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线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的可控性与可观测性
&&&&现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可观测。
给定系统的动态方程为
将其表示为标量方程组的形式，有
这表明状态变量X1和X2都可通过选择控制量u而由始点达到原点，因而系统完全可控。但是，输出y只能反映状态变量X2，而与状态变量x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。
例：下图所示网络，设x1=Uc1，x2=Uc2,输出y=x2。
当R1=R2,C1=C2且初始状态x1(t0)=x2(t0)时，则不论将输入U取为何种形式，对于所有t≥t0，只能是x1(t)≡x2(t)，不可能做到x1(t)≠x2(t)。也就是说，输入u能够做到使X1和x2同时转移到任意相同的目标值，但不能将x1和x2分别转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于y=x1=x2，故系统可观测。
&&&&1、可控性
&&&&考虑线性时变系统的状态方程
&&&&系统可控：
对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在
时刻可控的，则称系统在t0时刻是完全可控的，简称系统在t0时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。
&&&&系统不完全可控：
对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻
，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在t0时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。
可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。u(t)必须是容许控制，即u(t)的每个分量均在时间Tt区间上平方可积，即
&&&&此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻t0的选取无关。
&&&&状态与系统可达：
若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态 xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是t0时刻可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，或简称该系统是t0时刻可达的。
&&&&对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。
&&&&2、可观测性
&&&&可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程
其中，A(t),B(t),C(t)和D(t)分别为(n×n)，(n×p),(q×n)
和(q×p)的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为
的可观测性。输出响应成为
下面给出系统可观测性的有关定义。
&&&&系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻t0∈Tt，存在一个有限时刻t0∈Tt，t1&t0,对于所有t∈[t0,t1]系统的输出y(t)能惟一确定状态向量x(t0)的初值，则称系统在[t0,t1]内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1&t0系统都是可观测的，则称系统在[t0,∞)内完全可观测。
系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻t0∈Tt，存在一个有限时刻t1∈Tt， t1&t0,对于所有t∈[t0,t1]，系统的输出y(t)不能惟一确定所有状态xi(t0),i=1,2,Α,n的初值，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在时间区间[t0,t1]内是不完全可观测的，简称不可观测。
&&&&3、线性定常连续系统的可控性判据
考虑线性定常连续系统的状态方程
其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(n*n)和(n*p)常阵。
下面根据A和B给出系统可控性的常用判据。
&&&&格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，存在时刻t1&0，使如下定义的格拉姆矩阵：
为非奇异。
格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。
&&&&凯莱－哈密顿定理
设阶矩阵的特征多项式为
桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。
该桥式电路的微分方程为
其可控性矩阵为
可控性矩阵为
可控性判别矩阵为
由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据。
已知线性定常系统的状态方程为
试判别系统的可控性。
根据状态方程可写出
PBH特征向量判据
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，A不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。即A对的任一特征值λi，使同时满足
的特征向量a≡0 。
&&&&一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。
约当规范型判据
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件分两种情况：
&&&&1）矩阵A的特征值λ1,λ2,∧,λn是两两相异的。
由线性变换可将状态方程变为对角线规范型
则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素全为零的行。
由线性变换化为约当规范型
&&&&4、输出可控性
&&&&如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。
&&&&输出可控性：
若在有限时间间隔[t0,t1]内，存在无约束分段连续控制函数u(t),t∈[t0,t1],能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y（t1），则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。
&&&&输出可控性判据
设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为
矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数，即
注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。
已知系统的状态方程和输出方程为
试判断系统的状态可控性和输出可控性。
系统的状态可控性矩阵为
故状态不完全可控。
输出可控性矩阵为
5、线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
其中，x为n维状态向量；y为q维输出向量；A和c分别为n*n和q*n的常值矩阵。
格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统完全可观测的充分
必要条件是，存在有限时刻t1&0 ，使如下定义的格拉姆矩
为非奇异。
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是
上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。
判断下列系统的可观测性：
故系统不可观测。
故系统可观测。
&&&&6、线性离散系统的可控性和可观测性
&&&&（1）线性离散系统的可控性和可达性
&&&&设线性时变离散时间系统的状态方程为
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k), k∈Tk
其中Tk为离散时间定义区间。如果对初始时刻l∈Tk和状态空间中的所有非零状态x(l)，都存在时刻m∈Tk,m&l，和对应的控制u(k)，使得x(m)=0 ，则称系统在时刻l为完全可控。对应地，如果对初始时刻l∈Tk和初始状态x(l)=0，存在时刻m∈Tk,m&l和相应的控制u(k)，使x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻l为完全可达。
对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和
可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为
&&&&1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要
条件是，系统矩阵
为非奇异；
&&&&2）线性定常离散时间系统
可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵
为非奇异。
&&&&3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性必是等价的。
线性定常离散系统的可控性判据
设单输入线性定常离散系统的状态方程为
其中x为n维状态向量；u为标量输入；G为(n*n)非奇异矩阵。状态方程的解为
根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0，将上式两端左乘
称s'为(n*n)可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵s1'的秩与增广矩阵[s1',Mx(0)]的秩相等时，方程组有解且为惟一解，否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程线有解的充分必要条件是矩阵s1'满秩，即
当时，系统不可控，表示不存在使任意x(0)转移至x(n)=0的控制。
以上研究了终态为x(n)=0的情况，若令终态为任意给定状态x(n)，则状态方程的解变为
由于初态x()可任意给定，根据解存在定理，矩阵s2' 的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件是
双输入线性定常离散系统的状态方程为
试判断可控性，并研究使x(1)=0的可能性。
显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。
一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。
其向量－矩阵形式为
（3）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性
一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。
设连续系统动态方程为
由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有
故系统可观测。
系统的状态转移矩阵为
系统离散化后的状态方程为
离散化后系统的可控性矩阵为
离散化后系统的可观测性矩阵为
当采样周期时
，可控性矩阵S1和可观测性矩阵V1均出现零行，
，系统不可控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期
如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。
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在数字调制系统中进行精确的非线性测量
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