微积分笔记-菲赫金哥尔茨（1）
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数学分析笔记-菲赫金哥尔茨-第一卷-极限论
1.整序变量及其极限
22.变量、整序变量。
整序变量的定义（序列，估计数列，级数…也行）。
整序变量的给定（给定通项公式，或者给定某种规则使得整个序列可以逐一算出）
23.整序变量的极限。
对于每一个正数?，不论它怎样小，恒有序号N，使在n&N时，一切xn的值满足不等式 |xn-a|&?，则常数a称为整序变量x=xn的极限。
24.无穷小量。极限为零的整序变量xn称为无穷小量，或简称无穷小。
事实上，无穷小数这样一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于（绝对值小于）任意选取的数?。
整序变量xn以常数a为极限的必要而且充分的条件是：他们的差an=xn-a是无穷小。
若常数a与整序变量xn的差是无穷小量，则a称为整序变量xn的极限。
通过例1），2），和3）看出：变量的值是否均在极限值的一方；变量是否每一步都向其极限接近，变量是否能达到极限，即是否具有等于极限的数值；这些都不重要。重要的仅仅是定义当中说的：变量在项数充分远时，与极限之差是要任意小的。
如果只是要证明极限的存在，则这种场合我们总不关心于N?的最下可能的数值。只需保证给出“极限定义”的不等式成立即可。至于从哪一项开始，位置远些或近些，可以不去管它。
具有有限和的级数就是收敛的；否则，就是发散的。（这里的收敛于发散是关于“级数的定义”，本初关于收敛于发散的定义和哈工大工科数学分析中的定义不一致）。
25.关于有极限的整序变量的一些定理。
1°. 若整序变量xn趋于极限a，又a&p(a& q)，则一切变量的数值，从某项开始，亦将&p(& q).
2°. 若整序变量xn趋于极限a & 0(& 0)，则变量本身从某项开始亦必有xn&0 ( & 0)。
3°.若整序变量xn趋于异于零的极限a，则必有充分远的xn的值，其绝对值得超过某正数r: |xn|&r&0 (n&N).
4°.另一方面，若整序变量xn有极限a，则xn 必定是有界的，意即，它的一切值在绝对值上不超过某一有限的界：|xn|≤M (M=常数；n=1,2, …).
5°. 整序变量xn不能同时趋于两个相异的极限。
附注 I. xn 为有界变量的定义也（另一种定义通过绝对值）可以用不等式 k≤xn≤g (n=1,2,…)来表示，式中k及g为两个有限的数。
命题4°不能逆述。
27. 无穷大量。
无穷大量，在某种意义上是与无穷销量相反的。
若整序变量xn，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于与现制定的任意大数E&0，|xn|&E （当n&NE时），xn便称为无穷大。
如同在无穷小的情形下，这里亦需要着重指出，无穷大量的任一个别数值都不能当做“大量”看待。我们这里所讨论的是这样的变量，它仅在本身改变的过程中可以大于任意选取的数E。
若整序变量xn成为无穷大，并且（至少在充分大的n时）保持着一定的符号（+或-），这时，按照符号的正或负，我们说xn有极限+∞或-∞，并写成：
limxn=+∞,xn→+∞ 或 limxn=-∞,xn→-∞
若整序变量xn是无穷大，则它的倒数αn=1xn将成无穷小；若整序变量αv（不等于零）是无穷小，则其倒数xn=1αn将成无穷大。
2. 极限的定理·若干容易求得的极限
28. 对等式及不等式取极限
当我们用等号或不等号联接两个整序变量xn及yn时，我们所知的总是他们的对应数值，及具有同一序号的数值。
1°. 若两个整序变量xn，yn在它们的一切变化过程中总是相等：xn=yn，并且各区域有限极限：limxn=a，limyn=b， 则这些极限必相等：a=b。
2°. 若两个整序变量xn，yn恒满足不等式xn≥yn，并且各趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则必a≥b。
这定理使我们得以对不等式（连同着等号的）取极限：由xn≥yn得结论：limxn≥limyn。当然，各处的≥号都可以换成≤号。
需要注意的是，由严格的不等式xn&yn，一般来说，不能推得严格的不等式limxn&limyn，而仅能推得：limxn≥limyn。
3°. 若整序变量xn，yn，zn恒满足不等式 xn≤yn≤zn，并且xn及zn趋向同一极限a:limxn=limzn=a，则yn亦必以a为极限：limyn=a。
由这定理，可以推得：若对于一切n，a≤yn≤zn，且已知zn→a 则亦必有 yn→a。
29. 关于无穷小的引理
引理1. 任何有限个无穷小的和亦是无穷小。
引理2. 有界变量xn与无穷小αn的乘积仍是无穷小。
30. 变量的算术运算
1°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则它们的和（差）仍趋于有限极限，并且lim(xn±yn)=a±b。
2°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则它们的积仍趋于有限极限，并且lim(xnyn)=ab。
3°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，并且b异于0，则它们的比仍趋于有限极限，并且limxnyn=ab。
31. 不定式
首先我们来看商xnyn
1°. 设两个变量xn，yn同时趋于零，在不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。
2°. 在同时xn→±∞及yn→±∞的情形，亦有类似的情况。
转而考察积xnyn
3°. 若xn趋于零，同时yn趋于±∞，在研究积xnyn的性态时候，如果不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。
最后，考察代数和xn+yn
4°. 这里讲当xn及yn趋于异号的无穷大时，若果不知道这些整序变量本身是，则不可能确定xn+yn的极限。
不可能解答的四种情形：00,∞∞,0?∞,∞-∞。
32. 极限求法的例题。
在例9)中，以及以后的例题中，经常用到的一个公式。 假设a&1，用a=1+λ，(λ&0)来表示a，我们有
an=(1+λ)n=(n0)+(n1)λ+(n2)λ2+...+(nn-1)λn-1+(nn)λn&(n2)λ2=n(n-1)2λ2
斯托尔茨定理及其应用。
为了要确定∞∞型不定式xnyn的极限，斯托尔茨定理经常是有用的。设整序变量yn→+∞, 并且——至少从某一项开始——在n增大时yn亦增大：yn+1&yn，则
limxnyn=limxn-xn-1yn-yn-1
只需等式右边的极限为已知或存在(有限或 ±∞)。
3. 单调整序变量
单调整序变量的极限
若整序变量xn有
x1&x2&...&xn&xn+1&...
就是说，若n′&n，必有xn′&xn，这时我们把xn称为是 增大的。
x1≤x2≤...≤xn≤xn+1≤...
就是说，若n′&n，必有xn′≥xn，这时我们把xn称为是 不减小的。.若对于增的这一术语，赋予更广泛的意义，则在上述的后一种情形亦可以称为增的变量.
仿此，可建立减小的一一狭义的或广义的一一变量的概念（笔记中不在赘述）。
一切这种类型的，向单一方向改变的变量总称为单调变量。
定理： *设已给单调增大的整序变量xn，若它上有界:
xn≤M(M=constant;n=1,2,...)
则必有一有限的极限，否则，它趋向+∞。 完全同样地，单调减小的整序变量xn恒有极限.若它下有界:
xn≥M(M=constant;n=1,2,...)
则它的极限是有限的，否则它的极限为-∞.*
3） 计算机计算倒数方法…
4） 求不出来an与bn0的极限，但是知道两个极限相等。可以用椭圆积分求。
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高等数学函数极限
导读：x?x0limf(x)?0,h(x)在U?(x0,?)内是有界函数，但limx?0xx1有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小，函数是无穷小量，x11函数cosx,cos,sinx,sin，都是有界函数，函数x二、无穷大量考察当x?0时，x定义2设函数，相应的函数绝对值，则称函数，若相应的函数值f(x)（或?f(x)）无限，x?1x?1x?1?x?1x?1无穷大量描述的是一个函数在自变量的某一趋向小) 3) x?x0limf(x)?0,
h(x)在U?(x0,?)内是有界函数，则limf(x)h(x)?0（简x?x0称无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小） 4) x?x0limf(x)g(x)?limf(x)?limg(x)?0（两个无穷小的乘积仍为无穷小） x?x0x?x0推论1 有限个无穷小量的和（差）仍为无穷小量。 推论2 有限个无穷小量的积是无穷小量。 注意：无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。如当n??时都是无穷小量，但lim(12n,,?,n2n2n212nn(n?1)1????)lim==。 n??n2n??2n2n22n2两个无穷小量的商不一定是无穷小量。比如：当x?0时，x与2x都是无穷小2x2x?2，所以当x?0时不是无穷小量。 量，但limx?0xx1有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小。如当x??，函数是无穷小量，而x11函数cosx,
sin，都是有界函数，根据定理2知： xx
111111limcosx?limcos=limsinx=limsin=0。 x??xx??xx??xxx??xx1的变化情况。在自变量无限接近于0时，函数x二、无穷大量 考察当x?0时，函数f(x)?值的绝对值1
无限增大，也就是对于任意 x给定的正数M，总存在一个正数?，当 10?x?0??时，恒有f(x)?
?M。 x定义2 设函数f(x)在x0点的去心邻域U0(x0,h)内有 图 1-15 定义，当自变量x无限地趋近于x0时，相应的函数绝对值f(x)无限增大，则称函数f(x)在x趋近于x0时为一个无穷大量。若相应的函数值f(x)（或 ?f(x)）无限 31 增大，则称函数f(x)在x趋近于x0时为一个正(或负)无穷大量。分别记为x?x0x?x0limf(x)=?，limf(x)=+?，limf(x)???等。 x?x0易知lim?x?1111???,lim???,lim??。 x?1x?1x?1?x?1x?1无穷大量描述的是一个函数在自变量的某一趋向下，相应的函数值的变化趋势，即f(x)无限增大。同一个函数在自变量的不同趋向下，相应的函数值有不同的变化1，当x?0时，它为无穷大量，；当x?1时，它以1为极限。因x趋势。如对函数此称一个函数为无穷大量时，必须明确指出其自变量的变化趋向，否则毫无意义。 注意： 1 无穷大量也不是一个量的概念，它是一个变化的过程。反映了自变量在某个趋近过程中，函数的绝对值无限地增大的一种趋势。 2 无穷大量与无界函数的区别：一个无穷大量一定是一个无界函数，但一个无界函数不一定是一个无穷大量。 无穷大量与无穷小量之间的关系： 定理3
1）若limf(x)?0，且对?x?Ux?x0?il(x0,?)f(x)?0，则mx?x01??； f(x)2）若limf(x)=?，则limx?x0x?x01?0。 f(x)定理4
x?x0limf(x)?A（A?0）且limg(x)=?，则limf(x)g(x)=?。 x?x0x?x0证明 由limx?x0，根据定理知limf(x)?A（A?0）x?x011?。 f(x)A由limg(x)??，根据定理4知limx?x0x?x01?0， g(x)32
由定理2，有limx?x01?0，所以limf(x)g(x)=?。 x?x0f(x)?g(x)例2 指出自变量x在怎样的趋向下，下列函数为无穷大量。 （1）y?1；
（2）y?logax(a?0,a?1) x?2lim(x?2)?0,根据无穷小量与无穷大量之间的关系有x?2解（1）因为lim1??； x?2x?2（2）若0?a?1,因为当x?0时，loga?当x???时,logax???,x???；所以当x?0时，函数loga?x为正无穷大量，当x???时, 函数logax为负无穷?大量。若a?1，因为当x?0时，loga所以当x?0时，函数loga大量。 ?x???；当x???时,
logax??? x为负无穷大量，当x???时, 函数logax为正无穷第五节 两个重要极限 在极限理论中，有两个重要极限 sinx?1?1） lim，
2） lim?1?? x?0x??x?x?本节主要讨论它们的存在性及其基本应用。 一、收敛准则I（夹逼定理） 设xf(x),
h(x)在x0点的去心邻域U?(x0,?)内有定义，且满足： 01） 对?x?U2） 则
x?x0(x0,?)
有g(x)?f(x)?h(x) x?x0limg(x)?limh(x)?A limf(x)?A x?x0 33 说明：上述准则仅以x?x0类型的极限给出，对于其他各种类型的极限，本定理仍然成立。特别，当定理中的三个函数换成三个数列时，定理也成立。 下面运用准则I证明两个重要极限的存在性。
二、两个重要极限
sinx=1。 x?0xsinx证明 因为函数是偶函数， xsinx所以只证明lim=1的情形。 x?0?x极限 I lim先考虑0?x??2BE的情形。如图， 在单位圆中， ?OAB的面积 < 扇形OAB的面积 < 所以有
x?OAE的面积， OA111sinx?x?tanx, 222x1sinx??1, 从而有1?，cosx?sinxcosxx1cosxlim又 lim=1，所以 =1， x?0?x?0?cosxsinx?1， 根据 夹逼定理，有limx?0?x当?图 1-16 ?2?x?0，令y??x，则0?y??2，并且x?0??y?0?，所以，
sinxsinylim?lim?1 x?0?y?0?xy综上述有 limsinx?1。 x?0x0sinx”型；（2）自变量x应与函数0x这个极限在形式上的特点是：（1）它是“的x一致。 这个极限的一般形式为：limsin?=1。 ??0?34
例1 求limsin3x。 x?0xu，当x?0时，u?0有 3解 令u?3x，则x?limsinusin3xsinu?3 =lim=3limx?0u?0u?0uxu3sin3xsinu通过变量替换成为，极限中的x?0同时要变为u?0。 xusin3xsin3xsin3x?lim3?3lim?3 有时可以直接计算，limx?0x?03x?03xx3x注意：函数例2 求limsin?x（??0,??0) x?0sin?x解 limsin?x?x??sin?x?xsin?x??)=?lim?lim?lim( x?0x?0x?0x?0sin?x?xsin?x???xsin?x=sin?x?x???lim?lim=?x?0?x?0?xsin?x?? sinx x????x0解 虽然这是“”型的，但不是x?0，因此不能直接运用这个重要极限。 0令t???x，则x???t，而x???t?0，因此， sinxsin(??t)sintlim?lim=lim=1 x????xt?0t?0tt1?cosx例4 求lim x?0x2例3 求limx?x?2sin()?sin?11?cosx2?lim??2??1 ?lim解 limx?0x?0x?02?x?2x2x2???2?22例5 求limtankx (k为非零常数) x?0x 35 包含总结汇报、农林牧渔、教学研究、经管营销、表格模板、初中教育、工程科技、求职职场以及高等数学函数极限等内容。本文共10页
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