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& 学年高一数学教案：2.3《幂函数》新人教A版必修1
学年高一数学教案：2.3《幂函数》新人教A版必修1
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资料概述与简介
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元
P是W的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2
S是a的函数
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3
S是a的函数
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a=
a是S的函数
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1
V是t的函数
问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?
学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.
【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义
一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量，ɑ　为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2
y=（x+1）2
y=x2+1 是否为幂函数）
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
2.幂函数的图像与简单性质
同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）
不妨也找出典型的函数作为代表：
让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像
问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？
学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？
学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.
教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.
问题五：所有图像都过哪些点，为什么？
学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.
问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？
学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.
问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？
学生反应：当0<x1时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.
教师活动：在0<x<1内任取个x值，例如a，肯定有o<a1时，指数大的函数值就大.
幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0，+∞) {x︱x≠0}
值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y︱y≠0}
单调性 增 (-∞,0)增
[0，+∞)减 增 增 (-∞,0)减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 （1,1）
【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.
（三）新知应用
【性质证明】在[0，+∞)上是增函数
教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断
y= 5.2x是增函数,
∵0.1<0.2　∴ 5.20.1
y=x0.9在(0,+∞)内是增函数
3.2<3.7∴ 3.20.9 <3.70.9
1.72.5<1.82.5<1.83.5
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解：依题意,得
检验:当 m=2时,函数为符合题意.
当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2
【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.
（四）课堂小结，归纳提升
（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
（五）课后作业，巩固训练
P79习题2.3： 1，2，3.
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