[什么是混循环小数]无限循环小数的研究_什么是混循环小数-牛宝宝文章网
[什么是混循环小数]无限循环小数的研究 什么是混循环小数
无限循环小数的研究上海市侨光中学
何兴国一、 摘要。大家知道分数与小数之间可以相互转化，我们严格地证明过吗？无限循环小数的循环节 长度由什么决定的呢？循环节数字序列很神奇，它有什么性质？为什么要运用同余理论来研究循环小数？我们知道无限循环小数的循环体虽然是相除的商数，但循环的原因却在于相除的余数，所以运用同余理论可以解释无限循环小数中的“谜”。不过在研究的过程中仍然有部分问题未能解决，有待今后进一步学习和思考。 关键词：无限循环小数、余数、循环节长度、互素、同余。二、 课题的由来。 形如a，a和b都是整数且b≠0的数称为有理数，而有理数都可以化为有限小数或无 b限循环小数。?=1这样的问题时所表现出的然而很多初学者对于循环小数仍然感到困惑，当遇到0?9惊讶，生动地反映出无限循环小数里隐藏着一些“谜”。但实际上这些“谜”用一些简单的?扩大10倍得0.9?×10=9.9?，两边都减去0.9?得数学方法可以解释清楚。比如我们把0.9?×(10－1) =9，所以0.9?=1。 0.9作为一名中学数学教师一方面肩负授道解惑之责，另一方面也是提高自身专业素养之需要。由此展开了研究无限循环小数之行动。三、 研究目的。在《初等代数研究》中有一小节写“有理数和循环小数”，但篇幅较短且论述较抽象。 在学习过程中，我感觉可以再深入细致些，因此查阅了一些资料，经过思考和研究，使之更系统全面。因此展开以下几方面的研究。1、 研究分别在什么条件下，分数可化为有限小数、无限循环小数？(具体一些再分为纯循环小数和混循环小数。)2、 研究纯循环小数的循环节的长度和性质，并导出欧拉定理。3、 研究分母为合数时，循环节的长度。4、 研究无限循环小数化为分数的方法。四、 研究过程。1、分数可化为有限小数、纯循环小数、混循环小数。为简便起见这里只讨论既约真分 数。（1）73?0.28，?0.046875。当分母由因数2或5的幂组成或两者兼而有之， 2564a5???aa既约真分数定可化为有限小数。一般地，设既约真分数??，设???。则??= ?102525，分子a5???是个整数，由于分母10?的作用，结果变成?位有限小数。若???，同理可得结果是?位有限小数。1（2）当分母与10互素时，分母不能化为10的幂，因此展开后，小数位将是无限的。 我们考察用除法将1展开的过程，第一步，由于1太小，需要拖一位0变为10除以772商1余3；第二步再拖一位0，30除以7商4余2，由于每一步的余数都小于7，所以每次需要拖一位0再除以7，那么第二步相当于拖了两位0，因此可用10?2mod7来对应；第三步20除以7商2余6，对应10?6mod7；第四步60除以7商8余4，对应3104?4mod7；第五步40除以7商5余5，对应105?5mod7；第六步50除以7商7余1，对应10?1mod7。至此，余数和最初的被除数相同，如果继续运算下去，将重复刚才的过程，产生相同的商数序列和余数序列。由于每一步的余数都将被作为下一步的被除数，因此我们把分子1作为第一个余数，列出余数序列得：1、3、2、6、4、5。需要注意的是确定循环节并不是观察商数，而是由每步的余数来确定。 6a(b与10互素)，分母的余数共有1、2、…b?1，所以b在除法过程中出现的不同余数最多也只能有b?1个，最多b步之后，第一个余数将再次出推广到一般情况设既约真分数现，随后而来的余数将按第一次的次序循环重复。至此我们得到两条结论，一、循环节的长度不大于b?1。二、循环节的长度和分子无关。例如1??。?，2?0?2 ?0?177在第一个余数第二次出现之前的各个余数是互不相同的，对应的结果是纯循环小数。用反证法，假设在第一个余数第二次出现之前的步骤中有第m+1步和第n+1步的余数相同，他们的前一步的余数各自用am和an来表示，则有10am?10anmodb(因为每一步都需要拖一位0所以这里出现10)，由b与10互素得am?anmodb，考虑到am和an都是b的余数，他们都小于b，只能得到am?an。同理am和an的前一步的余数am?1和an?1也相同，以此类推可得第一个余数和an?m相同，而这和假设“在第一个余数第二次出现之前的步骤中”相矛盾。证毕。结论：既约真分数（3）a(b与10互素)必将化为纯循环小数。 b13?85714?，54?0?98?1?。注意到分母中既含有与10互素的因数又含有?0?9214552或5或两者兼而有之。 aa5???a一般地我们设既约真分数??(b与10互素)，且???。则???，分25b10?b25b子是个整数且与b互素，根据带余除法有a5????kb?r(r?0)。所以aa5???kbrk1rrk?????。这里是位有限小数，是纯循?b2?5?b10?b10?b10?b10?10?b10?2环小数，1r是将循环节往后推迟?位并在小数点和循环节之间插入?个0，两者相加10?b就是混循环小数。如12?8?0?02?85714? ???????0?9?0?1?0?7010107a若???，同理结果是循环节推迟?位小数后才开始。结论：既约真分数??(b与1025b互素)的结果是混循环小数。?，从这个角度我们可以说所有有理数都是无限循环小数。
0?28?0?2792、循环节的长度有什么性质。1?28571?，4?0?5?， ??，3?0?4?71428?，2?0?2?0?177775?57142?。何以1的倍数展开后是同一串数字序列的不同轮转呢？ ?14285?，6?0?8?0?7777221002以为例。由于10?2mod7，所以和的小数部分是相同的，而 777?85714?，所以2?0?2?85714?。 ??100?14?2??100?0?17771在用除法将展开的过程中我们得到一串余数序列：3、2、6、4、5、1，实际上分别7（1）对应下列同余式：10?3mod7，10?2mod7，10?6mod7，10?4mod7，234105?5mod7，106?1mod7。在除法过程中每步都要拖一位0，相当于将10的幂指数逐一提高，因为被除数作为第一位余数是1，所以当10?1mod7成立时，就标志着循环开始了。所以循环节的长度是使10?1mod7成立的最小正整数x的值。 x61?47619?，10?0?4?76190?，16?0?7?，13?0?6??， ?0?4?90476?，19?0?9?04761?。这一串轮转的数字序列有6名成员组成一个小组，但?0?1212120a2是与21互素的余数共有12个，所以形如的既约真分数共有12个，其中并没有和212121等另外6个。我们将10的幂指数逐一提高，看看余数是什么？10?10mod21，10?16mod21， 2103?13mod21，104?4mod21，105?19mod21，106?1mod21。这里也只有6个余数。另外6个其实也组成了一组轮转的序列。20?52380?，11?0?5? ， ?2135??，17?0?8?09523?，2?0?0?95238?。同样也对应着?，8?0?3?0?一组同余式，2?10?20mod21，2?10?11mod21，2?10?5mod21， 232?104?8mod21，2?105?17mod21，2?106?2mod21。于是我们得到既约真分数小正整数x的值。（2）与b互素的余数的个数本身也是一个重要的数学概念，称为“欧拉函数”，用?(b)表示。如?(21)?12，?(14)?6。当b是素数时，?(b)?b?1。既约真分数ax(b与10互素)的循环节长度s是使10?1modb成立的最ba(b与10互素)在相除中得到的余数都与b互素。证明，第一步10a除以bb得到商q余数a1。也就是10a?bq?a1，所以a1?10a?bq。因为10和a都与b互素，所以a1也与b互素。以此类推，之后的余数都与b互素。所以循环节长度s不大于?(b)。实际上更进一步循环节长度s是?(b)的因数。对于既约真分数2sa(b与10互素)我们定b能找出一组余数a1,a2,?as，它们分别同余10a1,10a2,?,10as；接下去如果取到一个新的余数as?1，它和第一组的余数各不相同，那么与as?1相伴生的也有一组余数as?1,as?2,?a2s，分别同余10as?1,102as?2,?10sa2s；这两组余数不会有相同的成员。如果在这两组之外又取到一个新的余数，那就产生第三组，关键是只要一有新的余数，必将伴生一组余数，直到把?(b)个余数全用完为止。假如有t个小组，那么s?t=?(b)。证毕。例如我们来确定1的循环节长度，将10的幂指数逐一提高得：10?10mod41， 41102?18mod41，103?16mod41，104?37mod41，105?1mod41。所以循环节长度s=5。?(41)?40，那么形如是同一串数字序列的轮转。 a的既约真分数可分为8组，每组有5个成员，同组成员411?.2?.4?.3?.9?0243?。 ?0.2?.4?.8?.7?,33?0.8??。 ?0.3?.3??,29?0.7?。 ?,30?0.7?.1?44?.9?.7?,23?0.5?97?,25?0.6?。 ?0.5??,8?0.1?.9?.5?。 ?,9?0.2?6?.4?.6?.3?.4?1463?。 ?0.11?.6?.8?.2?.9?2682?。 ?0.15??,24?0.5?,35?0.8?5365?。 ?,27?0.6?.5?验证了循环节长度s是?(b)的因数。因为10?1modb，而?(b)是s的倍数，所以10s?(b)?1modb。如果我们跳出10进制小数的范畴，而去讨论g进制小数（这里g与b互素）的话，那么刚才的结论同样适用。因此有g?(b)?1modb(g与b互素)，这被称为欧拉定理。特别地如果b是素数，则?(b)?b?1，此时有gb?1?1modb(g与b互素)，称为费马小定理。（3）另外一个有趣的现象是某些分数的循环节长度有偶数位，把循环节一分为二，前后两半循环节的数字对应相加后得到的都是9。比如846，对应相加得999。这又是什么原因呢？ 2?53846?，将循环节分为153和?0.113a的既约分数分为2组，每组有6名成员13?46153?，这个数是11。巧的是2和11相轮转。那么应该可以找到一名成员，它等于0.813131313?，所以对应数字之和都是9。 加正好等于?1，又因为1?0.9131?7.7?,9?0.6??,3?0.2?3.3?0?,12?0.9?0.32?5.5?,5?0.3??,6?0.4?6.6?1?,11?0.8?0.3还记得同一串数字序列轮转的现象吗？形如而且发现每一组可分为三对，每对分子之和等于分母13，且循环节对应数字之和都是9。那么这种现象普遍吗？ 假设既约真分数即102ka2k(b与10互素)的循环节长度s是一个偶数，s=2k。则10?1modb， bkkx?1?0modb，所以(10?1)(10?1)?0modb，由于s是满足10?1?0modb 的最小正整数，所以10?1?0modb不成立，只能有10?1?0modb。于是又得到 kka110ka(10?1)?0modb，即a110?a1?0modb，设a110?ak?1modb，所以和bkkk5ak?1aa的小数部分相同。同时有ak?1?a1?0modb，那就意味着k?1?1是个整数，若bbba1和ak?1是b的余数，那就只能ak?1a1a?1c2?ckck?1ck?2?c?2k， ??1。假设1?0.cbbbaa110k?k?1ck?2?c2kc1c2?c?k，所以k?1?0?c?k?1ck?2?c2kc1c2?c?k。则有?c1c2?ck?cbb由于a1ak?1?，所以前后两半对应数字之和等于9，即c?c?9(i?1到k)。 ??1?0.9ii?kbb然而也有例外，比如1?47619?。所以这个规律不能完全推广，到底哪些分数不?0?021适合呢？本文未能解决，盼读者能指点迷津。3、分母是合数的既约真分数的循环节长度。（1）假设11(b是不等于5的奇质数)的的循环节的长度为s，则2的循环节长度为s bbsss2或sb。根据条件有10?1modb，即10?kb?1，若k是b的倍数，则有10?1modb。1sb2的循环节长度为s；若k不是b的倍数，10?1modb，且sb是使2b111该式成立的最小数，因此2的循环节长度为sb。比如的循环节长是1位，的循环节39b11长度也是1位； 的循环节长度是6位，而得循环节长度是42位。 74911
同理，若m(b是不等于5的奇质数)的的循环节的长度为s，则m?1的循环节长度为bbs或sb。111
（2）b、d互素，的循环节长度为s，的循环节长度为t，则的循环节长度为bbdd由s得最小性可知s和t的最小公倍数。由条件可知10?1modb，10?1modd。设h是s和t的最小公倍数，则有10?1modb，10?1modd。因为b、d互素，所以10?1modbd，因为hhhhst111的循环节长度为h。证毕。比如的循环节长度是6位，的循环节bd7131长度是6位，而的循环节长度是6位，是前两个循环节长度的最小公倍数。 91的最小性，所以4、无限循环小数都可以化为分数。（1）利用等比数列可以将纯循环小数化为分数。比如?8?=0.18+0.018+?=18?10?2?18?10?4?18?10?6?? 0.16=18?(10?2?10?4?10?610?21218==，最后约分得。 ??)=18?18???199?8??100?18.1?8?，两边都减去0.1?8?扩大100倍，得0.1?8?得更简单一些的方法将0.1?8?(102?1)?18，所以0.1?8??100?0.1?8??18，得0.1?8??0.118。最后再约分。 210?1?1c2?c?s?
推广得0.cc1c2?cs。 10s?1（2）混循环小数化为分数。比如，?8??0.7?0.01?8??7?1?0.1?8??7?1?18，最后再化简得79。 0.110?1c2?c?s?推广得0.f1f2?fkcf1f2?fk1c1c2?cs ?10k10k10s?1五、 研究结果。a，既约真分数将化为有限小数。 ??25a（2）既约真分数(b与10互素)必将化为纯循环小数。 ba（3）一般地既约真分数??(b与10互素)的结果是混循环小数。 25bax2、（1）既约真分数(b与10互素)循环节长度s是使10?1mod7成立的最小正整 b1、（1）数x的值。（2）循环节长度s是?(b)的因数。（3）欧拉定理：g此时有gb?1?(b)?1modb(g与b互素)。特别地如果b是素数，则?(b)?b?1，?1modb(g与b互素)，称为费马小定理。（4）某些分数它的循环节长度有偶数位，把循环节一分为二，前后两半循环节的数字 对应相加后得到的都是9（不确定这些分数满足什么条件）。3、（1）若s或sb。（2）b、d互素，11(是不等于5的奇质数)的的循环节的长度为s，则的循环节长度为 bbmbm?1111的循环节长度为s，的循环节长度为t，则的循环节长度为 bbdds和t的最小公倍数。4、无限循环小数都可以化为分数。反之，分数都可以化为无限循环小数。六、 讨论。1、象1?47619?的循环节前后两半的对应数字之和不等于9，这样的分数有没有 ?0?0217通用的表示法？符合这个规律的分数又满足什么条件？2、若11(b是奇质数)的的循环节的长度为s，而2的循环节长度也为s的分数比较少。bb到底满足什么条件才会导致这样的结果？七、 展望。无限循环小数是有趣的一个课题，其中有许多未解之谜。本文虽然讨论了一些循环小数 的性质，但文中有些问题还是未能彻底解决，需要进一步挖掘；更由于本人学识水平有限，未能从更深更广的角度观察有理数。之前也学过《近世抽象代数》，其中的群的概念虽简单但较抽象，举例甚少，应用起来没有方向。而循环小数与循环群有着密切关系，如果能把循环群的性质应用到研究循环小数中来，会不会有新的突破呢？有待付诸研究和学习。 参考文献：1、《初等代数研究》
高等教育出版社
余元希、田万海等著。2、《初等数论》
高等教育出版社
闵嗣鹤、严士键著。3、《数论妙趣―数学女王的盛情款待》
上海教育出版社
1998年[美]阿尔伯特?H?贝勒 著
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幻灯片：小学五年级上册数学第二单元循环小数.ppt20页
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数 小学数学第九册 教学例8
根据以上信息，你能列出什么算式呢？
）4 0 0 7 5
5. 3 7 5 2 5 0
3 2 2 5 2 5 0 3 2 2 5 2 5 0 2 2 5 2 5 0 2 2 5 2 5 400÷75
5.3333… 3 3 1、余数重复出现25。 2、商的小数部分重复 出现“3”。 3、永远也除不完，
商是无限的。 发现规律 计算下面两题 （1）28÷18 ）2 8
1. 1 8 1 0 0
9 0 1 0 0 9 0
1.555… （2）78 . 6÷11 ）7 8. 6 1 1
7. 7 7 1 6 1 1 1 5 0 4 4 4 6 0 5 5 5 5 0 4 4 4 5 5 6 0
7.14545… 继续探索 7.14545… 5.33… 1.555… 商的小数部分
从第一位起
一个数字依次不断的重复出现 商的小数部分
从第一位起
一个数字依次不断的重复出现 商的小数部分
从第二位起
二个数字依次不断的重复出现 一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 概括规律
判断下列各数哪些是循环小数？哪些不是？ 是 不是 不是 是 不是 是 是 循环小数是无限小数，无限小数的小数部分的位数是无限的，而小数部分的位数是有限的小数是有限小数。 3.4666 （ ）
2.35435 （ ） 1.4555 （ ）
0.座机电话号码 （ ） 2.58080 （ ）
0.44222 （ ） 8.4747 （ ） … … … … 分析比较 依次不断重复出现的数字是？ 6
一个循环小数的 小数部分，依次重复
出现的数字，叫做 循环小数的循环节。 3.4666 （ ） 0.座机电话号码 （ ） 8.4747 （ ） 0.44222 （ ） … … … … 继续探索 更多全套课件免费下载： 绿色圃中小学教育网 简便写法 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 写作 3.3 ? 写作5.327 ? ? 读作:
三的循环 读作:
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无限不循环小数无限不循环小数指小数点后有无限个数位,但没有周期性的重复,或者说没有规律的小数。所以上又称小数为(如圆周率π,它就是一个无理数),把其他一切实数都称为。（π读pài)&无理数的类型1.开方开不尽（如根号2）&2.与π有关（如π+2）
3.有规律但不循环（如0.。。。。。。）&
数学运算/无限不循环小数
无限不循环小数首先明确一点 无限不是不能转化成的 那么无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子：例1把0.4747……和0.33……化成分数。&既然我们讨论到无限这个概念 那么我们就应该明确一点 既然都是 无限循环小数 那么他们在循环节中小数点后 数的个数就没有区别的 统一的认为是无限个
小数点后有几个数字，就用这个数除以几个9.
想1： 0.4747……×100=47.4747……
0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747…… =47
那么 0.4747……=47/99
想2： 0.33……×10=3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=3/9=1/3
化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。&例2把0.4777……和0.325656……化成分数。
想1：0.4777……×10=4.777……①
0.4777……×100=47.77……②
用②－①即得:
0.4777……×90=47－4
所以, 0.4777……=43/90
想2：0.325656……×100=32.5656……①
0.325656……×.56……②
用②－①即得:
0.325656……×56……－32.5656……
0.325656……×－32
所以, 0.325656……=
e(指自然底数e)与圆周率π被认为是数学中最重要的两个超越数（不满足任何整系数代数方程的数，称超越数）。而且e、π与虚数i三者之间有一个相当有名的关系式：e^(iπ)=-1。e的
可以用以下的计算公式求得：&e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-1)!+1/n!，n是正整数。
n!是阶乘的意思，n!=n*(n-1)*(n-2)*......*3*2*1。
常见数例/无限不循环小数
例如根号2，根号3，根号5，等等。但最有名的两个无限不循环小数就是圆周率π和
的底数e。自然对数的底数e=2.045............ e是一个奇妙有趣的无理数，它取自
欧拉Euler的英文字头。 欧拉首先发现此数并称之为自然数 。但这里所说的自然数与常见的自然数：1，2，3，4……是不同的。确切地讲，e应称为“自然对数lnN的底数”。
e和圆周率π是最有名的无限不循环小数，也即无理数。&无理数e的前几位如下：
圆周率/无限不循环小数
小数点后20000位&0至10003.
&但圆周率在实际使用中一般只取近似值
欧拉常数/无限不循环小数
欧拉常数是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。前5000位0.90,,,,,,34 884,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,46,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,08289。
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