！并且吐槽。一起来吧~~　　lz大一。金融专业。可恨的微积分就跟着我来了。明天考微积分。lz很忧伤啊~感觉不会再爱了。好难受。是不是选错了专业。我高中理科的，数学本来就不好。难受难受。感觉会挂'求力量！！并且吐槽。一起来吧~~　　
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　　T.T来人呀。　　
　　先说说我得情况 文科 极其讨厌数学 大学毕业想考研自学的高数 做的复习全书 高数只要学通了 那感觉太爽了　　
　　求方法。明年还有不定积分。　　
　　@c500b
22:51:20　　先说说我得情况 文科 极其讨厌数学 大学毕业想考研自学的高数 做的复习全书 高数只要学通了 那感觉太爽了 　　[Android客户端]　　-----------------------------　　T.T~女生呀。感觉好难呀。不知道怎么面对下学期还有下下学期的线性代数　　
　　大学工科专业飘过　　老师的作业好好做，概念重点理清楚，考前做个十套卷子　　应该问题不大　　基础不好平时多花心思呗
　　@fancy_land
22:53:42　　大学工科专业飘过 　　老师的作业好好做，概念重点理清楚，考前做个十套卷子 　　应该问题不大 　　基础不好平时多花心思呗　　-----------------------------　　大学感觉不太想学。弱弱地说我是三本啊啊啊啊啊啊。　　
　　…微分高中不就学过吗？积分记住公式做几个题就行了…总有人说高数难高数难，我是没看出来哪难，尤其是微积分。你们应该就学微积分，后边的二重积分﹑级数都不学吧，这还埋怨呢啊。上学哪有那么轻松的。但是但凡你上课认真听了，作业有做不用死命复习就能拿个差不多的分数。　　
　　@楼 　　大学感觉不太想学。弱弱地说我是三本啊啊啊啊啊啊。　　-----------------------------　　学校不好就放弃了那是你自己问题。。。　　我见过好几个本科学校烂但自己努力考研考到我学校研究生的。。。　　高数基础不好，后面很多课程会吃力，我男友大学学经济的。。。　　加油吧，我妹妹当年学文高二的时候一直不及格，高三一年苦啃数学，考了优秀。　　别觉着我说教(T . T)
　　线性代数和概率都比微积分简单。你学不好只能证明你上课没好好学没听讲。不付出努力就不用唉叹了。　　
　　@fancy_land
23:00:32　　@楼 　　大学感觉不太想学。弱弱地说我是三本啊啊啊啊啊啊。 　　----------------------------- 　　学校不好就放弃了那是你自己问题。。。 　　我见过好几个　　-----------------------------谢谢哟。总感觉自己不是某一块方面的料。学着就很慢。花了时间也没有效果。看例题懂。但是自己做总是不会.好难受的　　
22:59:59　　…微分高中不就学过吗？积分记住公式做几个题就行了…总有人说高数难高数难，我是没看出来哪难，尤其是微积分。你们应该就学微积分，后边的二重积分﹑级数都不学吧，这还埋怨呢啊。上学哪有那么轻松的。但是但凡你上课认真听了，作业有做不用死命　　-----------------------------　　对于很多人来说难。或许你们是属于学进去的那种人吧。　　
　　回复第4楼，@　　@c500b
22:51:20 　　先说说我得情况 文科 极其讨厌数学 大学毕业想考研自学的高数 做的复习全书 高数只要学通了 那感觉太爽了 　　[Android客户端] 　　----------------------------- 　　T.T~女生呀。感觉好难呀。不知道怎么面对下学期还有下下学期的线性代数 　　[iPhone客户端]　　--------------------------　　我也是女的 现代挺容易的 就比如掌握那些矩阵行列式 什么情况下无穷解无解一个解那些都有公式的 你理解性的学很简单的 我觉得我学的时候反而级数觉得比较闹心　　
　　数学……是我打小时候就有的伤。是所有科目中扶不起的阿斗。　　
23:01:38　　线性代数和概率都比微积分简单。你学不好只能证明你上课没好好学没听讲。不付出努力就不用唉叹了。 　　-----------------------------　　谢谢教训噢~感觉被人骂骂动力就来了！努力我肯定会付出。因为高考失利对我影响蛮大的~　　
　　@楼 　　谢谢哟。总感觉自己不是某一块方面的料。学着就很慢。花了时间也没有效果。看例题懂。但是自己做总是不会.好难受的　　-----------------------------　　做题做多了会有套路的。　　如果觉着自己没法那么活学活用，一个是概念不清，把书仔细看看，看不明白的问同学问老师。二，题海虽然是死方法，但应付考试应该很有用的。
　　微积分也是分难易的~~~
　　微积分和高数不一样吧？　　微积分，线性代数，高数。我记得我那会儿是三个不一样的课程= =
　　@谁谁家那谁
23:06:07　　数学……是我打小时候就有的伤。是所有科目中扶不起的阿斗。 　　[Android客户端]　　-----------------------------　　从小时候起数学就要付出别人的很多倍努力。　　
　　回复第3楼，@　　求方法。明年还有不定积分。 　　[iPhone客户端]　　--------------------------　　理解性的学，极限导数和积分是基础，二三重用图，一年多没看了，做李永乐的复习全书　　
　　微积分不难的妹子！作为过来人表示我学的最好的就是高数了　当年做二重积分三重积分什么的可有成就感了　掩面　　
　　我们学的应该是一样的课本吧，个人认为挺容易的　　自求多福吧，阿门　　
　　@c500b
23:05:54　　回复第4楼，@ 　　@c500b
22:51:20 　　先说说我得情况 文科 极其讨厌数学 大学毕业想考研自学的高数 做的复习全书 高数只要学通了 那感觉太爽了 　　[Andr　　-----------------------------　　微积分让我头疼。总以为金融是偏文的~现在数学最后一门课好难受~考研也要数学　　
　　微积分不难的妹子！作为过来人表示我学的最好的就是高数了　当年做二重积分三重积分什么的可有成就感了　掩面　　
　　@ertcvbdfg
23:07:09　　微积分和高数不一样吧？ 　　微积分，线性代数，高数。我记得我那会儿是三个不一样的课程= =　　-----------------------------　　不一样的我们学校有的专业学微积分。有的学微积分。　　
　　表示同为金融专业。大学高数很有爱的哦！！真的 其实真的不难，你把课后习题做会就全懂了、因为我们学的微积分变来变去就那几种类型，找准解法做起来很有成就感，PS 我数学也差
　　回复第6楼，@　　@fancy_land
22:53:42 　　大学工科专业飘过 　　老师的作业好好做，概念重点理清楚，考前做个十套卷子 　　应该问题不大 　　基础不好平时多花心思呗 　　----------------------------- 　　大学感觉不太想学。弱弱地说我是三本啊啊啊啊啊啊。 　　[iPhone客户端]　　--------------------------　　我自学前极限符号都不认识。。。你有老师 比我当时好多了　　
　　@楼 　　不一样的我们学校有的专业学微积分。有的学微积分。　　-----------------------------　　我一看题目，就以为楼主的意思是微积分=高数。。
　　@我是一个大大馒头
23:08:47　　微积分不难的妹子！作为过来人表示我学的最好的就是高数了　当年做二重积分三重积分什么的可有成就感了　掩面 　　[$COMEFROM_QQWEB$]　　-----------------------------　　抓狂并羡慕。没有恨噢。　　
　　文科生，碰到一个很变态的老师，大一高数都挂了，然后都重修了。我的大学就这么被毁了。。。明天高数重修考试，这次有信心会过了！
碰到好点的老师就不会这么惨了。　　
　　回复第3楼(作者:@ 于
22:51)　　求方法。明年还有不定积分。　　==========　　我们已经上到定积分了！！！妹纸你考什么内容？我们要考到定积分　　
　　@须臾唯独
23:09:07　　我们学的应该是一样的课本吧，个人认为挺容易的 　　自求多福吧，阿门 　　-----------------------------　　不会挂。但是成绩不会高　　
　　哦~记得背公式吧，其实微积分就是套公式。别刷TY了。。　　我好盆友两个，逢数学必挂，一个重修了还挂，继续修。。其中一个都考哭了。。　　保重= =
　　@躺在你衣柜里
23:12:46　　文科生，碰到一个很变态的老师，大一高数都挂了，然后都重修了。我的大学就这么被毁了。。。明天高数重修考试，这次有信心会过了！ 碰到好点的老师就不会这么惨了。 　　[Android客户端]　　-----------------------------　　一起祈祷吧~必过！　　
　　大一，高数已挂。等待补考。楼主你好
　　挂了高数的路过……　　其实你可以的，只要分数不是太低应该都不会挂的。。。
　　数学成绩巨差，好在每次都低空飞过，居然没有补考过　　。。。
　　大学学的计算机···积分、微积分都要学···　　现在只记得一个很难，做一条错一条，一个很简单，做一条对一条···　　至于哪个难，哪个简单，现在完全傻傻分不清楚了~　　O(∩_∩)O哈哈哈~
　　@ertcvbdfg
23:13:50　　哦~记得背公式吧，其实微积分就是套公式。别刷TY了。。 　　我好盆友两个，逢数学必挂，一个重修了还挂，继续修。。其中一个都考哭了。。 　　保重= =　　-----------------------------　　太了解我了！　　
　　@为了标题来的
23:16:49　　大学学的计算机···积分、微积分都要学··· 　　现在只记得一个很难，做一条错一条，一个很简单，做一条对一条··· 　　至于哪个难，哪个简单，现在完全傻傻分不清楚了~ 　　O(∩_∩)O哈哈哈~　　-----------------------------前几天考计算机基础理论知识。我都临时背的。感觉不错。不过专业名词都造的　　
　　呵呵。我现在还在后悔不学金融呢。微积分有什么啊。尼玛高数更坑爹啊。直说了。除了中文专业 其他的都要学数学。微积分已经很好了好吗！！！数学差。。我高中时候数学班上倒数第二好吗。真想不通这P大的事也要拿出来说。自己不好好学习怪谁啊。有这点时间来逛论坛你不会多看下书啊　　
　　求方法。明年还有不定积分。　　
　　@c500b
23:11:21　　回复第6楼，@ 　　@fancy_land
22:53:42 　　大学工科专业飘过 　　老师的作业好好做，概念重点理清楚，考前做个十套卷子 　　应该问题不大 　　基础不好平　　-----------------------------不定积分的符号我一直读f！arctan这类我一直都一个个字母读过去　　
　　大一会计专业 过两天最后一门也要考微积分　　感觉不会再爱了　　学了一学期只记住了一个“夹逼准则” 游手好闲的孩子伤不起
　　赶紧背公式吧，不过积分公式烦，小抄吧，当年我就是这么过的　　
　　没上过微积分。。。上的是数分。。。就是数学专业需要上的那个。。。。然后考完试就跪了。。再也不想着进数学系了。。。。还有那个高代。。。更跪了
　　@楼 　　前几天考计算机基础理论知识。我都临时背的。感觉不错。不过专业名词都造的　　-----------------------------　　亲~数据结构才是真爱~当年我们班，没人及格···全班补考~噗哈哈！
　　话说我高数考了94来着，这次概率就跪……应该是我们学校卷子简单　　
　　请告诉我微积分和经济到底有什么关系。。不定积分怎么和经济扯上关系。。周五就要考试了仍然很多不懂，，，，，，同大一。。
　　=。= 貌似微积分跟高数是分开的？　　我们下个学期才学　　不过不用学高数~
　　学了一个学期就记着不定积分和极限这两个名词。。。。。再也不想学数学了。。。
　　回复第22楼，@　　@c500b
23:05:54 　　回复第4楼，@ 　　@c500b
22:51:20 　　先说说我得情况 文科 极其讨厌数学 大学毕业想考研自学的高数 做的复习全书 高数只要学通了 那感觉太爽了 　　[Andr 　　----------------------------- 　　微积分让我头疼。总以为金融是偏文的~现在数学最后一门课好难受~考研也要数学 　　[iPhone客户端]　　--------------------------　　你做的太少了。。。我看第一遍书的时候一开始看几页就躲着哭会。。。熬过去就好了 真的 全书做第二遍的时候那感觉太有成就感了　　
　　学姐飘过
那年直接重修
补考的分数线都没打到
好吧 没过30分
　　@黑煤窑小老板
23:44:59　　学姐飘过 那年直接重修 补考的分数线都没打到 好吧 没过30分　　-----------------------------　　学姐淡定自如！　　
　　@世界第一嗒咦酱
23:07:06　　微积分也是分难易的~~~　　-----------------------------　　嗯有abc档次。我是a　　
　　我会告诉你我的毕业论文是高阶微分方程解法的研究么
　　@老爱断线了
00:23:32　　我会告诉你我的毕业论文是高阶微分方程解法的研究么　　-----------------------------　　我晕了。　　
　　我觉得也不是很难，光看例题都可以…，平时要交作业的，作业可以抄，但要抄懂。　　
　　我觉得也不是很难，光看例题都可以…，平时要交作业的，作业可以抄，但要抄懂。　　
　　亲，学高数时觉得高数坑爹　　学我们专业课时坑的就是全家了　　信号与系统拿两章出来就是一本积分变换，把信息论拿两章出来就是一本概率论　　什么复变函数，线性代数随时都得准备着拿上场啊亲　　万分怨念撸过~~~~~~~~~~~
　　哦活活 卤煮我就不告诉你撸完微积分 还有线性代数 数理统计 商务统计 当然还有我现在正在撸的计量经济学和金融工程~建模什么的 RUN DATA什么的！你值得拥有 QAQ
　　为什么我觉得高数蛮简单？虽然是文科，大一时高数一百分的路过　　
　　BTW 我是女生 文科生 每次撸这些东西我最后的GPA都是路过型的
QAQ 心酸啊
　　一直在补考，从来没及格。。。惭愧惭愧
　　大学数学系女生飘走。。。呵呵呵，高数算神马。。分析，实变，复变，大杀器是泛函
　　数学一向是我的硬伤TAT　　
　　会计专业，大一学了高数，尼玛是我一生的痛啊！线代相对容易些，后来学了运筹学才知道前面的都是浮云！那个公式...　　
　　楼主应该庆幸你是金融，如果你是理工科，也许不是一句不会爱了事的。而且每个专业都有一门逼人上吊的专业课啊　　
　　微积分考几次挂几次
就从来没学懂
　　大四，大学三本中最破的学校接近于。大一高数，最擅长高数了，弄来弄去就一点东西，你要抱着我喜欢他的心态去学哈哈　　
　　真的不难，静下心看书，bless
　　楼主我大一期中考考40分的事会和你说嘛？？每次老师上课就想睡啊。　　
　　@寿恩 9楼 　　线性代数和概率都比微积分简单。你学不好只能证明你上课没好好学没听讲。不付出努力就不用唉叹了。　　-----------------------------　　觉得线性代数比微积分难太多太多了，微积分大概还能想象的出你求的到底是个什么东西，线性代数我只会记公式和名词，至于具体为什么这样要这样做，你求的结果到底相当于什么具体现实中可以模拟的东西，完全想象无能
　　大一险过。但这学期估计要挂三科。　　
　　姐姐我学财务的，照样学微积分，高中也是理科呦~~上课从来不听，考前看几套题80以上没有问题呀...只能说你没学，还在这呻吟...真的，有这时间，一个晚上你都能把他给弄及格了...
　　高数是大学数学最简单的了　　
　　我会告诉你大学就学了两学期的高数 我挂了两学期吗
第一学期的补考自己过了 第二学期是学习委员代考过了
　　背多分...
　　我觉得微积分那里挺简单的啊，包括后面的定积分不定积分曲线积分和曲面积分，套公式就行了　　倒是极限连续那里的证明挺难的　　高数比线性代数和概率论简单
　　同大一党路过 微积分一点儿也不会 还有十天考试 T_T菩萨保佑　　
　　我数学也差，高考都没及格，可是捏，，我大一数学都是90以上，真的，只要好好听课，多做做习题，考试不难的　　唉
　　@雪暗凋旗画
12:18:29　　同大一党路过 微积分一点儿也不会 还有十天考试 T_T菩萨保佑 　　[Android客户端]　　-----------------------------　　亲。我考完了哟。昨晚奋起看书。今天觉得不难了。　　
　　我学国际贸易的 文科 可惜上的是工科类的大学　　神马微积分 高数都要学　　尼玛计算机课每年一门编程课 C++等　　真是搞不懂 一学贸易的 还学了仨计算机编程 　　不知道学来干啥的
现在已经全忘记了　　微积分 还好考了70多 高数直接不行 期末53分 不过老师比较善良　　把我平时分加上去了 总分给了我60 勉强过了　　太变态了 有些科目真的是不知道学来干啥的
　　表示高中是美术生,高考文化分考高了但是艺术专业课考砸了于是大学报了理工科的专业...还是数学类课程难度仅次于理学院的专业...　　俺高数上重修了3次下重修了4次(其实很大程度上都是在补中学的数学课=
=中学数学没咋学...)才过的...　　俺们学校高数每个学期要挂个几百人至少...因为监考严,最后大家都是不断重修自己考过的...基本上重修N次才过的人至少学校自编的配套练习册里每道题目即使不会做也会背的...　　至于线性代数概率统计数学分析离散数学傅里叶变换信号之类的课理解了就无压力了,背的东西没高数的多,基本上把重点的三章的主要题型公式搞明白,其他章考前当小说一样看一遍就OK...只要考场不睡过头过掉无压力,只不过这样奖学金就没戏了╮(╯_╰)╭　　我高数还有大物都是靠背书~整本整本的背过的...于是考完两天就啥都不会了=
　　@谁家戏子血染空城
14:33:12　　表示高中是美术生,高考文化分考高了但是艺术专业课考砸了于是大学报了理工科的专业...还是数学类课程难度仅次于理学院的专业... 　　俺高数上重修了3次下重修了4次(其实很大程度上都是在补中学的数学课= =中学数学没　　-----------------------------　　亲是艺术发达。然后数学也好~　　
　　@ertcvbdfg
23:13:50　　哦~记得背公式吧，其实微积分就是套公式。别刷TY了。。 　　我好盆友两个，逢数学必挂，一个重修了还挂，继续修。。其中一个都考哭了。。 　　保重= =　　-----------------------------　　亲'托福。我肯定过了。因为不难。　　
　　@我是一个大大馒头
23:10:19　　微积分不难的妹子！作为过来人表示我学的最好的就是高数了　当年做二重积分三重积分什么的可有成就感了　掩面 　　[$COMEFROM_QQWEB$]　　-----------------------------　　嘿嘿。征服~掩面　　
　　微积分1貌似85，微积分2就只有73分，最惨线性代数，70　　
　　大一微积分就华丽丽地挂了。不过补考的时候发现很多题目都很大相似课本的例题。如果平常没看课本没认真上课的话，祝你在考试周这几天自学成功！　　
　　四年都没学过。。。
　　@须臾唯独
23:12:48　　回复第3楼(作者:@ 于
22:51) 　　求方法。明年还有不定积分。 　　========== 　　我们已经上到定积分了！！！妹纸你考什么内容？我们要考到定积分 　　-----------------------------　　我们考到定积分噢。今天考完了。完全轻松了'加油。　　
　　@TB掌柜叫夏贝拉cc
19:36:00　　大一微积分就华丽丽地挂了。不过补考的时候发现很多题目都很大相似课本的例题。如果平常没看课本没认真上课的话，祝你在考试周这几天自学成功！ 　　[iPhone客户端]　　-----------------------------　　我昨晚努力看书。今天上考场感觉蛮轻松的~　　
　　被概率弄得生不如死的飘过，　　公式看了就忘了........泪.
　　@小奇是个大吃货
19:35:36　　微积分1貌似85，微积分2就只有73分，最惨线性代数，70 　　-----------------------------　　前面85还不错啊。听说金融工程更难。还有国际结算。　　
　　话说以前学习文科。。。高中都是文科。可是读了个理科大学。妈的。老子这才发现我是个理科声啊。学理科什么的。以前是没有掌握到方法。上大学之后掌握了方法。年年奖学金。。。。我只能说现在要我背什么政治，历史，让我想死。加油卤煮。掌握方法就行　　
　　@cuturra
23:19:39　　呵呵。我现在还在后悔不学金融呢。微积分有什么啊。尼玛高数更坑爹啊。直说了。除了中文专业 其他的都要学数学。微积分已经很好了好吗！！！数学差。。我高中时候数学班上倒数第二好吗。真想不通这P大的事也要拿出来说。自己不好好学　　-----------------------------　　多谢你教训啊。昨晚就看书做题目到三点。今天好几题考到。蛮开心的。　　
　　@Besteunice
00:56:37　　大四，大学三本中最破的学校接近于。大一高数，最擅长高数了，弄来弄去就一点东西，你要抱着我喜欢他的心态去学哈哈 　　[Android客户端]　　-----------------------------　　喜欢他？！难得时候很恨呀。　　
　　学了，全忘了。　　
　　喜欢数学讨厌英语的路过
　　学微积分 推荐教材 微积分之屠龙宝刀 微积分之倚天宝剑（美）C.亚当斯等　　趣味性一流。。应付大学期末考试应该没问题了。
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请遵守言论规则，不得违反国家法律法规回复(Ctrl+Enter)第1章极限与连续§1.1实数与实数集；实数集；有理数集与实数集的关系：稠密、不占满（无理数的存；1.1.1；不是有理数；有界集：设A是实数集，若存在正数M&0使得；集A有界，M称为A的一个界；上、下界：设A是实数集，若存在数b使得x≤b对于；上界，b称为A的一个上界；若存在数a使得x≥a对；定理1.1.1数集A有界的充要条件是数集A既有上；确界：若数集
第1章 极限与连续 §1.1 实数与实数集
有理数集与实数集的关系：稠密、不占满（无理数的存在性） 例
不是有理数。
有界集：设A是实数集，若存在正数M&0使得x≤M对于所有的x∈A都成立，则称数
集A有界，M称为A的一个界。
上、下界：设A是实数集，若存在数b使得x≤b对于所有的x∈A都成立，则称数集A有
上界，b称为A的一个上界；若存在数a使得x≥a对于所有的x∈A都成立，则称数集A有下界，a称为A的一个下界。
定理1.1.1 数集A有界的充要条件是数集A既有上界又有下界。
确界：若数集A有上界，且A的上界中存在最小值β，则称β为数集A的上确界，记作
若数集A有下界，且A的下界中存在最大值α，则称α为数集A的下确界，记作
命题1：数集A若有上（下）确界，则上（下）确界必唯一。
，则必有上（下）确界β（α），反确界与最值的关系：数集A若有最大（小）值β（α）
例1.1.2 集合A=x|x是有理数且
A。 公理（确界存在性）：非空实数集若有上界则必有上确界；若有下界则必有下确界。
由上,命题1可以简单叙述为：数集A若有上（下）界，则必有唯一的上（下）确界。 确界的另一种定义：设A是实数集，β(α)是实数，若
(1)x≤β(≥α)对所有的x∈A都成立，且 (2)对于任意的γ&
β(&α)，存在x∈A使得(x&γ)(x&γ)，
则β(α)称为A的上（下）确界，
§1.2 数列极限
1.2.1 数列极限的概念
数列：数列是以正整数集为定义域的函数。因为其定义域的特殊性，直接记作
{an}。an称为数列的通项。
例1.2.1 an=
，或说an“趋向”0。 ?2，当n无限增大时，an“无限接近0”
此处，随着n增大，an并非单调减的。当n&2000时，an随着n增大而增大，
当n&2000时，an随着n增大而减少，“距离0越来越近”。那么如何描述？
定义1.2.1 设{an}是一个数列，A是一个常数。若对于任意给定的一个正数ε，都存在正整
数N&0，使得n&N时总有
则称A是数列{an}在n→∞时的极限。称数列{an}收敛，数列{an}收敛于A，
若liman=0，则称{an}是n→∞时的一个无穷小量。
若对于任意的常数A，数列{an}都不收敛于A，则称数列{an}发散。
例1.2.2 用极限定义证明 lim=0.
221+（?1）
只要n&证 ?ε&0,要&ε,只要 &ε，
1+(?1)n1+（?1）?2?
?ε&0,?N=max(1,??),?n&N有 =0. &ε, 即lim
n→∞nεn??
例1.2.3用极限定义证明，当0&q&1时，limq=0.
证 ?ε&0,要qn&ε, 只要q&ε,
?n&1,当ε≥1;
从而有 lnε
n,1.当ε&&?lnq?
?ε&0,?N=max(1,
?n&N有qn&ε, 即limqn=0.
例1.2.4用极限定义证明，当a&0时，lima
证 a=1时，?ε&0,?N=1,?n&N有a1/n?1=0&ε.
a&1时，?ε&0,要a1/n?1&ε,即要
从而有 ?ε&0,
， &ε,即n&
?N=max(1,?)?n&N有a?1=0&ε. ??ε?
a&1时，?ε&0,要a1/n?1&ε,只要1-ε&a1/n&1+ε,只要a1/n&1?ε,
?n&1,当ε≥1;
?1ln(1?ε)
,ε1.&&当?lna?n
?1,当ε≥1
?ε&0,?N=?,?n&N有a1/n?1=0&ε。 ln(1?ε)
max(1,当ε&1?lna?
总上可知，当a&0时，lima
例1.2.5用极限定义证明，当a&1时，lim证 ?ε&0,
nnn?0&ε,即&ε,即要&ε, n
1+（a?1））anan
1+n(a?1)+2+&+（a?1）
当n&2时，即要
从而有 ?ε&0,
1),nN有ε，即lim=0. ?N=max(2,?+?&&?2nnn→∞aa?(a?1)ε?
例1.2.6 证明，若liman=A, 则lim
证 ?ε&0, 因为liman=A, 所以 ?N1∈`?n&N1|an?A|&
a1+&+aN1+aN1+1+&+ana1+&+an
(a1+&+aN1?N1A)+(aN1+1+&+an?(n?N1)A)
(a1+&+aN1?N1A)
|(aN1+1+&+an?(n?N1)A)|
(a1+&+aN1?N1A)
(a1+&+aN1?N1A)ε?2(|a1|+&+|aN1|+N1|A|)?
?n&N||&. ?2
取N=max(N1,N2), 则当n&N时|1.2.2 数列极限的性质
定理1.2.1(唯一性) 若数列{an}收敛,则其极限唯一。 证 设数列{an}有两个不同的极限A和B，不妨设A&B.
对于正数ε=
&0，?正整数N1&0使得?n&N1有an?A&ε=, 22
对于正数ε=&0，?正整数N2&0使得?n&N2有an?B&ε=,
令N=max(N1,N2)，则当n&N时，同时有an&和an&成立，矛盾。
所以，收敛的数列的极限必唯一。
定理1.2.2（有界性）收敛的数列必有界。 证 设liman=A。对于正数ε=1，存在N
使得?n&N有
an?A&ε=1，从而
an&A+1. 令M=max(a1,a2,&,aN,A+1)，则对于任意的
n有 an&M，即数列{an}有界。
定理1.2.3（保号性）若liman=A&0，则存在正整数N使得n&N时必有an&0.
若liman=A&0，则存在正整数N使得n&N时必有an&0.
。 证 只证明A&0的情形（A&0时类似）
对于正数ε=
，存在正整数N，使得当n&N时有an?A&ε=，从而有22
?n&N有an?A&
,即an&&0. 22
研究定理1.2.3的逆否命题知，若数列{an}收敛于A且存在正整数N使得n&N时
必有an≥0（≤0），则A≥0
定理1.2.4（保序性）若liman=A，limbn=B,
时必有an&bn.
证 对于正数ε=
且则存在正整数N使得n&N A&B，
B?AB?A，存在正整数N1，使得当n&N1时有an?A&ε=，从而22
有?n&N1有an?A&。 ,即an&
对于正数ε=，存在正整数N2，使得当n&N2时有bn?B&ε=，从而
有?n&N2有bn?B&?. ,即bn&
综上，存在正整数N=max(N1,N2)，使得当n&N时有an&&bn。
定理1.2.4的逆否命题是：若liman=A，limbn=B, 且存在正整数N使得n&N 时
必有an≤bn，则A≤B。
定理1.2.5（四则运算）若liman=A，limbn=B, 则
（1）lim(an±bn)=A±B；
（2）lim(anbn)=AB；
（3）当B≠0时，lim(an/bn)=A/B.
证 （1）对于任意的正数ε&0，
因为liman=A，所以存在正整数N1，使得?n&N1有an?A&ε/2；
因为limbn=B，所以存在正整数N2，使得?n&N2有bn?B&ε/2。
令N=max(N1,N2)，则当n&N时有
(an±bn)?(A±B)≤an?A+bn?B&ε/2+ε/2=ε。所以有
lim(an±bn)=A±B。
（2）由有界性定理，存在正数Mb使得对于任意的n有bn≤Mb。
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