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从AP微积分考核的四大内容讲解极限
来源：新东方网
作者：祁恩云
　　《庄子》中有一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”这是最早的极限思维，截取量无限接近0，但又永远不会等于零。所以极限不是一个确定的数，是无限趋近这个确定的数。微积分以函数为研究对象，以极限思维为基本研究方法，极限的思想贯穿整个微积分学始终。以极限方法研究变化率(如：速度、加速度)问题而建立了微分学;以极限方法研究微小量的累积求和问题(如：面积、体积)建立了积分学;微积分的基本原理揭示了导数和积分的内在联系;无穷级数的收敛或发散要由极限来判断。极限无处不在，引领着微积分在我们的生活和科学等各领域发挥着重要作用。
　　下面我们从AP微积分考核的四个方面内容来看极限在其中的表现。
　　1. 极限和函数的连续：
　　函数在某一点存在极限的充要条件是左极限与右极限均存在且相等。
　　?可用极限判断函数是否存在渐近线(竖直渐近线、水平渐近线)：由此分析函数的基本特征。?用极限来定义函数在某点的连续性：
　　?夹挤定理、中间值定理、极值定理都是极限概念的延展。
　　2. 导数、微分及应用
　　对瞬时变化率问题如速度、加速度等的研究产生了导数。
　　-其几何意义是函数f(x)在a点的斜率。
　　?由此可讨论连续函数的增减性、弯凸性、确定函数极值、相关变化率。
　　?并可由导数定义式给出所有函数的求导公式。
　　3、定积分、不定积分及应用
　　对非常规图形面积的计算的要求产生了定积分。
　　“分割、近似求和(黎曼和)、取极限(定积分)”是定积分的核心思想。
　　?由此可计算面积、旋转体体积、弧长、平均值，
　　4、多项式近似和无穷级数
　　无穷级数是微积分学的重要组成部分，涉及极限、微分和积分的内容。级数收敛、发散的定义：
　　上述内容，尤其是微积分的运算和应用，所有微积分公式都来自极限。但当我们掌握并能熟练应用这些公式后，由于极限的身影很少出现，故往往会忽视这些公式的起源。从上面微积分内容介绍，我们可看到极限无处不在，极限的概念就是微积分的核心思想。
　　新东方祁恩云：从事多年大学物理教学工作，加拿大阿尔伯塔大学访问学者，合作研究激光光谱用于物质识别项目。2006年后专注于北美数理课程教学，受邀于温哥华著名教育中心--温哥华功力数理学院(Vancouver
Power Math and Science
Academy，Canada)任数学、物理教师。目前已有多年加拿大“数学、物理、微积分”等中学、大学课程、美国大学理事会标准化考试SAT2和AP课程的丰富教学经验，熟悉北美数理教育。2011年回国后，将国外的教学经验融入中国教育，发挥中国学生的优势，弥补中美两国教育差距，能使中国学生用最短的时间备考美国标准化考试SAT2和AP。祁老师也可为准备考试的学生提供申请大学咨询及拟定学习计划的教育咨询。
(责任编辑：许爽)
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0-3 微积分——前沿 严谨思维之极限定义
欢迎各位投稿和订阅&&我的专题今天我们谈一谈对微积分贡献最大的另外几位大咖：柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯！
Cauchy，Augustin Louis
话说，清朝嘉庆年间，在遥远的欧洲，有一位伟大的数学家降生了。他有极高的文学素养；他是一名虔诚的天主教徒；他照亮了数学模糊的角落他就是数学家：柯西，“柯西不等式”的那个柯西，和柯南不是兄弟，可不要搞错了！
让我们来看一看柯西的一些信息：奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy，日－日），法国著名数学家。第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广，而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。柯西一生写了大约八百篇论文，这些论文编成《柯西著作全集》，从1882年开始出版。他是数学分析严格化的开拓者，复变函数论的奠基者，也是弹性力学理论基础的建立者．他是仅次于欧拉的多产数学家。
好吧，其实上一段你不用看的，看了也记不住，我也是。
我们知道关于极限槪念的定义成为数学上的一个经典:当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。这个就是柯西对极限的定义，是不是与数学分析or高等代数的定义不一样，是的，其实书上的定义是魏尔斯特拉斯的，我们稍后再看！
柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。这类变量以零为其极限。”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞;如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞。”
柯西以圆面积作为例子：当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积的极限就是这个圆的面积。自然不会有哪个多边形的面积等于圆的面积。但是，对千任意给定的容差，能够找到一个内接正多边形，它的面积以及那些边数更多的正多边形的面积比给定的容差更接近圆的面积。多边形的面积持续地越来越接近圆的面积，这是柯西思想的精髄。
从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进。然后这个定义是不是还是有点模糊呢？
格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼
格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼(日－日)德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。
虽然黎曼的一生是短暂的，不到40个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。我们之所以要介绍黎曼，是因为尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。现在让我们看一看黎曼积分和黎曼猜想：1.黎曼积分--四步走
1）一步-区间的分割一个闭区间
的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列
每个闭区间
叫做一个子区间。定义
为这些子区间长度的最大值：
再定义取样分割。一个闭区间
的一个取样分割是指在进行分割
后，于每一个子区间中
的定义同上。2）二步-黎曼和对一个在闭区间
有定义的实值函数
黎曼和定义为以下和式：
和式中的每一项是子区间长度
处的函数值
的乘积。直观地说，就是以标记点
到X轴的为高，以分割的子区间为长的的面积。3）三步-黎曼积分严格定义如下：
上的黎曼积分，当且仅当对于任意的
使得对于任意的取样分割
只要它的子区间长度最大值
也就是说，对于一个函数
如果在闭区间
上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数
的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么
上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数
为黎曼可积的。4）四步-求极限然后，让我们动态的感受一下：
一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。
2.黎曼猜想：我是看不懂，查了好多资料，本来打算把一些加粗的解释一下，突然发现篇幅有限，如果有时间，我就是单开一篇，详细介绍！或者有兴趣的小伙伴可以投稿过来！黎曼ζ函数非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6???等点的值）的实数部分是
黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = -2, s = -4, s = -6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部分是 1/2 即所有的非平凡零点都应该位于直线
（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数-又称为质数，最小的质数是2-在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理(此定理都成立，至今尚无人给出证明）。黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部分数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）。克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。ps：喜欢研究的小伙伴试一试吧，说不定你就名垂青史了。
约瑟夫·刘维尔是19世纪的法国数学家，生于加来海峡省的圣奥梅尔。刘维尔一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题、数论中代数数的丢番图逼近问题和超越数有深入研究。刘维尔构造了所谓的“刘维尔数”并证明了其超越性，是第一个证实超越数的存在的人。主要贡献如下：1）函数论刘维尔认真研究了莱布尼茨、约翰·伯努利和欧拉的著作，尽可能地扩展了微分和积分的概念，建立了任意阶导数的理论。1832年和1873年，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，作为对阿贝尔和拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论的整理，并给出了初等函数的分类。初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。1844年，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从卡尔·雅可比的定理单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。围绕双周期性，刘维尔提出以下定理：
刘维尔第一定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；刘维尔第二定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处留数之和为0；刘维尔第三定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；刘维尔第四定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。
2）微分方程与积分方程刘维尔和施图姆在1830年代一起研究了热传导的微分方程，创造了逐次逼近法。随后他研究了更一般的二次微分方程，以及确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数的问题，得到了许多重要结论。
3）数论刘维尔对数论问题产生兴趣始于费马大定理。1840年，他将费马的问题作了转化，证明方程
的不可解性意味着
的不可解性。之后又研究了e的超越性质，建立了有关代数数丢番图逼近的一个基本定理，并由此构造了刘维尔数，首次证明了超越数的存在性。
4.维尔斯特拉斯
这个可是大神，虽然赶了个晚集
我们知道微积分都让牛顿、莱布尼兹给占了，但是，它的许多概念还是含混不清的，它的基础仍旧薄弱。达朗贝尔首先察觉到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在《解析函数论》中作了有益的尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严密性提出更高的要求；最后是柯西把问题大大推进。他的极限理论对分析的发展和级数敛散性的判别都是必不可少的。
但是，使数学家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础的，是由于德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在1874年发表的一个和直观相悖的惊人发现：一条连续曲线却处处没有切线!换句话说就是一条处处连续却处处不可导的函数。
这就是魏尔斯特拉斯函数，这个函数可以当作很多疑点的范例:
魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：
为正的奇数，使得：
这个函数以及它处处连续而又处处不可导。ps：这个函数很有用！
魏尔斯特拉斯对数学分析、解析函数论、阿贝尔函数、变分法、代数等做出了重要贡献。他是将分析学置于严密的逻辑基础上的一位大师。牛顿和莱布尼兹创立的微积分，由于基本的概 念，特 别是无穷小概念的含糊不清，引起了数学史上的第三次数学危机。之后，经过近一个世纪的尝试和努力，数学家在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初初见成效，在这方面柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期出现的混乱，但他的很多概念都是定性的描述，如他用许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言，仍然存在漏洞。
另外，当时一个普遍错误观念认为凡是连续函数都是可微的。事实上，波尔查诺、黎曼和克莱罗已经给出过反例，但没有引起数学界的重视。而魏尔斯特拉斯以“分析的算术化”为口号，严谨，力求避免直观，把分析奠基在算术概念的基础上。他认为实数赋予了极限和连续性等概念，是全部分析的本源。为此魏尔斯特拉斯将实数严格定义，大意是先从自然数出发定义有理数，再通过无穷多个有理数集合来定义实数。他给出了现今微积分教材中的极限定义和函数在一点连续的定义，从而把之前莱布尼兹和柯西的不明确提法给予精确形式的描述。他运用波尔查诺在证明“有界实数集存在上确界”时所采用的区间套方法，证明了“有界无限点集必有聚点”。他陈述了闭区间上连续函数必定达到其上确界和下确界的性质。他在幂级数的基础上建立解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。
给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。让我们来看一下，他是怎样对柯西关于极限的定义进行严格的第一的！设函数
的某一内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数
（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值
都满足不等式：
那么常数A就叫做函数
时的极限，记作
这就是魏尔斯特拉斯对极限的严格定义，也就是现代数学极限中，常用的定义哦!另一个就是魏尔斯特拉斯函数
魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：
为正的奇数，使得：
这个函数以及它处处连续而又处处不可导。ps：这个函数很有用！
好了，花了整整六个小时，今天就到这吧，累死宝宝了！！最后各位小伙伴觉得不错的的给我点个喜欢，话说俺也需要动力！！！！
参考文献：1.2.3.4.
俗话说在家靠父母，在外靠朋友，有钱的0.5*e也是可以救人于水火之中的，没钱的来个赞场！！！
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微积分与极限思想
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辨证法。借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。
极限思想是人类认识水平进步的产物。认识论不外乎可知论和不可知论。可知论和不可知论的矛盾，就是主体理性的有限性和存在的无限性的矛盾，而解决这一矛盾的正是微积分理论的创始人：牛顿和莱布尼茨，是他们给人类带来了有史以来最伟大的思想——极限思想，让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。
微积分从产生到定型成今天的形式，经历了三个不同的阶段：以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段；以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的魏尔斯特拉斯阶段。三个阶段之间既有内在联系，又有认识上的区别，是一个不断发展和运动的历史演变过程。这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。法国数学家费尔马在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当于微分学中的方法,只是以符号e代替了增量?x.
微积分刚一形成，就在各个领域得到广泛应用。但是另一方面，微积分的理论基础还很不完善，特别是一些定理和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，不好理解，因此受到非难和攻击。这些矛盾集中体现在极限概念上，微积分的基础是极限的理论，而牛顿和莱布尼兹的极限概念都是十分模糊的。牛顿在一些典型的推导过程中这样认为：第一步，他用了无穷小量作分母进行除法；第二步，他又把无穷小量看作零，去掉有关项，从而得到所要的公式。这些公式被证明是正确的，但是推导过程中却显示出逻辑上的自相矛盾。莱布尼兹也存在类似
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